精品解析：甘肃渭源县第一中学等学校2025-2026学年高三下学期数学最后一套卷

2025-2026年甘肃省渭源一中最后一套卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. 16 C. D. 32 5. 在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分 ，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在中，.设函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 在区间上有且仅有3个零点 10. 已知数列满足，，，是的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的前项和小于1 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的极大值为 B. 函数的极小值为 C. 直线是函数图象的一条切线 D. 若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 13. 某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 14. 在的展开式中，的系数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角的对边分别为， . （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. （1）求小张周日打羽毛球的概率； （2）若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； （3）若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 18. 已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件. （1）求点的轨迹的方程； （2）在点的轨迹上存在两点、，使得以为直径的圆恰与交于点，过点作直线的垂线，垂足为. （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在点左侧时，若是上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切.若存在，求；若不存在，说明理由. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设为两个不相等的正数，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年甘肃省渭源一中最后一套卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，其中为偶数， ，其中为奇数， 则，即为奇数集，所以为偶数集， 又集合表示奇数集合，集合表示偶数集合， 集合表示4的整数倍数加2对应的数组成的集合， 集合表示4的整数倍数对应的数组成的集合. 2. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ，且， 是的必要不充分条件． 3. 设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】在中，由为上一点，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4． 4. 设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. 16 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】解法1：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即，又， 所以． 解法2：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即， 当时，，即， 所以是一个首项和公比都为的等比数列． 所以． 5. 在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析的几何意义，根据圆上的点到直线的距离的最小值求得的最小值，结合导数的几何意义、两点间的距离公式及点到直线的距离公式，求得的最小值，即可得的最小值. 【详解】由题已知圆，圆心，半径． 则直线到圆心的距离， 故圆上点到直线的最小值为圆心到直线的距离减去半径，故， 点满足，即， 因此点在函数的图象上， 表达式表示点到点的距离的平方， 又因为点在直线上，所以表达式的最小值为函数上的点到直线的最小距离的平方. 设函数上与直线平行的切线与其相切于点， 由题易得， 令，即，解得. 即切点为，由点到直线的距离有， 故的最小值为． 6. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， ， ， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 7. 如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，扇形的面积， 莱洛三角形的面积为. 8. 圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示 则 易得，所以，即，所以， 所以圆柱体积 记 ，得， ，单调递增 ，单调递减 故 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分 ，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在中，.设函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 在区间上有且仅有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据求出；B、D利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质判断；C计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 则在中，，故A正确； ， 若，则， 因为正弦函数在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 若，则， 因为正弦函数在上存在个零点， 所以在区间上有且仅有2个零点，故D错误. 10. 已知数列满足，，，是的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的前项和小于1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据递推关系可得是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的定义以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】 对于A，由题可得，且， 故是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由A易得，于是， 又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误； 对于C，由B可知，所以，显然不是等比数列，故C错误； 对于D，易知当时，，所以， 设，则，故D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的极大值为 B. 函数的极小值为 C. 直线是函数图象的一条切线 D. 若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的定义域和，对于AB，利用导数法得到的单调性，结合单调性得到的极值，从而得到结论.对于C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率和切点的坐标，利用点斜式得到切线方程.对于D，利用的单调性和极值，结合图像求解. 【详解】的定义域为. 对于AB，当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 在定义域内只有极大值，没有极小值，极大值为，故A正确，B错误. 对于C，设切点为， 显然， 是方程的一个根，切点为切线方程为， 即，故C正确. 对于D在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内有极大值， 又， 即由此作出函数的大致图象，如图. 不等式有唯一的整数解， ，即，故D正确. 三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为方程有且只有一个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合图象可求得答案. 【详解】由，得， 因为，所以， 令，则，令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以当时，函数有极小值， 且当时，， 因为函数有且只有一个零点， 所以结合函数图象可得，所以实数k的取值范围为. 13. 某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 【答案】540 【解析】 【分析】法一：可将6本书分成3份，按2，2，2；或1，2，3；或1，1，4分，利用分组分配问题计算；法二：间接计算：将6本书分给3个人不考虑每人至少一本的情况，减去不符合题意的情况进行计算． 【详解】法一：将6本书按2，2，2分成3份，共有种； 将6本书按1，1，4分成3份，共有种； 将6本书按1，2，3分成3份，共有种； 分配给3个人，共有：种； 法二：总的分配方式(不考虑每人至少一本，每种书有3种选择)为种， 减去“指定1个人没有得到书”的情况总和(选1个没得到书的人，剩余2人分书)： 种(包含恰有2人没得到书的情况)， 加上“有2个人没得到书”的情况(选2个没得到书的人，剩余1人分书)：种， 故由容斥原理计算：共种． 14. 在的展开式中，的系数为______. 【答案】8 【解析】 【详解】展开式中项是从四个因式中任取三个因式中的项，与余下一个因式的常数项相乘，所得各项的和， 所以的系数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角的对边分别为， . （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得； （2）利用正弦定理将边替换成角的表达式，再由锐角以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系知，得， 整理得，故，又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为 . 而在上单调递减， 所以的周长的取值范围为. 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得  三棱锥​，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， ​ 令，得，，即； 平面​的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 17. 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. （1）求小张周日打羽毛球的概率； （2）若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； （3）若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】（1）0.28 （2）0.352 （3）1.2． 【解析】 【小问1详解】 设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. 【小问2详解】 设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. 【小问3详解】 根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 18. 已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件. （1）求点的轨迹的方程； （2）在点的轨迹上存在两点、，使得以为直径的圆恰与交于点，过点作直线的垂线，垂足为. （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在点左侧时，若是上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切.若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，或3 【解析】 【分析】(1)通过向量关系建立动点D与已知圆上点A的坐标联系，代入圆方程求D的轨迹方程 (2)(i)利用圆的性质(直径所对的圆周角为直角)和垂直直线斜率关系，结合椭圆点差法，推导H的轨迹方程 (ii)利用直线关于直线对称的斜率关系，分析圆与两条直线恒相切的条件，求解 【18题详解】 设，，则， 由，所以有， 则有，又，所以有， 所以点的轨迹的方程：； 【19题详解】 （ⅰ）当直线的斜率存在时， 设直线：，，， 联立，消去得， 则，， 由题意，，即， ， 代入化简得， 所以有 ， 若，则直线：，所以直线过定点； 若，则直线：，此时直线过点(不合题意，舍去). 当直线的斜率不存在时，，， 由有，得，（舍）， 综上，直线过定点， 由题意，，所以在以为直径的圆上， 故的轨迹为； （ⅱ）设直线的斜率为，当时，直线斜率为，直线斜率为， 由题意知，，所以， 设直线的斜率为，要使，与该圆相切， 则满足直线与的夹角等于直线与的夹角， 所以，因为为，夹角的角平分线，所以不可能垂直或，所以 和均不为，即等式分母均不为0. 化简为 ， 因为 ，所以同号，即不为0，即或， 当时，，有；当时，同理有. 当(即与轴平行)时，与重合，此时、垂直轴，若圆K与和相切，则，此时 ，即或，满足题意. 综上所述，或3 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】（1） （2）在区间上为增函数，在区间上为减函数 （3）证明如下： 变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 因为，则有，不妨设． 由（2）知，先证． 要证：． 令， 则， ∴在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，所以，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． 【解析】 【分析】（1）先求切点，再求斜率即可. （2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性. （3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值. 【小问1详解】 ，所以切点 由得，， 所以切线方程为：，即： 【小问2详解】 的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $