精品解析：2026年安徽省阜阳市太和民族中学等校中考二模 数学卷

数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页；“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 在，，，，这四个数中，比小的数是（） A. B. C. D. 2. 2024年春运，合肥站累计发送旅客305万人次．其中数据305万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数（，，是常数且）的图象如图，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____________． 12. 若二次根式有意义，则实数满足的条件是_____________． 13. 某一物理实验的电路图如图所示，其中，，，为电路开关，小灯通电后能正常发光．任意闭合开关，，，中的两个，那么能让灯泡正常发光的概率为_____________． 14. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，那么称这个四位数为“平方分解数”；例如：四位数3162，因为，所以3162是“平方分解数”；四位数4231，因为，所以4231不是“平方分解数”． （1）若是“平方分解数”，则这个数最大是_____________； （2）四位自然数是“平方分解数”，将“平方分解数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最大值为_____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． （1）以点为中心将旋转，得到，画出； （2）将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，画出； （3）连接，作出线段的中点（保留作图痕迹） 17. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点是轴负半轴上的点，且，求的面积． 18. 某兴趣小组在数学活动课中测量古塔的高度．如图，是小山坡，测得，坡角为，．是测角仪，．已知，从点测得点的仰角为．求古塔的高度．（参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 （1）第7个图案中盆景的盆数为____________； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 20. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，． （1）如图1，点是上的一点，连接，，且，当时，求和的度数； （2）如图2，为的切线，交于点，交于点，已知，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某校政教处调查同学们每天完成家庭作业的时间情况，他们随机抽取了一部分同学进行调查，并形成了如下调查报告： 调查主题 XX学校学生每天完成家庭作业时间 调查方式 抽样调查 调查对象 XX学校八年级部分学生 调查内容 同学，你每天完成家庭作业的时间为___________． A．1~1.5小时； B．1.5~2小时； C．2~2.5小时； D．2.5~3小时； E．3~3.5小时． （每组含最小值，不含最大值），请根据实际情况选择你最符合的一项，感谢参与！ 数据收集 频数分布表 时间（小时） 频数 百分比 5 10% 30% 20 40% 7 14% 3 调查结论 … 请结合调查信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的_____________，____________；将频数分布直方图补充完整； （2）若将抽取的学生每天完成家庭作业时情况绘制成扇形统计图，求完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数； （3）规定：初中生每天书面家庭作业时间不超过2小时，根据表中数据，请你提出一条合理建议． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知正方形，点是边上一动点（点除外），是等腰直角三角形，，点在的延长线上． （1）如图1，当点与点重合时，证明：； （2）如图2，当点与点不重合，且点在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点，已知． （ⅰ）证明：； （ⅱ）如图3，连接，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（，是常数且）的对称轴为直线． （1）设抛物线与轴的交点为，，求的长； （2）若二次函数的最小值为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知点，为该抛物线上不同的两点，，若和的值互为相反数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页；“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 在，，，，这四个数中，比小的数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵正数大于一切负数，0大于负数， ∴和都大于． ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，且，，， ∴，可得． 综上，四个数中比小的数是，故选A． 2. 2024年春运，合肥站累计发送旅客305万人次．其中数据305万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将305万化为3050000，再写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：305万，则． 3. 如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左面应该看到有3列，从左到右正方形的个数为2，1，1，即可解答． 【详解】解：选项A、C、D从左面看都可以看到有3列，且从左到右正方形的个数为2，1，1，故选项A、C、D不符合题意； 选项B从左面看只能看到2列，故B选项符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴A错误； 选项B ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴B错误； 选项C ∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘 ， 等式成立，∴C正确， 选项D ， ∴D错误. 5. 已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解得到圆的半径． 【详解】解：设此圆弧所在圆的半径为， 圆心角，弧长，弧长公式为， ，解得， 即此圆弧所在圆的半径为． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：解不等式得， ∴在数轴上表示正确的是． 7. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点的横坐标代入各选项的函数解析式，计算得到的值若等于，则该函数图象经过该点，据此判断即可． 【详解】解：把分别代入各选项计算： A. 不符合题意； B. 不符合题意； C. 不符合题意； D. 符合题意； 故选：D． 8. 在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线与交于点， ∴ ，， 对选项A：∵ ， ∴ ，即，可得平行四边形是矩形，不能判定它是菱形； 对选项B：∵ 一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴ 可判定是菱形； 对选项C：∵ 中， ∴ ，又， ∴ ， ∴ ，可判定是菱形； 对选项D：∵ ，， ∴ 由可得，由勾股定理逆定理得，即，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形； 综上，不能判定一定为菱形的是选项A． 9. 二次函数（，，是常数且）的图象如图，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、与轴交点的位置，可知，，，利用一次函数的性质与反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 一次函数应是随的增大而增大； 抛物线的解析式为， 当时，， ， ， ， 直线与轴的交点在轴的负半轴； ， ， 反比例函数的图象在第一、三象限； A选项：一次函数的图象是随的增大而增大，反比例函数图象在第一、三象限，但是直线过原点，故A选项不符合题意； B选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故B选项不符合题意； C选项：一次函数的图象是随的增大而增大，且一次函数与轴的交点在轴的负半轴，反比例函数图象在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故D选项不符合题意． 10. 如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】D 【解析】 【分析】由 ，，，得四边形 是矩形，对角线  与  交于中点 ；对选项A，由矩形性质得 ，从而 ，利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项B，连接 ，由 ， 为  中点，得  为等腰直角三角形，，​，；在  中 ，，得 ；同理 ；进而利用 ，， 证明 ，得 ；再利用点到直线距离最短求  的最小值；对选项C， 是 的中点，而 各边中点连成的中位线 平行于  且过 中点，故  在中位线  上；作  关于 的对称点 ，则 ，当 、、 共线时取等，利用  及勾股定理求 ；对选项D，由 得 ​，从而 ​为定值，与 的位置无关． 【详解】解：，，，  四边形  是矩形，  与 互相平分，即 是 的中点，， ，  到直线  的距离最短时，， 此时 ，  的最小值为 ，选项A正确； 如图，连接，则， 在中，，， ，， ， ． 当时，有最小值， 在中，， 最小值为2，则的最小值为4，故选项B正确； 如图2，在中，， 是的中点， 点位于的中位线上． ， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，共线时，有最小值，此时， 在中，，故选项C正确； ， ， ，故选项D错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 12. 若二次根式有意义，则实数满足的条件是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列出关于x的一元一次不等式，求解不等式得到满足的条件． 【详解】解：因为二次根式有意义， 所以被开方数满足非负要求，即， 解得． 13. 某一物理实验的电路图如图所示，其中，，，为电路开关，小灯通电后能正常发光．任意闭合开关，，，中的两个，那么能让灯泡正常发光的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中能让灯泡正常发光的结果有6种，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中能让灯泡正常发光的结果有6种， 能让灯泡正常发光的概率为． 14. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，那么称这个四位数为“平方分解数”；例如：四位数3162，因为，所以3162是“平方分解数”；四位数4231，因为，所以4231不是“平方分解数”． （1）若是“平方分解数”，则这个数最大是_____________； （2）四位自然数是“平方分解数”，将“平方分解数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最大值为_____________． 【答案】 ①. 4952 ②. 4961 【解析】 【分析】（1）根据“平方分解数”的定义得到，再结合各数位上的数字取值进行分析，即可解题； （2）设这个四位数，则，根据能被33整除，并结合各数位上的数字取值进行分析，即可解题． 理解新定义、正确推理计算是解题关键． 【详解】解：（1）是“平方分解数”， ， 即， 当时， 有最大值4， 这个数最大是4952． （2）设这个四位数，则， ． 四位数是“平方分解数”， ，． 能被33整除，， 的值是整数，又，，，，， 的可能取值为1，4，7， 当时，，由于b，c，d为互不相等的非零数字，故， 当时，，其和最大为，故， 满足条件的的值为4， ． 要求的最大值，则，，， 满足条件的的最大值是4961． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先把括号里面式子进行通分，再把除法化为乘法，同时对分式的分子或分母进行因式分解，然后约分，最后代入进行计算即可．能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． （1）以点为中心将旋转，得到，画出； （2）将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，画出； （3）连接，作出线段的中点（保留作图痕迹） 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求； （3）点是线段的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移与旋转作图、全等三角形的判定与性质． 作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到即为所求； 分别作出点、、向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； 由网格图可知且，根据平行线的性质可证：，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证点是线段的中点． 【小问1详解】 解：如图所示，作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，分别作出点、、向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到， 则即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，连接、，、相交于点，点即为所求， 由网格图可知且， ， 在和中，， ， 点是线段的中点． 17. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点是轴负半轴上的点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出点的坐标，根据即可求出点的坐标，根据点、、的坐标求出的长度和点到的距离，再利用三角形的面积公式即可求出结果． 【小问1详解】 解：把代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把代入， 可得：， 点的坐标为， 把，代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在一次函数中，当时，， ， 点的坐标为， 又点的坐标为， 轴，， 点到的距离为， ． 18. 某兴趣小组在数学活动课中测量古塔的高度．如图，是小山坡，测得，坡角为，．是测角仪，．已知，从点测得点的仰角为．求古塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，根据题意，得，，四边形是矩形，四边形是矩形，解得出，进而求得的长，根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 根据题意，得，，四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，， ，， （），（）． （）， ，， （）， 答：古塔的高度约为 ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 （1）第7个图案中盆景的盆数为____________； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】（1）8 （2） （3）盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【解析】 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【小问1详解】 解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； 【小问2详解】 解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； 【小问3详解】 解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 20. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，． （1）如图1，点是上的一点，连接，，且，当时，求和的度数； （2）如图2，为的切线，交于点，交于点，已知，，求的长． 【答案】（1）； （2）1 【解析】 【分析】（1）由是的直径，，得到，再由得到，进而求出和的度数 （2）过点作于点，由垂径定理得到，再根据为的切线，证明四边形为矩形，利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ． ， 是直径，， ， ， ． 【小问2详解】 解：过点作于点， ，， 是的直径，， ． 是的切线， ， ． ， ， ， ， 四边形为矩形， ，． 在中，， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 某校政教处调查同学们每天完成家庭作业的时间情况，他们随机抽取了一部分同学进行调查，并形成了如下调查报告： 调查主题 XX学校学生每天完成家庭作业时间 调查方式 抽样调查 调查对象 XX学校八年级部分学生 调查内容 同学，你每天完成家庭作业的时间为___________． A．1~1.5小时； B．1.5~2小时； C．2~2.5小时； D．2.5~3小时； E．3~3.5小时． （每组含最小值，不含最大值），请根据实际情况选择你最符合的一项，感谢参与！ 数据收集 频数分布表 时间（小时） 频数 百分比 5 10% 30% 20 40% 7 14% 3 调查结论 … 请结合调查信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的_____________，____________；将频数分布直方图补充完整； （2）若将抽取的学生每天完成家庭作业时情况绘制成扇形统计图，求完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数； （3）规定：初中生每天书面家庭作业时间不超过2小时，根据表中数据，请你提出一条合理建议． 【答案】（1）15，，频数分布直方图补充完整如下： ． （2） （3）作业争取在校内完成或减少书面作业布置量或合理布置作业或精选作业布置等 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取的学生总人数，据此分别求出即可，再补充完整频数分布直方图； （2）利用乘以其所占的百分比即可； （3）从书面作业布置的数量和质量等方面提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生总人数为（人）， ∴，． 频数分布直方图补充略 【小问2详解】 解：， 答：完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：合理建议：作业争取在校内完成或减少书面作业布置量或合理布置作业或精选作业布置等． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知正方形，点是边上一动点（点除外），是等腰直角三角形，，点在的延长线上． （1）如图1，当点与点重合时，证明：； （2）如图2，当点与点不重合，且点在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点，已知． （ⅰ）证明：； （ⅱ）如图3，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，． 是等腰直角三角形，， ， 当点与点重合时，， ， （2）（ⅰ）证明：四边形是正方形， ． 点在的延长线上，的延长线与的延长线交于点， ， ． ，， ． ，， ． 在和中， ， ， （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）当点 E 与点 A 重合时，等腰直角三角形的直角顶点恰好落在正方形的顶点上，利用 ，得到 ∠，进而由证明 ； （2）（ⅰ）点 E 在上运动，构成双直角，而 由得到，进而证明 ，再结合已知条证得 ，得到 ； （ⅱ） 作 于 H后，证明由 A为的中点得到 成为 的中位线，推出，进而由 得到 ，在  中运用勾股定理，将用表示出来，从而求得比值 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解：由（ⅰ）可知， ，． 过点作于点， 如图，则． ， ， ， ． 为的中位线， ． ，， ． 又， ． 在中， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（，是常数且）的对称轴为直线． （1）设抛物线与轴的交点为，，求的长； （2）若二次函数的最小值为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知点，为该抛物线上不同的两点，，若和的值互为相反数，证明：． 【答案】（1）4 （2）（ⅰ）1； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，即， ，都在抛物线上， ， 和的值互为相反数， ， ， 整理，得， ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，进而代入抛物线解析式，令，解一元二次方程，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意得出，，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）可知，即，则，，根据和的值互为相反数，得出，代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ，即， 当，即时， 解得或， 抛物线与轴的交点坐标为，， ； 【小问2详解】 （ⅰ）解：该二次函数有最小值， ， ， ， 解得，（舍）， 的值为1； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $