精品解析：2026年安徽省芜湖市崇文学校中考数学(二)（试题卷）

中考数学（二） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数是（　　） A. B. 6 C. D. 2. “十四五”期间，安徽省累计建设筹集公租房万套，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 将如图所示的几何体水平放置，则该几何体的三视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数的图像均经过点，则函数值随自变量增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在同一平面内，一束光线经过镜面1和镜面2两次反射，已知，，则两条光线的夹角（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，已知，，，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点为半圆上一点，点在直径上，连接，，点，分别在，上，连接，，四边形为正方形，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：____． 12. 函数中自变量的取值范围是____． 13. 如图，四个图形中，任意选取两个图形都是中心对称图形的概率是_____． 14. 如图，四边形的顶点，在反比例函数图象上，，在反比例函数图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交于点．连接． （）若点的横坐标为，的面积为，则的长为______； （）若四边形为正方形，则四边形的面积为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． （1）将线段先向上平移1个单位长度，再向右4个单位长度，得到线段，请画出线段（其中，分别与，对应）； （2）在所给的网格图中的平面直角坐标系的第一象限内，确定一个格点，使得点在线段的垂直平分线上，并写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某超市三月份的利润比二月份减少了，四月份的利润比三月份增加了，三、四两个月共获得利润万元，求该超市四月份的利润． 18. 如图，无人机在A点测得大楼的顶端D的仰角为，在B点测得底端C的俯角为，还测得两点间的距离为20米，已知，米，求大楼高度．参考数据：，，，，，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践 【项目背景】 为支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往青山乡开展综合实践活动，其中一个项目是调查该乡每户农民的年收入（以下称为户年收入），为乡村振兴工作提供参考． 【数据收集与整理】 班级同学从该乡随机调查了120个家庭的户年收入x（单位：万元）作为样本，收集整理后进行如下分组： 组别 A B C D E x 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 20<x≤25 25<x≤30 整理样本数据并绘制两幅统计图，部分信息如下： 任务1 求频数直方图中a，b的值． 【数据分析与运用】 已知A组中的具体数据见下表： 户年收入/万元 6 7 8 9 10 户数 1 2 4 5 2 任务2 求A组数据的中位数和众数； 任务3 乡政府准备对户年收入为10万元以下（含10万元）的家庭进行精准帮扶，根据样本估计全乡3600户中需要精准帮扶的户数． 20. 如图，内接于，，点在上，点在边上，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： （1）第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ （2）第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； （3）若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，于点，点在边上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图2，若，为外一点，且点与点在的异侧，，，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，顶点在线段上，已知，两点的坐标为和． （1）求，两点所在直线的函数表达式； （2）设该抛物线与轴的交点为，求线段的长； （3）若，两点均在该抛物线上，轴于，轴于，，两点的横坐标为和．分别记和的面积为，，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考数学（二） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数是（　　） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是．   故选：D ． 2. “十四五”期间，安徽省累计建设筹集公租房万套，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万，由科学记数法可得． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值的性质、二次根式的性质、幂的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．对任意实数，都有，即，故该选项正确； B．根据二次根式性质，，即 ；当时，， 故该选项错误； C．，根据同底数幂乘法法则，，故该选项正确； D．，故该选项正确． 4. 将如图所示的几何体水平放置，则该几何体的三视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据立体图判断几何体的结构特征，分别确定主视图、左视图和俯视图的形状及线条位置． 【详解】解：由图可得，主视图为梯形，左视图为矩形，俯视图为矩形，且被两条实线分割为三个小矩形， 观察选项，只有A选项符合． 5. 下列函数的图像均经过点，则函数值随自变量增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将点代入各函数求出未知系数，再根据不同函数的增减性逐项判断即可． 【详解】解： A．将代入得，解得，则一次函数中，随增大而增大，不符合要求； B．将代入得 ，解得，∴一次函数 中，随增大而减小，符合要求； C．将代入得，解得，反比例函数仅在每个象限内随增大而增大，整个定义域不满足随增大而减小，不符合要求； D．将 代入得 ，解得，二次函数开口向上，仅时随增大而减小，时随增大而增大，整体不满足要求，不符合要求． 6. 如图，在同一平面内，一束光线经过镜面1和镜面2两次反射，已知，，则两条光线的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据光的反射定律（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角），结合三角形的外角性质或内角和定理，求出两条光线的夹角． 【详解】解：设入射光线为，经过镜面1反射后的光线为，经过镜面2反射后的光线为， ∵光线经过镜面1反射，， ∴入射光线与镜面1的夹角为， ∴与的夹角为， ∵光线经过镜面2反射，， ∴反射光线与镜面2的夹角为， ∴与的夹角为， 在由光线、光线、光线构成的三角形中， 由三角形外角的性质得：． 7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0，已知方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程，且存在两个不相等的实数根满足， ∴，且，解得：． ∴的取值范围是且． 8. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，已知，，，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形外角的性质得，结合圆周角定理得，设，则，得出，再根据求出，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 直径， 半径， 劣弧的长为． 9. 如图，点为半圆上一点，点在直径上，连接，，点，分别在，上，连接，，四边形为正方形，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作交于点H，证明，得到，则可证明，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点H， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意． 10. 如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由锐角三角函数可得，由直角三角形的性质得，当时，最小，过作于，可得，即得，即可判定；作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小，以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ，可得 ，利用勾股定理求出即可判定；过点作的延长线于点，，当时，取最大值，即可判定；过点作 的延长线于点，利用三角形的面积可得，由，可得，即可判定，综上即可求解． 【详解】解：在中，∵，，，  ，， ， 为中点， ，  ∴为定值， 当时，最小， 如图，过作于， 则， ，故正确； 如图，作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小， 以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ， ∵点为的中点， ∴ ， ∴， ，故正确； 过点作的延长线于点， 则 ， 当时，取最大值， ∴面积最大值为，故正确； 设为点到直线的距离，则 ， 过点作 的延长线于点， 由可得，， ∴， ∵， ∴，故错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据立方根的定义、负整数指数幂的运算法则化简，然后利用有理数减法法则计算即可． 【详解】解：． 12. 函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 13. 如图，四个图形中，任意选取两个图形都是中心对称图形的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中心对称图形的概念判断出四个图形中哪些是中心对称图形，然后利用列举法列出从四个图形中任选两个的所有可能结果，找出其中两个都是中心对称图形的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：观察图形可知， 第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 第二个图形是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形是中心对称图形， 则中心对称图形有3个； 设四个图形分别为A，B，C，D，其中B，C，D为中心对称图形． 从四个图形中任选两个，所有可能的结果有：，共6种等可能的结果． 其中两个都是中心对称图形的结果有：，共3种． 所以任意选取两个图形都是中心对称图形的概率． 14. 如图，四边形的顶点，在反比例函数图象上，，在反比例函数图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交于点．连接． （）若点的横坐标为，的面积为，则的长为______； （）若四边形为正方形，则四边形的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，正方形的性质； （1）由点的横坐标为，代入可求出，设利用的面积为，建立方程求出，再代入到即可求出的长； （2）根据与的图象都关于对称，得出四边形也关于对称，据此可得出轴，轴，设，则，，，利用点为、的中点，建立方程可求出，最后利用 即可求出面积． 【详解】解：（）把代入，得， ∴， 设，则， ∵的面积为， ∴，解得：， ∴， 把代入，得，解得：， ∴． （2）如图所示， 与的图象都关于对称， ∵四边形为正方形， ∴， ∵与图象的距离，离越远距离越小， ∴要使四边形为正方形，那么四边形也要关于对称， 连接，相交于点，延长交轴于， ∴， 又∵， ∴轴，轴， ∵点，在反比例函数图象上，，在反比例函数图象上， ∴设，则，，，， ∵点为、的中点， ∴，解得：（舍去）或， ∴， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． （1）将线段先向上平移1个单位长度，再向右4个单位长度，得到线段，请画出线段（其中，分别与，对应）； （2）在所给的网格图中的平面直角坐标系的第一象限内，确定一个格点，使得点在线段的垂直平分线上，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图， （或，答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质确定点C和点D的位置，然后连线即可； （2）根据网格特点及线段垂直平分线的判定方法取格点P（或，答案不唯一） 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 若取，同理可说明在线段的垂直平分线上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某超市三月份的利润比二月份减少了，四月份的利润比三月份增加了，三、四两个月共获得利润万元，求该超市四月份的利润． 【答案】万元 【解析】 【分析】设出二月份利润为x，依次表示出三月份和四月份的利润，再根据三四月份总利润列一元一次方程求得x的值，进而求得四月份的利润． 【详解】解：设该超市二月份的利润为x万元 ， 根据题意，三月份利润为万元， 四月份利润为万元， ∵三、四两个月共获得利润万元， ∴ ， 解得：． ∴四月份利润为（万元） ． 答：该超市四月份的利润为万元． 18. 如图，无人机在A点测得大楼的顶端D的仰角为，在B点测得底端C的俯角为，还测得两点间的距离为20米，已知，米，求大楼高度．参考数据：，，，，，． 【答案】28米 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角形的实际运用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型． 过点A作，作交的延长线于点F，首先根据三角函数求出，，然后证明出四边形是矩形，得到，，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于E，作交的延长线于点F， ∵在B点测得底端C的俯角为， ∴ ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵无人机在A点测得大楼的顶端D的仰角为， ∴， ∴，解得， ∴（米）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践 【项目背景】 为支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往青山乡开展综合实践活动，其中一个项目是调查该乡每户农民的年收入（以下称为户年收入），为乡村振兴工作提供参考． 【数据收集与整理】 班级同学从该乡随机调查了120个家庭的户年收入x（单位：万元）作为样本，收集整理后进行如下分组： 组别 A B C D E x 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 20<x≤25 25<x≤30 整理样本数据并绘制两幅统计图，部分信息如下： 任务1 求频数直方图中a，b的值． 【数据分析与运用】 已知A组中的具体数据见下表： 户年收入/万元 6 7 8 9 10 户数 1 2 4 5 2 任务2 求A组数据的中位数和众数； 任务3 乡政府准备对户年收入为10万元以下（含10万元）的家庭进行精准帮扶，根据样本估计全乡3600户中需要精准帮扶的户数． 【答案】任务1：，；任务2：中位数和众数分别为8.5万元和9万元；任务3：420户 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图，中位数、众数，样本估计总体等知识，读懂题意是解题的关键． 任务1：利用百分比和作差即可求出答案； 任务2：求出中位数和众数，即可得到答案； 任务3：用样本估计总体即可． 【详解】解：任务1 ，即． ， ∴． 任务2 A组数据的中位数和众数分别为8.5万元和9万元． 任务3 （户）． 答：估计全乡3600户中需要精准帮扶的户数为420． 20. 如图，内接于，，点在上，点在边上，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角、圆周角定理以及等量代换可得，利用角的和差可得，再根据两角对应相等，两三角形相似即可证明结论； （2）先说明，由（1）得，利用相似三角形的性质可得，再证明可得，进而得到，最后代入求比例即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵​，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： （1）第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ （2）第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； （3）若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 【答案】（1）29，21 （2）， （3）66米 【解析】 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）设第x个展览架中花卉比盆景多43盆，再利用（2）中的数量关系列方程求得x的值，进而求得第10个展览架中盆景的盆数为，最后求斜边长即可． 【小问1详解】 解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； ∴第5个展览架中花卉的盆数为 ，盆景的盆数为 ． 【小问2详解】 解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第5个图案中花卉的盆数为，盆景的盆数为 ． 第n个展览架中花卉的盆数为 ． 盆景的盆数为 ． 【小问3详解】 解：设第x个展览架中花卉比盆景多43盆， 由题意得 ， 整理得，解得：或（不合题意，舍去）， 当时，即第10个展览架中盆景的盆数为． 所以展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长66米． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，于点，点在边上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图2，若，为外一点，且点与点在的异侧，，，求证：． 【答案】（1） 证明：如图：过点D作于点H， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 解：如图：连接交于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图：过点D作于点H，利用三线合一的性质可得，再利用同角的余角相等可得，进而证明结论； （2）设，则，解直角三角形可得 、，即；利用等腰三角形三线合一的性质可得，即；最后代入求比例即可； （3）如图：连接交于Q，证明可得，再证明是等腰直角三角形可得；设，则，根据三角形内角和定理、等角对等边、等量代换可得，即；再根据平行线的判定与性质、等量代换、等角对等边可得，最后代入即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，顶点在线段上，已知，两点的坐标为和． （1）求，两点所在直线的函数表达式； （2）设该抛物线与轴的交点为，求线段的长； （3）若，两点均在该抛物线上，轴于，轴于，，两点的横坐标为和．分别记和的面积为，，当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先运用待定系数法以及相关已知条件可得，进而求得函数解析式以及，再运用两点间距离公式求解即可； （3）由题意可得，，再画出图形，然后分别表示出和的面积，最后根据列关于t的方程求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为． 则，解得：， 所以，两点所在直线的函数表达式． 【小问2详解】 解：设抛物线的表达式为． 将其展开可得， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵顶点在线段上， ∴，解得：． ∴抛物线的顶点坐标为． 把代入抛物线表达式中，可得． 令，可得， ∴， ∵， ∴线段的长． 【小问3详解】 解：如图： ∵，两点的横坐标为和，且抛物线表达式为， ∴，，即， ∵， ∴，， ∵轴于，轴于， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $