专题19.3 矩形、菱形、正方形（高效培优讲义，7知识&6题型10类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题19.3 矩形、菱形、正方形 教学目标 1.理解矩形、菱形、正方形的定义，明确它们与平行四边形的从属关系。 2.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理（边、角、对角线、对称性）及判定定理，并能熟练运用进行计算与证明。 3.掌握矩形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.理解正方形兼具矩形和菱形的全部性质，能综合运用特殊平行四边形知识解决几何问题。 教学重难点 教学重点 1. 1.矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定（核心）。 2. 2.矩形：四个角为直角、对角线相等；判定（直角平行四边形 / 等对角线平行四边形 / 三直角四边形）。 3. 3.菱形：四边相等、对角线垂直且平分内角；判定（邻边等平行四边形 / 垂直对角线平行四边形 / 四边等四边形）。 4. 4.正方形：兼具矩形与菱形性质；判定（矩形 + 邻边等 / 菱形 + 直角 / 等且垂直对角线平行四边形）。 5. 5.直角三角形斜边中线推论及菱形面积公式（对角线乘积的一半）。 教学难点 1. 1.区分易混性质与判定：矩形（角、对角线等）、菱形（边、对角线垂）、正方形（兼具）的条件辨析。 2. 2.灵活选择判定方法：根据已知条件（边 / 角 / 对角线）快速判定四边形类型。 3. 3.理解包含关系：平行四边形⊃矩形、菱形；矩形∩菱形 = 正方形，理清逻辑关联。 4. 综合应用：结合全等、等腰三角形、直角三角形知识解决复杂证明与计算。 知识点01 矩形的概念与性质 1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形必须具备两个条件：(1)它是一个平行四边形；(2)它有一个角是直角.这两个条件缺一不可. 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形， 它除了具有平行四边形的所有性质外， 还具有自身独特的性质， 如下表. 性质 数学语言 图形 角 性质1：矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线 性质2： 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BD 拓展：(1)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线. (2)矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点于点，则的大小是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 知识点02 直角三角形斜边上的中线的性质 1.矩形性质 2 的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 数学语言： 如图 19.3-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90°， AD=BD， ∴ CD= AB (或 CD=AD=BD ) . 说明： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的 . 将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型 . 2. 直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题(拓展) 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 . 数学语言： 如图 19.3-4，在△ ABC 中， ∵ CD=BD=AD= AB， ∴∠ ACB=90°，即△ ABC 是直角三角形 . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知中，，点D是的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为；；． 所以是直角三角形，且（勾股定理逆定理），为斜边． ∵点D是的中点， ∴在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半，即． 则 故选：D． 知识点03 矩形的判定方法 判定方法 数学语言 图示 角 定义：有一个角是直角的平行四边形 在▱ABCD 中，∵∠ ABC=90°，∴ ▱ABCD 是矩形 定理2：三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C=90°，∴四边形ABCD 是矩形 对角线 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD 中， ∵ AC=BD， ∴ ▱ABCD 是矩形 【即学即练】（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）添加下列一个条件，能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，平行四边形为菱形，故A选项不符合题意； 当时，平行四边形为矩形，故B选项符合题意； 当时，平行四边形不能判定为矩形，故C选项不符合题意； 当时，平行四边形为菱形，故D选项不符合题意； 故选：D． 知识点04 菱形的概念与性质 1.菱形的概念 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 图示 数学语言 如图所示. ∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD，∴ ABCD 是菱形 2.菱形的性质 性质  数学表达式 图形 性质1：菱形的四条边相等  ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD 性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC，∠ DAC= ∠ BAC，∠ ACD= ∠ ACB，∠ ABD= ∠ CBD，∠ ADB= ∠ CDB 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图形 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积=底× 高 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【即学即练】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】解：，， ． 故选：B． 知识点05 菱形的判定方法 判定方法 数学语言 图形 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法) 在▱ABCD 中，∵AB=BC，∴ ▱ABCD 是菱形 四边相等的四边形是菱形(判定定理1) 在四边形ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD 是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定定理2) 在▱ABCD 中，∵ AC ⊥ BD，∴ ▱ABCD 是菱形 【即学即练】如图，四边形的对角线与相交于点O，，，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是（    ）    A．平分 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形的对角线与相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当平分时：， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；故A选项不符合题意； 当时，则四边形是矩形，不能判断四边形是菱形；故B选项符合题意； 当时，平行四边形是菱形；故C选项不符合题意； 当，则：， ∴平行四边形是菱形；故D选项不符合题意； 故选B． 知识点06 正方形的概念与性质 1.正方形的概念：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2.特殊四边形定义间的关系 3. 正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质. 性质1：正方形的四条边相等， 四个角都是直角. 性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 4. 特殊四边形的性质间的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图19.3-31 所示. 【即学即练】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 知识点07 正方形的判定方法 1.正方形的判定方法 (1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形间的关系：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下 . 【即学即练】如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 【答案】D 【详解】解：A选项，添加，满足“对角线互相垂直的矩形是正方形”，不合题意； B选项，平分，则，，，，，，是正方形，不合题意； C选项，添加，满足“有一组邻边相等的矩形是正方形”，不合题意； D选项，是等边三角形，则，不满足，不能使矩形成为正方形，符合题意； 故选D． 题型01 特殊平行四边形性质的应用 【例1-1】求角的度数 （23-24八年级下·安徽亳州·月考）如图，是正方形的对角线，以为边向正方形内部做等边三角形，边交于点F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【例1-2】求线段长 （24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，，点E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，若且平分，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， ∴， 故选：B． 【例1-3】证明线段相等 （24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，在矩形中，延长至点，使，连接，，分别为，的中点，连接，，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：延长至点，使，连接，，如图： ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【例1-4】折叠问题 （24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为__________； （2）的值为__________． 【答案】 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例1-5】面积问题 （24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，菱形的对角线的中点与平面直角坐标系的原点重合，且轴，若点，菱形的面积为20，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，点的坐标，先根据菱形的对角线的中点与平面直角坐标系的原点重合，且轴，得出，结合勾股定理得，，结合菱形的面积为20，列式计算得，，再运用勾股定理得，得点的坐标为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵菱形的对角线的中点与平面直角坐标系的原点重合，且轴， ∴， ∵点， ∴， 则， ∵菱形的面积为20， ∴， ∴， ∴， 即， 在中，， ∵轴，且点， ∴， 则点的坐标为， 故选：D 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作交于点H，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．15 B．20 C．30 D．60 【答案】C ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的长为（   ） A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【详解】解：连接， ，， 、， ， 在中，由勾股定理得：， ， 四边形和四边形是正方形， 、、， ， ， 在和中， ， ， ， 、， ， 、、三点共线， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，点分别是正方形各边的中点，中间阴影部分面积为1．则大正方形的边长（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ，四边形为正方形， ，点是的中点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ∴正方形的面积与正方形的面积之比是， 又正方形的面积为1， 正方形的面积是5， 则正方形的边长是． 故选：A． 【变式1-4】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在正方形中，点E为上一点，过点E作交于点O，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)试说明． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴，， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-5】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 题型02 特殊平行四边形与平行四边形综合 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，平分交AD于点E，，交于点G，连接交于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：过点F作于点M，如图所示： 四边形是菱形， ， 在中，， ， ，即， 解得：， ， 中，． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形． ∴； （2）证明：，平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，将的边延长至点，使，连接、、，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （2）∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 题型03 中点四边形 【例3】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，下列结论正确的是（   ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是矩形 B．若四边形是菱形，则四边形是矩形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是正方形 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当四边形是平行四边形，此时无法证明四边形是矩形，故A说法错误，不符合题意； 当四边形是菱形时，则， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形，故B说法正确，符合题意； 若四边形是矩形，则， 又∵，， ∴，此时不能得到四边形是矩形，故C说法错误，不符合题意； 若四边形是正方形时，则，， 又∵，，，， ∴，此时不能四边形是正方形，故D说法错误，不符合题意； 故选：B. 【变式3-1】四边形的对角线，交点O，点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，则下列说法不正确的是（    ）    A．对于任意四边形，四边形一定是平行四边形； B．若，则四边形一定是菱形； C．若，则四边形一定是矩形； D．若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 【答案】D 【详解】解：A．∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形，故A正确，不符合题意； B．∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形一定是菱形，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形一定是矩形，故C正确，不符合题意；    D．∵四边形是菱形， ∴， 根据C选项的解析可知，此时四边形一定是矩形，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 【答案】（1）①相等；②相互垂直；（2）命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是假命题，理由见解析；（3）； 【详解】（1）解：如图：矩形中，分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形，即对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； 同理，菱形的中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形， 故答案为：相等，互相垂直； （2）解：命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题，理由如下： 如图：四边形中，且，分别是的中点， 由题意知任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，则四边形是平行四边形， ∵， 由（1）对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形，则四边形是矩形， ∵， 由（1）对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形，则四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴只需满足对角线相等且互相垂直的四边形，它的中点四边形是正方形， ∴命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题； （3）解：设交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形； 根据中位线的性质知，， 四边形的面积周长为； 连接， ∴， ∵四边形是矩形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； ∴四边形是菱形， 根据中位线的性质知，， ∴四边形的周长为； ∵四边形是菱形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形， ∵， ∴根据中位线的性质知，， ∴四边形的面积为； 同理，四边形是菱形，周长为； 同理，四边形是矩形，四边形的面积是； ； ∴当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是； 当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是； ∴四边形的面积等于，四边形的周长等于． 故答案为：，． 题型04 正方形与全等三角形的综合 【例4】（25-26八年级下·安徽·期中）综合与实践 已知在正方形中，点、分别为边、上两个动点． (1)①如图1，连接，相交于点，若，则和的数量关系为________； ②如图2，在①的条件下，若点是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点，交于点． ①若，，求的长； ②如图4，连接、、，若，四边形的面积的取值范围是________． 【详解】（1）解：①四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ②证明：延长、交于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：①如图，连接，作于． 正方形， ， ， 四边形是矩形， 设，则，，， 垂直平分，四边形是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 解得， ； ②如图，作于． 垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 当最小时，点与点重合，此时，但此时三点共线，不是四边形，不符合题意， 当最大时，四边形面积最大，此时点与点重合， ， ． 【变式4-1】如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵垂直平分，且， ∴，，， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得：，即． （3）解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M． (1)求证：； (2)如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、． ①猜想线段、、有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为，且点为的中点，则________． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ； （2）①猜想：， 理由如下：由平移得，，连接、， 为的中点，， ， 过作 ，，在正方形对角线上，则，， ， ， ， 为的中点， ∴ 又∵ ∴ ②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是正方形的对角线， ∴平分 ∴， ∴ ∴ ∵正方形的边长为，且点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． (1)如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； (2)如图2，延长交于点F，连接，求证． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴，, ∵A和关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：或（不合题意舍弃）． （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵四边形, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-4】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）在正方形中，点E，F分别是边，上的一点，于点M． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平移至，，垂足为点I． （i）求证：； （ii）如图3，若点I是的中点，与交于点N，已知，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：（i）证明：如图1，过点A作交于点H， ∵， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴． （ii）解：由（1）和（i）可知， 如图2，连接，，过点N作于点P，交于点Q， ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点I是的中点，， ∴垂直平分， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型05 特殊平行四边形的综合问题 【例5】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形： 【动手操作】 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，折痕为． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【尝试理解】 （1）如图4，矩形中，的值为_____． 【深入探究1】 （2）如图3，求证：四边形为菱形． 【深入探究2】 （3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形是黄金矩形，请说明理由． 【答案】（1）（2）见详解（3）是，理由见详解 【详解】解：（1）∵矩形是黄金矩形， ∴， 故答案为：； （2）证明：由题可得， ∵ 由折叠的性质得， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形 又∵ ∴四边形为菱形； （3）矩形是黄金矩形，理由如下： 根据题意设， ∵矩形是黄金矩形， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴矩形是黄金矩形． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：F为的中点； (3)求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 由对折可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形. （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中点. （3）解：如图，延长交于，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接． (1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； (2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 【详解】（1）解：①如图，延长至点，使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． ②设， 由题意和①得，，，，， 在中，， ， 解得， ∴． （2）解：如图，延长交于点, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴， 解得， ． 题型06 特殊平行四边形的动点问题 【例6】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴和x轴上，顶点的坐标满足． (1)求证：四边形为正方形； (2)若点E为线段边上的动点，连接，过E点作，且，连接的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接，当时，直接写出的长． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， 点， ， 又四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）解：是定值，恒为，理由如下： 如图，在上截取等于，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ∵ ∴， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 又在正方形中， ． （3）解：如图， ∵，且， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：． 【变式6-1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：（ⅰ）延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ； （ⅱ），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 由（2）（ⅰ）可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为． (1)如图，当四边形是正方形时，求证：； (2)如图，当四边形是菱形时，求与的函数关系式； (3)当 时，的面积最大：当 时，的面积最小． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即与的函数关系式为； （3）解：∵， ∴随的增大而减小， 如图，当点与重合时，的值最小，此时的面积最大， ∵，， ∴， ∴此时； 如图，当点在上时，的值最大，此时的面积最小， 连接，同理（）可证可证， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 解得； 故答案为：，． 【变式6-3】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2)如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵周长为12， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． ②如图1，过D作交的延长线于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵周长为12， ∴， ∵P是上的一个动点， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列命题正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【详解】A． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的判定定理之一是对角线互相平分，故A正确,符合题意． B． 对角线互相垂直的四边形是菱形．菱形的判定需要对角线互相垂直且平分．仅垂直无法保证是菱形．原说法错误，不符合题意． C． 对角线相等的四边形是矩形．矩形的判定要求对角线相等且互相平分．例如，等腰梯形对角线相等但不是矩形．原说法错误，不符合题意． D． 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．正方形的判定需满足四边形为平行四边形，且对角线垂直、相等．仅垂直且相等无法直接判定为正方形．原说法错误，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接并延长恰好经过点，则平行四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：根据基本作图可得平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴平行四边形的周长． 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，．将菱形沿x轴的正方向无滑动依次翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵菱形， ∴，即菱形的边长为1， ∴； 画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示： 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4个单位， ∵，， ∴点向右平移1348个单位得到， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，，当为直角三角形时，t的值为（   ） A．6或18 B．6或16 C．10或18 D．10或16 【答案】D 【详解】解：当或16时，为直角三角形；理由如下： ①时，四边形为矩形， 在中，， ∴，即， ∴； ②时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴； ③时，此种情况不存在； 综上所述，当或16时，为直角三角形． 故选：D． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，连接．下面有四个说法：①当时，；②当时，点B，D，F共线；③当时，与面积相等；④当时，是的角平分线．所有正确说法的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【详解】解：①∵四边形是正方形，边长为4， ，， 当时， 在中，由勾股定理得：， 是等腰直角三角形，， ，， 由勾股定理得：， 故①正确； ②当时，过点F作，交延长线于点H，连接，如图1所示： ∵四边形是正方形，边长为4， ，，， ∴， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴点B，D，F三点共线， 故②正确； ③当时， 同②可证明：， ，， ， ，， ， 故③不正确； ④当时，在上截取，连接，如图2所示： 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 又， ， ， ， 不是的角平分线， 故④不正确， 综上所述：正确的序号是①②． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）将一块菱形纸板剪成如图1所示的①②③块，再拼成不重叠，无缝隙的直角三角形（如图2，），若，，则的长为______ ． 【答案】 【详解】在图2中， 连接， 过点作于，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴设， ∵， ∴， 对照图和图得： ，，，，，， ∴， ∴， ∴，点为的中点， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 点为的中点， ， ∴， ， ∴， 在中， ，， 由勾股定理得： 即 ， 解得： (不合题意，舍去) ， ，， 由三角形面积公式得： ， 在 中， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，，是上一点，过点作于点，是的中点，连接．若是的中点，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是直角三角形． 在和 中，是的中点， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵是的中点，， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是正方形的对角线，是上一点，是的垂直平分线且交于点，是垂足． （1）的度数为______； （2）若，则______． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过点作于点，作于点，则． 四边形是正方形， 平分， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：； （2）∵是正方形的对角线，， 设，， ， 四边形是正方形， ，即，解得， ， ， ． 故答案为： 三、解答题 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【答案】（1）3，10（2） 【详解】解：（1）由翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ,； ∴； 故答案为：3,10； （2）如图，连接， 由翻折的性质可得，，， ， ∴， ∴, ∴， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴为菱形， ∴，， 又， ∴点在同一条直线上， 同（1）可得，， ， 由够定理得， ， 解得． 11．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图1，四边形与四边形均为平行四边形，点在边上，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，与相交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2），理由如下： 连接交于，如图2    ∵， ∴平行四边形是菱形， 则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即为的中点， ∴； （3）∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）得平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，当时， ∴， ∵由（2）可知四边形为菱形， ∴，即， ∴四边形为正方形， ∴， 由勾股定理可得， 12.（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）【理解定义】一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形中；，，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底． (1)【性质初探】等垂四边形两个钝角的度数和为　　　　； (2)【拓展研究】如图2，M，N分别为等垂四边形的底的中点，试探索与的数量关系，小坤的想法是连接一个中点与四边形对边的一个顶点，得到一条线段，再倍长这条线段，请按此方法求出与的数量关系； (3)【实践应用】如图3，直线，是两条相互垂直的公路，利用三段围栏，，靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边做成一条隔离带，已知米，米，米，此隔离带最长为多少米？ 【详解】（1）解：如图所示，延长与延长线交于点P， ∵四边形为等垂四边形，即， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）解：，理由如下： 延长交延长线与P，交延长线与Q，延长线与延长线交于点F，连接并延长至点，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是等垂四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； （3）解：如图所示，取的中点M，N，连接，连接并延长至点，使，连接，设直线与直线交于点P， 同（2）法可知，米， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴米，， ∵M为的中点，， ∴米， 同理可得，即 ∴米， ∴米， ∴隔离带最长为650米． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图：正方形的边长为5，点在边上且，点在直线上 (1)求线段的长 (2)如图（1）当在线段上时，若，求证： (3)当为直角三角形时，的长为___________（直接写出答案） 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：①当时，如图： 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 而， ∴当时，， ∴， 解得：； ②当时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 而， ∴当时，， ∴， 整理得：， 解得：或， 综上所述：当为直角三角形时，的长为或9或或， 故答案为：或9或或． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在正方形中，点是对角线上一点，连接，． (1)如图1，求证； (2)如图2，延长交于点，交的延长线于点，取的中点，连接． ①求证：； ②若，正方形的边长为，求的长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）①证明：∵四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， ； ②解：， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点， ， 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 则， 解得， ． 15．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在正方形中，是的中点，，与正方形外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系，并加以证明．    (1)同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图①中补全图形，解答老师提出的问题； (2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图②，在正方形中，为边上一动点（点不与点重合），是等腰直角三角形，，连接． ①求的度数； ②直接写出与的数量关系． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为．理由如下： 如图2，∵正方形中，是的中点，的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． ∴ ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴．    （2）①解：过点P作交的延长线于点M， ∵正方形中， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    ②解：∵， ∴ ∵， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.3 矩形、菱形、正方形 教学目标 1.理解矩形、菱形、正方形的定义，明确它们与平行四边形的从属关系。 2.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理（边、角、对角线、对称性）及判定定理，并能熟练运用进行计算与证明。 3.掌握矩形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.理解正方形兼具矩形和菱形的全部性质，能综合运用特殊平行四边形知识解决几何问题。 教学重难点 教学重点 1. 1.矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定（核心）。 2. 2.矩形：四个角为直角、对角线相等；判定（直角平行四边形 / 等对角线平行四边形 / 三直角四边形）。 3. 3.菱形：四边相等、对角线垂直且平分内角；判定（邻边等平行四边形 / 垂直对角线平行四边形 / 四边等四边形）。 4. 4.正方形：兼具矩形与菱形性质；判定（矩形 + 邻边等 / 菱形 + 直角 / 等且垂直对角线平行四边形）。 5. 5.直角三角形斜边中线推论及菱形面积公式（对角线乘积的一半）。 教学难点 1. 1.区分易混性质与判定：矩形（角、对角线等）、菱形（边、对角线垂）、正方形（兼具）的条件辨析。 2. 2.灵活选择判定方法：根据已知条件（边 / 角 / 对角线）快速判定四边形类型。 3. 3.理解包含关系：平行四边形⊃矩形、菱形；矩形∩菱形 = 正方形，理清逻辑关联。 4. 综合应用：结合全等、等腰三角形、直角三角形知识解决复杂证明与计算。 知识点01 矩形的概念与性质 1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形必须具备两个条件：(1)它是一个平行四边形；(2)它有一个角是直角.这两个条件缺一不可. 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形， 它除了具有平行四边形的所有性质外， 还具有自身独特的性质， 如下表. 性质 数学语言 图形 角 性质1：矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线 性质2： 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BD 拓展：(1)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线. (2)矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点于点，则的大小是______． 知识点02 直角三角形斜边上的中线的性质 1.矩形性质 2 的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 数学语言： 如图 19.3-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90°， AD=BD， ∴ CD= AB (或 CD=AD=BD ) . 说明： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的 . 将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型 . 2. 直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题(拓展) 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 . 数学语言： 如图 19.3-4，在△ ABC 中， ∵ CD=BD=AD= AB， ∴∠ ACB=90°，即△ ABC 是直角三角形 . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知中，，点D是的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 知识点03 矩形的判定方法 判定方法 数学语言 图示 角 定义：有一个角是直角的平行四边形 在▱ABCD 中，∵∠ ABC=90°，∴ ▱ABCD 是矩形 定理2：三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C=90°，∴四边形ABCD 是矩形 对角线 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD 中， ∵ AC=BD， ∴ ▱ABCD 是矩形 【即学即练】（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）添加下列一个条件，能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 知识点04 菱形的概念与性质 1.菱形的概念 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 图示 数学语言 如图所示. ∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD，∴ ABCD 是菱形 2.菱形的性质 性质  数学表达式 图形 性质1：菱形的四条边相等  ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD 性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC，∠ DAC= ∠ BAC，∠ ACD= ∠ ACB，∠ ABD= ∠ CBD，∠ ADB= ∠ CDB 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图形 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积=底× 高 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【即学即练】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 知识点05 菱形的判定方法 判定方法 数学语言 图形 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法) 在▱ABCD 中，∵AB=BC，∴ ▱ABCD 是菱形 四边相等的四边形是菱形(判定定理1) 在四边形ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD 是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定定理2) 在▱ABCD 中，∵ AC ⊥ BD，∴ ▱ABCD 是菱形 【即学即练】如图，四边形的对角线与相交于点O，，，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是（    ）    A．平分 B． C． D． 知识点06 正方形的概念与性质 1.正方形的概念：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2.特殊四边形定义间的关系 3. 正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质. 性质1：正方形的四条边相等， 四个角都是直角. 性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 4. 特殊四边形的性质间的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图19.3-31 所示. 【即学即练】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点07 正方形的判定方法 1.正方形的判定方法 (1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形间的关系：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下 . 【即学即练】如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 题型01 特殊平行四边形性质的应用 【例1-1】求角的度数 （23-24八年级下·安徽亳州·月考）如图，是正方形的对角线，以为边向正方形内部做等边三角形，边交于点F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】求线段长 （24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，，点E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，若且平分，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【例1-3】证明线段相等 （24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，在矩形中，延长至点，使，连接，，分别为，的中点，连接，，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【例1-4】折叠问题 （24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为__________； （2）的值为__________． 【例1-5】面积问题 （24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，菱形的对角线的中点与平面直角坐标系的原点重合，且轴，若点，菱形的面积为20，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作交于点H，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．15 B．20 C．30 D．60 【变式1-2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的长为（   ） A．8 B． C．9 D． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，点分别是正方形各边的中点，中间阴影部分面积为1．则大正方形的边长（    ） A． B．5 C． D．2 【变式1-4】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在正方形中，点E为上一点，过点E作交于点O，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)试说明． 【变式1-5】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 题型02 特殊平行四边形与平行四边形综合 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，平分交AD于点E，，交于点G，连接交于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，将的边延长至点，使，连接、、，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 题型03 中点四边形 【例3】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，下列结论正确的是（   ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是矩形 B．若四边形是菱形，则四边形是矩形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是正方形 【变式3-1】四边形的对角线，交点O，点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，则下列说法不正确的是（    ）    A．对于任意四边形，四边形一定是平行四边形； B．若，则四边形一定是菱形； C．若，则四边形一定是矩形； D．若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 题型04 正方形与全等三角形的综合 【例4】（25-26八年级下·安徽·期中）综合与实践 已知在正方形中，点、分别为边、上两个动点． (1)①如图1，连接，相交于点，若，则和的数量关系为________； ②如图2，在①的条件下，若点是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点，交于点． ①若，，求的长； ②如图4，连接、、，若，四边形的面积的取值范围是________． 【变式4-1】如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M． (1)求证：； (2)如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、． ①猜想线段、、有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为，且点为的中点，则________． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． (1)如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； (2)如图2，延长交于点F，连接，求证． 【变式4-4】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）在正方形中，点E，F分别是边，上的一点，于点M． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平移至，，垂足为点I． （i）求证：； （ii）如图3，若点I是的中点，与交于点N，已知，，求的长． 题型05 特殊平行四边形的综合问题 【例5】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形： 【动手操作】 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，折痕为． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【尝试理解】 （1）如图4，矩形中，的值为_____． 【深入探究1】 （2）如图3，求证：四边形为菱形． 【深入探究2】 （3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形是黄金矩形，请说明理由． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：F为的中点； (3)求出的值． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接． (1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； (2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 题型06 特殊平行四边形的动点问题 【例6】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴和x轴上，顶点的坐标满足． (1)求证：四边形为正方形； (2)若点E为线段边上的动点，连接，过E点作，且，连接的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接，当时，直接写出的长． 【变式6-1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为． (1)如图，当四边形是正方形时，求证：； (2)如图，当四边形是菱形时，求与的函数关系式； (3)当 时，的面积最大：当 时，的面积最小． 【变式6-3】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2) 如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列命题正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接并延长恰好经过点，则平行四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，．将菱形沿x轴的正方向无滑动依次翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，，当为直角三角形时，t的值为（   ） A．6或18 B．6或16 C．10或18 D．10或16 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，连接．下面有四个说法：①当时，；②当时，点B，D，F共线；③当时，与面积相等；④当时，是的角平分线．所有正确说法的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）将一块菱形纸板剪成如图1所示的①②③块，再拼成不重叠，无缝隙的直角三角形（如图2，），若，，则的长为______ ． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，，是上一点，过点作于点，是的中点，连接．若是的中点，，则的长为______． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是正方形的对角线，是上一点，是的垂直平分线且交于点，是垂足． （1）的度数为______； （2）若，则______． 三、解答题 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 11．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图1，四边形与四边形均为平行四边形，点在边上，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，与相交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 12.（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）【理解定义】一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形中；，，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底． (1)【性质初探】等垂四边形两个钝角的度数和为　　　　； (2)【拓展研究】如图2，M，N分别为等垂四边形的底的中点，试探索与的数量关系，小坤的想法是连接一个中点与四边形对边的一个顶点，得到一条线段，再倍长这条线段，请按此方法求出与的数量关系； (3)【实践应用】如图3，直线，是两条相互垂直的公路，利用三段围栏，，靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边做成一条隔离带，已知米，米，米，此隔离带最长为多少米？ 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图：正方形的边长为5，点在边上且，点在直线上 (1)求线段的长 (2)如图（1）当在线段上时，若，求证： (3)当为直角三角形时，的长为___________（直接写出答案） 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在正方形中，点是对角线上一点，连接，． (1)如图1，求证； (2)如图2，延长交于点，交的延长线于点，取的中点，连接． ①求证：； ②若，正方形的边长为，求的长． 15．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在正方形中，是的中点，，与正方形外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系，并加以证明．    (1)同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图①中补全图形，解答老师提出的问题； (2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图②，在正方形中，为边上一动点（点不与点重合），是等腰直角三角形，，连接． ①求的度数； ②直接写出与的数量关系． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $