2026届浙江省强基联盟高三5月题库（二模）数学试题

2026年高三5月题库 数学 试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 贺 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 圜 合题目要求的。 1.设集合M={x|-1<x<3},N={1,2,3},则M∩N= 如 A.{2,3} B.{1,2,3》 C.{1,2} D.{0,1,2,3} 2.数据1,2,4,5,7,9的第60百分位数为 A.4 B.5 C.6 D.7 3.下列函数中，最小正周期为π且为偶函数的是 n A.y=sin x B.y=sin x C.y=sin x D.y=cos x 4.下列函数所表示的曲线中，存在切线与x轴平行的是 A.f(x)=sin x+x B.f(x)=e*+x C.f(x)=In x+x D.f(x)=x3十x 5.已知l为直线，a为平面，则下列条件是“l⊥a”的充要条件的是 A.l垂直平面a内的两条直线 B.l垂直平面a内的无数条直线 C.l的方向向量垂直于平面a的法向量 D.l的方向向量平行于平面a的法向量 6.在二项展开式(m十x)8=ao十a1x十a2x2十…十a8x8(m≠0)中，前三项的系数ao,a1,a2成等 差数列，则实数m的值是 A.-2或7 B.2或7 C.-2或14 D.2或14 7.已知0为△ABC的外心，且满足Ad=A弦+2AC,则A 的值为 C A.2 B.√5 C.√6 D.√7 8.如果一双曲线的实轴与虚轴分别为另一双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲 线.已知C,C,互为共轭双曲线，且C1,C的离心率分别为e1,e2,则上(+)的最大值是 A.1 B.1+2 2 C.√2 D. 3 【QJ高三数学 第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知抛物线y2=4x与圆x2+y2一2x一3=0交于M,V两点，则下列说法正确的是 A.圆心坐标为（一1,0） B.MN=4 C.抛物线的准线与圆相切 D.过抛物线焦点的直线与圆相交 10.如图，在正三棱台ABC-AB1C中，D为B1C1的中点，P是A1D 上的动点（不含端点），记直线PB与直线BC所成角为α，直线PB B 与平面ABC所成角为3，二面角P一BC一A的平面角为Y,则下列关 于a,3,y的大小，一定正确的是 A.Ba B.a<Y C.a>Y D.B< 11.我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴 的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一 个音“黄钟”的弦长81，记为a1,用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长81×(1一3)，记 为a2,再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长54×(1十3)，记为a,…,按此规律依 次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为{an}(n∈ N*).则下列说法正确的是 A.a5=64 B.2a7=3a8 C.]k∈N*,使得：a2-1十a2+3=2a2+1 D.Vk∈N*,都有a2k-1a2+3=(a2+1)2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在复平面内，i为虚数单位，向量AB对应的复数是4十5i,向量BC对应的复数是3一i,则向量 AC对应的复数是 13.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2,b=3,B=2A,则△ABC的面积为 ▲ 14.设关于x的方程12x2+ex-7xe=0(e为自然对数底数)有n个不相等的实数解x,(i=1, 2,,),则公(lnx一x)=▲。 【QJ高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列(am}的前n项和为S,且满足S。=a,十立n(n一1). (1)求a1的值； 2水罗号的位， 16.(15分) 信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量 子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密 传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为子，经典信道完成信息匹 配的概率为，且两个信道工作相互独立.只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息 匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败. (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行4次密钥分发，记X为有效分发成功的次数，求X的数学期望E(X): (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率Z(单位：%)服从 正态分布Z~V(99,0.04).若准确率不低于99.4%为“最优传输”，估算1000次密钥分 发中，可用于“最优传输”的次数. 附：若X~N(4,o2),则P(μ一≤X≤u十o)≈0.6827，P(u-2o≤X≤十2o)≈0.9545， P(μ-3o≤X≤μ+3o)≈0.9973. 【QJ高三数学第3页（共4页）】 17.(15分)》 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形， △PAD是正三角形，且CD⊥平面PAD,若E,F,G分别为PC,PD, CB的中点，点H在直线AB上. (1)求证：直线EF与直线GH为异面直线； (2)求直线GH与平面EFG所成角的最大值： 18.(17分) 已知函数f(x)=x-是-mnx(m∈R). (1)若m=1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a,b,c∈R为函数y=f(x)的三个零点，且满足a<b<c, ①求实数m的取值范围；②求16+4+2的最小值. 19.(17分) P为椭圆C号+y=1(a>I)上异于顶点的动点，且C的离心率为号，P,R分别为C的 左、右焦点，M为C的左顶点，记∠PF1F2=a,∠PFF1=3. (1)求C的方程： (2)求证0骨 2cos a3 2cosB-√5 (3)设点T(t,0)(一2<t<0),过点T作一条不与坐标轴垂直的直线1，交椭圆C于A,B两 点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA,MB于点D,E.问是否存在t, 使得点O,D,M,E四点共圆(O为坐标原点)？若存在，求出t的值，若不存在，请说明 理由. 【QJ高三数学第4页（共4页）】2026年高三5月题库 数学试题参考答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B A 0 D C B 1.C根据集合的运算，易得选C. 2.B因为6×60%=3.6，由百分位数定义可知为第4个数，故选B. 3.B因为选项A中的函数是奇函数，选项C中的函数不是周期函数，选项D中的函数的周期为2π，由排除法 知选B. 4.A题意转化为f(x)=0在其定义域内有解.对选项A,由f'(x)=cosx十1=0，可得无数个解，如x=π，正 确：对选项B.由f)=c+1=0,无解，错误：对选项C,由了(x)=+1=0,得x=-14(0,十)，错误： 对选项D,由(x)=3.x2十1=0，无解，错误.综上，选A 5.D对选项A,缺少“相交”两字，只是必要不充分条件，错误；对选项B,只是必要不充分条件，错误；对选项 C,可得l∥α，或lCa,是“既不充分，也不必要条件”，错误；综上，选D. 6.D可得a0=C8m8=m8,a1=C8m2=8m2,a2=C8m=28m,由a0十a2=2a1,即m8+28m=16m2,因为卡 0,化简得，m2-161十28=0，解得m=2或m=14,故选D. 7.C解析1：由Aò=A范+2A衣，得Aò.A市=(A范+2A心)·A,即AB=1AB+2A衣.A店，解得 2 AC.AB=-AB 4 同理由Aò.AC-(A+2AC)·AC,得AC.A店=一34C,所以 2 LAC L=√6.故选C. 解析2：不妨设A(-1,0),B(cosa,sina),C(cosB,sin3),则有(1,0)=(cosa十1，sina)十2(cos3+1,sin3), cos=- 7 11=cosa十2cos3+3, cos a=-2cos B-2, 8 解得 即 由sina十cos2a=1,得 0=sin a+2sin B. sin a=-2sin B. cos a=- 1 AB v(cos a+1)2+sin'a =1十cosg=√6. ACI √(cos3+1)'+sin'3√/1+cos3 1=cos 0, 8B解析1：依题意，可得子+子=1，注意到>1，>1，故可设 1=sin 0. (o,吾）所以(+士) =co叶sn9)=6osg+sin co=号sin29+2os29+合-号sn(29+号)+号<，当且仅 当9=苓时取到最大值，故选B. 解析2：设x==,则2+y=10<x1,=(仔+）=+y=+x-7=+ /x-x,令t=x2,则有之=t十√-t(0t1),求导即可（下略）. 【Q高三数学卷参考答案第1页（共4页）】 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BCD AD ABD 9.BCD对选项A,化圆为标准方程(x一1)十y=4,得圆心坐标为(1,0)，故选项A错误；对选项B,把y=4x 代入x2十y2-2x一3=0，得M(1,2),N(1,一2)，所以|MN|=4,故选项B正确；对选项C,可得抛物线的准 线方程为x=一1，显然与圆相切，故选项C正确；对选项D,因为焦点(1,0)在园内，所以过抛物线焦点的直 线与圆相交，故选项D正确.综上，本题选BCD. l0.AD如图，作出a=∠PBC,3=∠PBO,y=∠PHO,易得sin3=sin asin y,所以 Bα3<Y,故选项A正确，选项D正确；因为当三棱台趋近于三棱柱，且P点趋 近于D点时，此时a<90°，y→90°，可得a<y;当三棱台的高趋近于0时，且P点 趋近于A点时，此时a>0°，y→0°，可得a>Y,所以a,y的大小无法比较，故选项 B错误，选项C错误，综上，本题选AD, H 1.ABD对选项A,因为a,=72,a=72×号=48，a:=48X专=64，故选项A正 3 确；对选项B,因为a=a然-1×(1-了)，取k=4就有2a1=3as,故选项B正 确：对选项C,Da-1=81×(号)广e1=81×(号)广a+4=81×(号)，代入a1+a+=2a1 此方程无解，故选项C错误；代入a%-1a2+3=(a+1)2恒成立，故选项D正确.综上，本题选ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.7+4iAC=AB+BC=7+4i. 1a5品品B得品A:解得osA=子6 os2A=2mA-1专所以mB 3如A-mC=m(a+8)-9×名+x子语，所以s号×2x8×语-15 8 16· 14,-2n12由12x十e2-7xe=0,两边同除以xe,得12二+-7=0：令1名，则12z+-7=0,即 12r-7十1=0，解得1=子，=号，结合=名的图象，可得方程12x十c-1xc=0有4个不相等的实 数解，不妨设<，则有=产表=器=吾进而有积器吾要=()=两边 el e2 e3 e 取自然对数，得(Inx,-x,)=-2ln12. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15,解：(1)在S,=a十n(n-1)中，令n=2,得S=a十1，解得a1=1. …5分 （2)当n≥2时，由已知，得S=S.-S.十7n-1D,即S1=m一10，…7分 所以s,=合n+1D, 所以安-n2D=2 2 nn+1) 10分 两以-21 1 4052 2027）=2027· 13分 【Q高三数学卷参考答案第2页（共4页）】 16.解：(1)设A=“量子信道密钥生成成功”，B=“经典信道信息匹配成功”， 由题意知A与B相互独立，且P(A)=,P(B)=吾， 所以信息单次有效分发成功的概率为：P(AB)=P(A)P(B)= 5分 (2)由题意，可知X一B(4,8),… 5 8分 所以E(X)=多 10分 (3)因为Z~N(99,0.04),所以4=99，o=0.2,… 12分 故P(X≥9.4)=1-P(98.6sX≤9.1=0.02275. 2 所以1000次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数为1000×0.02275≈22次.…15分 (注：写23次也不扣分) 17.解：(1)证明：假设直线EF与直线GH不是异面直线， 则存在平面a,使得EFC,GHCQ,…2分 又因为GHC平面ABCD,所以平面a∩平面ABCD=GH 另一方面，因为E,F分别为PC,PD的中点，所以EF∥DC, 又因为DCC平面ABCD,EF丈平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD,…………5分 又因为EFC平面a,所以EF∥GH, 所以DC∥GH,矛盾， 所以直线E℉与直线GH为异面直线.……。 ……7分 (2)取AD中点为O,连接PO,OG:易得PO⊥平面ABCD, 故可以O为原点，OA,OG,OP分别为x,y,x轴建立如图所示的坐标系， 则G(0,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,2√3)，C(-2,4,0),F(-1,0√3)，E(-1, 2,W3),………9分 设H(2,A,0),则Gi=(2,A-4,0),GF(-1,-4W3),G2=(-1,-23), 设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z), B 由n…Gi=0,n.G2=0, 即x-4y+3=0, -x-2y+√3x=0. 取之=1有n=(/3,0,1),……………………………………… 11分 记GH与平面EFG所成角为0，则sin0= GH. 3 3 |Gi|1nl√a-4)2+4 21 所以GH与平面EFG所成角的最大值为号， 15分 18.解：(1)由m=1,得f(x)=x-1-1n, 所以a)=1+-x>0,rD=1, 2分 故所求的切线方程为y一f(1)=f(1)(x一1)，化简得x一y一1=0.…4分 20因为f)=1+片-2-+中x>0. 若1≤2，则f(x)≥0恒成立，故y=f(x)在(0，十o∞)上递增，不可能有三个零点，不合题意.…6分 【Q高三数学卷参考答案第3页（共4页）】 若m>2,则f)=一mr+1=0有两个不相等得实数根，记为x1,x,且<1<， x 故f(x)在(0，x1),(x2,十o∞)上递增，在(x1,x2)上递减， 因为f(1)=0,所以f(x1)>0,f(x2)<0,………10分 又因为当m>2时，fe)=e-己-m, 令gm）=e-吉-m2,则g'(m)=e+-2m>em+吉-2m>0, 所以gm)在(2，+∞)上递增，且g(m)>g(2)=e-是-4>0， 同理f(e)=e一。十m<0,所以f(x)在在(0，x)和(x,十o∞)上各有一个零点，又1显然是y f(x)的一个零点.综上，当函数y=f(x)有三个零点时，可得实数的取值范围为(2，十∞).…12分 (注：利用“当x→十oo时，f(x)>0,且当x→0时，f(x)<0”判断不扣分) ②由①知，6=1，汉因为f）=士-x+nx=-0, 即当f）)=0,必有f()=0,所以=c,即ac=1.… 15分 所以16+4+2=4+2+2宁≥4+2√2F>≥12，当且仅当a=号，c=2,6=1取等号。 即160十4的十2的最小值为12.………………… 17分 19.解：(1)因为b=1,e= 号得a=2.故所求C的方程为号十y=1.…4分 (2)要证：sing= 2cos a-3 ,只需证：2 sin acos B-√5sina=-2 cos asin B+√3sinB, sin B 2cosB-√5 即证：2sin(a十p)=5(sina十sin),即证：sna千s月2 sin (a+B)3 …7分 另一方面，在△PP,R,中，由正弦定理，得PF=IPR=FF sin B sin a sin(a十B)' 即0。二=号放温g |FF2| …………………9分 sin B 2cosB-√5 (3)假设O,D,M,E四点共圆，则有|TM·|TO|=|TD[·]TE|,又|TM=t十2，|TO=-t.… …………11分 另一方面，可设直线l:x=my十t,及A(x1,y1),B(x2,y), x=ny十t, 消去x,得(m2+4)y2+2mty十t-4=0,y1十y2= -2mt t2-4 由 (4十y2=1 n2+4)y1y2= m2+4 …13分 由三角形相似根=g即7TD==+2)十 x1十2； 同理，得TE1=(t+2)二些 x2+2 …15分 -y1V2 yiy2 所以|TD·TE到=(+2》'x+2+②=（+2》°m1+1+2m+1+2 4-t 4, 所以=4代+2)，解得=一号，故存在=一号，使得O,D,M,E四点共圆。…17分 【Q高三数学卷参考答案第4页（共4页）】