8.3.1 分类变量与列联表 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

课题名称 （数学选择性必修 第三册） 第8章： 成对数据的统计分析 第3节：列联表与独立性检验 课时1：8.3.1分类变量与列联表 学校 年级班级 课题 8.3.1分类变量与列联表 课型 新授课 授课教师 学 习 目 标 确 立 依 据 课程标准分析 课 标 要 求 内容要求：通过实例，理解2×2列联表的统计意义； 教学提示：理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性； 学业要求：掌握运用2×2列联表的方法，重点提升数据分析、逻辑推理、和数学抽象的核心素养； 课 标 解 读 ①知识目标： (1）了解分类变量与数值变量的区别。 (2）通过实例，理解通过应用比较相关比率、条件概率判断分类量变的关联性，利用2x2列 联表或等高堆积条形图可以初步检验两个随机变量的独立性： ②素养目标： 通过相关比率、条件概率的计算提升数学运算核心素养； 要了解概念和方法产生的必要性及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点。 ③育人目标：通过本单元的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个分类变量有关联的可性，是依据数据进行合理推理的典型方法，体现了数学的理性精神，使学生学会用数学的眼光看问题、看世界；教学中适当地学生合作与交流，体会与他人合作的重要性。 统计的教学活动应通过典型案例进行。教学中应通过对一此典型案例的处理， 使学生经历较为系统的数据处理全过程，在此过程中学习数据分析的方法，理解 数据介析的思路，运用所学知识和方法解决实际问题。通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意 识和能力，适应数字化学习的需要，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依 托数据探素事物本质、关联和规律的活动经验。 目标解析达成上述目标的标志是： 能分辨分类变量和数值变量，准确说出情境中的分类变量和数值变量，并能通过问题情境 的数据和条件做出2x2列联表，并计算比率； (2）基于2x2列联表，能通过具体实例，解释通过条件概率分析两个分类变量独立性的方法。 教学内容 分析 和数值变量不同，分类变量取值表示个体所属类别.本节研究取值于{0，1}的两个分类变量是否有关联或相互影响。2×2列联表是由两个分类变量进行交叉分类频数分布表，每个表只取两个值，能够更清晰、更全面地呈现数据。 对于普查数据，可以通过计算比率、条件概率准确地判断两个变量之间是否有关联。对于抽样调查需根据成对样本数据计算频率，根据频率稳定于概率推断总体的两个分类变量是否独立。样本具有随机性，依据频率所作的推断可能会错误，从未下一节独立性检验铺垫。 学情分析 学生在前面的学习中，主要学习了统计估计的推断方法。例如，用样本数据的均值和方差分别估计总体的均值和方差；用样本相关系数估计两个数值变量的相关系数，从而推断这两个变量线性关系的密切程度；利用最小二乘思想估计一元线性回归模型中的参数。学生已经学习用图表法和数字特征，两种方式处理样本数据，有了一定的处理样本数据的基础，本节内容引出2×2列联表便顺理成章了，前面还学习了古典概型和条件概率为分析变量间的相关联性做好了铺垫。 本节课从现实生活中学生熟悉的情境性别对是 否经常进行体育锻炼有影响入手，再以与学生密切相关的学科成绩为例，有利于激发学生的学习热情。 通过对学情分析后了得出： 教学重点：分类变量、2×2列联表、判断两分类变量是否独立 教学难点：理解频率稳定概率的统计原理；对量分类变量有关联性的理解 学习目标 1、 能判断变量是数据变量还是分类变量，并掌握分类变量的赋值方法； 2、 掌握运用2×2列联表整理分类数据的方法； 3、 能根据普查数据，用比率和条件概率两种方法判断两个分类变量的独立性 4、会使用excel画等高堆积条形图，并能说明利用样本推断总体会出现错误的原因； 评估任务 ①问题1及追问与问题2的课堂回答情况检验学习目标1。学生能分析整理分类变量的概念，并列举生活中的分类变量的实力，在具体情境中抽象出分类变量。 ②问题3、4及追问的课堂回答情况检验学习目标2、3、4。学生能够应用比率、条件概率、等高堆积条形图判断两分类变量是否有关联。为使数据更加直观清晰，从而发现2×2列联表，并能使用2×2列联表判断两变量是否有关联。 教学过程 环节一：分类变量 教师活动 学生活动 提出问题1：请同学们阅读课本124页第一段、第二段、第三段后，观察下述变量，将其分成两类，并说明分类标准：数学成绩、数学考试等级、体重、国籍、身高、行业 名称 变量 分类标准 分类变量：区别 现象和性质的变量。 并板书分类变量的概念 追问：请举出分类变量的实例，并表示分类变量？ 自行阅读课本并整理分类变量和数值变量的概念，判断六个变量的分类，并初步感受对分类变量的赋值。 设计意图：通过学生自行阅读课本，感受分类变量和数值变量之间的关系，学习分类变量的赋值方法，追问可以进一步检测学生对分类变量的掌握情况，并展示如何为分类变量赋值，为后续做铺垫。 环节二：情景分析 教师活动 学生活动 在情景1：为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查。学校学生的普查数据如下： 523名女生中有331名经常锻炼； 601名男生中有473名经常锻炼。 提出问题2：是否有分类变量？如有，请将其列出编号；并展示分类变量及其表示； 提出问题3：比较以上数据，说说如何判断该校男生女生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异？ （巡视学生发现典型问题或典型思路，让学生进行展示。） 追问1：请从条件概率的角度，解释上述式子分别是哪个事件的发生概率？ （教师在问题3的解答中分析每一个数据代表的含义，从而帮助学生发现，此式子表示条件概率） 追问2：请从概率的知识，给出以下事件的概率表示？ “性别对体育锻炼的经常性没有影响” “性别对体育锻炼的经常性有影响” （教师先让学生说，在进行合适的引导从而发现条件概率与两事件之间的关系） 追问3：能否将以上两组数据整理成表格，使得表示更加直观和清晰？ （让学生上黑板展示列联表，并建立一个古典概型，计算条件概率并得出两事件之间的关系） 教师给出2×2列联表的标准格式，并带领学生分析整理2×2列联表。 追问4：我们是否可以将以上数据整理成图形，使得表示更加直观和清晰？ （教师请学生上台操作，并指导学生） （Excel操作步骤： STEP1：用Excel打开2×2列联表所在文件； STEP2：选中2×2列联表，交叉频数部分； STEP3：点击工具栏：插入—柱形图—百分比堆积条形图—选择样式： 学生操作完成后追问：你从图中看出了什么？） 教师引导学生完成小结： 阅读情景1，从情景中识别两对分类变量并表示； 学生通过分析可以发现使用比率的角度来之间的 学生自行思考，并在教师的分析下发现条件概率，并用分类变量来表述。 学生能够自行思考上一问中两个条件概率，结合问题3得出的两个条件概率相等与不等与“性别对体育锻炼的经常性没有影响” 、“性别对体育锻炼的经常性有影响”之间的关系 学生在计算条件概率时发现数据的表示不够简洁，发现需先整理数据先整理。独立计算两个条件概率，从而发现使用概率表示两分类变量之间是否相互独立。 学生通过学习任务单学习并自行操作生成等高堆积条形图，便能够从等高堆积堆积条形图中直观发现两变量的之间有关联性。 发现等高堆积条形图直观展示了两分类便之间的差异。 通过上面的解答过程整理判断两变量是否具有相互独立性的方法。 设计意图：通过具体的生活情景帮助学生在上面问题的两种解法中，使用了学校全部学生的普查数据，利用这些数据能够完全确定解答问题所需的比率和条件概率。从多角度进行比较，使得学生能从多角度思考问题◇提升数据分析核心素。然而对于大多数实际问题，我们无法获得所关心的全部对象的数据，因此无法准确计算出有关的比率或条件概率。在这种情况下，上述古典概型和条件概率的观点为提供了一个解决问题的简单思路做铺垫。 环节三：样本与总体 教师活动 学生活动 问题4：教育部想要了解性别因素是否对高中生体育锻炼的经常性有影响我们还可以像上面一样吗？我们应该怎么做？ 追问：大多数实际问题，我们通过随机抽样得到样本数据，那么抽样数据的到的结论可以推断总体情况吗？请说明原因。 学生阅读问题并回答 设计意图：通过对比普查和抽样调查让学生进一步感受频率稳定于概率的思想，并为例1当中以抽样调查为背景做好铺垫。 环节四： 教师活动 学生活动 【学习任务四】例1：为比较甲乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生。通过测验得到如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名成绩优秀。试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异。 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 乙校(X=1) 合计 （分生分析后教师进行点评） 追问1：通过再次抽样后得到如下数据： 甲校43名学生中有8名数学成绩优秀；乙校45名学生中有10名成绩优秀。试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异。 追问2：比较几次抽样结果，结论是否一致？ 追问3：为什么会出现这类情况，请你尝试说说原因？ （学生回答，教师进行补充） 学生自行在学习任务单上完成，并可以互相讨论，完成后请同学分享，其他学生点评。 学生再次进行分析，并与前一次预测结果进行对比 通过具体案例，让学生感受到由于抽样的随机性可能会导致判断错误，并提出改正方式 设计意图：使得学生能够系统的再次回顾解决问题的过程，这是我们数学解决问题的一般方法。 设计意图：通过此题目的解决，渗透用频率估计概率的思想，要使学生理解推断方法的合理性，也要意识到它的推断方法的缺陷。 环节五：课堂练习 教师活动 学生活动 【学习任务五】课堂练习： X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 10 18 28 X=1 m 26 m+26 合计 10+m 44 m+54 练习1：假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为X=和Y=，其2×2列联表为：则当m取下面何值时，X与Y之间的影响最小( ). A.8 B.9 C.14 D.19 练习2：根据如图所示的等高堆积条形图可知吸烟与患肺病________关系(填“有”或“没有”)． 练习3：在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并判断二者是否有关系． （教师依据学生情况进行分析） 学生先做在进行分析就、整理 设计意图：通过课堂练习巩固知识，提高运用知识解决实际问题的能力。教师可以通过学生的练习情况，了解学生对知识的掌握程度、学习中存在的问题和困难，以便及时调整教学策略和方法，进行有针对性的辅导和讲解。 环节六：课堂小结 教师活动 学生活动 请谈谈你本节课的收获？ （请学生回答，老师再做补充） (1)数值变量和分类变量 (2)2×2列联表； (3)等高堆积条形图； (4)样本的随机性会导致推断结论出错。 学生自行总结整理 设计意图：引导学生总结本节课的学习内容和学习方法及思想，并感悟数学抽象、数学建模、数据分析和逻辑推理的核心素养。 板书设计 8.3.1分类变量与列联表 1、 分类变量 2、 2×2列联表 3、 等高堆积条形图 频率稳定与概率 作业设计 1、 书面【A】教科书135页第1题，第3题；127页习题第4题； 【B】为研究吸烟是否与患肺癌有关某肿瘤研究所某肿瘤研所采取有放回抽 取的方法调查了9965人，得到成对样本观测的分类统计表，分析吸烟是否与患肺癌有关。 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 患肺癌者 非吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 【自助餐】为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的问题，得到某中学高三 年级学生的性别和身高的所有观测数据所对应的列联表如下： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 81 16 97 男 28 75 103 合计 109 91 200 请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联。 2． 预习：根据学习任务单预习下节课 设计意图： 分层作业进一步提升学生数据分析、数学运算、逻辑推理的核心素养。【A】侧重对学生基础知识的掌握;【B】侧重加强在现实情境下根据频率稳定于概率的原理解决简单问题的能力，并且数据是教材中的可笔算的，同时为下节课做铺垫，减轻下节课利用频率判断吸烟与患肺癌的关联性和利用独立性检验的对比负担。【自助餐】对学有余力的同学自己去做， 教学反思 1.从数据出发研究问题数据分析要解决的问题主要来源于数据，问题情 境要有实际背景，需收集或提供承载着信息的数据， 让学生注重数据，发现数据的内在规律，本节以几个实际问题为线索，学生用列联表整理数据，用求比率、 条件概率等方法处理数据，提取信息.在问题驱动下，学生自 主选择数据处理方式，依据数据直观萌生统计方法，在解决实际问题中发展数据分析素养． 2.加强学生对随机现象的认识数据分析素养强调的是培养学生分析带有随机性数据的能力，随机性是概率统计知识独特的地方，也是学生不太适应的，教师在教学中可以通过对比、 强调等方式帮助学生进行理解．例如本课通过例1和例2的对比让学生认识到由于样本具有随机性，基于总体和基于样本得到结论的方式是不同的，用样本推断总体采用归纳推理，可能会犯错． 学科网（北京）股份有限公司 $