专题05 计数原理与概率统计（5大考点）（安徽专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 安徽各地2026届二模计数原理与概率统计试题汇编，覆盖二项式定理等5大考点，解答题以社区网购调查、步数回归分析等现实情境为载体，注重应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10题|二项式定理（估计值、余数）、排列组合（函数个数）、统计（数据特征）、概率（独立性）、随机变量（分布列性质）|结合安徽各地二模真题，基础与能力题分层设计| |填空|5题|二项式系数、排列组合（三位数个数）、统计（分位数）|聚焦概念辨析与运算准确性| |多选|2题|统计（数据变换、独立性检验）|考查数据分析与逻辑推理能力| |解答题|10题|统计（回归分析、独立性检验）、概率（分组概率）、随机变量（分布列、期望）|以社区调查、体育比赛等真实情境命题，综合性强，贴合高考命题趋势|

专题05 计数原理与概率统计 5大考点概览 考点01二项式定理 考点02排列组合 考点03统计 考点04概率 考点05随机变量及其分布 ( 二项式定理 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 2．（2026·安徽合肥·二模）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 4．（2026·安徽马鞍山·二模）的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 5．（2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． ( 排列组合 考点 2 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮北·二模）已知集合，则满足的函数的个数为（    ） A．12 B．15 C．24 D．30 二、填空题 2．（2026·安徽安庆·二模）有正整数，满足，且，现从以上6个正整数中任选3个组成三位数，则组成的不同三位数个数有___________． ( 统计 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·二模）已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（   ） A．极差为28 B．平均数为60 C．第三四分位数是69 D．方差为90 二、多选题 2．（2026·安徽合肥·二模）某社区有150名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表： 兴趣班年龄 园艺班 摄影班 书画班 合计 12 5 10 27 20 15 25 60 18 10 35 63 合计 50 30 70 150 从这150人中随机抽取1人，设事件为“抽到的人年龄位于区间”，事件为“抽到的人来自园艺班”，则（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人 D．这150人年龄平均数的估计值为60岁 3．（2026·安徽淮南·二模）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 4．（2026·安徽马鞍山·二模）一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（    ） A．极差相同 B．平均数相同 C．方差相同 D．中位数相同 三、填空题 5．（2026·安徽安庆·二模）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 则该地区上半年月降水量的分位数为___________． 四、解答题 6．（2026·安徽滁州·二模）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； (2)将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”； 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 (3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 7．（2026·安徽池州·二模）某同学为养成锻炼习惯，使用智能手环记录自己连续五天的行走步数，设日期顺序变量x（为第一天），y（单位：千步）为对应日期的步数，具体数据如下表： 日期顺序（天） 1 2 3 4 5 步数y（千步） 6.2 6.8 7.6 8.4 9.0 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，预测该同学第7天的步数能否达到一万步. 附：经验回归方程，其中， ( 概率 考点 4 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 二、解答题 2．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. ( 随机变量及其分布 考点 5 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮南·二模）设，随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的最大值为 2．（2026·安徽合肥·二模）已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（   ） A．0.48 B．0.54 C．0.76 D．0.92 3．（2026·安徽池州·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（   ） 1 2 3 4 5 6 A． B． C． D． 二、解答题 4．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 5．（2026·安徽滁州·二模）某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量． (1)当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值； (2)该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下： 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ①求的平均数； ②用该样本的平均数估计随机变量的均值，求的值（保留两位小数）． 6．（2026·安徽合肥·二模）某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. (1)求该订单乘客接受动态调价的概率； (2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. 7．（2026·安徽淮北·二模）已知袋子中共有个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出. (1)求第二次取出的球是红球的概率； (2)若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率； (3)记随机变量为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：. 8．（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 9．（2026·安徽安庆·二模）某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若棋手输给机器人，则棋手得分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1分，则棋手获胜．在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为，棋手输给机器人的概率为，平局的概率为．每局比赛的结果互不影响． (1)求三局比赛结束后棋手得2分的概率； (2)在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金1000元，输给机器人或平局都没有奖金．记三局比赛结束后棋手获得的奖金为元，求的分布列与数学期望． 10．（2026·安徽合肥·二模）某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 计数原理与概率统计 5大考点概览 考点01二项式定理 考点02排列组合 考点03统计 考点04概率 考点05随机变量及其分布 ( 二项式定理 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【答案】D 【详解】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. 2．（2026·安徽合肥·二模）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，， 而是7的整数倍， 所以被7除所得的余数为1. 二、填空题 3．（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 【答案】 【分析】根据二项式系数和得，从而写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定最小项系数即可. 【详解】由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 4．（2026·安徽马鞍山·二模）的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】120 【详解】从个因式中依次选择个，个，个， 则结果为， 故的系数为 5．（2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 【答案】2 【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得. 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. ( 排列组合 考点 2 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮北·二模）已知集合，则满足的函数的个数为（    ） A．12 B．15 C．24 D．30 【答案】B 【详解】集合，函数的定义域是，其函数值均取自集合； ，且，至少为2； ，且，至多为4； 的可能取值为2，3，4. ①当时, ，即，且，只能取1，共1种选择； ，即，且，只能取1，共1种选择； ，即，且，可以取2，3，4，共3种选择； 根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为. ②当时, ，即，且，可以取1，2，共2种选择； 对于，需满足； 若，则只能取1，共1种选择； 若，则可以取1，2，共2种选择； 和的组合共有1+2=3种情况； ，即，且，可以取3，4，共2种选择； 根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为. ③当时, ，即，且，可以取1，2，3，共3种选择； 对于，需满足； 若，则只能取1，共1种选择； 若，则可以取1，2，共2种选择； 若，则可以取1，2，3，共3种选择； 和的组合共有1+2+3=6种情况； ，即，且，可以取4，共1种选择； 根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为. 综上所述，满足条件的函数总个数为. 二、填空题 2．（2026·安徽安庆·二模）有正整数，满足，且，现从以上6个正整数中任选3个组成三位数，则组成的不同三位数个数有___________． 【答案】13 【详解】若，则无解； 若，则，所以， 因为5为质数，又，所以，解得， 若1的个数小于等于3， 由，可得， 又，代入得，所以， 因为，所以可得， 所以，所以的值只能为4，5，6. 若，只能是， 则，解得， 若，因5是质数，无法分解为两个大于等于2的整数的乘积，故舍去； 若，只能是， 则，解得， 综上所述：若1的个数小于等于3，该方程无正整数解， 所以6个数字为1，1，1，1，2，6. 从中任选3个排成三位数，取3个1，有1种排法； 取2个1，取1个2或1个6，有种排法； 取1，2，6，有种排法； 所以组成的不同三位数个数有. ( 统计 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·二模）已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（   ） A．极差为28 B．平均数为60 C．第三四分位数是69 D．方差为90 【答案】D 【详解】将8位同学的体重按照从小到大的顺序排列：41，53，57，63，67，67，69，71， 对于A，极差为，错误； 对于B，平均数为，错误； 对于C，，所以第三四分位数为，错误； 对于D，方差为， 正确. 二、多选题 2．（2026·安徽合肥·二模）某社区有150名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表： 兴趣班年龄 园艺班 摄影班 书画班 合计 12 5 10 27 20 15 25 60 18 10 35 63 合计 50 30 70 150 从这150人中随机抽取1人，设事件为“抽到的人年龄位于区间”，事件为“抽到的人来自园艺班”，则（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人 D．这150人年龄平均数的估计值为60岁 【答案】BC 【分析】利用互斥事件定义可得A；利用相互独立事件的性质，验证与是否相等即可得B；估算60岁以上的老年人参加园艺班的人数即可得C；计算平均数即可得D. 【详解】对A：由园艺班中有年龄位于区间的人，故事件与事件可以同时发生， 故事件与事件不互斥，故A错误； 对B：，，， 有，则， 故事件与事件相互独立，故B正确； 对C：，故60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人，故C正确； 对D：，故D错误. 3．（2026·安徽淮南·二模）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 【答案】AB 【分析】根据平均数，方差，标准差，极差的定义及性质可得答案. 【详解】因为一组大小不等的数据的平均数为，而，所以数据的平均数为，所以A正确； 数据的方差为，由方差的性质可得数据的方差为，所以B正确； 标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据的标准差为，所以C错误； 极差为最大值减最小值，所以原数据极差，新数据的极差应为，所以D错误. 4．（2026·安徽马鞍山·二模）一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（    ） A．极差相同 B．平均数相同 C．方差相同 D．中位数相同 【答案】AC 【分析】利用每个数据同时加上同一个常数后各统计量的变化规律，逐一对比原数据与新数据的四个统计量即可得到结果. 【详解】设新数据为 ，逐个分析选项： 对于选项A： 原极差 ，新极差 ，极差相同，A正确； 选项B： 原平均数为 新平均数 ，平均数不同，B错误； 选项C： 原方差 ，新方差：，方差相同，C正确； 选项D： 原中位数为 ，新中位数为 ，因 ，故中位数不同，D错误. 三、填空题 5．（2026·安徽安庆·二模）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 则该地区上半年月降水量的分位数为___________． 【答案】56 【详解】将6个降水量数据从小到大排列： 46， 48， 53， 56， 56， 58，则样本容量为. 根据百分位数计算规则，可得 因为不是整数， 所以向上取整为5，因此75%分位数为排序后第5个数据，即56. 四、解答题 6．（2026·安徽滁州·二模）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； (2)将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”； 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 (3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)17.5 (2)表格见解析，有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”. (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的求解方法计算即可； （2）先补全列联表，再计算值，并结合独立性检验思想求解即可； （3）先根据频率估计概率得甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为，再求对应取值的概率，列分布列，求期望即可. 【详解】（1）解：依题意，因为， 而， 所以中位数位于内，所以中位数为. （2）解：依题意，消费金额不少于20千元的频率为， 所以网购迷人数为，非网购迷的人数为. 所以补全列联表如下. 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 所以. 因为，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”. （3）（3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， . 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以的数学期望 . 7．（2026·安徽池州·二模）某同学为养成锻炼习惯，使用智能手环记录自己连续五天的行走步数，设日期顺序变量x（为第一天），y（单位：千步）为对应日期的步数，具体数据如下表： 日期顺序（天） 1 2 3 4 5 步数y（千步） 6.2 6.8 7.6 8.4 9.0 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，预测该同学第7天的步数能否达到一万步. 附：经验回归方程，其中， 【答案】(1) (2)预测该同学第7天的步数能达到一万步 【分析】（1）利用最小二乘估计可求得经验回归方程； （2）令，代入回归方程求解即可. 【详解】（1）， 所以 又过，所以 所以关于的经验回归方程为 （2）令，得（千步） 因为10.48千步等于1.048万步 所以由（1）中的回归方程，预测该同学第7天的步数能达到一万步 ( 概率 考点 4 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 二、解答题 2．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）从参赛的8支球队随机选4支进入A组，其余4支进入B组，共有种分组情况， 甲、乙、丙恰好分在同一组的情况种数为. 设事件E为“甲、乙、丙恰好分在同一组”，则， 即甲、乙、丙恰好分在同一组的概率为. （2）解法一：记事件M为“甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则，， 所以， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 解法二：记事件M为“甲、乙、丙中有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. ( 随机变量及其分布 考点 5 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮南·二模）设，随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】根据方差公式，结合二次函数性质判断即可. 【详解】. . 结合二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故AB错误. 最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 2．（2026·安徽合肥·二模）已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（   ） A．0.48 B．0.54 C．0.76 D．0.92 【答案】C 【分析】利用期望和方差公式求解即可. 【详解】设,则，所以，解得：， 所以， 则 3．（2026·安徽池州·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（   ） 1 2 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以 二、解答题 4．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 5．（2026·安徽滁州·二模）某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量． (1)当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值； (2)该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下： 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ①求的平均数； ②用该样本的平均数估计随机变量的均值，求的值（保留两位小数）． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）利用公式计算条件概率； （2）由频数分布计算平均值，再结合二项分布的期望公式求的值. 【详解】（1）设事件“质点只在非负半轴上移动”，事件“”， ，，所以． 另解： 所以． （2）①样本的均值． ②设向右移动次数为，，， 所以，所以． 又由①知，所以，得． 6．（2026·安徽合肥·二模）某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. (1)求该订单乘客接受动态调价的概率； (2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设事件表示“出行目的为工作通勤”，表示“出行目的为接驳交通枢纽”，表示“出行目的为其他”，事件表示“乘客接受动态调价”. 由题意得：，，. ，，. 由全概率公式：.代入计算：. 故该订单乘客接受动态调价的概率为. （2）由贝叶斯公式：.代入计算：. 故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为. 7．（2026·安徽淮北·二模）已知袋子中共有个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出. (1)求第二次取出的球是红球的概率； (2)若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率； (3)记随机变量为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合知识，即可得答案. （2）根据全概率公式，分析求解，即可得答案. （3）先取得X的取值，求出每个取值的概率，根据期望公式，即可得证. 【详解】（1）记第二次取出的球是红球为事件A，将n个红球的安排情况作为样本空间， 则样本点总数为， 事件A表示第二次取出红球，则其他个红球在剩余的个位置中随机安排， 则事件A包含的样本点数为， 则. （2）记最后一次取出的是黄球为事件B，最后一次取出是蓝球为事件C， 显然事件B、C互斥，记红球最先被取完为事件D，则， 当事件B发生时，只需考虑取出所有蓝球之前红球被取完， 则， 当事件C发生时，只需考虑取出所有黄球之前红球被取完， 则， 所以. （3）由题意得X的取值为， 则随机变量X的分布列为， 所以随机变量X的期望 ， 所以 8．（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分别求出每一道题甲得一分的概率，再结合二项分布期望值公式计算可得结果； （2）求出3道题和5道题时甲获胜的概率表达式，再利用作差法比较两概率的大小可得出结论. 【详解】（1）每一道题甲抢到并回答正确的概率为， 每一道题乙抢到并回答错误的概率为， 所以每一题甲得一分的概率均为； 若，，可得, 又甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立，所以， 可得. （2）设回答3道题时甲获胜的概率为，回答5道题时甲获胜的概率为， 则可知； 回答5道题时甲获胜的情况有三种：前3题甲均得分；前3题甲有2题得分，增加的两道题中甲至少有1题得分；前3题甲有1题得分，增加的两道题甲2题都得分； 则有, 所以； 易知， 于是当时，，即，甲获胜的概率增大， 当时，，即，甲、乙获胜的概率相同， 当时，，即，甲获胜的概率减小， 综上，增加两题后，甲获胜的概率未必增大，而是答题能力强的同学获胜的概率增大. 9．（2026·安徽安庆·二模）某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若棋手输给机器人，则棋手得分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1分，则棋手获胜．在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为，棋手输给机器人的概率为，平局的概率为．每局比赛的结果互不影响． (1)求三局比赛结束后棋手得2分的概率； (2)在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金1000元，输给机器人或平局都没有奖金．记三局比赛结束后棋手获得的奖金为元，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1000 2000 3000 【分析】（1）要使三局比赛结束后棋手得2分，则棋手在三局比赛中赢了2局，平了1局，进而结合独立重复试验的概率公式求解即可； （2）由题意，的可能取值为，分别求出每个值对应的概率，即可得到分布列，再结合期望的公式求解即可. 【详解】（1）由题意，要使三局比赛结束后棋手得2分， 则棋手在三局比赛中赢了2局，平了1局， 所以三局比赛结束后棋手得2分的概率为. （2）由题意，的可能取值为， 而棋手每局赢机器人的概率为，输给机器人或平局的概率为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1000 2000 3000 则. 10．（2026·安徽合肥·二模）某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)（i）；（ii）1080. 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值，利用二项分布概率公式求出分布列. （2）（i）由给定统计表，结合（1）的结论求出，再利用导数求出最大值点；（ii）利用（i）的结论，结合古典概率公式求出估计值. 【详解】（1）依题意，的所有可取值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）由统计表，得 ， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 所以. （ii）设该区域中物种的个体总数，由该区域中种个体数为180， 得该区域中种的数目为， 由（i）得从该区域中随机捕获1个个体，该个体为种概率的估计值， 因此，解得，所以估计该区域中物种的个体总数为1080. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $