精品解析：江苏无锡市湖滨中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷高一数学

无锡市湖滨中学2025~2026学年第二学期期中考试试卷 高一数学 2026年4月 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则等于 A. -2 B. -6 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由于A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)三点的坐标已知，则=,=,所以有,选A． 考点：平面向量数量积的坐标表示 3. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法还原图形，根据梯形的周长计算即可. 【详解】已知直观图中，，，、平行于轴， 因此原图形中，； 平行于轴，因此原图形中，且，即是直角梯形. 过作于，则，， 由勾股定理得. 故周长. 5. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出正四棱锥的高后可求其体积. 【详解】正四棱锥底面的对角线的长度为， 故正四棱锥的高为，所以体积为， 故选D. 【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系. 6. 若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆锥的母线长和底面半径，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由， 设圆锥的底面半径为，则， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 7. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 8. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. z的虚部是2i C. 复数z的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数模的公式，虚部的定义，共轭复数的概念，复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】，A正确； 的虚部为2，不是，B错误； 复数z的共轭复数为，C错误； ，对应复平面内点为，位于第三象限，D正确. 10. （多选）下列叙述正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若直线，则直线与能确定一个平面 C. 三点确定一个平面 D. 若且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由空间线面位置关系，结合公理及推论，逐个验证即可. 【详解】点是两平面的公共点，当然在交线上，故A正确； 两条相交直线确定一个平面，故B正确； 只有不共线的三点才能确定一个平面，故C错误； 直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确. 【详解】对于A，由题意可得， 若，则，得，故A正确； 对于B，由题意可得， 若，则，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则向量在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D，由题意得，， ， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 且向量与向量不共线，则，即， 所以的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一空2分、第二空3分． 12. 已知复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数k的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】由三点共线，转化为两个向量共线且有一个公共点，求解参数即可. 【详解】因三点共线，故． ，， ． 故答案为：. 14. 若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且. （1）求边的长； （2）求角大小及的面积. 【答案】（1）5 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解， （2）根据余弦定理求解角度，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得 【小问2详解】 由余弦定理，所以 16. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示、向量垂直的坐标表示列式求解. （2）由（1）的结论求出向量，再利用向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 向量，，，由，得，则； 由，得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因此，， ，而，则， 所以向量，的夹角的大小为. 17. 四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． （1）求证：平面． （2）求证：F是中点． 【答案】（1） 由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2） 由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 【解析】 【分析】（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数是实数，求实数的值； （3）若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法运算以及纯虚数的定义即可得出； （2）结合共轭复数以及实数的定义即可得出； （3）利用复数除法计算以及复数的几何意义解不等式即可求出结果. 【小问1详解】 易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； 【小问2详解】 由可得, 所以, 若复数是实数，可得， 解得； 【小问3详解】 易知， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得， 解得. 即实数的取值范围为. 19. 古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状） （1）求这个扇形玉佩的半径； （2）现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）. 【答案】（1）这个扇形玉佩的半径为 （2）扇形的圆心角为，弧长为，面积为 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求，可得，进而可求半径； （2）先利用余弦定理求扇形的圆心角，进而结合扇形的相关公式运算求解. 【小问1详解】 如图，设扇形的圆心为，连接， 在中，由余弦定理可得， 因为，可得， 在中，因为，则，即， 可得， 所以这个扇形玉佩的半径为. 【小问2详解】 设扇形的圆心角为， 因为，可得， 所以扇形的圆心角为，弧长为，面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市湖滨中学2025~2026学年第二学期期中考试试卷 高一数学 2026年4月 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则等于 A. -2 B. -6 C. 2 D. 3 3. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为 A. B. C. D. 6. 若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. z的虚部是2i C. 复数z的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 10. （多选）下列叙述正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若直线，则直线与能确定一个平面 C. 三点确定一个平面 D. 若且，则 11. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一空2分、第二空3分． 12. 已知复数（i为虚数单位），则______． 13. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数k的值等于_________． 14. 若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且. （1）求边的长； （2）求角大小及的面积. 16. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 17. 四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． （1）求证：平面． （2）求证：F是中点． 18. 已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数是实数，求实数的值； （3）若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 19. 古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状） （1）求这个扇形玉佩的半径； （2）现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $