湖南长沙市长郡中学2026届高三数学满分训练（1）

长部中学2026属届高三数学满分训练（1) 命题人：曾卫国审题人：张全意、赵攀峰 一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.(*)已知集合A={x10g.x<1,B={x2+x-2<0},则AnB= A.（-2,1) B.（-2,2) C.(0,1) D.(0,2) 2.(*)已知>0，则7=3是椭圆+二=1的焦距为4的 m2+5 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(*)已知平面向量a,b满足a=1,b=2,(a一b)⊥a,则a一b= A.3 B.2 C.5 D.1 4.数列{a}是等差数列，4=1，且a,4,4构成公比为q的等比数列，则9= A.1或3 B.0或2 C.3 D.2 5.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=aer,其中a,b都是正常数， 则该种放射性元素的原子数由a个减少到：个时所经历的时间为，由？个减少到？个时 所经历的时间为4，则经 A.2 B.1 C.In2 D.e 6.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数， 如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1. 对任意正整数a。,记按照上述规则实施第n次运算的结果为a,(n∈N), 则使a,=1的a,所有可能取值的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知函数f()-=4m2x+周引，且函数g()-f)-a在[0m例，m=N)内恰有2025个零点. 则满足条件的有序数对(a,n) A.有且仅有1对 B.有且仅有2对 C.有且仅有3对 D.有无数对 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.现有两组从小到大排列的数据，第一组数据为4,42,4，…，42，其平均数为a,标准差为b, 极差为m,第80百分位数为n;第二组数据为2a-4,2a2-4,2a-4,..,2a2-4 则下列说法正确的是 A.第一组数据去掉a,a,其剩余数据的平均数和极差都比原来小 B.第二组数据的平均数为2a-4 C.第二组数据的第80百分位数为2n-4 D.第二组数据的标准差为2b-4 10.已知数列a)满足a=3,二片aeN),则 A.{na,}是等差数列 B.neN,a.≤3 C.neN,∑a-1a1-)=+3 2+1 D.VnEN,(a-1)>2In(n+1) 三、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分 12.(*)已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如果车轮启动后转动第一圈需要0.8s, 求转动开始后3.2s时的瞬时角速度为 13.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,直线1与C交于A,B两点，和y轴交于D点， 且A在B与D之间，若AF=2,BF=5,则△ADF与△BDF的面积之比为 四、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 月n4m6a=5 (1)求A: @若n8-mc-5.b>c,求c 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ar2-hx,a∈R. (1)若x=1是f(x)的极小值点，求a: (2)若存在xe(0,+o),使f(x)<x,求a的取值范围 17.(本小题满分15分)如图，在直角△ABC中，AB=BC=3,点E、F分别在线段AB、AC 上，且EF∥BC,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°. (I)设平面PEB与平面P℃的交线为m,请直接写出m与直线CF的位置关系.（不用证明） (②)若点E为线段AB的靠近B点的三等分点 (i)求证：PB⊥平面BCFE; (ⅱ)求PC与平面PEF所成角θ的正弦值， (备选) 18.(本小题满分17分)已知数列A:a1,2,.,w(N≥3)的各项均为正整数， 设集合T={x=a,-a,lsi<j≤N},记T的元素个数为P(T). (1)①若数列A:1,2,4,5,求集合T,并写出P(T)的值： ②若数列A:1,3,x,y,且3<x<y,P(T)=3,求数列A和集合T; (2)若A是递增数列，求证：“P(T)=N-1的充要条件是“A为等差数列”： (3)请你判断P(T)是否存在最大值，并说明理由.长郡中学2026届高三数学满分川练（1) 命题人：曾卫国审题人：张全意、赵攀峰 一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.(*)已知集合A={x1ogx<1,B={k2+x-2<0},则AB=() A.（-2,1) B.（-2,2) C.(0,1) D.(0,2) 【答案】C 2.(*)已知m>0,则=3是“椭圆+上=1的焦距为4的(） m2+5 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 3.(*)设平面向量a,b满足a4=1,b=2,(a-b)1a,则a-b=() A.3 B.2 C.5 D.1 【答案】C 4.数列{a}是等差数列，41=1，且a,4,4构成公比为q的等比数列，则9=() A.1或3 B.0或2 C.3 D.2 【答案】A 5.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=at，其中a,b都是正常数，则该种放射性元 素的原子数由a个减少到个时所经历的时间为，由号个减少到异个时所经历的时间为5，则子-() 2 4 t. A.2 B.1 C.In2 D.e 【答案】B 【详解】当=0时V=a,若N-号则e-克所以-M=时-h2,所以t-2 2 若N-景则e“-子所以-M=}22,1=22, 4 b' 所4g242222.左1， bbb 故选：B 6.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇 数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1.对任意正整数4，记按照上述规 则实施第n次运算的结果为a(n∈N),则使4，=1的a所有可能取值的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D [3a1+1,an-1=2k+1,k∈Z 【详解】解：由题意知meN,a,-a,a1=2k,kez (2 由4=1，得a6=2,.a=4,.a4=1或a4=8. ①当a,=1时，4=2，.42=4,4=1或4=8，.a。=2或a=16. ②若4=8，则a=16,4,=5或a2=32, 当4，=5时，4=10，此时，4=3或a。=20, 当a,=32时，4=64，此时，4，=21或=128， 综上，满足条件的4的值共有6个 故选：D 7.已知函数f()=4sm2x+ 且函数g(x)=f(x)-a在[0，m],(n∈N)内恰有2025个零点，则满足 条件的有序数对(a,n)() A.有且仅有1对 B.有且仅有2对 C.有且仅有3对 D.有无数对 【答案】C 【详解】g(x)=f(x)-a的零点个数等价于方程f(x)=a实根的个数. 先研究方程f(x)=a在[0，π]内实根的个数. 当a=±4时，方程f(x)=a在[0，π内实根的个数为1： 当a∈(4,2)(2,4)时，方程f(x)=a在[0，π内实根的个数为2； 当a=2时，方程f(x)=a在[0，π]内实根的个数为3，其中在(0，π]内实根的个数为2. 因为(x)是周期为π的函数，所以当a∈(4,4)时，在（兀，2π]，(2元，3π]，(3π，4π，…，(2024兀，2025π内 方程f(x)=a实根的个数均为2. 因为g(x)=f(x)-a在[0，m]n∈N)内恰有2025个零点，且2025为奇数，所以a∈(-4,2)U(2,4)不合题 意。 当a=±4时，n=2025;当a=2时，n=1012.所以满足条件的有序实数对(a,n)只有3对. y=sint在 元13π上的图像： 6’6 4/ yfx) -4 故选：C 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.现有两组从小到大排列的数据，第一组数据为4,4,4，，42，其平均数为a,标准差为b, 极差为m,第80百分位数为n;第二组数据为2a-4,2a2-4,2a,-4,,2a2-4. 则下列说法正确的是() A.第一组数据去掉a,a2,其剩余数据的平均数和极差都比原来小 B.第二组数据的平均数为2a-4 C.第二组数据的第80百分位数为2n-4 D.第二组数据的标准差为2b-4 【答案】BC 【详解】对于A,第一组数据去掉a,a2,剩余数据平均数可能变小，也可能不变， 所以不能确定其平均数一定比原来小，故A错误： 对于B,第一组数据平均数为a,第二组数据是2a-4, 则第二组数据平均数为2a-4,故B正确： 对于C,第一组数据第80百分位数为n,第二组数据是2a-4, 则第二组数据第80百分位数为21-4，故C正确： 对于D,第一组数据标准差为b,第二组数据是2a,-4, 则第二组数据标准差为2b,故D错误， 故选：BC 10已知装刘a)满足a=3.品1MacN).则 () A.{n}是等差数列 B.n∈N,a.≤3 C.VneN,() z+1 D.VneN',(a-1)>2In(n+1) 1=1 【答案】ABD 1 详解】由+n+可得(+aa-=L, 故数列{a}是首项为3，公差为1的等差数列，故A正确， m,=3+0-1=n+2,即a=”+2-=1+2s3ueN),故B正确， a-1后aa小品4日》 设f)=x-1-nx(e>0),则fy)=11=-1 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,则f(x)在(0,1)上单调递减； 当x∈(1，+o)时，'(x)>0,则f(x)在(1，+∞)上单调递增， f(x)≥f(1)=0,即x-1≥nx, x>0,用x+1代替x,则x≥ln(x+1), 再令eN,可得子2h中 a-1子，则g-12h中 ÷(a-1)>22n+ +h =2m2 =2ln+),故D正确 n 1= 故选：ABD. 三、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分. 12.(*)己知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如果车轮启动后转动第一圈需要0.8s, 求转动开始后3.2s时的瞬时角速度为 【答案】20mrad/s 【详解】设时间为t时，车轮旋转的角度为f(),f(t)=t, 由题在知：2n=女08，则=答所以0=营， 8 侧f(⑨-5芯，f3,2)=20πad/s,即转动开始后3.2s时的瞬时角速度为20加d/s 故答案为：20mad/s 13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线1与C交于A,B两点，和y轴交于D点， 且A在B与D之间，若AF=2,BF=5,则△ADF与VBDF的面积之比为 【答案】片 【详解】因为抛物线C:y2=4x,所以F(1,0), 设A(x,y),B(2y2),由AF=2,BF=5,且A在B与D之间， 则x+1=2,2+1=5,解得x=1x2=4,则y2=4,22=16, 所以40-2864)，则。子2，所以直线1的方程为y+2=26c-小，回2-y4=0, 令x=0,则y=-4,所以D(0,-4), 拟k4,故直线DP的方程为y=4c-,即4=y4三 所以点A到直线DF的距离d= 7,点B到直线DF的距离d,=- 2 8 17’ ord. 4 ,故答案为：4 四、解答题：本大题共4小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 b-c b-a 15.(本小题满分13分)已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sin A+sin B sin C a=V3 (1)求A: (2)若sinB+simc=V6 b>c,求c. b-c b-a 【详解】(1)因 si血A+sin Bsinc,依据正弦定理 sin A sin B sinC 可得=c-b-0,即b+c2-d=b0. atb c 由余弦定理a2=b2+c2-2 be cosA得，cos4=+c-a-1 2bc 3, 因为A∈(0，m),所以A=- 3 .5分 2》法1：因为BmC-6,在三角形中，B+C=-4-2 3 所以w(3-c)-mc.9,即 5—⊙s士多s红—=◇ 2 sinc= 所以cosc+5n& ,所以simc+-万 2 2 +6F2 因为bsc,所以B>C,即子-C≥C,所以0cC 3,即C+元π 64 所以C= 12 所以sinc=sim仅）-v6-v .由正弦定理得c a (464 sinC sinA' 即c=2sinC= 6-√2 .13分 2 ab=-5-2 法2：由正弦定理sinA sinB sinC√3 2 所以8+nc-b+c小- 5,即b+c=V6①： 2 J 由(1)a2=b2+c2-bc,即3=(b+c)2-3bc.所以bc=1②： 联立①②，c2-Vc+1=0,解得c=6±2 0y 因为b>c,所以c取两根中的较小者，即c=6-V2 13分 2 16.(本小题满分15分)己知函数f(x)=m2-nx,a∈R. (1)若x=1是f(x)的极小值点，求a: (2)若存在x∈(0，+o),使f(x)<x,求a的取值范围. 【详解】(1)因为f()=2x-1=2-1， xx 因为=1是极值点，所以f0-0,即2a-10,a分此时，了)= 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增. 所以x三1是极小值点，综上，a= .5分 (2)法1： 研究命题的否定，即x∈(0，+o),f(x)≥x, 所以f(1)≥1，解得a≥1（成立的必要条件）， 下面证明：a≥1时，f(x)≥x在(0，+o)恒成立. 因为f(x)-x=x2-lnx-x≥x2-lnx-x, 令89=r-n-x,则g(y=2x-1-1_2x-x-1_c-2r+) 所以g(x)在(0,1)递减，在(1，+∞)递增，所以g(x)≥g(1)=0，即证. 所以3x∈(0，+o),使得f(x)<x,则a<1. 15分 法2：由题意，a<+血x-1+nx有解， x2 令8-+空，所ge)吉+2上2，校1-2x 因为p(x)=-1-2<0,所以p(付在0，+四)上单调递减，且p1=0, 所以0<x<1,g'(x)>0;x>1,g'(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， 所以g(x)在(0，+∞)上的最大值为g(1)=1,所以a<1. 15分 6 法3： 由题意，m2-x-hx<0在(0，+o)有解，令h4(r)=ax2-x-血x,则h()=2m-1-1_2-x-1 ①当a≤0时，则h(1)=a-1<0,满足题意： ②当a>0时，因为存在x,>0使得2x-x。-1=0, 所以h(x)在(0，x。)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增， 所以h(x)在处取得极小值，也是最小值h(x)a=h(x)=ax-x。-h<0 因为=，所以)片n令p=片-n,所以=分0. 所以p(x)在(0，+o)上单调递减，且p(1)=0,所以h(x)<0的解为x。>1. 因为2a=己+<2，所以0<a<1:综上，a<1. x后x后x0 15分 17.(本小题满分15分)如图，在直角VABC中，AB=BC=3,点E、F分别在线段AB、AC上，且EF∥BC, 将△AEF沿EF折起到！PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°. (1)设平面PEB与平面PFC的交线为m,请直接写出n与直线CF的位置关系.（不用证明） (2)若点E为线段AB的靠近B点的三等分点 (i)求证：PB⊥平面BCFE; (ⅱ)求PC与平面PEF所成角O的正弦值. D E E B 【详解】(1)相交 (证明一（寻找交线）：如图，在平面EFBC中，因为EFBC为梯形，所以延长CF,交BE于点G. 连接PG,因为GeEB,G∈CF,所以PGc平面PEB,PGc平面PFC, 所以PG即为交线m,PG与CF相交于点G. 3分 4 E B 证明二（反证法）：假设直线m和直线CF不相交，由于两直线都在平面PFC内，所以CP/1. 又CFt平面PEB,mC平面PEB,所以CF//平面PEB. 又CFC平面EFBC,平面EFBC平面PEB=EB,所以CF/IEB,矛盾I 故直线m和直线CF相交， 3分 (2)（i)证明：在Rt△ABC中，AB⊥BC,又EF/BC,所以EF⊥AB. > 所以翻折后EF⊥PE,EF⊥BE. 因为PEC平面PEF,BEC平面BEF,平面PEF平面BEF=EF. 所以∠PEB是二面角P-EF-B的平面角，∠PEB=60°. 又PE=2,BE=1,所以由余弦定理得PB=√5，所以BE2+PB2=PE2,因此PB⊥EB, 因为EF⊥PE,EF⊥BE,又PE BE=E,PE,BEC平面PBE,所以EF⊥面PBE, 又因为PBC面PBE,所以EF⊥PB, 因为PB⊥EB,EF⊥PB,EFEB=E,EF,EBC平面BCEF, 所以PB⊥平面BCFE. 8分 (i)因为BC/IEF,所以BC⊥BE,BC⊥PB. 又由(i)知，PB⊥EB,所以PB,BC,BE两两垂直. 如图，以B为原点，BC,BE,BP分别为x,y,z轴正方向 B 建立空间直角坐标系P(0,0,V3),C(3,0,0),E(0,1,0),F(2,1,0), PE=(0,1-5),PF=(21,-√3)，设平面PEF的法向量n=(x,y=) 阳=0.得-5=0 由 n-PF=0’将12x+y-V5z=0 令z=1,得x=0,y=V3, 所以n=(0,V3,1)为平面PEF的一个法向量，PC=(3,0,-V3) 所以sin6= cos(. PO n.PC 故PC与平面PEF所成角8的正弦值为 15分 (备选) 18.(本小题满分17分)已知数列A:a,,,aw(N≥3)的各项均为正整数， 设集合T={xk=a,-a,l≤i<jsN},记T的元素个数为P(T). (1)①若数列A:1,2,4,5,求集合T,并写出P(T)的值； ②若数列A:1,3,x,y,且3<x<y,P(T)=3,求数列A和集合T: (2)若A是递增数列，求证：“P(T)=N-1的充要条件是“A为等差数列'： (3)请你判断P(T)是否存在最大值，并说明理由 【详解】(1)①因为2-1=1,4-1=3,5-1=4,4-2=2,5-2=3,5-4=1， 所以集合T=1,2,3,4},P(T)=4. …2分 ②因为A:1,3,xy,且3<x<y,所以3-1=2，x-1,y-1均不相等， 所以2，x-1,y-1都是集合T中的元素， 因为P(T)=3,所以x-3=y-x=2.可得：x=5,y=7, 所以数列A:1,3,5,7,T={2,4,6: .5分 (2)充分性；A是递增数列，若A为等差数列， 设A的公差为d(d>0),当1≤i<j≤N时， 所以a-a=(j-i)d,所以T={d,2d,3d,L,(N-1H}, 则P(T)=N-1,故充分性成立. …8分 必要性：若A是递增数列，P(T)=N-1,则A为等差数列， 因为A是递增数列，所以42-4<4-4<a4-4<L<4w-4, 所以4-4,4-a,4-4,L,aw-4∈T,且互不相等， 所以T={a2-a,a-a,a4-a,L,awa}, 又因为4-42<a-a2<L<aw-4<aw-4, 所以4-a2,a4-a2,,aw-a2,aw-a1∈T且互不相等， 所以43-a2=4-4,a4-4=4-4,L，4w-4=4w-1-4, 所以a2-4=4-4==4w一aw1,所以A为等差数列，必要性成立. 所以若A是递增数列，“P(T)=N-1的充要条件是“A为等差数列， 11分 (3)P(T)存在最大值.理由如下： 由题意集合T={r=a-a,lsi<j≤N}中的元素个数最多为V(N-1)个， 2 即PT)sV-少，取4：22,2，此时a-4=2y-2, 若存在4-a4=a-4,,则2h-2=24-2，其中方>1,2>i2, 故2(24--1)=2(2--1)，若1≠2，不妨设1>2，则24-4(214-1)=2--1 而方>，2>i2,故2“(21-1)为偶数，2-1为奇数，矛盾， 故4=名，故方=力，故由A:22:,2”得到的a-0彼此相异，故P(们NW- 2 即P(T)的最大值为NN-)因此P(T)必有最大值： 17分 2 9