专题08 几何最值与动态探究（复习讲义）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 几何最值与动态探究 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 几何最值与动态探究（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 最短路径模型 题型二 垂线段最短与定点到直线最值 题型三 圆上动点最值 题型四 折叠中的最值与轨迹 题型五 旋转中的最值 题型六 胡不归模型 题型七 阿氏圆模型 题型八 几何图形面积最值 题型九 动态存在性问题 题型十 轨迹型动态探究 命题预测 命题透视 1．从命题形式上看，呈现出 “新材料、新情境、新问题” 的特点，载体形式多以生活场景、几何图形、实际应用问题为主，凸显对直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养的考查，渗透应用意识与创新思维，培养几何审美与问题解决能力。 2．从命题内容上看，** 基础最值模型（将军饮马、垂线段最短、定点到圆）、折叠与旋转中的最值、动态轨迹与隐圆最值、特殊图形存在性探究、高阶线段和最值（胡不归 / 阿氏圆）** 是历年中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 基础最值模型 T26（湖南省卷·点到直线距离） T25（长沙市卷·将军饮马） T25（湖南省卷·垂线段最值） T26（长沙市卷·两点间最短） 折叠与旋转最值 T25（湖南省卷·折叠最值） T26（湖南省卷·旋转最值） T24（长沙市卷·旋转最值） T25（湖南省卷·折叠最值） 动态轨迹与隐圆 T24（长沙市卷·隐圆轨迹） T25（湖南省卷·动点轨迹） T24（长沙市卷·隐圆应用） T25（长沙市卷·动点轨迹） 特殊图形存在性 T26（湖南省卷·特殊三角形） T25（长沙市卷·特殊四边形） T25（湖南省卷·平行四边形） T26（长沙市卷·直角三角形） 高阶线段和最值 T24（长沙市卷·阿氏圆模型） T25（湖南省卷·胡不归模型） T25（长沙市卷·阿氏圆） T24（湖南省卷·胡不归） 命题预测 1）形式上：将继续以生活场景、传统文化或科技应用为情境，侧重考查直观想象与数学建模素养，选择 / 填空题聚焦基础最值模型，解答题以动态探究与存在性问题为主。 2）内容上：核心考点仍围绕将军饮马、折叠旋转、隐圆轨迹、特殊图形存在性及胡不归 / 阿氏圆展开，会更强调分类讨论与转化思想。 3）趋势上：设问将更具开放性，注重 “从实际问题抽象为几何模型” 的能力考查，同时会加强与函数、相似、圆等知识的综合，突出思维链的完整性。 考点一 几何最值与动态探究 题型一 最短路径模型 1.（2021·湖南永州·中考真题）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是_________．    【答案】 【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值． 【详解】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．      由可得直线OA的表达式为，由⊥OA，可设直线的解析式为 ，然后把点P代入得：，解得：， 直线的解析式为 ， 联立直线OA和的解析式可求的中点坐标，即： ， 解得：， 设点由中点坐标公式可得：， ， 由两点距离公式可得： ． 即周长的最小值． 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题及一次函数，解题关键在于找出两个对称点，利用方程求出点的坐标． 2．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， 菱形的边长为2，， 中， PQ+QC的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键． 题型二 垂线段最短与定点到直线最值 3．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）    A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解． 【详解】∵CG∥AB， ∴∠B＝∠MCG， ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， 在△BMH和△CMG中， ， ∴△BMH≌△CMG（ASA）， ∴HM＝GM，BH＝CG， ∵AB＝6，AC＝8， ∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH， ∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值， ∵∠A＝90°，MH⊥AB， ∴GH∥AC， ∴四边形ACGH为矩形， ∴GH＝8， ∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键． 题型三 圆上动点最值 4（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段DE的长． 【答案】(1)见解析 (2)①5；②或 【分析】（1）证明出即可求解； （2）①连接AM．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作交FC于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作交BC于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得．设，则，即有，解得解方程即可求出DE． 【详解】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：如图2-1，连接AM． ∵， ∴是直角二角形． ∴． ∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上． 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：， 当A，G，M三点共线时，． 此时，取最小值．在中，． ∴的最小值为5． ②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作交FC于点N， ∴． ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， 由①知的最小值为5、即， 又∵， ∴． ∴，解得，即． （求AF的方法二） 如图2-3，过点G作交BC于点H． ∴． ∴， 由①知的最小值为5，即， 又∵， ∴． ∴，． 由得， ∴，即， 解得． ∴． 由（1）的结论可得． 设，则， ∴， 解得或． ∵，， ∴或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 题型四 折叠中的最值与轨迹 5．（2023·湖南·中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为__________．    【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， 如图所示，当点在上时，    ∵ ∴在为圆心，为半径的弧上运动， 当三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    此时 当在上时，如图所示，此时    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型五 旋转中的最值 6.（2023·湖南·中考真题）（1）[问题探究] 如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．    ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究与的数量关系，并说明理由． （2）[迁移探究] 如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）①见解析；②不变化，，理由见解析；③，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论； ②作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明， 得出，进而可得结论； ③作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论； （2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②的大小不发生变化，； 证明：作，垂足分别为点M、N，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ③； 证明：作交于点E，作于点F，如图，        ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 作于点M， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； 证明：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 作交于点E，交于点G，如图， 则四边形是平行四边形，，， ∴，都是等边三角形， ∴，      作于点M，则， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． 题型六 胡不归模型（直线型带系数） 7．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________．    【答案】6 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型七 阿氏圆模型 8.（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 9.（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交于点，求的最大值； (3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式． （2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值． （3）根据正方形的性质和可求出，再利用相似和可推出，设，即可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出的值即可求出点横坐标． 【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为， ，，， ， ， 抛物线的解析式为：． 故答案为：． （2）解：过点作轴于点，如图所示，     抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点， ， ， 设直线的解析式为：，则， ， 直线的解析式为：． 在直线上，， 在直线上，的解析式为：， ， ．   ， ． ， ． ，， 当时， 有最大值，且最大值为： ． 故答案为：． （3）解:∵＋， ， ， ， ， ， ， 设，， ， 抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点， ． 设直线的解析式为：，则， ， 直线的解析式为：．   ，在直线上， ， ， ， ， （十字相乘法）， 由，得：， ， ， ，即， 解得：，， ， ， 点横坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合． 题型八 几何图形面积最值 10.（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，    由，令， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，的最大值为 ∵ ∴当取得最大值时，面积取得最大值 ∴面积的最大值为， 此时， ∴ （3）解：设、，的中点坐标为， 联立，消去，整理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为，则， ∵、， ∴， ∴ ∴， ∴    ∴， ∴点总在上，为直径，且与相切， ∴为直角． ∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11.（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为； （3）由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 题型九 动态存在性问题 12.（2022·湖南益阳·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．    (1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形； (2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长； (3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？ 【答案】(1)答案不唯一，如△AFB∽△BCE (2)CE＝7.5 (3)当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形 【分析】（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和△AFB相似，解答时任意写出一个即可； （2）根据△AFB∽△BGC，得，即，设AF＝5x，BG＝3x，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长； （3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论． 【详解】（1）解：（任意回答一个即可）； ①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：    ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°， ∴∠BEC＝∠ABF， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB＝90°， ∴∠AFB＝∠BCE＝90°， ∴△AFB∽△BCE； ②△AFB∽△CGE，理由如下： ∵CG⊥BE， ∴∠CGE＝90°， ∴∠CGE＝∠AFB， ∵∠CEG＝∠ABF， ∴△AFB∽△CGE； ③△AFB∽△BGC，理由如下： ∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°， ∴∠ABF＝∠BCG， ∵∠AFB＝∠CGB＝90°， ∴△AFB∽△BGC； （2）∵四边形AFCC'是平行四边形， ∴AF＝CC'， 由（1）知：△AFB∽△BGC， ∴ ，即， 设AF＝5x，BG＝3x， ∴CC'＝AF＝5x， ∵CG＝C'G， ∴CG＝C'G＝2.5x， ∵△AFB∽△BCE∽△BGC， ∴ ，即， ∴CE＝7.5； （3）分两种情况： ①当C'F＝BC'时，如图2，    ∵C'G⊥BE， ∴BG＝GF， ∵CG＝C'G， ∴四边形BCFC'是菱形， ∴CF＝CB＝9， 由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x， ∴BF＝6x， ∵△AFB∽△BCE， ∴ ，即， ∴， ∴CE＝； ②当C'F＝BF时，如图3，    由（1）知：△AFB∽△BGC， ∴ ， 设BF＝5a，CG＝3a， ∴C'F＝5a， ∵CG＝C'G，BE⊥CC'， ∴CF＝C'F＝5a， ∴FG＝＝4a， ∵tan∠CBE＝， ∴， ∴CE＝3； 综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 13.（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，和的顶点重合，，，，． (1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______； (2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值． 【答案】(1) ，垂直 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）解直角三角形求出，，可得结论； （2）结论不变，证明，推出，，可得结论； （3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点求出，，可得结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴，此时， 故答案为：，垂直； （2）结论成立． 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，， 当时，四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 14.（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，求的值； (2)当为何值时，与全等； (3)求与的函数关系式； (4)以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）画出图形，根据30°直角三角形求解即可； （2）根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论； （3）利用面积公式计算即可，需要根据M在B点左边和右边分类讨论； （4）先确定E点的运动轨迹是一条直线，再根据求点运动路径的长． 【详解】（1）与重合时， ∵， ∴， ∴. （2）①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. ②当， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴或. （3）①当时， ， ∴， ∴. ②当时， ∵，， ∴， ∴， ∴. （4）连接. ∵为正三角形， ∴， 在Rt△APE中，， ∴为定值. ∴的运动轨迹为直线， ， 当时， 当时， ∴的运动路径长为. 【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，30°直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力． 15.（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．    (1)请求出抛物线的表达式． (2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或 【分析】（1）把代入，求出即可； （2）假设存在这样的正方形，过点E作于点R，过点F作轴于点I，证明可得故可得，； （3）先求得抛物线的解析式为，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点，交轴于点， ∴把代入，得， 解得， ∴解析式为：； （2）假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，    ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 同理可证明： ∴ ∴ ∴； （3）解：抛物线上存在点，使得． ， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点， ，， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接， 则，，，    ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 即点与点重合时，， ； ，， ， ， 点与点关于直线对称， ； 综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． 题型十 几何动态探究 16.（2021·湖南湘潭·中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”． 如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点． （1）特例感知：在图①中，若，求的长； （2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形： ①作两条相互垂直的直径、； ②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q； ③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接； 则五边形为正五边形． 在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由． （3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系． 延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值． 【答案】（1）61.8；（2）是，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据黄金分割的定义求解即可； （2）设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，利用勾股定理求出PA，继而求出OQ，MQ，即可作出判断； （3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA=∠PAE=，根据已知条件可知cos72°=，再根据点E是线段PD的黄金分割点，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 解得：AC≈61.8； （2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下： 设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a， ∴OP=， ∴， ∴OQ=PQ-OP=， ∴MQ=OM-OQ=， ， ∴Q是线段OM的黄金分割点； （3）正五边形的每个内角为：， ∴∠PEA=∠PAE=， ∴cos72°=， ∵点E是线段PD的黄金分割点， ∴， 又∵AE=ED， ∴， ∴cos72°=． 【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是读懂题意正确解题． 17.（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在中，，，．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）． (1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据： 变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0 在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2． 根据探究的结果，解答下列问题： ①当时，________；当时，________． ②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来． ③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”） A．变量h是以a为自变量的函数     B．变量a是以h为自变量的函数 (2)如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为s． ①分别求出当和时，s关于a的函数表达式； ②当时，求a的值． 【答案】(1)①1.5；1或3；②见解析；③A (2)①当时，；当时，；②或 【分析】（1）①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断； （2） ①如图，当时，，得到阴影部分是三角形ADE的面积:；当时，，得到阴影部分的面积是三角形BDE的面积：．②当时，令，解得a；当时，令，解得a即可求解； 【详解】（1）解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当时，1.5；当时，1或3． 故答案为：1.5；1或3； ②连线如图2-1、图2-2所示： ③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，故A选项符合， 故选：A. （2）①如图3，当时，， ∴阴影部分的面积：； 当时，， ∴阴影部分的面积：． ∴当时，；当时，． ②当时，令，解得或（不符合题意，舍去）． 当时，令，解得或（不符合题意，含去）． ∴当时，或． 【点睛】本题考查了函数图像，写函数关系式，理解函数的定义以及表示方法，会根据三角形的面积公式得出函数关系式是解题的关键． 18.（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，． （1）如图①，若，证明：． （2）如图②，若，，求的值． （3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的值为或． 【分析】（1）先根据平行线的判定与性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据菱形的判定与性质即可得证； （2）设与的交点为点，过点作于点，设，从而可得，先证出，从而可得，设，根据线段的和差可得，代入可求出，从而可得，再在中，解直角三角形可得，由此可得，然后在中，根据余弦三角函数的定义即可得； （3）如图（见解析），设，从而可得，分①点在直线的左侧；②点在直线的右侧两种情况，再分别利用等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：，， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， ； （2）如图，设与的交点为点，过点作于点， ， 是等腰三角形，， 设，则， ， ， 由折叠的性质得：， 在和中，， ， ， 设，则， ， 解得， ， 在中，， ， 则； （3）， ， 设，则， 由折叠的性质得：， ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在直线的左侧时，过点作于点， （等腰三角形的三线合一）， ， 在中，， ， 又， ， ， ， 是等边三角形， ， ； ②如图，当点在直线的右侧时，过点作于点， 同理可得：， ， 点在上， 由折叠的性质得：， 在中，， ， ， 综上，存在点，使得，此时的值为或． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 19.（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点． （1）如图1，若，则线段与的数量关系是________，________； （2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； （3）如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）；；（2）①正方形，理由见解析；②见解析；（3） 【分析】（1）根据“斜中半”定理可得，然后根据旋转的性质可得，从而得出，再结合题意推出，从而根据正切函数的定义求出即可； （2）①通过证明，并综合条件，推出四边形是正方形；②首先根据推出，然后证明得到，即可得出结论； （3）根据题意可首先证明四边形是菱形，然后证明出，即可推出结论，再作，通过解直角三角形，求出的长度，从而得出结论． 【详解】（1）∵点为中斜边的中点， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：；； （2）①正方形，理由如下： ∵，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形； ②显然，在正方形中，， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得：则为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ∴， ∴， ∴； （3）同（2）中①理，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∵为等边三角形， ∴，菱形的边长也为2， 由题意，，， ∵， ∴， 即：， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴， 如图，作， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，特殊平行四边形的判定与性质，以及锐角三角函数等，综合性较强，掌握基本图形的性质，灵活运用相似三角形以及锐角三角函数是解题关键． 20.（2023·湖南娄底·中考真题）如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【答案】(1)见解析； (2)①直线是的切线；②见解析． 【分析】（1）如图1，延长交于点，连接，由是等边三角形，是重心，点为边的中点，得⟂，，进而证明四边形是平行四边形，于是即可得四边形为菱形； （2）①延长交于点，连接，先证为的角平分线，进而求得，又由菱形的性质得，从而有，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧上取一点，连接、，由①得，进而求得，再由圆内接四边形的性质求得，从而根据角的和差关系求得，于是证明得，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，    ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，， ∴⟂，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵⟂， ∴四边形为菱形； （2）①解：直线是的切线，理由如下：延长交于点，连接，      ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，，， ∴为的角平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； ②证明：在优弧上取一点，连接、，    由①得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，即为定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键． 1．（2026·湖南邵阳·模拟）如图，在中，直线垂直平分，点是直线上的一个动点，若，则周长的最小值为（    ） A．24 B．12 C．20 D．36 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，轴对称的最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 根据题意得到周长的最小值是，直接求解即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 直线垂直平分， ， ， ， 周长的最小值． 故选：C． 2．（2026·湖南·模拟）如图，在等边中，平分分别为上的一点，且，若当时，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点作，使，连接，证明，当点三点共线时，取最小值，可证是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴，， 如图所示，过点作，使，连接， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理；找出取得最值的条件是解题的关键；连接，，由三角形中位线定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与重合时，取得最大值，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， 点分别为的中点， ， 当取得最大值时，取得最大值， 当与重合时，取得最大值， 此时 ， 取得最大值为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，在等边中，，点在边上，且，是边上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①连接，判断的形状是_____________； ②当点在边上运动时，连接，则线段长度的最小值是__________． 【答案】 等边三角形 【分析】解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质． ①根据等边三角形的判定方法进行解答即可； ②当点运动到使得时，延长交于点，根据等边三角形性质和判定推出，再结合垂线段最短可知，此时线段长度的最小，最后利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：①根据旋转的性质可知，，， 的形状是等边三角形； ②当点运动到使得时，延长交于点， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 根据垂线段最短可知，此时线段长度的最小， 且线段长度的最小值为． 5．（2026·湖南邵阳·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，点为边的中点，点，分别为边上的动点，且，则的面积的最大值为__________． 【答案】2 【分析】连接，证明，当时，求得的最小值，据此即可求得的面积的最大值． 【详解】解：如图，连接， ∵为等腰直角三角形，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，，即：， 在与中，， ∴， ∴． 即：． ∵， ∴当时，的最小值， 故：的最大值． 6．（2026·湖南长沙·模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．点，分别是，边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】4.8 【分析】如图，连接，过点D作于点H，交于，根据菱形的性质得垂直平分，则，，当N与H重合，M与重合时，最小值为，由勾股定理求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点H，交于， ∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当N与H重合，M与重合时，最小值为， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为4.8． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，点为边上的中点，连接；点从点出发，以每秒2个单位长度向点运动，同时点从点出发，以同样的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为． (1)求的大小； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)在点的运动过程中，的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间的值；若不存在最小值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂线段最短； （1）根据等腰三角形的性质可得平分，即可得出结论； （2）先根据等腰三角形的性质求得，再根据①当时，②当时，分类讨论即可求解； （3）证明得出进而证明是等腰直角三角形，根据可得，当有最小值时，的面积是否存在最小值，进而根据，有最小值时，的面积有最小值．求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 是等腰三角形 又点为边上的中点 平分 （2）解：由题意可知： 点为边上的中点，， ①当时，则， 解得：； ②当时，则， ，， ，， ， 点为的中点， ， 当是以为腰的等腰三角形时，或 （3）由题意可知：，， ，， ， 由（1）可知：， 在和中， ， ， 是等腰三角形 ，点为边上的中点 ， 是等腰直角三角形 当有最小值时，的面积是否存在最小值 是等腰三角形 当为的中点时，，有最小值时，的面积有最小值． ，； 当时，的面积有最小值：． 8．2025·湖南益阳·模拟）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 9．（2026·湖南永州·一模）如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求得m即可； （2）由（1）知直线 的解析式为，可设点，且点，则求解即可； （3）结合已知可得，则D点纵坐标为，进一步得出点D的坐标，再求出点A的坐标，然后求出的解析式，然后联立的解析式和抛物线解析式即可求出点P的坐标． （4）在x轴取点P，使，连接，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）知直线 的解析式为， ∵P是直线下方抛物线上一点 ∴设点， ∵过点P作平行于y轴交于N， ∴点， 那么， 则最大值为； （3）解：∵点， ∴， ∵， ∴，解得， 则D点纵坐标为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则点， ∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴，解得，， ∴点， 设的解解析式为：， 则， 解得： 则的解解析式为：， 联立， 解得：或， 则． （4）解：在x轴取点P，使，连接，如图， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（2026·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； (3)已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或 (3) 【分析】（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①当时，，求得，由（1）可知，顶点C的坐标为，根据抛物线的对称性和等腰直角三角形的性质可求出边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； ②当时，根据题意，画出图形，．根据为等边三角形，可得，即可求解；当时，同理求解即可； （3）将平移后抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为4列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 由（1）可知，顶点C的坐标为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 设对称轴与x轴的交点为D， 则， ∴的面积为； ②当时，依照题意，画出图形，如图所示． ∵， ∴． ∵为等边三角形，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴， ∴； 当时，同理可求， 综上，a的值为或； （3）解：∵抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， ∵的最大值与最小值之差为4， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，点E在上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的值； (3)F是上的一点，与互补，若，，求线段长度的最大值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）利用及同弧所对圆周角相等，将转化为，进而证明； （2）由两角对应相等证明，利用相似比和等腰求解； （3） 利用对称构造点，证明，建立与的等量关系，结合二次函数性质求最值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴令，则， ∴作于，则， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴平分， ∴作点关于直线的对称点，连，则落在射线上，且， ∵，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 又∵，， ∴， ∴， ∴在时，随增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴． 12．（2026·湖南永州·二模）如图，抛物线（）经过点，，与轴交于点，是第四象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，过点作直线交抛物线于另一点．过点作平行于轴的直线交轴于点，过点作平行于轴的直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)设点的横坐标为，点的横坐标为． ①当时，求出此时点的坐标； ②连接，在点的运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出取最大值时，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①点的坐标为；②存在，， 【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线的一般式，通过解二元一次方程组求出系数、，从而确定表达式； （2）先利用平行线和垂直关系，证明与两角对应相等，判定它们相似，再根据相似三角形的对应边成比例，交叉相乘得到结论； （3）①先求出点的坐标和直线的解析式，再通过分析为等腰直角三角形，得到也是等腰直角三角形，最后列方程求解点的横坐标；②用参数表示点、直线上的点，再结合（2）中的相似关系，推导出与的关系，写出面积关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的顶点性质求最大值及对应的、． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 将、两点坐标分别代入中， 可得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）证明：轴， 轴，， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ． （3）①解：点的横坐标，轴于点， ，将代入中， 得， 点的坐标为，即， 设直线的表达式为（）， 将点，分别代入， 可得， 解得， 直线的表达式为， 则点的坐标为，即， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）可知，， ， ， 点的横坐标为， ，， ，解得（舍去），， 点的坐标为； ②解：存在，理由如下： 由题意可知，点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 将代入， 可得， 即， 解得， 则直线的解析式为， 当， ， 点的坐标为， ， 由（2）可知，， ， ，， ，化简得 ， ， ， ， ， ， 当时，，此时取得最大值， 故存在最大值，此时，． 13．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 14．（2025·湖南郴州·模拟）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【答案】(1)； (2)①或；②； (3) 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解． （1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离． （2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值； ②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积． （3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； （2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； （3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为． 15．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接， 可得，由圆周角定理得，可得，再等量代换证明即可； （2）先证明，则，求出，，那么，再由求解即可； （3）过点E作于点G，当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距离最大，点F是的中点，可得是等腰直角三角形，再由圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，则，而，则由勾股定理得，即再由求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点G，则， 当四边形面积最大时，面积最大，此时点F到的距离最大，即点F是的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）． 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 18．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            【答案】（）详见解析；（）；（） 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）证明：连接，    由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，    当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点，    ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 20．（2025·湖南常德·模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． (1)求点B、点C的坐标； (2)的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； (3)在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点A的坐标为 (3)存在，符合条件的t值为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定、轴对称的性质，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，，根据即可证明； （3）分2种情况讨论：①点N在上；②点N在轴负半轴上，利用轴对称的性质列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点N在上时，， ∴， ∵关于x轴对称， ∴， ， 解得； ②当点N在轴负半轴上时，， ∵关于y轴对称， ∴， ， 解得； ∴综上所述，存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形，符合条件的t值为或． 21．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下面是八年级教科书中的一道题． 如图1，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） (1)如图1，通过添加辅助线，易知，进一步可证明________（请写出图中一组全等三角形），由这一组三角形全等可知． (2)如图2，若点是边上任意一点（不与，重合），其他条件不变．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作于点．设，当四边形是平行四边形时，求的值； (4)如图4，点是边长为1的正方形的边上的一点，在外角平分线上取点使得，连接，，其中的最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据是边的中点，可得答案； （2）取，连接，说明是等腰直角三角形，再证明，可得答案； （3）设，，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示的长，利用平行四边形的判定得只要，即可解决问题； （4）延长至点，使，可得，即，根据三角形三边关系可知，当，，三点共线时，值最小，则即为所求． 【详解】（1）解：作的中点，连接， 四边形是正方形，是边的中点， ， ， ， ， ， 是正方形外角的平分线， , , ， ， , , ． （2）证明：如图1，在边上取一点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是正方形外角的平分线， , ， ， ， ， ， ， ∴． （3）由（2）知，， ， 设，则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得． （4）如图3，延长至点，使， 是正方形外角的平分线， , ， ， ， ， ， 过点作垂直于交延长线于点， ，， ， ， ． 22．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)等腰直角三角形，见解析； (3)①；②． 【分析】（1）①根据正方形的判定和性质进行解答即可；②根据的代数式之间的关系进行解答即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形是判定与性质证明，，即可得到结论； （3）①根据含角的直角三角形的性质进行解答即可；②根据四边形是平行四边形，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，菱形和菱形的边长分别为， ∴四边形是正方形， ∴， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ （2）是等腰直角三角形， 理由：延长交于点， 四边形和是菱形，， 图2四边形和是正方形， ， ， 在和中， 又， ， 又， ， 是等腰直角三角形； （3）①同（2）可证，， ， 图3 ②四边形是菱形， 是等边三角形， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08 几何最值与动态探究 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 几何最值与动态探究(Cml并单击鼠标可跟踪链接) 题型一最短路径模型 题型二垂线段最短与定点到直线最值 题型三圆上动点最值 题型四折叠中的最值与轨迹 题型五旋转中的最值 真题动向 题型六胡不归模型 题型七阿氏圆模型 题型八几何图形面积最值 题型九动态存在性问题 题型十轨迹型动态探究 命题预测 01 析考情目标 1.从命题形式上看，呈现出“新材料、新情境、新问题”的特点，载体形式多以生活场景、几何图 形、实际应用问题为主，凸显对直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养的考查，渗透应用意识与 命题 创新思维，培养几何审美与问题解决能力。 透视 2.从命题内容上看，*基础最值模型（将军饮马、垂线段最短、定点到圆）、折叠与旋转中的最值、 动态轨迹与隐圆最值、特殊图形存在性探究、高阶线段和最值（胡不归/阿氏圆）*是历年中考命 题的核心区域。 考点 2025年 2024年 热考 T26(湖南省卷点到直线距离) T25(湖南省卷垂线段最值) 基础最值模型 T25(长沙市卷将军饮马) T26(长沙市卷两点间最短) 角度 T25(湖南省卷折叠最值) T24(长沙市卷旋转最值) 折叠与旋转最值 T26(湖南省卷旋转最值) T25(湖南省卷折叠最值) 1/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T24(长沙市卷隐圆轨迹) T24(长沙市卷隐圆应用) 动态轨迹与隐圆 T25(湖南省卷动点轨迹) T25(长沙市卷动点轨迹) T26(湖南省卷特殊三角形) T25(湖南省卷平行四边形) 特殊图形存在性 T25(长沙市卷特殊四边形) T26(长沙市卷直角三角形) T24(长沙市卷阿氏圆模型) T25(长沙市卷阿氏圆) 高阶线段和最值 T25(湖南省卷胡不归模型) T24(湖南省卷胡不归) 1)形式上：将继续以生活场景、传统文化或科技应用为情境，侧重考查直观想象与数学建模素养， 选择/填空题聚焦基础最值模型，解答题以动态探究与存在性问题为主。 命题 2)内容上：核心考点仍围绕将军饮马、折叠旋转、隐圆轨迹、特殊图形存在性及胡不归/阿氏圆展 预测 开，会更强调分类讨论与转化思想。 3)趋势上：设问将更具开放性，注重“从实际问题抽象为几何模型”的能力考查，同时会加强与函 数、相似、圆等知识的综合，突出思维链的完整性。 02 筑·专题框架 )动点轨迹为直线：求距离最值 )两定一动 2)动点轨迹为圆弧：求最值、定值 轨迹型动态探究 最短路径模型 2)两动一定 3)造桥选址 )等腰三角形存在性 4)其他类型 2)直角三角形存在性 动态存在性问题 N 垂线段最短与定点到直线最值 )动点在直线上， 求线段最短 3)平行四边形、矩形、菱形存在性 4)相似三角形存在性 2)点到直线距离、高、面积关联最值 最 )三角形、四边形面积最大/最小 )圆外一点到圆上最值 圆上动点最值 2)直径最长弦、圆中弦长最值 2)动点、动线、动形下的面积定值 几何图形面积最值 3)面积与函数、不等式结合最值 动 3)定角对定边、定点定长：隐圆 判断与最值 阿氏圆模型 探究 折叠中的最值与轨迹 1)折叠后对应点轨迹（圆弧/直线） 胡不归模型 ■2)折叠产生的线段、角度、面积最值 )利用旋转构造三角形三边关系求最值 旋转中的最值 2)旋转轨迹（圆肌）上的点到定点最值 03 攻·重难考点 考点 几何最值与动态探究 题 动 向 。。● ◆题型一最短路径模型 1.(2021湖南永州中考真题)∠A0B在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠A0B=60°， 在∠AOB内有一点P(4,3,M,N分别是0A,0B边上的动点，连接PM,PN,MN,则 △PMN周长的最小值是 2/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M O B主 2.(2022湖南娄底中考真题)菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC 、 BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 A B P >题型二垂线段最短与定点到直线最值 3.(2022湖南湘西.中考真题)如图，在Rt△4BC中，∠A=90°，M为BC的中点，H为 AB上一点，过点C作CGIAB,交HM的延长线于点G,若AC=8,AB=6,则四边形ACGH 周长的最小值是() M B A.24 B.22 C.20 D.18 题型三圆上动点最值 4(2022湖南郴州中考真题)如图1，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6.点E是线段AD 上的动点（点E不与点A,D重合），连接CE,过点E作EF⊥CE,交AB于点F. E D E D A M 图1 图2 (1)求证：△AEF∽△DCE; 3/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，连接C℉，过点B作BG⊥CF,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点， 连接GM, ①求AG+GM的最小值； ②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长. ◆题型四折叠中的最值与轨迹 5.(2023湖南.中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=√7，动点P在矩形的边 上沿B→C→D→A运动.当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB'P, 连接CB,则在点P的运动过程中，线段CB的最小值为 B B ◆题型五旋转中的最值 6.(2023湖南.中考真题)(1)[问题探究] 如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.在线段A0上任取一点P(端点 除外)，连接PD、PB. D C 4 图1 ①求证：PD=PB; ②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO 上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由。 (2)[迁移探究] 如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD,且∠ABC=60°，其他条件不变.试探究AQ与 CP的数量关系，并说明理由. 4/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 题型六胡不归模型（直线型带系数） 7.(2023湖南湘西.中考真题)如图，⊙0是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点 B作BE⊥AC于点E,点P为线段BE上一动点（点P不与B,E重合），则CP+BP的最 小值为 E ◆题型七阿氏圆模型 8.(2024湖南中考真题)已知二次函数y=-x2+c的图像经过点A-2,5),点P(xy), Q(x2,y2)是此二次函数的图像上的两个动点. M O B 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过点P作 PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接AC,DQ,P.若x=x+3,求证 △De的值为定值： (3)如图2，点P在第二象限，x2=-2x1,若点M在直线P9上，且横坐标为x-1,过点M 作MN⊥x轴于点N,求线段MW长度的最大值. 5/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2023湖南永州中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)经过点 F0.5,顶点坐标为2,9，点Px,为撇物线上的点，PH上x轴于瓜，且x2务 B ⊙ 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： 2如图1，直线OP:y=兰x交F于点G,求的最大值； S△BOG (3)如图2，四边形0BMF为正方形，PA交y轴于点E,BC交FM的延长线于C,且 BC⊥BE,PH=FC,求点P的横坐标. ◆题型八几何图形面积最值 10.(2023湖南怀化.中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-8与 x轴交于A(-4,0以B(2,0)两点，与y轴交于点C. 6/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 图一 备用图 (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC,连接PA、PC,求△PAC面积的最大值及 此时点P的坐标； 3)设直线：y=x+k-35 交抛物线于点M、N,求证：无论k为何值，平行于x轴的直线 4 6:y=-37 4 上总存在一点E,使得LMEN为直角。 11.（2023·湖南张家界.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2,0)和点B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点D 为线段BC上的一动点. y个 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，求△A0D周长的最小值： (3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与 △PBD的面积和为S,当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值。 ◆题型九动态存在性问题 12.(2022湖南益阳.中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=15,BC=9,E是CD边上一点 (不与点C重合)，作AFLBE于F,CG⊥BE于G,延长CG至点C,使CG=CG,连接 7/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF,AC'. 备用图1 备用图2 (1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形： (2)若四边形AFCC是平行四边形，求CE的长； (3)当CE的长为多少时，以C',F,B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形？ 13.(2022湖南岳阳.中考真题)如图，ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90° ,∠BAC=∠BDE=30°，BC=3,BE=2. A A A D D F B E C B E 图1 图2 图3 1特例发现：如图1，当点D,E分别在AB,BC上时，可以得出结论： CE =，直 线AD与直线CE的位置关系是 (2)探究证明：如图2，将图1中的。DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上， 连接EC,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展运用：如图3，将图1中的aDBE绕点B顺时针旋转α(19°<a<60),连接AD、EC, 它们的延长线交于点F,当DF=BE时，求tan(60°-a的值. 14.(2022湖南衡阳中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°，点P从点 A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ1AB于点Q, 作PM⊥AD交直线AB于点M,交直线BC于点F,设△POM与菱形ABCD重叠部分图形 的面积为S(平方单位)，点P运动时间为t(秒)· 8/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (1)当点M与点B重合时，求t的值： (2)当t为何值时，△APQ与△BMF全等： (3)求s与t的函数关系式； (4)以线段P9为边，在PQ右侧作等边三角形PQE,当2≤t≤4时，求点E运动路径的长. 15.(2023湖南岳阳.中考真题)己知抛物线Q,:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0),B两点， 交y轴于点C(0,3)· y个 A B A B A H D 图1 图2 备用图 (1)请求出抛物线g的表达式。 (2)如图1，在y轴上有一点D(0,-1),点E在抛物线9上，点F为坐标平面内一点，是否存 在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理 由 (3)如图2，将抛物线9向右平移2个单位，得到抛物线2，抛物线2的顶点为K,与x轴 正半轴交于点H,抛物线g上是否存在点P,使得∠CPK=∠CHK?若存在，请求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由。 ◆题型十几何动态探究 16.（2021湖南湘潭.中考真题)德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一 个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割 比作钻石矿” 如图O,点C把线段B分成两部分，如果C8-5-10.618,那么称点C为线段AB的 AC 2 9/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 黄金分割点. B E D 图① 图② 图③ (1)特例感知：在图①中，若AB=100,求AC的长： (2)知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形： ①作两条相互垂直的直径MN、A: ②作ON的中点P,以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q; ③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ,连 接AE; 则五边形ABCDE为正五边形 在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由. (3)拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形， 与黄金分割有着密切的联系： 延长题(2)中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线 段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求c0s72°的值， 17.(2022湖南郴州中考真题)如图1，在ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AB=4cm.点 D从A点出发，沿线段AB向终点B运动.过点D作AB的垂线，与ABC的直角边AC(或 BC)相交于点E.设线段AD的长为a(cm),线段DE的长为h(cm)· 10/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (图1) (1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD,DE的长度进行测 量，得出以下几组数据： 变量a(cm) 0 0.5 1.5 2.5 3.5 变量h(cm) 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0 在平面直角坐标系中，以变量α的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变 量h的值为横坐标，变量α的值为纵坐标，描点如图2-2. 根据探究的结果，解答下列问题： ①当a=1.5时，h= ;当h=1时，a= ②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来. a/cm 4 3 3 2 2 23 4 a/cm 0 2 3 4 h/em (图2-1) (图2-2) ③下列说法正确的是」 （填“A"或B”) A.变量h是以a为自变量的函数B.变量a是以h为自变量的函数 (2)如图3，记线段DE与ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积 (cm2)为s. ①分别求出当0≤a≤2和2<a≤4时，s关于a的函数表达式； 11/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当=对，求a的能 (图3) 18.(2021湖南邵阳.中考真题)如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿 直线AP折叠，使得点B的对应点为B,连接AB',CB,BB',PB. (1)如图①，若PB'⊥AC,证明：PB'=AB'. (2)如图②，若AB=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值. (3)如图③，若∠ACB=30°，是否存在点P,使得AB=CB′.若存在，求此时 的值 BC 若不存在，请说明理由 B B B B ① ② ③ 备用图 19.(2021湖南岳阳.中考真题)如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D为AB 的中点，连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转α(60°<a<120)得到线段ED,且ED交 线段BC于点G,∠CDE的平分线DM交BC于点H. 12/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M C G D D D 图1 图2 图3 GD (1)如图1，若a=90°，则线段ED与BD的数量关系是 CD (2)如图2，在(1)的条件下，过点C作CFI1DE交DM于点F,连接EF,BE. ①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由； ②求证： BE FH 3 (3)如图3，若AC=2,tana-60)=m,，过点C作CF11DE交DM于点F,连接EF, BE，请直接写出BE 的值（用含m的式子表示）， FH 20.(2023湖南娄底.中考真题)如图1，点G为等边ABC的重心，点D为BC边的中点， 连接GD并延长至点O,使得D0=DG,连接GB,GC,OB,OC A A A G B M 图1 图2① 图2② (1)求证：四边形B0CG为菱形. (2)如图2，以0点为圆心，0G为半径作⊙0 ①判断直线AB与⊙0的位置关系，并予以证明. ②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E,连接 CM并延长交AB于点F,求证：AE+AF为定值. 13/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 命 题 预 测 ●● 1.(2026湖南邵阳·模拟)如图，在ABC中，直线m垂直平分BC,点P是直线m上的一 个动点，若AB=12,AC=8,BC=16,则△APC周长的最小值为() m B A.24 B.12 C.20 D.36 2.(2026湖南模拟)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC,P,Q分别为BD,BC上的 一点，且BP=CQ,若当AB=2时，则AP+AQ的最小值为 D 3.(25-26九年级上湖南衡阳期末)如图，四边形ABCD中， ∠A=90°，AB=3√5，AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点（含端点，但点M不 与点B重合)，点E,F分别为DM,MN的中点，则EF长度的最大值为 D E 4.(25-26九年级上湖南株洲期末)如图，在等边ABC中，AB=3,点D在边AB上， 且BD=1,E是边BC上一个动点，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段 DF. D E ①连接EF,判断△DEF的形状是 14/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当点E在边BC上运动时，连接CF,则线段CF长度的最小值是 5.(2026湖南邵阳.二模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=42,点D为 边BC的中点，点E,F分别为边AB,AC上的动点，且DE⊥DF,则△AEF的面积的最大 值为 B D 6.(2026湖南长沙模拟)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=5 ,BD=6.点M,N分别是AC,AB边上的动点，则BM+MN的最小值为 7.(25-26九年级上湖南长沙期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8, BC=8√互，点D为BC边上的中点，连接AD;点E从点A出发，以每秒2个单位长度向点 B运动，同时点F从点C出发，以同样的速度向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点 也停止运动.连接DE,DF,EF,设运动时间为t. B D (1)求∠BAD的大小： (2)当BDE是以BE为腰的等腰三角形时，求t的值 (3)在E点的运动过程中，△DEF的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间t 的值；若不存在最小值，请说明理由 8.2025·湖南益阳·模拟)如图，在平行四边形ABCD中，LBAC=90°，LABC=60°， AB=6.动点P从点A出发沿AD以2cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以 速度4cm/s沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间 为t秒. 15/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ←P B (1)用含t的代数式表示AP=-; (2)当P2⊥BC时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由 1,1 9.（2026湖南永州一模)如图，抛物线y=二x2-二x-6与直线y=x+m交于B(6,0)和 4 2 C(0,-6)两点，抛物线与x轴的另一个交点为A,连接AC,BC,P是直线BC下方抛物线 上一点. VA O B o B 图1 图2 图3 (1)求m的值； (2)如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N,求PN最大值； 胸图2流接，文C于点D,者，成点P的坐标 (④如图3，将0A绕点O旋转至0'，连接B4,C4,试求出C4+B的最小值」 3 10.(2026湖南长沙.二模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ar2-4ax+3a(a为 常数，a≠0)· (1)当a=-1时，求抛物线的顶点坐标： (2)设抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧)，顶点为C, ①当ABC为等腰直角三角形时，求ABC的面积； ②当ABC为等边三角形时，求a的值； (3)已知a<0,将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线y=ax2+bx+c,若当 t≤x≤t+2(0≤t≤1)时，y,的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围. 11.(2026湖南长沙模拟预测)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AB=BC,点E在 BD上，且∠BAE=∠CBD. 16/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 F (1)求证：△EAD是等腰三角形； (2)若2BE=3CD,求sin∠BAC的值； BF是DE上的一点，∠FCD与∠ECD互补，若 =k(3<k≤5)，FD=k-m,求线段 CD DE长度的最大值（用含m的代数式表示）， 12.(2026湖南永州.二模)如图，抛物线y=ax2+bx-2（a≠0)经过点A-1,0), B(4,0),与y轴交于点C,P是第四象限抛物线上的一个动点，连接AP交y轴于点D,过 点A作直线AQ⊥AP交抛物线于另一点Q,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点E,过点 Q作平行于y轴的直线交x轴于点F, (1)求抛物线的表达式； (2)求证：PE·AQ=PDFQ; (3)设点P的横坐标为m,点Q的横坐标为n. ①当m=2时，求出此时点？的坐标： ②连接PF,在点P的运动过程中，△APF的面积S是否存在最大值？若存在，求出S取最大 值时m,的值；若不存在，请说明理由. 13.（25-26九年级上江苏盐城期末)如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过(1，-2)和 1 (2,-3)两点，直线：y=2x+2交x轴于点4，交y轴于点B, 17/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线1的下方和y轴右侧，过点D作CD∥y轴交直线 1于点C,以CD为直径作OE,当OE与y轴相切时，求点D的坐标： (3)如图2，在(2)的条件下，把0E向上平移，使圆心落在x轴上，得到oE',过点 H(-2,0)作HF⊥x轴，交直线1于点F,连接OF,问在oE'上是否存在一点P,使△OFP 的面积最大？若存在，求出△OFP面积的最大值，若不存在，请说明理由. 14.(2025·湖南郴州·模拟)如图1，在⊙0中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧C0D与 直线AB相切于点C,且OC=10. 图1 图2 图3 (1)求点D到直线AB的距离. (2)如图2，优弧C0D上存在一动点M,0M从0C出发按顺时针方向转动，转动速度为每 秒30°，转动时间为t秒.当点M运动至点D处时，停止转动.过点M作直线川OC,直线 1与优弧C0D交于另一点N. ①当直线1与优弧COD相切时，t的值为 ②当t=2时，求阴影部分面积. (3)在(2)的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥0D,与直线AB交于点P,则在转 动过程中，CP的最大值为 15.(2026湖南娄底.一模)如图1，己知AE是⊙0的直径，D是⊙0上一点，过D作直线 DB与AE的延长线交于B点，过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE,且 ∠DAE=∠EDB· 18/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)求证：直线BC是⊙0的切线： 2诺4E=10,sm∠1DC-手求8E:8D的值： (3)如图2，在(2)的条件下，若F为AE上的一动点，且F在直线AB上方，连结 AF、DF、EF,当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度. 16.(2025江西中考真题)综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋 转放缩问题展开探究. 特例研究 在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O. (1)如图1，△ADC可以看成是A0B绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的 度数为 ,k的值为 (2)如图2，将AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF(点O,B的 对应点分别为点E,P),使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BF的值 OE 图1 图2 图3 备用图 类比探究 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将 AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E, F),使得点E落在OD上，点F落在BC上.精想F的值是否与a有关，并说明理由： OE (4)若(3)中∠ABC=B,其余条件不变，探究BA,BE,BF之间的数量关系（用含B的 式子表示)· 17.(25-26九年级上江苏徐州期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点 19/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (点A在点B的左边)，点A、B的坐标分别是(-1,0)、3,0)，与y轴交于点C,点C的 坐标是(0,3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称. B 备用图1 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最大 值； (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为 顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点P的坐标 18.(2025四川南充.中考真题)矩形ABCD中，AB=10,AD=17,点E是线段BC上异 于点B的一个动点，连接AE,把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处 【初步感知】(1)如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC. 【深入探究】(2)如图2，点M在线段CD上，CM=4.点E在移动过程中，求PM的最 小值 【拓展运用】(3)如图2，点N在线段AD上，AN=4.点E在移动过程中，点P在矩形 内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长. D E 图1 图2 19.(2025江苏连云港.中考真题)综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F,且AE=BF,AF交 DE于点O.连接AC,过点F作FG⊥AC,垂足为G,连接GD、GE,DE交AC于点P ,GE交AF于点Q. 20/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PX o E B 【活动猜想】 (1)GD与GE的数量关系是 位置关系是 【探索发现】 (2)证明(1)中的结论； 【实践应用】 (3)若AD=3,AE=1,求QF的长： 【综合探究】(4)若AD=3,则当AP=时，△DPG的面积最小. 20.(2025湖南常德模拟)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，ABC的顶点 B、C的坐标分别为B(b,0),C(0,c),且满足(c+4)2+b-12=0. D B B (1)求点B、点C的坐标： (2)ABC的顶点A在y轴的正半轴上，∠ABC=45°，ABC的高CD交x轴于点E,点E的 坐标为2,0)，求证△ACD≌△EBD; (3)在(2)的条件下，动点M从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，动点N从点A出发沿折线A-0-x轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动.M、N 两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动.设点M运动的时间为t 秒，问：是否存在t值，使得△MCN是以坐标轴为对称轴的轴对称图形？若存在，请求出符 合条件的t值；若不存在，请说明理由， 21.（25-26九年级上湖南长沙期中)下面是八年级教科书中的一道题， 如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的 平分线CF于点F.求证：AE=EF.(提示：取AB的中点G,连接EG.) 21/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E E 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，通过添加辅助线，易知AG=CE,进一步可证明 (请写出图中一组全等 三角形)，由这一组三角形全等可知AE=EF. (2)如图2，若点E是BC边上任意一点（不与B,C重合），其他条件不变.求证： AE=EF; (3)如图3，在(2)的条件下，连接AC,过点E作EP⊥AC于点P.设 BE =k,当四边形 BC ECFP是平行四边形时，求k的值； (4)如图4，点E是边长为1的正方形ABCD的边BC上的一点，在外角平分线CF上取点I使 得CI=CE,连接DE,DI,其中DE+DI的最小值为m,直接写出V2m2-1的值， 22.(25-26九年级上·湖南长沙期中)如图1，己知菱形ABCD和菱形CEFG的边长分别为 a,b,点B,C,E在同一条直线上，点G在CD边上，连接AF. D G B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠B=90°时，连接AC,CF,DF,把四边形ABCD、△ACF和△ADF的面 积分别记作SS2S,则①S2=一，S,=一（用含a,b的代数式表示） ②请直接写出S、S,、S,满足的关系式：； (2)如图2，当∠B=90°时，点P是AF的中点，连接PD,PG,请判断△PDG的形状，并 说明理由； (3)如图3，当∠B=120°时，点P是AF的中点，连接PD,PG. ①用含a,b的代数式表示PD;②连接PC,DF,四边形PCFD可能成为平行四边形吗？若可 能，请探究此时α，b满足什么关系；若不可能，请说明理由. 22/22