精品解析：广东广州中学2025-2026学年第二学期期中考试高一 数学试卷

广州中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 棱台不具有的性质是（ ） A. 两底面相似 B. 侧面都是梯形 C. 侧棱延长后交于一点 D. 侧棱长都相等 4. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 5. 已知复数，复数为复数的共轭复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知，，与的夹角为60°，则（ ） A. B. C. 36 D. 72 7. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ） A. 相等的线段在直观图中仍然相等 B. 平行的线段在直观图中仍然平行 C. 垂直的线段在直观图中仍然垂直 D. 相等的角在直观图中仍然相等 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（ ） A. B. C. 50 D. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（ ） A. 直线和直线是异面直线 B. 直线和直线是异面直线 C. 直线和直线是异面直线 D. 直线和直线是异面直线 11. 在中，，，三角形的面积为，周长为，则下列关于的说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为3 C. D. 若，则满足条件的恰有一个 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若满足，则的最大值是_______. 13. 若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 14. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图空间四边形，E、F、G、H分别为、、、的中点且，试判断四边形的形状，并给予证明. 16. 已知复数. （1）若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； （2）为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为， （1）求角A的大小； （2）若，求的面积． 18. 如图，边长为6的正方形中，在边上运动，在边上运动，与交于点G. （1）若E，F分别是，的中点，用向量法证明； （2）若E是的中点，，，求实数的值； （3）若，，求的最大值. 19. 在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）求证：正的外心是的布洛卡点； （2）若满足，且时，求； （3）角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法运算求得，即可求解． 【详解】因为，所以的虚部是． 故选：C． 2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 所以与向量同向的单位向量的坐标为：， 故选：B 3. 棱台不具有的性质是（ ） A. 两底面相似 B. 侧面都是梯形 C. 侧棱延长后交于一点 D. 侧棱长都相等 【答案】D 【解析】 【详解】根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 所以棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似；每个侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点； 故选项A,B,C都是棱台具有的性质，棱台的侧棱有的相等，有的不相等，故选项D是棱台不具有的性质. 4. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 5. 已知复数，复数为复数的共轭复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由复数可得， 因此， 所以. 6. 已知，，与的夹角为60°，则（ ） A. B. C. 36 D. 72 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 则. 7. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ） A. 相等的线段在直观图中仍然相等 B. 平行的线段在直观图中仍然平行 C. 垂直的线段在直观图中仍然垂直 D. 相等的角在直观图中仍然相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可. 【详解】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行； 对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直； 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等. 故选：B. 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（ ） A. B. C. 50 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，，米,利用正弦定理求出,在中，求出即可. 【详解】由已知，，米，故， 而 所以，即，解得， 又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即， 所以在中，. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 【答案】AD 【解析】 【详解】A. 为纯虚数，故A正确； B.，只有时，才是实数，故B错误； C.，只有时为虚数，为实数，故C错误； D. 为实数，故D正确. 10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（ ） A. 直线和直线是异面直线 B. 直线和直线是异面直线 C. 直线和直线是异面直线 D. 直线和直线是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先还原几何体，再判断线与线的位置关系. 【详解】展开图还原为几何体后，如图: 直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，和平行，所以ABC正确，D错误. 11. 在中，，，三角形的面积为，周长为，则下列关于的说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为3 C. D. 若，则满足条件的恰有一个 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据三角形边的关系求解判断；对于B，根据判断；对于C，根据射影定理来推导判断；对于D，根据判断. 【详解】对于A，根据三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得， 即， 所以，故A选项正确； 对于B，由题意知：， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为3，此时，故B选项正确； 对于C，根据余弦定理，①， ②， 所以，得 ，故C选项正确； 对于D，因为，，，所以， 如图，因为，所以满足条件的有2个，故D选项错误. 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若满足，则的最大值是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分析几何意义，再求的最大值 【详解】表示到点的距离为3的点的集合， 由图可知，当动点为延长线与圆C的交点时，取得最大值 ，因为的长度等于，所以的最大值是. 13. 若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 【答案】 【解析】 【详解】正六棱台的表面积， 而，， ， 所以. 14. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图空间四边形，E、F、G、H分别为、、、的中点且，试判断四边形的形状，并给予证明. 【答案】菱形，证明： 因为，分别是空间四边形的边，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； 【解析】 【分析】先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； 【详解】略 16. 已知复数. （1）若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； （2）为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【小问1详解】 复数，即复数在复平面上对应点坐标为， 对应点落在第四象限，即，解得. 【小问2详解】 为的共轭复数，所以， ，即，解得，即， 是关于的方程的一个根， 代入可得，化简可得， 即，解得，，所以原方程为， 利用求根公式可得， 所以该一元二次方程的另一复数根为. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为， （1）求角A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，结合三角和差公式化简得，进而得到即可； （2）由余弦定理得，即，结合，得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 由及正弦定理， 得， 即， 又，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以， 又，所以，解得， 所以． 18. 如图，边长为6的正方形中，在边上运动，在边上运动，与交于点G. （1）若E，F分别是，的中点，用向量法证明； （2）若E是的中点，，，求实数的值； （3）若，，求的最大值. 【答案】（1） 如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，    则，所以，， ，所以. （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）建系，利用向量内积的坐标表示，即可证明； （2）建系，利用向量坐标运算，建立方程，即可求解； （3）建系，设正方形的边长为1，，构建函数模型，根据基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，    则，所以，， 设点，则， 由，得， 所以，即，得到， 设，则， 所以，解得. 【小问3详解】 因为三点共线，且， 所以， 正方形的边长为6，设， 则， 所以，，， 所以， 又，所以， 所以，， 所以， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：的最大值为1. 19. 在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）求证：正的外心是的布洛卡点； （2）若满足，且时，求； （3）角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域. 【答案】（1） 若是正的外心，则，所以，，因此，同理可得：， 所以，则正的外心是的布洛卡点. （2） （3），；值域为 【解析】 【分析】利用三角形的三边长关系准确找到边长的取值范围进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 代入数据解得：，故， 在中，设，则，，所以， 在中，由正弦定理得：， 代入数据得：，即：， 在中，由正弦定理得：， 代入数据得：，即：， 所以，即：， 利用正弦的差角公式展开：，所以， 则. 【小问3详解】 因为，所以， 则， 由题可知：，所以，则， 利用余弦定理可得：， 化简得：， 又因为，所以， 三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边， 所以，则，即：. 令，其中，分析可得：在上单调递减，且 ，， 所以值域为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $