江苏省南通市二模暨苏北七市2026届高三下学期第二次调研考试数学试题

南通市2026届高三第二次调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合A={0,1,2,3,B={xx2-4x+3≤0}，则A∩B中元素的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2. 已知复数z满足zi=2+i,则z的虚部为 A.-1 B.-2 c.1 D.2 3.设a,b是夹角为120°的两个单位向量，若c=2a+b,则1c|= A.5 B.2 c.万 D.3 4.在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为21，标准差为1.1：乙队进球个数 的平均数为1.4，标准差为12，则 A,甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B.乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C.甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D.乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 5.已知点P(m,m)在圆C:x2+y2=4外，则直线x+y=4与圆C的位置关系为 A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 6. 已知曲线y=(x)向右平移巫个单位长度得到曲线y=cosx,则f八x)= 6 A.cos( B.-cos() C.si血(x-5) D.-s血(x-) 高三数学试卷第1页（共4页） .设R上的可导函数(x)满足号>0，且/x+号)是偶函数.若a=02), b=f(log23),c=f(2),则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 8.在直三棱柱ABC-ABC中，点P满足3AP■AB+AC,若经过P,B,C三点的平面 将棱柱分为「，下2两部分（「，的体积较小），则T,与Γ2的体积之比为 A.4:5 B.5:7 C.10:17 D.8:19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设事件A,B满足P(A)=0.2,P(B)=0.5,则下列结论正确的是 A.P(A)<P(B) B.若A,B互斥，则P(A+B)=0.7 C.若A,B独立，则P(AB)=0.1 D.若P(B|A)=0.2,则A,B独立 10.若抛物线y2=4x上仅存在两个点到直线y=x+a的距离为√5，则实数a的值可以是 A.0 B.1 C.2 D.3 11.已知数列{an)满足a41=e-1(c是自然对数的底数)，且a=-l,则 A.a<a B.a,<0 C. 24>-2 D.al-a,<a1a。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线C:之-苦=的左、右焦点分别为R,,P是C右支上一点，PR,LRB, 则IPFl= 13.在△ABC中，若tanA=2,tanB=3,则角C= 14.某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量Q(:)(单位：拷贝数/升)与时间 t(小时)的关系为(t)=Q24“--1,其中k>1,Q为初始病毒载量，则病毒载量 在t= 小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的三倍，当低 2 于号时不具传染性，则从1=0起，该病毒具有传染性的总时长为 小时 高三数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，M,N分别 是AB,PC的中点. (1)求证：MNM平面PAD: (2)若PD=AD=2,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值， D M B 16.(15分) 记△MBC的内角B,C的对边分别为a,b,6且三20CC了 (1)证明：a,b,c成等差数列： (2)若B=60,延长BC至D,使得BC=2CD,求40 AB 17.(15分) 已知aeR,函数f(x)=号x-am2+x, (1)若x=2是函数f(x)的极小值点，求a (2)若函数f(x)存在两个极值点期，2(<2)： (i)求a的取值范围： (i)设点A(期，f(),B(x2,f八)，证明：存在9,4∈（有，2），且为≠4， 使得曲线y=f(x)在x=为和x=4处的切线都与直线AB平行. 高三数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 己知椭圆C: 苦+片-1(e>b>0)的长轴长是短轴长的2信，震E为25. (1)求C的标准方程； (2)设A,B是C上关于y轴对称的两点，P是C上一点，直线PA,PB与y轴分别 交于M,N两点. (i).设O为坐标原点，证明：1OMON为定值： (ⅱ)若AM⊥AW,求△PAB的面积的最大值. 19.(17分) 某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后 即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格。已知甲参加一次 第1,2,3级考试通过的薇率分别为分，分，分，且每次考试相互独立。记甲第n次考试 后取得从业资格为事件A。(n≥3)， (1)求P(A),P(A4): (2)求P(A)的表达式： (3)甲第n次考试恰通过2级为事件Bw,比较P(BaAn+)与P(Am+B)的大小， 并根据你的理解说明其含义 高三数学试卷第4页（共4页） 1/5 南通市2026届高三第二次调研测试 数学参考答案与评分建议 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 3 5 6 7 8 B A C D B D 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9 10 11 BC ABC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.5 13.45° 14.4:32（第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)设PD的中点为E,连接EA,EN. 因为E,N是PD,PC的中点，所以在△PDC中，ENIDC,EN=号DC, 因为ABCD为正方形，M为AB中点，所以AM∥DC,AM=DC, 所以AM∥EN,AM=EN,即四边形AMNE是平行四边形. …3分 所以MN∥AE,又因为AEc平面PAD,MN平面PAD, 所以MN∥平面PAD. …6分 (2)因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC. 在正方形ABCD中，DA⊥DC, 所以以DA,DC,DP}为正交基底建立空间直角坐标系O-yz.·8分 因为PD=AD=2, 所以C0,2,0),B(2,2,0),P0,0,2), 所以PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2). 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), D y 所以 m:PB=0,即2x+2y-2z=0, m.PC=0,2y-2z=0, 高三数学参考答案与评分建议第1页（共5页） 2/5 解得x=0,取y=1,得z=1,所以m=(0,1,1), …10分 又平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0), 所以加a品方竖， 所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为三 …13分 16.(15分) 解：(D因为0后20c, sin C 所以2sinB-sin BcosC=sinC+cos BsinC. 2sin B-sin C=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C). …3分 因为A+B+C=l80°，所以sin(B+C)=sin(180°-A)=sinA, 所以2sinB=sinA+sinC, …6分 由正弦定理得，2b=a+c,所以a,b,c成等差数列. …8分 2)因为B=0,代入g=Z0SC,可得m(C+30)=1, 因为0<C<120°，所以C=60°，所以△ABC是等边三角形. …11分 设AB=2k(k>0),则CD=k. 在△ACD中，由余弦定理， 得AD=VAC2+CD2-2AC.CD·coS∠ACD=V7k, 所以架-汽. …15分 17.(15分) 解：(1)依题意，f'(x)=x2-2ax+1. 因为x=2是f(x)的极小值点，所以了②)=4-4a+1=0,得a=. 此时fx)=(x-26x-2),当<x<2时，f)<0:当x>2时，f)>0, 所以x=2是函数f(x)的极小值点，所以a=子. …4分 (2)（i)因为x,(x<2)是(x)的两个极值点， 所以f'(x)=x2-2ax+1=0的判别式△=4a2-4>0, …7分 高三数学参考答案与评分建议第2页（共5页） 解得a<-1或a>1,故a的取值范围是(-o,-1)U(1,+o).…9分 （i)由（1)知，x+x2=2a,xx2=1. 依题意，f)=ko=f)-f) x1-x2 -8)-a(-6+(x-6) Xj-X2 =3[G++)-3如(6+)+3] =3[G+P-xx-3(G+x)+3] =3[2a2-l-3a(2a)+3] =-号a2-l0, 即x2-2ax+1=-号(a2-. …13分 设函数g(x)=2-2mx+1+号(a2-), 因为g(x)=0的判别式A'=4a2-4-(a2-l)=(a2-)>0,且 1+=3+,8(x)=f(x)+号(a2-)>0,g(x)=f(x)+3(a2-)>0, 所以存在3，x4∈(x1,2),且3≠x4,使得曲线y=f(x)在x=x3和x=x4 处的切线都与直线AB平行. …15分 18.(17分) 解：(1)依题意，2a=2×2b,即a=2b, 又焦距为25，所以a2-b2=3, 解得公2=4,2=1，所以C的标准方程为苦+少=1. …3分 (2)证明：由椭圆的对称性，不妨设A(x,),B(-x,),0≤<1， 设P(化，)，名≠±，则直线PA方程为y=名二(x-x)+%, 为一0 令x=0得，w=出二弘，同理可得，w=出+丛 …6分 x-xo x+xo 因为疗=1手，乃=1-草，所以 高三数学参考答案与评分建议第3页（共5页） 475 yww。-出6+出二好8=x5竖(1-4)-61-年》=号=发=， x-xo+xo X-X0 -x烟 x-喝 所以OM小ONI=ywyw=1为定值. …10分 (3)法1：因为AM⊥AW,所以PA·AN=0, 又因为PA=(x-x,0-),AN=(-,yw-), 所以(。-x,%-y)(-0,w-%)=-x(-x)+y。-0yw-%)=0. 所以0-出本-w)=x化-x),所以-=x化-， x+xo x+xo 因为x0≠0，所以0-%)2=x-x,所以0y-%)2=40好-y),显然另≠%， 所以%-y=40%+),所以y=-号% …14分 所以S=方×刘8x-=k-=kW≤等（空+）- (省且仅当-%，即%=号时，等号成立. 所以△PHB的面积的最大值为· …17分 法2：设AN与C交于点Q,由椭圆的对称性知Q(-x,), 因为AM⊥AN,所以BP.QB=0, 又因为BP=(x+,y-%),QB=(-x+x,-y), 所以(x+x0,片-%)(-x+x,-%)=号-x+0y-)尸=0. 所以(0y-)2=x子-x,所以(0y-%)2=4(0好-)，显然另≠%， 所以%-%=40，+)，所以y=-% …14分 所以5a=×ax-w=k--k≤导（年+店）-号 (当且仅当=%即%=要时，等号成立. 所以△PAB的面积的最大值为等： …17分 高三数学参考答案与评分建议第4页（共5页） 19.(17分) 解：1)依题意，P4)-×分×兮立 …4分 (2)事件A,发生分两步： 第一步，第(2≤k≤n-1)次考试后拾好通过第2级考试，慨率为， 第二步，第k+1次至n-1次参加第3级考试没有通过，第n次通过，概率为 0-》-×33孕-： 由金概率公式得，4)-[会号r门]-兮- …8分 设S=绿}+2×经++a-2)(孕，则2S=(绿+2×++u-2)-(绿 两式相减得，S=(}2+}+…+(1-a-2)-( 2x---2 6*1- =是-(a+2-(, 所以S=9-4n+2)-(°，所以P(4)=3x-(n+2x分.…10分 (3)依题意，P8,)=C×分×-》2×分=2 2” 又因为a-,风)-B2-5。 …12分 P(B) 所以P(4)-P8,)=3×°-n+3”-n-”=r3×(学”-2n-2]. 令Tn=3×(°-2n-2,则T1-Tn=(”-2,因为n≥3，所以T1-T,>0, 故数列{T,}在n≥3时递增，又14=3×(-10<0，T=3×(°-12>0，故 当n=3,4时，P(A)-P(B)<0,故PB|An)>P(4HB),即P(BnAn)>3 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较大. …15分 当n≥5时，PA)-P(B,)>0,故PB1A)<P4ilB,)即P(B,A<号 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较小. …17分 高三数学参考答案与评分建议第5页（共5页）