精品解析：安徽六安第二中学河西校区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

六安二中河西校区2026年春学期高一年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨勇 审题人：杨龙琴 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 3. 已知平面向量不共线，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 4. 已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（ ）. A. B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（ ） A. 18 B. C. D. 34 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 10. 已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若，则的值为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 11. 设复数在复平面内对应的点为，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 任何两个复数不能比较大小 B. 若，则或 C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为π D. 若点坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，答案需填最简形式. 12. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________. 13. 已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为______． 14. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求的周长. 16. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若，且，求的坐标. 17. 如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. （1）求AC； （2）求. 18. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上． （1）求圆柱的表面积与体积； （2）求三棱锥的体积； （3）若D是的中点，求的最小值． 19. 如图，在中，，为的中点，与交于点设，. （1）求 （2）试用表示； （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中河西校区2026年春学期高一年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨勇 审题人：杨龙琴 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 3. 已知平面向量不共线，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 4. 已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆之间的距离的关系进行求解. 【详解】解：设截面圆的圆心与球心之间的距离为d， 则由已知 故选：A 5. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知：， 则向量减法的三角形法则，可得：， 又因为，，所以. 6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 则圆锥的侧面积为， 故表面积为，得①， 又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即， 得②， 联立①②得：，. 故答案为：B. 【点睛】本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系. 7. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知 . 在 方向上的投影: . 方向的单位向量: . 则在方向上的投影向量为. 8. 如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（ ） A. 18 B. C. D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可. 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD 10. 已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若，则的值为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的坐标运算可逐项判断. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与的夹角为锐角，所以， 又时，与的夹角为0， 所以与的夹角为锐角，，故C错误； 对于D，，，，故D正确； 故选：ABD. 11. 设复数在复平面内对应的点为，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 任何两个复数不能比较大小 B. 若，则或 C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为π D. 若点坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的定义判断A；根据复数模的定义判断B：根据复数的运算判断C：根据复数模的几何意义判断D. 【详解】A：复数包含实数和虚数，虚数不能比较大小，但实数可以比较大小，故A错； B：设，则可以得到，即，有好多种情况，例如，，，此时，故B错： C：设，则，即， 所以的集合所构成的图形为环形，如下所示： 所以面积为.故C正确. D：若的坐标为，则， 又是关于的实系数方程的一个根， 所以， 所以，解得，，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，答案需填最简形式. 12. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积. 【详解】因为正方形为一个平面图形的水平直观图， 所以可得原图形是一平行四边形，且，，， 所以平行四边形的面积为. 故答案为：. 13. 已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆台及外接球的轴截面图，易得球心在圆台内部，再利用勾股定理可得答案. 【详解】作出圆台及外接球的轴截面图，如图． 易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为， 则球心到下底面圆的距离为， 由勾股定理得，解得， 则外接球的半径，表面积为． 故答案为： 14. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求； （2）由余弦定理及已知得，进而即得. 【小问1详解】 由及正弦边角关系得， 而，整理得， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 进而得，得， 所以的周长为. 16. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解； （2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 已知，解得，. 由，代入坐标得：， 则，解得：； 【小问2详解】 设（为实数）， 由，可得： 解得，即或， 所以或. 17. 如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. （1）求AC； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得； （2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可 【小问1详解】 因为的面积为，所以. 又因为，，所以. 由余弦定理得，， ，所以. 【小问2详解】 因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以. 18. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上． （1）求圆柱的表面积与体积； （2）求三棱锥的体积； （3）若D是的中点，求的最小值． 【答案】（1）表面积，体积 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合圆柱的表面积和体积公式，即可求解； （2）根据题意，得到为直角三角形，且，结合棱锥的体积公式，即可求解； （3）将平面绕旋转到和平面共面，得到点在的延长线上，设为点，当三点共线时，取最小值，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 圆柱的底面直径，故半径，且高， 可得圆柱的表面积为， 圆柱的体积为． 【小问2详解】 因为点是圆柱底面圆周上靠近点的三等分点，且， 而为直角三角形， 从而，得，， 所以． 【小问3详解】 解：将平面绕旋转到和平面共面，此时点在的延长线上， 设为点，可得， 即当三点共线时，取最小值， 由题意，， 所以， 故的最小值为． 19. 如图，在中，，为的中点，与交于点设，. （1）求 （2）试用表示； （3）求. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线性运算用表示，，再结合数量积的运算律运算求解； （2）由题意可设：，根据三点共线分析可得，进而可得结果； （3）根据数量积的运算律可得，进而可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：，， 又因为，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由题意可设：， 由于，，三点共线，则，解得， 可得， 所以. 【小问3详解】 由题意可得：， 且， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $