8 数学广角——找次品（教学设计）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

2026年祁阳市优质教学资源评选活动 ---五年级年级下册第八单元《数学广角——找次品》教学设计 课程基本信息 主备人 刘琪 课型 新授课 学科 数学 年级 五年级 学段 小学 版本章节 人教版第八单元 教学目标 1.知识与技能：能根据物品数量确定找出次品所需的最少次数，会用简洁方法记录称的过程，掌握“一分为三”的策略解决简单的找次品问题。 2.过程与方法：通过探索、观察与比较，探索“找次品”规律的过程，积累通过操作、推理寻找最优策略的数学活动经验。 3.情感态度与价值观：体会解决问题策略的多样性及最优方案的有效性，感受数学优化思想在生活中的广泛应用，培养严谨推理的学习态度。 教学重难点 教学重点：探索出找次品方法的多样化和最优化方法，理解和体会最优方案的特点。 教学难点：能够用简明的方法记录找次品的思维过程。在观察、比较中初步体会找次品最优方案的特点。 教材分析 《数学广角——找次品》是人教版小学数学五年级下册第八单元“数学广角”的内容。本节课主要引导学生通过“找次品”这一探究活动，体会优化思想，掌握“把待测物品平均分成3份”的最优策略。此前学生已学过“沏茶问题”“田忌赛马”“打电话”等优化内容，本课是在此基础上的进一步延伸，同时为后续学习更复杂的逻辑推理和策略优化奠定基础。教材从3瓶、9瓶、8瓶逐步递增，让学生在对比中自主发现最优分法，培养推理能力和模型意识。 学情分析 五年级学生已经具备一定的逻辑思维能力和合作探究能力，能够进行简单的推理和比较。在此之前，学生已经接触过“沏茶”“打电话”等优化问题，对“至少”“保证”等词语有一定了解，但理解往往不够深入，容易把“最少次数”理解为“最好情况下的次数”。此外，学生对“一分为三”的策略缺乏自觉意识，容易按2等分或随意分组的习惯去思考。因此，本节课需要通过大量操作、对比和讨论，帮助学生逐步抽象出“尽可能平均分成3份”这一最优策略。 教学准备 课件（PPT）、天平模型（或天平图示板）、含片模型或圆片学具（每组若干）、小组合作学习单 教学过程 教学环节 教师指导 学生活动 设计意图 （一）创设情境，引出主题 1. 优化思想的传递：引导学生回顾旧知，提问“之前我们用优化的数学思想解决了‘沏茶’‘田忌赛马’‘打电话’这些问题，谁能说说优化思想的核心是什么？”，自然引出本节课继续用优化思想拓展数学思维。 2. 认识次品，揭示含义： （1）展示一瓶特殊的含片，说明“这瓶含片因为操作员失误，比其他含片少了一颗”，提问“大家想想，这一瓶和其他正常的相比，会有什么不一样？” （2）结合学生回答，从重量差异切入，引出次品的定义：“生活中常常有这样的情况，在看似完全相同的物品中混着一个质量不同的，可能轻一点可能重一点，我们把它叫做‘次品’”。 3. 情境引入任务一：创设生活情境，“小明在购物时买了3瓶含片，运气不好，其中有一瓶就是较轻的次品，怎样才能保证找到它？”，明确本节课第一个探究任务。 回顾旧知，回忆优化思想的核心，激活已有知识经验。 观察特殊含片，结合生活经验感知“少一颗会更轻”，理解次品的含义，明确次品的核心特征是“外观相同、质量异常”。 围绕3瓶找次品的问题，初步思考解决方法，做好探究准备。 衔接旧知，帮助学生建立知识的连贯性，让学生感知优化思想是贯穿数学学习的重要方法，为整节课奠定思想基础。 用生活中常见的含片作为载体，将抽象的“次品”概念具象化，降低理解难度，激发学生的学习兴趣。 以3瓶这个简单的数量作为切入点，搭建探究阶梯，让学生从易到难逐步掌握找次品的方法。 （二）话题推进，直指本质 1. 明确“程序”，建立模型： （1）预设学生的不同回答，针对“用手掂或者数一数”“用电子秤称一称”“用天平称”三种思路，逐一引导分析，对比不同方法的优劣。 （2）引出天平，向学生介绍天平的左盘、右盘，说明天平的工作原理：“天平平衡时，两边物品质量相等；不平衡时，上翘的一端物品更轻，下沉的一端更重”。 2. 强调“可能”，敢于推理： （1）针对3瓶找次品的问题，提问“怎么理解‘保证’找到次品？”，引导学生明确“保证”就是“一定找到”，要考虑最不利的情况，区分“运气好称1次找到”和“无论次品在哪都能1次找到”的区别，纠正“称2次”的不优思路。 （2）引导推理，突出“外盘”：师生共同演示，在天平左右盘各放1瓶，分两种情况分析： ① 天平不平衡：上翘的那一端就是次品； ② 天平平衡：说明天平左盘和右盘的含片质量一样，那天平外面的那一瓶就是次品，强调“虽然有一瓶没称，但我们可以通过推理确定它是次品”。 提问“次品可能在天平的左盘，可能在天平的右盘，还可能在？”，引出“外盘”的概念，说明“外盘是虚拟的托盘，没有上秤的物品都在外盘中”。 （3） 用简明的方法记录找次品的过程：板书3（1,1,1）1次 （4） 讲解记录方法的含义：3代表总共有3瓶物品，（1,1,1）代表分成3组，每组1瓶，分别放在左盘、右盘、外盘，1次代表只需要称1次就能保证找到次品。 . 分享自己的找次品思路，对比不同方法的优缺点，理解天平称量的科学性和便捷性，认识天平的结构和原理。 理解“保证”的含义，明确找次品要考虑最不利情况，不能只靠运气。 参与演示和推理，掌握3瓶找次品的逻辑，理解“外盘”的虚拟托盘作用，学会用数学方法记录找次品的过程。 尊重学生的多元思考，通过对比分析，让学生自主选择最优工具，建立找次品的核心模型。 突破“保证”这个概念难点，培养学生严谨的逻辑推理意识，避免只考虑幸运情况的思维误区。 以3瓶为载体，让学生掌握找次品的基础推理方法和记录方法，为后续拓展更多数量的找次品问题做好铺垫。 （三）拓展延伸，引导猜想 1. 增加待测物品的个数，完成任务二： 提出问题“9瓶含片中有1瓶是次品（次品轻一些），假如用天平称，至少称几次就保证找出次品呢？”，提问“怎么理解‘至少’？”，引导学生明确“至少”就是“次数最少”，要在保证找到的前提下，用最少的称量次数解决问题。 （1）探索9瓶： ① 明确问题要求，让学生先独立思考，尝试设计分法和称量步骤； ② 组织学生小组合作、讨论交流，完善自己的思路； ③ 请学生汇报9瓶含片的找次品情况，老师及时记录不同分法和对应的称量次数，板书三种分法： 分法1： 9(2,2,5)— 5（2，2,1）—2（1,1） 共3次； 分法2：9(4,4,1)— 4（2,2）—2（1,1） 共3次； 分法3：9(3,3,3)- 3（1,1,1）共2次。 （2） 引导学生观察、分析比较：提问“这三种都是分成三份，哪一种更好？为什么？”，引导学生得出“平均分成三份最好，因为这样分，可以保证称1次排除的个数是最多的”，再追问“排除的越多，次品所在的范围就越？”，引导学生理解“排除越多，次品范围越小”。 （3）师生共同分析三种分法的排除效果： 分法1：9分成（2,2,5），最坏情况天平平衡，排除4瓶，次品在5瓶中； 分法2：9分成（4,4,1），最坏情况天平不平衡，排除5瓶，次品在4瓶中； 分法3：9分成（3,3,3），无论平衡与否，都排除6瓶，次品在3瓶中。 提问“我们要想办法缩小次品所在范围就需要怎么办？”，引导学生总结“把待测物品平均分成三份”。 2. 学以致用，拓展思维： （1）任务三：提出问题“8瓶含片中有1个是次品（次品轻一些），假如用天平称，至少称几次就保证找出次品呢？”，引导学生思考“8不能正好平均分成3份，列算式8÷3=2……2，这两瓶该怎么处理呢？” ① 要求学生不操作，写下完整的称量过程； ② 请学生汇报分法 引导学生分析两种分法的优劣，理解“尽可能平均分三份”的策略。 （2）课末总结，梳理提升： ① 学生小结：提问“要想保证用最少的次数找到次品，最优的方法是什么呢？”，引导学生观察得出“找次品最优的方法是将待测物品尽可能地平均分成三份，三份中最多的一份和最少的一份相差1”。 ② 教师总结：梳理找次品的完整步骤： A.明确次品的轻重； B.确定次品的个数； C.用最优的方法解决：把待测物品尽可能地平均分成3份，3份中最多的一份和最少的一份只相差1。 理解“至少”的含义，明确探究目标。 独立思考9瓶找次品的分法，小组合作交流，完善思路，汇报自己的分法和称量次数。 对比三种分法，分析不同分法的排除效果，总结“平均分成三份最优”的规律，理解“排除越多，次品范围越小”的逻辑。 探究8瓶找次品的分法列算式：8÷3=2……2，思考余数的处理方法，对比不同分法的优劣，验证“尽可能平均分三份”的策略。 学生汇报分法，对比两种思路： 8（2,2,4）—4（2,2）—2（1,1）称3次； 8（3,3,2）—3（1,1,1）称2次 分析两种分法的优劣，理解“尽可能平均分三份”的策略。 总结找次品的最优方法和完整步骤，梳理本节课的知识体系。 以9瓶为核心探究载体，让学生在自主探究、对比分析中，自主发现找次品的最优策略，深化对优化思想的理解。 通过8瓶的探究，完善“不能平均分3份时，尽可能平均分”的策略，让规律更具普适性，培养学生灵活应用知识的能力。 培养学生的合作探究能力、逻辑推理能力和归纳总结能力，让学生经历“提出问题—探究问题—总结规律—应用规律”的完整学习过程。 （四）随堂练习，巩固新知 1. 布置教材第114页第3题和第2题： （1）“有15盒饼干，其中14盒质量相同，另有1盒少了几块。假如用天平称，至少称几次能保证找出这盒饼干？” （2）“有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？” 2. 巡视学生的完成情况，针对学生的易错点进行指导，组织集体订正，让学生分享自己的分法和思路，强化“把待测物品尽可能地平均分成三份时，保证找到次品的次数最少”的核心规律，同时强调“次品轻重不影响最优策略，只影响判断时的上下翘方向”。 独立完成两道练习题，运用本节课学习的最优策略解决问题，写出完整的分法和称量过程。 分享自己的解题思路，订正错误，巩固找次品的最优方法，熟练掌握“尽可能平均分三份”的操作要求。 通过针对性练习，巩固本节课的核心知识，让学生熟练应用最优策略解决不同数量、不同轻重的找次品问题。 兼顾“次品较轻”和“次品较重”两种情况，完善学生对找次品问题的全面认知，提升学生的知识应用能力。 （五）课后思考 布置教材113页“你知道吗？”的课后思考题，引导学生探索找次品的次数规律，提问“大家看看物品数量和称量次数之间有什么关系？能不能总结出通用的规律？”，鼓励学生带着数学眼光继续探究，结束本节课。 课后自主探究教材“你知道吗？”的内容，尝试总结找次品的次数与物品数量的关系，完成课后思考任务。 延伸课堂内容，激发学生的深度思考，培养学生的探究精神和自主学习能力。 为后续学习找次品的通用规律做铺垫，让学生的学习从课堂延伸到课外。 板书设计/课堂小结 找次品 天平：左盘，右盘，外盘 保证、至少 8(3,3,2)-3（1,1,1）称2次 9(3,3,3)-3（1,1,1）称2次 最优方法：把待测物品尽可能地平均分成3份。 教学反思 本节课以“优化思想”为主线，从3瓶到9瓶再到8瓶，层层递进引导学生发现“尽可能平均分成3份”的最优策略。教学中，学生通过小组合作、对比不同分法，能够主动发现平均分成3份的优势，较好地突破了难点。但在实际操作中，部分学生对“保证”与“至少”的理解仍不够清晰，需要在后续练习中进一步强化。整体来看，学生参与度高，思维活跃，基本达成了预设的教学目标。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $