精品解析：宁夏银川市宁夏开元学校2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题

2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合的元素个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 2. 复数（其中是虚数单位）的虚部是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案． 【详解】解：，故复数的虚部为， 故选：C 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 3. 已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，椭圆的方程为且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆定义求出的值，根据离心率定义求出结果. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 故选：A. 4. 记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，，故，，再结合函数是增函数，得，进而得. 【详解】显然，故必然有， 所以，， 由于，函数是增函数， 故，即，故. 故选：A. 5. 已知夹角为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 故选：A 6. 函数的部分图象如图所示，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，求得，即可求出结果. 【详解】由图知，得到，又由图知， 由，得到，又，所以， 由，得到，所以， 得到， 故选：C. 7. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 8. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点，若，则以为直径的圆被轴截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，由给定向量等式求出直线的倾斜角，法一：求出直线方程并与抛物线方程联立，求出圆半径及圆心横坐标即可；法二：作出几何图形，结合抛物线焦点弦的几何性质求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由对称性不妨令点在第一象限， 法一：如图，，过B作准线的垂线，垂足为，由，得， 则，即直线AB的倾斜角为，直线方程为，设， 由，得， 则，即以为直径的圆的半径为， 而中点到轴距离， 所以以线段为直径的圆被轴截得的弦长为. 故选：C 法二：记中点为M，分别过作准线的垂线，垂足分别为， 则，即以AB为直径的圆与抛物线准线相切， 由，得，则，即直线AB的倾斜角为， ， 又M到y轴的距离， 所以以线段AB为直径的圆被轴截得的弦长为. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的焦距为 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断． 【详解】双曲线，则， 双曲线的实轴长为，故A错误； 双曲线的焦距为，故B正确； 双曲线的离心率，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，故D错误． 故选：BC． 10. 如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面平行、垂直的判定定理逐项分析判断. 【详解】因为六棱锥的底面是正六边形，则， 且平面，平面，可得平面，故D正确； 又因为平面，平面，则， 且，，平面， 所以平面，故B正确； 由正六边形的性质可知：， 且平面，平面，可得平面，故C正确； 若平面PAD，由平面，则， 可得四边形为正方形，即， 则为等边三角形，则， 这与相矛盾，所以与平面不垂直，故A不正确. 故选：BCD． 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为0 B. 若且，则 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若是的三边，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断AB；利用函数定义域不对称判断C；利用函数单调性、结合放缩法与作差法判断D. 【详解】对于A，当时，函数， 当且仅当1，即时，等号成立， 所以函数的最小值为0，故A选项正确； 对于B，由，得， 即（当且仅当4时，等号成立），故B选项正确； 对于C，由的定义域为且，可知的定义域不关于点对称， 所以函数的图象不关于点中心对称，故C选项错误； 对于D，在上单调递增，是的三边， 则，， 所以，故D选项正确. 故选：ABD. 第二卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得. 【详解】，所以曲线在处的切线斜率为. 故答案为:. 13. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知找到角之间的关系即和，即可求解. 【详解】由已知条件得 ∵， ∴ ， 故答案为：. 14. 已知函数满足，且恰有一个极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数满足，得到，恰有一个极值点，转化为有唯一解，且在解的两边导数值正负相反，参变分离求出的范围. 求范围，转化为函数值域即可. 【详解】满足，即，即， 且恰好有一个极值点， 有唯一解. 且在解的两边导数值正负相反（∗）. 即有唯一解. 令，则，解得. 递增， 递减， 所以时，函数取极大值，极大值为. 画出草图. 则或. 当时，， ， 解得， 递增， 递减， 当时，函数取极大值，极大值为. 由于（∗），则舍去. 经检验满足题意. 则.令， ，解得. 递增， 递减， 当时，函数取极大值，极大值为 画出图像， 则值域为，即取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围的问题，本题求解参数范围的基本思路是导函数零点的个数，参变分离，转化为两个函数交点个数.从而确定参数的范围.后将两个参数的函数通过消元转化为的函数，后用导数研究关于的函数值域.思维量大，综合性强，属于难题. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，列出方程组，求出数列的公差和公比，进而写出通项公式； （2）根据分组求和法，以及等差数列和等比数列前n项和公式，求出结果即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意有，即， 因为，解得， 所以， . 【小问2详解】 因为 所以前n项和 ． ∴前n项和． 16. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，求锐角周长的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【小问1详解】 由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 17. 如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点. （1）证明： （i）面； （ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. （2）求二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）由是等边三角形，且的外接圆为圆得到为的中心，由为圆的直径得到，由圆柱的性质得到圆所在的平面，从而得到，利用线面垂直的判定定理得到平面.（ii）由题意得到平面，从而得到三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，可以得到，即为的中点，从而可以求出的值，得证. （2）利用空间向量法求解，求出平面和平面的一个法向量，设二面角的平面角为，利用向量的数量积求出，通过换元法求出的范围，即为二面角的余弦值的取值范围. 【小问1详解】 （i）是等边三角形，且的外接圆为圆，为的中心， 为圆的直径，， 四边形为正方形，， 平面与圆所在的平面交于，平面与圆所在的平面垂直， 圆所在的平面， 圆所在的平面，，，平面， 平面. （ii）的外接圆为圆，平面， 三棱锥的外接球的球心在上， 设球心为，球的半径为，则，， ，，，， ，， 为的中点，，，， 不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. 【小问2详解】 以为原点，过作的平行线作为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，，，设， ，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， ，， 平面的一个法向量为，， 二面角的平面角为，由两个平面的法向量均指向二面角内部， 则， 设， ，，， ， 当时，， 当时，， ，，，，，， ，； 当，， ，，，，，， ，； 综上可知，， 则二面角的余弦值的取值范围为. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆的左右顶点可知的值，设，则，分别表示出再根据即可求出，则可得椭圆标准方程； （2）设直线方程为，将直线和椭圆方程联立可得，由韦达定理可得的值，求出，再由点到直线距离公式求出左顶点到直线距离，由面积公式可得到面积，再根据换元法即可求出最大值； （3）假设存在使得，分别表示出，再根据，代入到，由（2）韦达定理可知的值，代入到上式，再根据对任意的都成立，可求出值. 【小问1详解】 由椭圆的左右顶点可知， 设，则， 化简可得，则， ， 所以，则椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为， ，将直线和椭圆方程联立， 代入可得， 由韦达定理可知， 则， 而， 代入可得， 根据点到直线距离公式， 所以， 令则，所以， 函数在上单调递增， 所以即时，， 此时的面积最大，最大值为； 【小问3详解】 假设存在使得，分别求出， 因为在直线上， 所以， 故， 化简可得， 由（2）知， 则，所以可得， 整理化简可得， 要对任意的都成立，需系数满足， 解得，故存在，使得. 19. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）当时，若，求的最大值； （3）若恰有2个零点和3个极值点，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）1 （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）计算得，构造函数，求导得其单调性，则得到其最值，从而判断出其小于等于0； （2）取，分和讨论即可； （3）设，求导得其单调性，再假设新函数，求导后利用极值点个数得到相关不等式，解出即可. 【小问1详解】 . 设，则， 故当时，在区间上单调递增； 当吋，在区间上单调递减， 故． 因此，得证． 【小问2详解】 取，则，由（1）知在区间上单调递减， 故当时，，故必有, 当时，，则， 故当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增， 故，符合题意，因此的最大值是1． 【小问3详解】 设， 则， 故当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增， 所以当时，取极小值． 当时，，当时，， 若恰有2个零点，则，得． ，设， 则，由恰有3个极值点，得必有2个正零点， 记为，故， 即， 当，或时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减， 当时，取极大值，当时，取极小值， 由恰有3个极值点，则必有3个正零点， 由有， 故． 因为， 所以必有，即， 由，有，则． 由，有，即， 因为函数在区间上单调递增，若， 则，矛盾， 故得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合的元素个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 无数个 2. 复数（其中是虚数单位）的虚部是（ ）. A. B. C. D. 3. 已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，椭圆的方程为且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知夹角为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 10 6. 函数的部分图象如图所示，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 8. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点，若，则以为直径的圆被轴截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的焦距为 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为 10. 如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为0 B. 若且，则 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若是的三边，则 第二卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线斜率为______. 13. 若，，则__________． 14. 已知函数满足，且恰有一个极值点，则的取值范围为__________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，求锐角周长的取值范围. 17. 如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点. （1）证明： （i）面； （ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. （2）求二面角的余弦值的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）当时，若，求的最大值； （3）若恰有2个零点和3个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $