专题05 相似三角形与锐角三角比高频考点6大题型（高频考点专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 相似三角形与锐角三角比高频考点6大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 相似三角形的判定 题型二 相似三角形的性质与应用 题型三 常见相似模型与基本图形 题型四 锐角三角比的概念与计算 题型五 解直角三角形 题型六 解直角三角形的实际应用 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 相似三角形与锐角三角比是上海中考数学图形与几何领域的核心纽带模块，在满分150分的试卷中约占22-26分，占全卷的15%-17%。作为连接三角形基础知识与函数综合、圆等复杂问题的桥梁，本模块既是第23题几何证明的核心，也是第24、25题压轴题的主要工具。从近五年考情看，该模块涵盖相似三角形的判定与性质、基本相似模型、锐角三角比的概念与计算、解直角三角形及其实际应用等考点。选择、填空、解答三种题型均有覆盖，其中第23题几何证明常考查相似三角形的判定与性质的综合运用，第21/22题常出现解直角三角形的实际应用题。专家指出，相似三角形是“几何论证与计算的核心工具”，锐角三角比则体现“数形结合”的重要思想。试卷对这部分内容的考查，既强调基础计算（如求三角比的值），又重视在真实情境中建立数学模型解决问题的能力。整体难度以中档题为主，部分综合题具有一定区分度，是中考稳中求进、拉开差距的关键板块。 基础知识必备：掌握相似三角形的四种判定方法（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、平行线分线段成比例）（5年5考）；能灵活运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、对应线段的比等于相似比、面积比等于相似比的平方）（5年5考）；熟记常见相似模型（“A型”“X型”“母子型”“一线三等角型”、旋转相似等）（5年5考）；理解锐角三角比的定义（正弦、余弦、正切、余切），能根据直角三角形中的边长求三角比的值，熟记30°、45°、60°特殊角的三角比数值（5年5考）；掌握解直角三角形的基本类型（已知一边一角、已知两边），能综合运用勾股定理和三角比解决与仰角、俯角、坡度、方向角等相关的实际测量问题（5年4考）；了解锐角三角比在几何证明和计算中的工具性作用，能利用三角比解决线段长度、角度问题。 2026中考预测： 题型稳定：相似三角形的判定与性质证明题将继续稳定在第23题位置，常见形式为“求证相似+利用相似计算线段长或证明等积式”。解直角三角形的实际应用题常出现在第21/22题，以仰角俯角、坡度、方向角等为背景考查建立直角三角形模型的能力。锐角三角比的计算在选择或填空中出现，常考查特殊角的三角比数值或简单求值。相似模型（特别是A型、X型、母子型）的识别与运用是填空压轴题（第17、18题）的高频素材。 难度平稳：基础题（如求三角比的值、相似三角形的直接判定）难度约0.8-0.9，保证大多数学生能拿分。中档题（如解直角三角形的应用、相似与函数结合）难度约0.6-0.75，是区分中等生与优生的关键。压轴题中相似三角形常作为工具出现，不单独命题，但融入函数、圆等综合题后，对学生的识图和转化能力提出较高要求。 命题趋势：解直角三角形的应用题将更加贴近真实生活，可能融入上海本地地标（如东方明珠、上海中心大厦等）的测量情境，或社会热点（如无人机航拍、大桥建设等），强调“数学建模”核心素养。相似三角形的考查将从“单纯证明”向“证明+计算+探究”转变，可能出现开放性问题（如“请添加一个条件使两个三角形相似”）。一线三等角型、旋转相似等模型在填空压轴题中的出现频率可能增加，体现“图形运动”这一上海特色考点的延续性。整体强调“基础计算+模型识别+实际应用”。 题型一 相似三角形的判定 【真题呈现01】（2026·上海徐汇·二模）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 【变式01】（2026·上海奉贤·二模）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点、交于点，且，． （1）如果，求证：； （2）连接．如果，求证：是的中点． 【变式02】（2026·上海中考·预测）如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【变式03】（2026·上海崇明·一模）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 【变式04】（2026·上海崇明·一模）如图，已知在四边形中，，如果，那么__________． 题型二 相似三角形的性质与应用 【真题呈现02】（2026·上海闵行·一模）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 【变式01】 （2026·上海崇明·一模）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ） A. B. C. D. 【变式02】（2026·上海青浦·一模）如果两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的相似比是________． 【变式03】（2026·上海崇明·一模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，则的比值为__________． 【变式04】（2026·上海青浦·一模）如图，正方形DEFG的顶点均在的边上，，，BC边上的高的长为________． 题型三 常见相似模型与基本图形 【真题呈现03】 （2026·上海金山·二模）在直角梯形中，，，点为上一点，连接、．连接与交于点，为等腰直角三角形，为等边三角形．以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【变式01】（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 【变式02】（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【变式03】（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且． (1)求证：； (2)点在底边上，，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【变式04】（2026·上海松江·一模）如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______． 题型四 锐角三角比的概念与计算 【真题呈现04】（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【变式01】（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2026·上海松江·一模）在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2026·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式04】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为 ． 【变式05】（2026·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 解直角三角形 【真题呈现05】（2026·上海松江·一模）已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是__________． 【变式01】（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是__________． 【变式02】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____ 【变式03】（2025·上海闵行·一模）在中，，，，那么直角边长为_____． 题型六 解直角三角形的实际应用 【真题呈现06】（2025年上海市中考数学真题） 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高___________米（结果保留根号）． 【变式02】（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是__________米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【变式03】（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 【变式04】（2026·上海虹口·二模） 根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点）．已知于点，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： （1）任务一：求邻居到墙角的距离； （2）任务二：如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？ （限时训练：15分钟） 1.下列图形中一定相似的图形是（ ） A 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 2．（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 3.（2026·上海浦东·一模）在中，，那么等于（ ） A. B. C. D. 4.（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海杨浦·二模）在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________． 6.（2026·上海黄浦·一模）计算：． 7.（2026·上海浦东·一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从点处传送到斜坡高处，物体沿斜坡方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（ ） A. 5米 B. 10米 C. 12米 D. 13米 8.（2026·上海浦东·一模）如图，从甲楼的一窗口观测点处测得乙楼的楼顶端的仰角是，那么从乙楼顶端处看处的俯角是___________°． 9.如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 10.计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形与锐角三角比高频考点6大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 相似三角形的判定 题型二 相似三角形的性质与应用 题型三 常见相似模型与基本图形 题型四 锐角三角比的概念与计算 题型五 解直角三角形 题型六 解直角三角形的实际应用 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 相似三角形与锐角三角比是上海中考数学图形与几何领域的核心纽带模块，在满分150分的试卷中约占22-26分，占全卷的15%-17%。作为连接三角形基础知识与函数综合、圆等复杂问题的桥梁，本模块既是第23题几何证明的核心，也是第24、25题压轴题的主要工具。从近五年考情看，该模块涵盖相似三角形的判定与性质、基本相似模型、锐角三角比的概念与计算、解直角三角形及其实际应用等考点。选择、填空、解答三种题型均有覆盖，其中第23题几何证明常考查相似三角形的判定与性质的综合运用，第21/22题常出现解直角三角形的实际应用题。专家指出，相似三角形是“几何论证与计算的核心工具”，锐角三角比则体现“数形结合”的重要思想。试卷对这部分内容的考查，既强调基础计算（如求三角比的值），又重视在真实情境中建立数学模型解决问题的能力。整体难度以中档题为主，部分综合题具有一定区分度，是中考稳中求进、拉开差距的关键板块。 基础知识必备：掌握相似三角形的四种判定方法（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、平行线分线段成比例）（5年5考）；能灵活运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、对应线段的比等于相似比、面积比等于相似比的平方）（5年5考）；熟记常见相似模型（“A型”“X型”“母子型”“一线三等角型”、旋转相似等）（5年5考）；理解锐角三角比的定义（正弦、余弦、正切、余切），能根据直角三角形中的边长求三角比的值，熟记30°、45°、60°特殊角的三角比数值（5年5考）；掌握解直角三角形的基本类型（已知一边一角、已知两边），能综合运用勾股定理和三角比解决与仰角、俯角、坡度、方向角等相关的实际测量问题（5年4考）；了解锐角三角比在几何证明和计算中的工具性作用，能利用三角比解决线段长度、角度问题。 2026中考预测： 题型稳定：相似三角形的判定与性质证明题将继续稳定在第23题位置，常见形式为“求证相似+利用相似计算线段长或证明等积式”。解直角三角形的实际应用题常出现在第21/22题，以仰角俯角、坡度、方向角等为背景考查建立直角三角形模型的能力。锐角三角比的计算在选择或填空中出现，常考查特殊角的三角比数值或简单求值。相似模型（特别是A型、X型、母子型）的识别与运用是填空压轴题（第17、18题）的高频素材。 难度平稳：基础题（如求三角比的值、相似三角形的直接判定）难度约0.8-0.9，保证大多数学生能拿分。中档题（如解直角三角形的应用、相似与函数结合）难度约0.6-0.75，是区分中等生与优生的关键。压轴题中相似三角形常作为工具出现，不单独命题，但融入函数、圆等综合题后，对学生的识图和转化能力提出较高要求。 命题趋势：解直角三角形的应用题将更加贴近真实生活，可能融入上海本地地标（如东方明珠、上海中心大厦等）的测量情境，或社会热点（如无人机航拍、大桥建设等），强调“数学建模”核心素养。相似三角形的考查将从“单纯证明”向“证明+计算+探究”转变，可能出现开放性问题（如“请添加一个条件使两个三角形相似”）。一线三等角型、旋转相似等模型在填空压轴题中的出现频率可能增加，体现“图形运动”这一上海特色考点的延续性。整体强调“基础计算+模型识别+实际应用”。 题型一 相似三角形的判定 【真题呈现01】（2026·上海徐汇·二模）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当与相切于点时，则，设，则 根据列出比例式，求得的值；当与相切于点时，则，过点作于点，证明，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当与相切于点时，则 ∵ ∴ ∴ 设，则 ∵， ∴，即 ∴ 当与相切于点时，则，过点作于点， ∵ ∴ ∴ 设，则，， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，的长是或 【变式01】（2026·上海奉贤·二模）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点、交于点，且，． （1）如果，求证：； （2）连接．如果，求证：是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质． （1）根据四边形是平行四边形，，可推出，根据，可推出，结合证明即可得证； （2）由可得，又有，则，得，则，结合可得，又由（1）得，可证，得到，结合平行四边形的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，，， 在和中， ， ，，； 【小问2详解】 证明：，， 又，，，， （对顶角相等），，又， ， ，， ，，，， ， 四边形是平行四边形，为中点，，是的中点． 【变式02】（2026·上海中考·预测）如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 【变式03】（2026·上海崇明·一模）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，结合线段比例关系与相似三角形判定来推导平行关系．关键是利用“两边对应成比例且夹角相等，则三角形相似”，进而推出同位角相等，判定两直线平行． 【详解】解：∵， ∴． ∵点、分别在、的反向延长线上， ∴． 已知，则，若要判定，还需满足边的关系是． 选项A中，不满足比例关系，不合题意； 选项B中∵， ∴， ∴，满足题意； 选项C中，推得，不合题意； 选项D中仅为线段长度比，无夹角相等条件，无法判定相似与平行． 故选：B． 【变式04】（2026·上海崇明·一模）如图，已知在四边形中，，如果，那么__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型二 相似三角形的性质与应用 【真题呈现02】（2026·上海闵行·一模）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， 则面积比为， 由题意，， 解得， 周长比等于相似比，即它们的周长之比是， 故答案为：． 【变式01】 （2026·上海崇明·一模）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应中线的比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个三角形的相似比为． 又∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个三角形的对应中线的比为． 故选：A． 【变式02】（2026·上海青浦·一模）如果两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的相似比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比直接得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质，周长之比等于相似比， 周长之比为， 相似比为． 故答案为：． 【变式03】（2026·上海崇明·一模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，则的比值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点P，连接，根据重心的性质推出，通过证明，，得出，则，，再证明，得出， 设，则，，，即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点P，连接， ∵点G为重心，点D为边中点， ∴点B、G、D在同一直线上， ∵， ∴， ∵点D为边中点， ∴， ∴， ∴ ∴点P为边中点， ∴点C、P、G在同一直线上， ∵点D为边中点，点P为边中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵点D为边中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的三条中线相交于一点，这一点是三角形的重心；三角形的中线将三角形面积平分． 【变式04】（2026·上海青浦·一模）如图，正方形DEFG的顶点均在的边上，，，BC边上的高的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是利用正方形的对边平行，得到，再根据相似三角形的高与对应边成比例列方程求解． 【详解】解：设边上的高为． ∵正方形的边， ∴． ∵，，的高为， ∴，解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案：． 题型三 常见相似模型与基本图形 【真题呈现03】 （2026·上海金山·二模）在直角梯形中，，，点为上一点，连接、．连接与交于点，为等腰直角三角形，为等边三角形．以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理，根据已知条件推出各角和边的关系，再依次验证四个结论即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ . ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ，. ∵ 为等边三角形， ∴ ，， ∵ ， 在 中，， 故 ①正确； 在 和 中， ， ∴ ， 故②正确； 设 ， 则 ， ∵ ，，， ， ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故③错误； ， ， ，， ， ， ， ， 即． 故④正确． 综上，正确结论为①②④． 【变式01】（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 【变式02】（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 【变式03】（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且． (1)求证：； (2)点在底边上，，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证，根据相似三角形的性质可证，根据同位角相等两直线平行可证结论成立； (2)根据，，可知，根据相似三角形的性质可知，从而可得：，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据题意得，， ， ， ， 和面积相等， ， 解得：． 【变式04】（2026·上海松江·一模）如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：2． 题型四 锐角三角比的概念与计算 【真题呈现04】（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 【变式01】（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理求出的长，再根据正切，余切，正弦和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴，，，， 故选：C． 【变式02】（2026·上海松江·一模）在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个锐角所对的直角边的长与斜边长的比值，余弦值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与斜边长的比值，正切值等于这个锐角所对的直角边的长与另一直角边的长的比值，余切值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与该锐角所对的直角边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，、、分别是、、的对边， ∴，，，， 故选：B． 【变式03】（2026·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义判断各选项． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 故选：B． 【变式04】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质及余弦的定义，根据已知条件利用勾股定理求得的值，再由直角三角形斜边中线定理可得，根据等腰三角形的性质得出，进而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式05】（2026·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 题型五 解直角三角形 【真题呈现05】（2026·上海松江·一模）已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，设，分别解，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， 设， 在中，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式01】（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【变式02】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式03】（2025·上海闵行·一模）在中，，，，那么直角边长为_____． 【答案】4 【分析】本题考查解直角三角形．先根据余弦定义求得即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， 故答案为：4． 题型六 解直角三角形的实际应用 【真题呈现06】（2025年上海市中考数学真题） 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高___________米（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 【变式02】（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是__________米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 【变式03】（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及俯角问题，读懂题意，数形结合，准确选择三角函数求解是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，在中，解直角三角形求出，再由矩形的判定与性质得到相关线段长，最后在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，则（米）， 答：点到地面的距离为米； （2）解：延长交于点，如图所示： 在中，，则（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 在中，，则（米）， ∴（米）， 答：大楼的高度为米． 【变式04】（2026·上海虹口·二模） 根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点）．已知于点，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： （1）任务一：求邻居到墙角的距离； （2）任务二：如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？ 【答案】（1） （2）水盆B应向左平移，且平移 【解析】 【分析】（1）先求出，，再解直角三角形得出，再根据，求出即可； （2）先证明此时与重合，解直角三角形得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即邻居A到墙角P的距离为； 【小问2详解】 解：当镜子绕点顺时针旋转后，如图所示： 此时， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴此时与重合， ∴此时， ∴， ∴点B向左移动，且移动距离为：． （限时训练：15分钟） 1.下列图形中一定相似的图形是（ ） A 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】A、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意； B、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意； C、两个等腰梯形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 2．（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，网格中求三角函数值，连接，交于点，易得，均为等边三角形，求出的长，再利用正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵菱形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：为等边三角形，，， ∴，， ∴； 故答案为：． 3.（2026·上海浦东·一模）在中，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求正弦，根据正弦函数的定义，在直角三角形中，等于的对边与斜边的比值，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴斜边为，的对边为， ∴． 故选：C． 4.（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，结合线段的和差关系，三角形的面积公式，进行求解，判断即可． 【详解】解：如图， 在中，，； 在中，，； ∴，， ∴； 故选项A，C，D正确； 无法得到；故选项B错误； 故选B． 5．（2026·上海杨浦·二模）在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________． 【答案】 【分析】先判断是等腰直角三角形，则，，容易证明，则，利用三角形外角的性质可证明，从而得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 6.（2026·上海黄浦·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 7.（2026·上海浦东·一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从点处传送到斜坡高处，物体沿斜坡方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（ ） A. 5米 B. 10米 C. 12米 D. 13米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点作垂直地面于点，设，则，再根据勾股定理即可求解，知道坡比的概念是解题的关键． 【详解】解：过点作垂直地面于点，如图： 由题意可得：， 设，则， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴物体离地面的高度为米， 故选：B． 8.（2026·上海浦东·一模）如图，从甲楼的一窗口观测点处测得乙楼的楼顶端的仰角是，那么从乙楼顶端处看处的俯角是___________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了仰角俯角的定义，平行线的性质，作于点，，由平行线的性质得到，得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，， ∴， ∴， ∴从乙楼顶端处看处的俯角是， 故答案为：． 9.如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点作于点，在和中，利用三角函数解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由题意，可知，（米）， 在中，可得， ∴（米）， 在中，可得， ∴（米）， ∴（米）， ∴此时货车A和汽车B相距米． 故答案为：． 10.计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $角度 sin 30° 12 45° 号 60° 号 cos 号 号 1-2 tan cot 要 v3 1 1 v3 号两角对应相等，两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 四种判定方法O 三边对应成比例，两三角形相似 平行线分线段成比例(A型、X型自动相似) 必须找准“对应”边、对应角 相似三角形的判定O 判定易错点0 两边成比例必须是“夹角”相等，不是任意角 全等三角形是相似比为1的特殊相似 A型：DE∥BC→△ADE~△ABC X型：AB//CD→△AEB~△DEC 常见相似基本图形。 母子型：直角三角形斜边上的高分出两个小三角形相似 一线三等角型：同一直线上三个等角 旋转相似型：一对相似三角形绕顶点旋转 对应角相等 基本性质O 对应边成比例 对应线段（中线、高线、角平分线、周长）的比等于相似比 面积比=相似比的平方 二、相似三角形的性质O 面积性质。 等高三角形：面积比=底边比 等底三角形：面积比=高之比 利用比例式列方程求线段长度 应用方向0 证明等积式转化为比例式再证相似 与函数综合求点的坐标或线段关系 A型：平行于三角形一边的直线截另两边，所得三角形与原三角形相似 A型与X型O一 X型：两条平行线被两条相交线所截，形成的三角形相似 直角三角形斜边上的高分出的两个小直角三角形都相似于原三角形 母子型0 射影定理：在母子型中成立 三、 常见相似模型© 同一条直线上有三个等角则相似 一线三等角型0 常出现在等腰梯形或矩形背景中 一个三角形绕顶点旋转，如果对应边旋转后共线则相似 旋转相似型⊙ 常见结论：旋转相似必成对，且旋转角等于相似角 sinA=对边/斜边 cosA=邻边/斜边 四个三角比O tanA=对边/邻边 cotA=邻边/对边 30°：sin30°-=1/2，cos30°=3/2，tan30°=3/3，cot30°=「3 四、锐角三角比的定义○ 特殊角的三角比O 45°：sin45°=cos45°=J2/2,tan45°=cot45°=1 60°：sin60°=厂3/2，cos60°=1/2，tan60°=3，cot60°=厂3/3 互余关系：sinA=cos(90°-A),tanA=cot(90°-A) 三角比之间的关系。 平方关系：sin2A+cos2A=1 倒数关系：tanA×cotA=1 已知一边一角：先用内角和求另一角，再用三角比求边 基本类型O 已知两边：先用勾股定理求第三边，再用三角比求角 作高构造直角三角形 常用辅助线0 作垂线分割一般三角形为两个直角三角形 五、解直角三角形O 在梯形或矩形背景中作高 仰角俯角：视线与水平线的夹角 坡度：i=h/l=tana 实际应用O 方向角：北偏东、南偏西等方位描述 测量问题、航海问题、工程问题 相似三角形对应角相等，三角比也相等 相似中的三角比。一 求某角的三角比可转移至易求的相似三角形中 坐标系中证相似求点坐标，用比例式列方程 函数背景下的相似O 动点问题中由相似条件列函数关系式 六、相似与三角比的综合O, 圆中相似常见模型：相交弦定理、切割线定理 圆中的相似与三角比。 直径所对圆周角等于90°，构造直角三角形求三角比 三角比的书写格式注意角的表示要完整 易错点O 解直角三角形时注意精确度要求 实际应用题注意单位统一和答句完整