专题02 平面向量、数列（4大考点）（安徽专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题02 平面向量、数列 4大考点概览 考点01平面向量运算与数量积 考点02平面向量的应用 考点03数列 考点04数列的应用 ( 平面向量 运算与数量积 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽池州·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量在另一个向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以在上的投影向量为 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以 因为，所以，所以 3．（2026·安徽淮南·二模）已知向量，，与的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【详解】因为向量，所以， 又，与的夹角为， 所以， 所以，所以. 4．（2026·安徽滁州·二模）若向量，为单位向量，且，则与夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算性质、向量的模的计算、向量夹角的计算及三角函数的平方关系求解即可. 【详解】已知，则，又为单位向量，所以. 由可得，，即， 所以. ， . 设与夹角为， 则. 故. 5．（2026·安徽安庆·二模）已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，根据模长平方公式： ， ， 再由，移项得， 两边平方：， 代入展开式： ， 整理得：，因为模长非负，故， 再次对两边平方得： ， 展开化简得：，即，得， 结合 ，舍去负值，得. 故选:C 二、填空题 6．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量，满足，，则与的夹角为________. 【答案】 【分析】借助数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由，则， 即，则. 7．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量满足，则___________． 【答案】 【详解】， ， 设， 则， ． ( 平面向量的应用 考点 2 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线的直线方程为，利用向量的线性运算可求得，求得的中点的轨迹方程，进而可得，进而求得的最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为三角形为等腰直角三角形，且，所以， 所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以， 又，所以，解得. 因为，，所以的轨迹方程为和. 记的中点为，则， 所以， 所以，所以的轨迹方程为. 过分别向直线作垂线，垂足分别为， 则，又因为，所以为直角梯形， 又，为的中点，所以. 则的最大值即为的最大值， 又到直线的距离为， 所以的最大值为，所以的最大值即为. 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，三根绳子所受的力分别为，则， 因为的合力，所以， 如图，在平行四边形中，， 因为，所以， 所以绳子受力的大小为. ( 数列 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，，则（   ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】B 【分析】借助与关系计算可得，则可由等比数列定义求出数列的通项公式，即可得. 【详解】当时，，则， 故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，故. 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，即可得. 【详解】由题设，若数列的公比为，且， 由， 可得，则（负值舍）， 即数列为常数列， 则. 3．（2026·安徽安庆·二模）已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式化简为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知等比数列，其公比， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 二、多选题 4．（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 【答案】ABD 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前项和为： ，所以D正确. 5．（2026·安徽淮北·二模）已知为等差数列的前项和，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，因为是等差数列，且，，所以，，所以，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，，则，所以B选项错误； C选项，，所以，，则，所以C选项正确； D选项，因为，所以是以首项为，公比为4的等比数列，所以，所以D选项正确. 6．（2026·安徽滁州·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. 7．（2026·安徽安庆·二模）已知等差数列的公差为，其前项和为，且，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由，得或， 即或，显然，故B正确； 则，故A正确； 对于C，当时，有， 此时，等差数列为递增数列，则，故C错误； 对于D，当时，有， 解得，则，故D正确. 三、填空题 8．（2026·安徽淮北·二模）已知数列满足：，，则_____________. 【答案】2 【详解】由，，所以，， ，即，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 9．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 【答案】 【分析】由题意知数列是等差数列，先求出数列的前项和为，再结合题意减去的前项和为即可得答案. 【详解】因为数列的通项公式是， 所以，即数列是等差数列， 所以数列的前项和为， 因为，依然为等差数列， 所以的前项和为， 所以数列的前项和. 四、解答题 10．（2026·安徽安庆·二模）设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助与的关系及等比数列定义计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）借助等比数列求和公式计算可得关于的不等式有个正整数解，构造数列，借助作差法可判断该数列单调性，即可得该数列中最大的三个数，即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 即，当时，，即， 又，则有，故对任意恒成立， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； （2）， 故 ； （3）， 则 ， 由的子集个数为8，则中有个元素， 故关于的不等式有个正整数解， 令，则， ， 则数列在时单调递增，在时单调递减， 即， 又， 当时，， 故的三个正整数解为、、， 故，又，， 故. 11．（2026·安徽池州·二模）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系，结合递增数列的特点，根据等差数列的定义可证； （2）分别求出数列的通项公式，利用错位相减求和法求得的结果. 【详解】（1）令，得，所以； 由题意得， 所以当时， ，即， 所以或 所以或. 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知，所以. 令 则① 两边同乘以2，得② ②-①，得 所以. 12．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程, 再结合数列递增确定公差, 从而求出通项公式. （2）由（1）得出通项后, 写出所求数列的通项, 再将其裂项, 利用裂项相消求和. 【详解】（1）由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. （2）由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而. . 13．（2026·安徽合肥·二模）已知数列是等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列通项公式和前项和公式求解； （2）根据等比数列的性质求出，进而得出的表达式，再利用指数函数的单调性证明结论． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，已知， ， ． （2）已知，则是首项，公比的等比数列， ， ， 令， ， 当时，，， ，函数单调递减， ， ，命题得证． ( 数列的应用 考点 4 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断为等比数列，求出通项公式，代入求解即可. 【详解】由题意可知，，易知，所以. 又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 二、多选题 2．（2026·安徽池州·二模）在数列中，存在（，），使得对任意，都有，下列说法正确的有（   ） A．若A：1，2，则 B．N可能是奇数 C．若A为等差数列，当，时，则的最大值为2 D．若A为正项等比数列，当时，则N的最大值为6 【答案】ACD 【分析】通过分析的斜率变化规律，得出仅当项数为偶数时存在区间使为常数，再结合等差、等比数列的性质逐一验证选项. 【详解】令，由题意知，当时，恒有， 所以函数在区间上是常数函数，所以不为常数列，将数列从小到大排序后， 的斜率每过一个项增加2，仅当斜率为0时，为常数， 此时满足（为左侧的项数），即（必为偶数）， 且落在第项和第项之间. A：，对任意，， 显然，选项A正确： B：由前分析可知，必为偶数，选项B错误； C：不妨设等差数列单调递增，则公差，由得：当时，， 所以，且，所以，由得，选项C正确； D：不妨设正项等比数列单调递增，则公比，记数列的前项和为，由是偶数， 可令．所以，当时，，且， 所以，， 由等比数列求和公式，得， 当时，，，令，设， 则恒成立，所以在单调递增， 所以函数，在上单调递增，所以， 由，得，解得，即， 所以（当且仅当，时，取＂＂），选项D正确． 3．（2026·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，对都有，记，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．当时， C．当时， D． 【答案】BCD 【分析】令，可求出，再令，可得，可判断A正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过放缩完成判断；对于D，利用，结合裂项相消法可得答案. 【详解】令，得，解得， 令，得，显然，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，即， 则，所以，数列不是等差数列，A错误； 当时，， 因为，则，B正确； 当时， ， 故C正确； 由题，下证，即证， 由基本不等式这显然成立，则， 对于任意成立，当且仅当取等号. 故 ， 则，故D正确. 三、解答题 4．（2026·安徽合肥·二模）“二分法”是一种常用的检索方法.为正整数且数，为了寻找，我们可以把与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到.检索的过程分为取数和比较两个步骤.①取数：是集合中的整数，若为偶数，取；若为奇数，取.②比较：比较与的大小关系.若，则停止检索：若，则，，继续检索：若，则，，继续检索，下一次检索区间范围更新为，其中，.对于正整数，从集合中任取一个数，按上述检索过程找到数经历的比较次数为，记. (1)请完成表1和表2. 表1：时，不同取值所经历的比较次数 1 2 3 4 5 6 7 比较次数 2 3 1 3 3 表2：当时，不同取值所经历的比较次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 比较次数 4 3 4 2 3 4 1 4 3 4 2 4 3 4 (2)求、，并求出； (3)证明：，. 参考数据：. 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义，对每个数进行考查，即可列出表格； （2）考虑随机变量的可能取值，研究对应值的概率，结合期望算法即可求出； （3）结合第（2）问，可设，则，利用换元，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）通过实际操作可以发现：当时的取值与其比较次数如下表： 1 2 3 4 5 6 7 比较次数 3 2 3 1 3 2 3 当时的取值与其比较次数如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 比较次数 4 3 4 2 4 3 4 1 4 3 4 2 4 3 4 5 （2）由（1）知可取、、， 于是， 可取、、、、. 于是. 可取，当时，所有可能取到的数的个数记为， 则，， 所以，因此，于是 令， ， 上述两个等式作差得， 整理可得，所以. （3）根据（2）的分析，容易知道当时，可取. 对于任意的，设，， 则. 要证：， 即证：， 即证：. 设，， 只要证：. 因为， 设， 则， 所以在上单调递减，又， 所以在上单调递减，又， 故存在使得，所以在上单调递增，上单调递减， 容易验证，，现只需证. 因为，所以， ， 故，也即. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量、数列 4大考点概览 考点01平面向量运算与数量积 考点02平面向量的应用 考点03数列 考点04数列的应用 ( 平面向量 运算与数量积 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽池州·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮南·二模）已知向量，，与的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D．3 4．（2026·安徽滁州·二模）若向量，为单位向量，且，则与夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽安庆·二模）已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量，满足，，则与的夹角为________. 7．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量满足，则___________． ( 平面向量的应用 考点 2 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． ( 数列 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，，则（   ） A．18 B．54 C．81 D．162 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 3．（2026·安徽安庆·二模）已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 二、多选题 4．（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 5．（2026·安徽淮北·二模）已知为等差数列的前项和，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽滁州·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 7．（2026·安徽安庆·二模）已知等差数列的公差为，其前项和为，且，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 8．（2026·安徽淮北·二模）已知数列满足：，，则_____________. 9．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 四、解答题 10．（2026·安徽安庆·二模）设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 11．（2026·安徽池州·二模）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 12．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 13．（2026·安徽合肥·二模）已知数列是等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． ( 数列的应用 考点 4 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2026·安徽池州·二模）在数列中，存在（，），使得对任意，都有，下列说法正确的有（   ） A．若A：1，2，则 B．N可能是奇数 C．若A为等差数列，当，时，则的最大值为2 D．若A为正项等比数列，当时，则N的最大值为6 3．（2026·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，对都有，记，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．当时， C．当时， D． 三、解答题 4．（2026·安徽合肥·二模）“二分法”是一种常用的检索方法.为正整数且数，为了寻找，我们可以把与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到.检索的过程分为取数和比较两个步骤.①取数：是集合中的整数，若为偶数，取；若为奇数，取.②比较：比较与的大小关系.若，则停止检索：若，则，，继续检索：若，则，，继续检索，下一次检索区间范围更新为，其中，.对于正整数，从集合中任取一个数，按上述检索过程找到数经历的比较次数为，记. (1)请完成表1和表2. 表1：时，不同取值所经历的比较次数 1 2 3 4 5 6 7 比较次数 2 3 1 3 3 表2：当时，不同取值所经历的比较次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 比较次数 4 3 4 2 3 4 1 4 3 4 2 4 3 4 (2)求、，并求出； (3)证明：，. 参考数据：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $