第十一章 一元一次不等式——2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第十一章 一元一次不等式 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 1 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 4 【题型1】不等式的概念与识别 4 【题型2】用不等式表示不等关系 4 【题型3】不等式的基本性质判断 5 【题型4】一元一次不等式的概念与识别 6 【题型5】根据一元一次不等式的概念求参数的值 6 【题型6】一元一次不等式的解法 7 【题型7】一元一次不等式组的解法 8 【题型8】一元一次不等式（组）的整数解问题 10 【题型9】根据含参数的不等式组解集求参数范围 11 【题型10】不等式与方程组综合问题 12 【题型11】不等式（组）的实际应用问题 14 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：不等式、一元一次不等式基本概念 1. 不等式定义：用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式。 易错提醒：不等式中可以没有未知数，例如：也是不等式。这个不等式的概念与方程的概念不同！ 2. 不等式的传递性： （1）如果那么. （2）如果,那么. 考点2：不等式的基本性质 3. 不等式的基本性质： 基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变. 可以用符号表示为:如果,那么. 基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 可以用符号表示为:如果,那么(或 ); 如果,那么(或 ).（易错提醒：此处易错） 考点3：一元一次不等式（组）及其解集的概念、表示方法 1.一元一次不等式定义：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的次数为1. 2. 不等式的解与解集： 满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解,所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式。 在数轴上表示不等式解集的方法： 不等式的解集 数轴表示 3.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似） （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 4.一元一次不等式组定义： 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。 5.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 . 6.求不等式组解集四种情况： 不等式组 不等式的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 无解 记忆口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 7.解不等式组解集的方法步骤： （1）求出各个不等式的解集； （2）借助数轴或口诀求解集的公共部分。 考点4：一元一次不等式（组）的实际应用解题步骤 1.审题：找出题目中的关于表示不等关系得关键字词“大于”、“小于”、“不超过”等； 2.设元：根据需要设出适当的未知数； 3.列式：根据不等关系，列出不等式或不等式组； 4.求解：解出不等式（组）的解集； 5.检验：检验解集是否符合题意和实际生活； 6.写答：写出答案。 模块3：题型总结 【题型1】不等式的概念与识别 例题1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】用不等式表示不等关系 例题2．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 2．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 3．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 4．2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【题型3】不等式的基本性质判断 例题3．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若 ，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【题型4】一元一次不等式的概念与识别 例题4．下列式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 举一反三 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中是一元一次不等式的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列不等式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【题型5】根据一元一次不等式的概念求参数的值 例题5．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 举一反三 1．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 3．若是关于的一元一次不等式，则________． 4．已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【题型6】一元一次不等式的解法 例题6．解不等式，并将解集在数轴上表示． (1) (2) 举一反三 1．解不等式： (1)； (2)． 2．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 3．解不等式： (1)； (2)． 4．解下列不等式： (1) (2)． 【题型7】一元一次不等式组的解法 例题7．解不等式组：并将其解集在数轴上表示出来． 举一反三 1．求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来． 2．解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 3．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 4．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【题型8】一元一次不等式（组）的整数解问题 例题8．求不等式的最小整数解． 举一反三 1．解不等式，并写出最小整数解． 2．求不等式组：的所有整数解． 3．计算：解不等式组，并写出该不等式组的偶数解． 4．解不等式组：，并求出它的正整数解． 【题型9】根据含参数的不等式组解集求参数范围 例题9．不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 举一反三 1．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 4．（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【题型10】不等式与方程组综合问题 例题10．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 举一反三 1．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 2．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 3．已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 4．关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【题型11】不等式（组）的实际应用问题 例题11．A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 举一反三 1．为了响应《关于全面推进健康学校建设的指导意见》号召，某校决定在每天下午组织学生“校园跑”，并购买跑鞋给优秀完成任务的学生作为奖励，该校购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元． (1)求A，B两种品牌跑鞋的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的跑鞋共20双，正逢鞋店的“优惠促销”活动，A种品牌的跑鞋单价优惠3元，B种品牌的跑鞋单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双，为了节约资金，学校应制定怎样的购买方案？ 2．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 3．新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题． 素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名． 素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元． (1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元． (2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？ (3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值． 4．某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第十一章 一元一次不等式 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 1 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 4 【题型1】不等式的概念与识别 4 【题型2】用不等式表示不等关系 4 【题型3】不等式的基本性质判断 6 【题型4】一元一次不等式的概念与识别 8 【题型5】根据一元一次不等式的概念求参数的值 12 【题型6】一元一次不等式的解法 14 【题型7】一元一次不等式组的解法 17 【题型8】一元一次不等式（组）的整数解问题 19 【题型9】根据含参数的不等式组解集求参数范围 21 【题型10】不等式与方程组综合问题 24 【题型11】不等式（组）的实际应用问题 25 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：不等式、一元一次不等式基本概念 1. 不等式定义：用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式。 易错提醒：不等式中可以没有未知数，例如：也是不等式。这个不等式的概念与方程的概念不同！ 2. 不等式的传递性： （1）如果那么. （2）如果,那么. 考点2：不等式的基本性质 3. 不等式的基本性质： 基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变. 可以用符号表示为:如果,那么. 基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 可以用符号表示为:如果,那么(或 ); 如果,那么(或 ).（易错提醒：此处易错） 考点3：一元一次不等式（组）及其解集的概念、表示方法 1.一元一次不等式定义：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的次数为1. 2. 不等式的解与解集： 满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解,所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式。 在数轴上表示不等式解集的方法： 不等式的解集 数轴表示 3.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似） （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 4.一元一次不等式组定义： 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。 5.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 . 6.求不等式组解集四种情况： 不等式组 不等式的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 无解 记忆口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 7.解不等式组解集的方法步骤： （1）求出各个不等式的解集； （2）借助数轴或口诀求解集的公共部分。 考点4：一元一次不等式（组）的实际应用解题步骤 1.审题：找出题目中的关于表示不等关系得关键字词“大于”、“小于”、“不超过”等； 2.设元：根据需要设出适当的未知数； 3.列式：根据不等关系，列出不等式或不等式组； 4.求解：解出不等式（组）的解集； 5.检验：检验解集是否符合题意和实际生活； 6.写答：写出答案。 模块3：题型总结 【题型1】不等式的概念与识别 例题1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式是用不等号(，，，，)连接，表示不等关系的式子判断即可． 【详解】解：A、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 举一反三 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 2．在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等． 【详解】解：①含有不等号，是不等式； ②含有不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式； ⑤含有不等号，是不等式； 所以共有3个不等式． 3．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 4．下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 【题型2】用不等式表示不等关系 例题2．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最高气温和最低气温的实际含义，气温不低于最低气温，不高于最高气温，包含端点值，即可得到正确结果． 【详解】解：∵当天太原市的最高气温是，最低气温是， ∴气温（单位）满足：不低于最低气温，不高于最高气温可得． 举一反三 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 2．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 3．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 4．2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式．当天气温的最高温度为，最低温度为，因此气温的变化范围应介于这两个温度之间，包括端点．据此即可列出不等式． 【详解】解：根据题意，得当天赫章的气温的变化范围是． 故选：D 【题型3】不等式的基本性质判断 例题3．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、∵， ∴，该选项不等式正确，符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意． 举一反三 1．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质逐一判断选项，找出不一定成立的结论即可． 【详解】解：A．∵， ∴一定成立，不符合题意； B．∵，， ∴一定成立，不符合题意； C．∵，， ∴一定成立，不符合题意； D．当，时，满足， 但，，此时， ∴不一定成立，符合题意． 2．若 ，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴，A变形错误； B选项，∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变， ∴，B变形错误； C选项，∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴，C变形正确； D选项，∵不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴，D变形错误. 3．已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合不等式性质对各选项逐一判断即可． 【详解】∵，， A项：不等式两边同时除以负数c，不等号方向改变，可得，故A错误； B项：不等式两边同时加c，不等号方向不变，可得，故B错误； C项：不等式两边同时乘负数c，不等号方向改变，可得，故C正确； D项：不等式两边同时减c，不等号方向不变，可得，故D错误． 4．若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，不等式基本性质为：不等式两边加(或减)同一个整式，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵根据不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变 ∴，A错误． ∵，两边同时乘，不等号方向改变 ∴，B错误． ∵，两边同时乘正数，不等号方向不变 ∴，C正确． ∵，两边同时除以正数，不等号方向不变 ∴，D错误． 【题型4】一元一次不等式的概念与识别 例题4．下列式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可． 【详解】解：A选项中是等式，不是不等式，不符合要求； B选项中 里，未知数的次数为2，不是1，不符合要求； C选项中含有和两个未知数，不符合要求； D选项中是不等式，只含一个未知数，的次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 举一反三 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解： A． 含有两个未知数，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； B． 中未知数的最高次数是2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； C． 含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； D． 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边都是整式，满足一元一次不等式的定义，符合要求． 2．下列各式中是一元一次不等式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A ： 只含1个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，是不等式，符合一元一次不等式的定义； 对于选项B： 含有两个未知数，不符合定义； 对于选项C： 是等式，不是不等式，不符合定义； 对于选项D ： 中未知数次数为，不符合定义． 3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式不等式，称为一元一次不等式；据此逐一判断即可． 【详解】A．含有和两个未知数，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， B．未知数的次数为，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， C．分母含有未知数，不是整式不等式，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， D．只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式不等式，故该选项是一元一次不等式，符合题意． 4．下列不等式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断即可，一元一次不等式的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且不等号两边都是整式的不等式． 【详解】解：∵一元一次不等式满足：只含一个未知数，未知数最高次数为1，不等号两边均为整式. A、 含有2个未知数，不符合定义，错误； B、 中 是分式，不等号两边不都是整式，不符合定义，错误； C、 中未知数的最高次数为2，不符合定义，错误； D、 只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，正确． 【题型5】根据一元一次不等式的概念求参数的值 例题5．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 举一反三 1．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 2．已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故选：A． 3．若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 4．已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义及绝对值的性质即可确定出m的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 则 ∴． 【题型6】一元一次不等式的解法 例题6．解不等式，并将解集在数轴上表示． (1) (2) 【答案】(1)，解集在数轴上的表示见解析 (2)，解集在数轴上的表示见解析 【详解】（1）解： 去括号得， ∴ 解得： 解集在数轴上的表示： （2）解： 不等式两边同时乘以去分母得 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 系数化为1时改变不等号方向得 解集在数轴上的表示： 举一反三 1．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤，并注意在不等式两边同乘（或除以）负数时，不等号方向要改变． （1） 通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2） 先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 即． 2．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 x系数化为1，得； 在数轴上表示不等式的解集如下： （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 x系数化为1，得； 在数轴上表示不等式的解集如下： 3．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 4．解下列不等式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 【题型7】一元一次不等式组的解法 例题7．解不等式组：并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，数轴见解析 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 举一反三 1．求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】分别求出不等式的解集即可得到不等式组的解集，依据数轴的特点将解集表示在数轴上． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图： ． 2．解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式组的解集为： 所以不等式组的解集是． 3．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 4．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)作图见详解 (4) 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，最后利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，，得． （2）解：解不等式②，，得． （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4）解：原不等式组的解集为． 【题型8】一元一次不等式（组）的整数解问题 例题8．求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 举一反三 1．解不等式，并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式最小整数解为． 2．求不等式组：的所有整数解． 【答案】所有整数解为：，，，，． 【分析】先求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，然后再写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴所有整数解为，，，，． 3．计算：解不等式组，并写出该不等式组的偶数解． 【答案】 不等式组的解集为，偶数解为 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组的偶数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的偶数解为：，． 4．解不等式组：，并求出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解为 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后从解集中筛选出正整数即可． 【详解】解：， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 即不等式组的解集为：，其正整数解为． 【题型9】根据含参数的不等式组解集求参数范围 例题9．不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等式方向改变， ∴， 解得． 举一反三 1．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 2．已知不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 当时，解得；当时，（不符合题意）． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， 所以a的取值范围是． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)整数的值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，可得，结合，可列出关于m的不等式，求解即可； （2）根据不等式的解集为得到，再结合（1）可求出m的取值范围，找出整数m即可解答． 【详解】（1）解： ，得， ∴． ， ， ∴． （2）解：不等式可变形为． ∵的解集为， ， ， 由（1）有， ∴ ∴整数的值为． 4．（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 【题型10】不等式与方程组综合问题 例题10．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 举一反三 1．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 2．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 3．已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 4．关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出方程组的解，进而求出，再根据已知列出关于的不等式组解答即可求解； （）由已知得，即得，再结合（）的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：解二元一次方程组，得， ∴， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 由（）知，， ， 的取值范围是． 【题型11】不等式（组）的实际应用问题 例题11．A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 【答案】(1)A最少买20本 (2)第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本 【分析】（1）设A款买x本，则B款买本，根据总费用不超过260元、A数量不少于B的列不等式组求解即可； （2）根据（1）中x的取值范围写出所有购买方案即可． 【详解】（1）解：设A款买x本，则B款买本，由题意，得 ， 解得， 所以A最少买20本； （2）解：∵， ∴x可取∶20、21、22、……、40，共21种方案， 方案：第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本． 举一反三 1．为了响应《关于全面推进健康学校建设的指导意见》号召，某校决定在每天下午组织学生“校园跑”，并购买跑鞋给优秀完成任务的学生作为奖励，该校购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元． (1)求A，B两种品牌跑鞋的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的跑鞋共20双，正逢鞋店的“优惠促销”活动，A种品牌的跑鞋单价优惠3元，B种品牌的跑鞋单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双，为了节约资金，学校应制定怎样的购买方案？ 【答案】(1)A种品牌跑鞋的单价是40元，B种品牌跑鞋的单价是60元； (2)为了节约资金，学校应购买10双A种品牌的跑鞋，10双B种品牌的跑鞋． 【分析】（1）设种品牌跑鞋的单价是元，种品牌跑鞋的单价是元，根据“购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买双种品牌的跑鞋，则购买双种品牌的跑鞋，根据“此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌跑鞋的单价是元，种品牌跑鞋的单价是元， 根据题意得， 解得， 答：A种品牌跑鞋的单价是40元，B种品牌跑鞋的单价是60元； （2）解：设购买双种品牌的跑鞋，则购买双种品牌的跑鞋， 根据题意得， 解得． 又为正整数， 可以为10，11，12，13，14． ∴购买种品牌的跑鞋越少，总费用越少， 答：为了节约资金，学校应购买10双A种品牌的跑鞋，10双B种品牌的跑鞋． 2．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型单价是15万元，乙型单价是10万元 (2)共有2种采购方案 (3)采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元 【分析】（1）设甲型、乙型单价各是万元，万元，由购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型单价各是15万元，10万元． （2）解：设购买甲型a块，依题意，得 解①，得， 解②，得， 解③，得， ∴不等式组的解集为， ∵a为整数 ∴a的取值为59，60，共2种采购方案． （3）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵，（块） ∴采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元． 3．新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题． 素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名． 素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元． (1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元． (2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？ (3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值． 【答案】(1)线上30元/个，线下35元/个 (2)1000、1001、1002个 (3) 【分析】（1）设线上售价x元/个，线下售价y元/个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设线上销售a个，线下销售个，根据题意列出不等式组即可求解； （3）根据题意列出代数式，然后化简即可． 【详解】（1）解：设线上售价x元/个，线下售价y元/个 根据题意得：， 解得：， ∴线上30元/个，线下35元/个； （2）解：设线上销售a个，线下销售个， 根据题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴， ∴线上销售个数可能有个或个或个； （3）解：根据题意得：利润， ∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值， ∴， 解得：． 4．某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【答案】(1)杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； (2)共有种进货方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键． （）设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设杨梅购进斤，则龙眼购进斤，由题意可得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元， 根据题意，得，解得， 答：杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； （2）解：设杨梅购进斤，则龙眼购进斤， 由题意，可得， 解得， ∵为整数， ∴共有种进货方案． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $