8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年4月 8.2.2一元线性回归模型参数的 最小二乘估计 课题： 滨州实验中学 2024年10月5日 学习目标 1.理解最小二乘法的原理能够运用最小二乘法解决实际问题； 2.理解残差的意义，并能根据残差判断经验回归方程是否符合模型的假设。 提出问题，导入新课 问题1：如 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 找到一条在整体上与散点最接近的直线呢？ 提出问题，导入新课 方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置. 然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如上图所示. 提出问题，导入新课 方法二：在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如右图所示. 提出问题，导入新课 方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如右图所示. 提出问题，导入新课 问题2： 如何刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 距离 竖直距离 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), ‧‧‧, (xn, yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, ‧‧‧, n)，得 显然|ei|越小，表示点(xi , yi)与点(xi , bxi+a)的 “距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小， 提出问题，导入新课 思考：图 8.2-1 中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系.请同学们联系生活实际，想一想：为什么儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系？ 追问：你认为影响儿子身高的其他因素是什么？ 提出问题，导入新课 提出问题，导入新课 经验回归方程与最小二乘估计： 我们将称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法，求得的 , 叫做b,a的最小二乘估计． 注意:（1）经验回归直线必过样本中心 ; （2） 与相关系数r符号相同. 师生互动，探索新知 例题1 ABD 师生互动，探索新知 例题2 B 师生互动，探索新知 例题3 反思小结，观点提炼 1.本节课我们学习了哪些知识？ 2.我们是如何获得这些知识的？ 3.在学习过程中用到了哪些数学思想和方法？ 4.在学习过程中总结了哪些规律？ 5.你还有哪些疑惑？ 谢 谢 （多选）由变量 和变量 组成的10个成对样本数据 得到的经验回归方程为 ，设过点 的直线方程为 ，记 ，则（     ） A．变量 正相关 B．若 ，则 C．经验回归直线 至少经过 中的一个点 D． 工人工资 （元）与劳动生产率 （千元）的回归方程为 ，下列判断正确的是（   ） A．劳动生产率为 元时，工人工资为 元 B．劳动生产率提高 元时，可估测工资提高 元 C．劳动生产率提高 元时，可估测工资提高 元 D．当月工资为 元时，劳动生产率为 元 一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料： 日期 第一年 第二年 第三年 第四年 优惠金额x/千元 10 11 13 12 销售量y/辆 22 24 31 27 (1)求出y关于x的经验回归方程 ； (2)若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y(辆)的值． 参考公式： ， ． $