2026年中考数学复习讲义专题1.7一元一次不等式（题型归纳+知识梳理+常考题型）.

专题1.7一元一次不等式中考复习讲义 💧 考点分析 一元一次不等式是中考基础必考题，常考性质判断、解不等式、数轴表示解集、含参数范围、方案类应用题，分值5～8分，难度偏低，属于稳拿分题型。 核心考点：不等式3条性质、解法步骤、数轴解集、整数解、实际最值应用。 ☘ 题型归纳 题型1不等式定义及性质 题型2不等式解集 题型3求一元一次不等式的整数解 题型4求一元一次不等式解的最值 题型5在数轴上表示不等式的解集 题型6用一元一次不等式解决实际问题 题型7用一元一次不等式解决几何问题 题型8由一元一次不等式组的解集求参数 题型9不等式组和方程组结合的问题 题型10不等式组的经济问题 题型11不等式组的分配问题 题型12不等式组的方案问题 题型13一元一次不等式组的其他应用 ✍ 核心知识点梳理 知识点一、不等式、一元一次不等式基本概念 不等式：用＞、＜、≥、≤、≠表示不等关系的式子 不等式的解：单个符合条件的值 不等式解集：所有符合条件解的集合 一元一次不等式：1个未知数、次数为1、两边都是整式 知识点二、不等式三大性质 两边同时加减同一个数，不等号方向不变 两边同乘或同除以正数，不等号方向不变 两边同乘或同除以负数，不等号必须变号★ 知识点三、不等式解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示 知识点四、一元一一次不等式组的解集在数轴上表示 知识点五、一元一次不等式组 实际应用解题步骤 1.审题，找不等关系：读懂题意，找出题目中的关键词： 不足、至少、至多、不超过、不少于、低于、高于、大于、小于等，确定两个及以上不等关系。 2.设未知数：一般直接设问题所求量为 x，设完整单位，不设无关量。 3.列出不等式组：根据两组不等关系，分别列出一元一次不等式，组成不等式组。 4.解不等式组：①分别解每个不等式； ②借助数轴或口诀找公共解集； ③结合实际意义取舍：人数、物品数、车辆数等必须是正整数。 5.规范作答：写出符合题意的所有方案或最终答案，完整写清语句。 知识点六、高频题型解题技巧 性质判断题：只要出现负数乘除，立刻考虑变号；  解不等式：严格按步骤，最后一步重点检查符号；  数轴解集：分清空心、实心，方向不颠倒； 含参数不等式：先正常求解集，再对照范围反求参数； 方案最值：结果必须是正整数，舍去不符合实际的解. ♻ 核心考点精析 题型1不等式定义及性质 1．以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 2．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式进行变形，分离常数，再根据 为正整数确定的取值范围，进而求出代数式的取值范围，最后对照数轴选项即可得出答案． 【详解】解： 为正整数 即 观察选项可知，C选项表示的区间符合题意． 3．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 【答案】 5 【分析】（1）根据方程的解得到，结合，得到，利用不等式的性质求解即可； （2）易得，，根据完全平方公式的变形以及完全平方的非负性进行求解即可. 【详解】解：（1）∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴① ∵， ∴， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 且， ∴， ∴，而， ∴， ∴. 4．下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得………………第一步 移项，得……………………第二步 合并同类项，得…………………………第三步 化系数为1，得………………………………第四步 (1)去分母的依据是__________； (2)解答过程中，第__________步出现错误，错误原因是__________； (3)请写出不等式的正确解答结果__________． (4)请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 【答案】(1)不等式的基本性质2 (2)四；不等式两边同除以一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) (4)不等式两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变 【分析】（1）根据不等式的性质，进行作答即可； （2）根据解不等式的步骤，进行判断即可； （3）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解不等式进行解答即可； （4）根据解不等式的常见错误，提出合理建议即可． 【详解】（1）解：去分母的依据是：不等式的基本性质2． （2）解：解答过程中，第四步出现错误，错误原因是：不等式两边同除以一个负数时，不等号的方向没有改变． （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． （4） 解：不等式两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变． 题型2不等式解集 1．如图，某农家计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形园子，设长为，则下列数据不符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形面积公式用含的代数式表示出平行于墙的边长，结合墙长限制判断各选项是否符合题意． 【详解】解：设长为，则长为， 墙长为，且边靠墙（或与墙平行且受墙长限制）， ，即， ， ， ， ， ∴不符合题意． 2．若是不等式的一个解，则n的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据不等式的解的定义，将代入原不等式，得到关于的不等式，求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴将代入不等式，不等式成立，可得， 解得． ∵选项中只有满足， ∴的值可以是． 3．代数式有意义的条件是______． 【答案】 且 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，求解即可． 【详解】解：由题意得，分式的分母不为，即， 则， 可得且， 解得且． 4．如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式的解，那么称一元一次不等式为该一元一次不等式组的“母不等式”．例如：不等式组的解集为，不等式的解集为，可以发现在的范围内，则称不等式为不等式组的“母不等式”．特别的，不等式也是不等式的“母不等式”． (1)解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． 解不等式①，得______， 解不等式②，得____________； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为______ (2)在下列不等式①，②，③，④中，是（1）中不等式组的“母不等式”的是______；（填序号） (3)若关于的不等式是（1）中不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______； (4)如果不等式是不等式组的“母不等式”，不等式不是不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______． 【答案】(1)；；；数轴见解析 (2)②④ (3) (4) 【分析】本题考查了新定义、解一元一次不等式（组）、在数轴上表示不等式的解集，理解“母不等式”的定义是解题的关键． （1）根据一元一次不等式组的求解步骤即可解答； （2）根据“母不等式”的定义即可得出答案； （3）分和两种情况讨论，解不等式得出的范围，再根据“母不等式”的定义即可得出答案； （4）解不等式组得，解不等式得，解不等式得，再根据“母不等式”的定义得出关于的不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为． 故答案为：；；； （2）解：不在的范围内，故①不符合题意； 在的范围内，故②符合题意； 不在的范围内，故③不符合题意； 在的范围内，故④符合题意； 是（1）中不等式组的“母不等式”的是②④． 故答案为：②④； （3）解：当，即， 解不等式，得， ∵不在的范围内， ∴不符合题意，舍去； 当，即， 解不等式，得， ∵在的范围内， ∴符合题意； ∴的取值范围是． 故答案为：； （4）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 解不等式，得， 解不等式，得， 由题意得，是的“母不等式”，不是的“母不等式”， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 题型3求一元一次不等式的整数解 1．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 2．不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集中的最小整数即可． 【详解】解： ， ∵ 大于等于的整数中，最小的整数是， ∴ 该不等式的最小整数解是． 3．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 4．已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的范围中，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解方程组，然后根据为非正数，为负数列不等式组求解； （2）根据不等式的性质得到，求出，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵方程组中为非正数，为负数 ∴ 解得：； （2）解：∵ ∴ ∵不等式的解集为 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴整数． 题型4求一元一次不等式解的最值 1．已知非负实数，，满足，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得最大值． 【详解】解：设，则，，， ． ，，为非负实数， ， 解得：． 当时，取最小值，当时，取最大值． ，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设 是解题的关键． 2．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 3．满足的所有实数对，使取最小值，此最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次不等式；设，则，代入整理得关于x的一元二次方程，由题意可知，方程恒有解，根据判别式可得，再解不等式即可求得最小值． 【详解】解：设，则， ， ， 整理得， 则， 即， 由知： （i），或（ii）， 由（i）解得：， 由（ii）解得：无解， ∴的解集为：， 故取最小值，此最小值为． 4．计算 (1)求不等式的最大整数解； (2)已知关于x的不等式只有3个负整数解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式（组），解一元一次不等式（组）是解题的关键． （1）解出不等式的解集即可求解； （2）先根据题干表达出关于m的一元一次不等式组，然后计算即可． 【详解】（1）解：原式去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得， 不等式的最大整数解为． （2）解：原式去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 关于x的不等式只有3个负整数解， ，解得． 题型5在数轴上表示不等式的解集 1．如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，再结合数轴判断点的情况即可得出结果． 【详解】， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∴点B表示的数可以使不等式组成立． 2．已知关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为__________． 【答案】6 【分析】首先表示出不等式组的解集，然后由数轴得到不等式组的解集，然后比较得到，进而求解即可． 【详解】解：解不等式组得， 由数轴得，关于的不等式组的解集为， ∴， ∴． 3．计算 (1)解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． (2)解不等式组：并求出它的整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，整数解为： 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：， 在数轴上表示： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解为：． 4．合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 【答案】B 【分析】设需要卖出套，根据题意列出不等式，进行求解即可. 【详解】解：设需要卖出套， 由题意，得， 解得， ∵是正整数， ∴最小为， 由题意，可以出售的明信片的套数至少为（套）； ， 故至少需要卖出728套才能达标. 题型6用一元一次不等式解决实际问题 1．某次知识竞赛共有题，答对一题得分，答错或不答扣分，小华得分要超过分，他至少要答对的题的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小华答对道题，则答错或不答的题数为道，根据竞赛得分规则列出不等式，求解后根据题数为正整数取最小整数即可得到结果． 【详解】解：设小华答对道题，则答错或不答的题数为道， ∵答对一题得分，答错或不答扣分，要求得分超过分， ∴列不等式得， 展开得， 合并同类项得， 解得， ∵为题目的个数，必须是正整数， ∴取最小整数，即小华至少要答对道题． 2．某品牌手机进价为每部800元，标价为每部1200元，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最低可打_______折． 【答案】七 【分析】设该手机打折，根据利润率不低于的要求列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】设该手机可打折， 由题意得 ， 解得 ， 即最低可打折． 3．甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）解：设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 4．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 题型7用一元一次不等式解决几何问题 1．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 2．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____． 【答案】-4 【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1． 则2x﹣1≥﹣3 ∵x△k＝2x﹣k≥2， ∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3， ∴k＝﹣4． 故答案填：﹣4． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3．如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直． (1)若矩形花圃面积为32平方米，求长； (2)求能围成的矩形花圃的最大面积； (3)因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积． 【答案】(1)长4米或8米 (2)矩形花圃的最大面积为36平方米 (3)矩形花圃的面积最大值为70平方米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设米，根据矩形面积可得，求解即可获得答案； （2）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意可得关于的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可获得答案； （3）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意确定的取值范围，然后建立关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设米， 根据题意可得， 解得，， 答：长4米或8米； （2）设米，矩形花圃面积为平方米， 根据题意，可知， 当时，此时，，有最大值36， 所以，矩形花圃的最大面积为36平方米； （3）设米，矩形花圃面积为平方米， 则有， ∴， ∴， ∴当时，矩形花圃的最大值为70平方米． 4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而确定不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如选项A所示． 题型8由一元一次不等式组的解集求参数 1．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 2．已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解方程得到x关于a的表达式，再根据根的取值范围列出不等式，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解： 若时，方程化为，无解，故； 当时， ∵ 方程的根在和之间 ∴ ∴， ∵为正数， ∴ ∴ ． 3．已知不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 当时，解得；当时，（不符合题意）． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， 所以a的取值范围是． 4．对于任意实数a，b，定义关于@的运算是：． （1）若，则x的值可以是______（只要写出一个）． （2）若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了定义新运算，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数，是解题的关键． （1）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，即为，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出m的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 取． 故答案为：3． （2）∵， 由①，得， 解得， ∴， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故答案为：． 题型9不等式组和方程组结合的问题 1．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 2．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个， 故选：B． 3．已知关于的二元一次方程组，若，则___________；若该方程组的解满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由得：，再由，可求出a的值；由得：，再由该方程组的解满足，可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴； 由得：， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴． 故答案为：；． 4．如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先将两方程相加，整理得到根据解不等式即可． 【详解】解：由方程组， 得：， ， ， ， 解得：． 题型10不等式组的经济问题 1．某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是60元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的列出不等式组求出x的取值范围即可判断①；设该服装店销售这种服装可获得的利润为W元，根据总利润等于每件服装的利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质可判断②和③． 【详解】解：∵试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的， ∴， ∴， ∴销售单价可以是60元，故①结论正确； 设该服装店销售这种服装可获得的利润为W元， 则 ， ∵，且对称轴为直线 ∴当时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1050元，故②结论错误； 由②可知，当时，W随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，， ∴当成立时，有且只有一个x的值满足题意，故③结论错误； ∴正确的只有①， 故选：B． 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 3．江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同． (1)求A型、B型训练球每个各多少元？ (2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)60元，80元 (2)三种方案，购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低；最低为1380元 【分析】（1）设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意中的等量关系“用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同”建立分式方程即可解决问题； （2）设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意中的不等关系：“A型训练球不多于11个，且总费用不超过1430元”建立一元一次不等式组解决问题． 【详解】（1）解：设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意，得： ， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴元， 答：A型训练球每个60元，B型训练球每个80元； （2）解：设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可取：9，10，11， ∴共有三种方案： ①A型训练球9个，则购买B型训练球11个，费用：， ②A型训练球10个，则购买B型训练球10个，费用：， ③A型训练球11个，则购买B型训练球9个，费用：， ∴购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低，最低为1380元． 4．综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)3600元 (2)购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【分析】本题考查的是一次函数的应用． （1）设甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的解析式为，再利用待定系数法求解即可． （2）先求解，设售完后可获得利润为元，得到，再利用函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数， 设其解析式为（）， 将点，代入， 得， 解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则， 利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得， 解得， 设售完后可获得利润为元，则 ， 随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 题型11不等式组的分配问题 1．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 2．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 3．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 4．某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元 (2)购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元 【分析】（1）设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组求解即可； （2）设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人台，根据购买甲、乙两种型号的机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组求出a的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ， 解得：， 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元． （2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得 ， 解得：， 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ， ∵ ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最小，最小值 ， ， ∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元． 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 题型12不等式组的方案问题 1．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 2．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 3．为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． (1)求A，B两类物品的单价； (2)学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】(1)A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； (2)共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 【分析】（1）设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A类物品m本，则购买B类物品枚，根据题意建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； （2）解：设购买A类物品m本，则购买B类物品枚， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的值为15或16或17， 当时，， 当时，， 当时，， ∵1本A类物品的单价比一枚B类物品的单价低， ∴购买A类物品的数量越多，费用越低， 答：共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 4．五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品进行销售． 若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍． (1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元． 若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？ 【答案】(1)甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元 (2)商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个；方案②：购进甲商品95个，乙商品30个 【分析】（1）设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元，根据购进甲商品数量是乙商品数量的2倍列出分式方程，求出解，并检验可得答案； （2）设购进乙商品个，则购进甲商品个，再根据两个不等关系列出不等式组，求出解集得出整数解，并设计购买方案． 【详解】（1）解：设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元，根据题意，得 则， 解得， 经检验，是原方程的解， 乙商品进价： 答：甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元； （2）解：设购进乙商品个，则购进甲商品个 得， 解得，其中为正整数， ∴或30， 则或95， 答：商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个； 方案②：购进甲商品95个，乙商品30个． 题型13一元一次不等式组的其他应用 1．四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 2．深圳中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟列不等式组即可． 【详解】解：由题意得，． 3．某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理若小组中每人分配件工具，则剩余件；若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件这批工具共有______件 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设该小组共有名学生，则这批工具共有件，根据“若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设该小组共有名学生，则这批工具共有件， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ， （件）， 这批工具共有件． 故答案为：． 4．某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元 (2)最省钱的购进方案为购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元 【分析】（1）根据A、B单价的倍数关系设未知数，结合购买数量的差列分式方程，求解后检验即可得到单价； （2）先根据A种收纳箱数量的限制条件求出的取值范围，再根据优惠政策得到总费用关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应方案． 【详解】（1）解：设B种收纳箱的单价为元，则A种收纳箱的单价为元， 根据题意得 化简得 ，即 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意.， 则 答：A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元； （2）解：由题意得，购进A种收纳箱个，则购进B种收纳箱个， 根据题意得 解不等式①得：， 解不等式②得： ∵为正整数， ∴， ∵ ， ∴每个A种收纳箱售价为 元，B种收纳箱售价不变为40元， 总费用 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，最小， 此时 ， （元） 答：最省钱的购进方案是购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7一元一次不等式中考复习讲义 💧 考点分析 一元一次不等式是中考基础必考题，常考性质判断、解不等式、数轴表示解集、含参数范围、方案类应用题，分值5～8分，难度偏低，属于稳拿分题型。 核心考点：不等式3条性质、解法步骤、数轴解集、整数解、实际最值应用。 ☘ 题型归纳 题型1不等式定义及性质 题型2不等式解集 题型3求一元一次不等式的整数解 题型4求一元一次不等式解的最值 题型5在数轴上表示不等式的解集 题型6用一元一次不等式解决实际问题 题型7用一元一次不等式解决几何问题 题型8由一元一次不等式组的解集求参数 题型9不等式组和方程组结合的问题 题型10不等式组的经济问题 题型11不等式组的分配问题 题型12不等式组的方案问题 题型13一元一次不等式组的其他应用 ✍ 核心知识点梳理 知识点一、不等式、一元一次不等式基本概念 不等式：用＞、＜、≥、≤、≠表示不等关系的式子 不等式的解：单个符合条件的值 不等式解集：所有符合条件解的集合 一元一次不等式：1个未知数、次数为1、两边都是整式 知识点二、不等式三大性质 两边同时加减同一个数，不等号方向不变 两边同乘或同除以正数，不等号方向不变 两边同乘或同除以负数，不等号必须变号★ 知识点三、不等式解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示 知识点四、一元一一次不等式组的解集在数轴上表示 知识点五、一元一次不等式组 实际应用解题步骤 1.审题，找不等关系：读懂题意，找出题目中的关键词： 不足、至少、至多、不超过、不少于、低于、高于、大于、小于等，确定两个及以上不等关系。 2.设未知数：一般直接设问题所求量为 x，设完整单位，不设无关量。 3.列出不等式组：根据两组不等关系，分别列出一元一次不等式，组成不等式组。 4.解不等式组：①分别解每个不等式； ②借助数轴或口诀找公共解集； ③结合实际意义取舍：人数、物品数、车辆数等必须是正整数。 5.规范作答：写出符合题意的所有方案或最终答案，完整写清语句。 知识点六、高频题型解题技巧 性质判断题：只要出现负数乘除，立刻考虑变号；  解不等式：严格按步骤，最后一步重点检查符号；  数轴解集：分清空心、实心，方向不颠倒； 含参数不等式：先正常求解集，再对照范围反求参数； 方案最值：结果必须是正整数，舍去不符合实际的解. ♻ 核心考点精析 题型1不等式定义及性质 1．以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 4．下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得………………第一步 移项，得……………………第二步 合并同类项，得…………………………第三步 化系数为1，得………………………………第四步 (1)去分母的依据是__________； (2)解答过程中，第__________步出现错误，错误原因是__________； (3)请写出不等式的正确解答结果__________． (4)请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 题型2不等式解集 1．如图，某农家计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形园子，设长为，则下列数据不符合题意的是（   ） A． B． C． D． 2．若是不等式的一个解，则n的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．代数式有意义的条件是______． 4．如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式的解，那么称一元一次不等式为该一元一次不等式组的“母不等式”．例如：不等式组的解集为，不等式的解集为，可以发现在的范围内，则称不等式为不等式组的“母不等式”．特别的，不等式也是不等式的“母不等式”． (1)解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． 解不等式①，得______， 解不等式②，得____________； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为______ (2)在下列不等式①，②，③，④中，是（1）中不等式组的“母不等式”的是______；（填序号） (3)若关于的不等式是（1）中不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______； (4)如果不等式是不等式组的“母不等式”，不等式不是不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______． 题型3求一元一次不等式的整数解 1．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 2．不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 3．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 4．已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的范围中，当为何整数时，不等式的解集为． 题型4求一元一次不等式解的最值 1．已知非负实数，，满足，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．满足的所有实数对，使取最小值，此最小值为_____． 4．计算 (1)求不等式的最大整数解； (2)已知关于x的不等式只有3个负整数解，求m的取值范围． 题型5在数轴上表示不等式的解集 1．如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．已知关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为__________． 3．计算 (1)解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． (2)解不等式组：并求出它的整数解． 4．合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 题型6用一元一次不等式解决实际问题 1．某次知识竞赛共有题，答对一题得分，答错或不答扣分，小华得分要超过分，他至少要答对的题的个数为（  ） A． B． C． D． 2．某品牌手机进价为每部800元，标价为每部1200元，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最低可打_______折． 3．甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 4．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 题型7用一元一次不等式解决几何问题 1．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 2．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____． 3．如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直． (1)若矩形花圃面积为32平方米，求长； (2)求能围成的矩形花圃的最大面积； (3)因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积． 4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型8由一元一次不等式组的解集求参数 1．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 3．已知不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 4．对于任意实数a，b，定义关于@的运算是：． （1）若，则x的值可以是______（只要写出一个）． （2）若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 题型9不等式组和方程组结合的问题 1．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知关于的二元一次方程组，若，则___________；若该方程组的解满足，则的取值范围是___________． 4．如果方程组：的解满足，求的取值范围． 题型10不等式组的经济问题 1．某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是60元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 3．江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同． (1)求A型、B型训练球每个各多少元？ (2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用． 4．综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 题型11不等式组的分配问题 1．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 2．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 3．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 4．某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 题型12不等式组的方案问题 1．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 3．为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． (1)求A，B两类物品的单价； (2)学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 4．五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品进行销售． 若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍． (1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元． 若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？ 题型13一元一次不等式组的其他应用 1．四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 2．深圳中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理若小组中每人分配件工具，则剩余件；若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件这批工具共有______件 4．某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $