精品解析：广东省惠州市德威学校2025-2026学年第二学期八年级期中数学测试卷

2025-2026学年第二学期八年级期中数学测试卷 考试时间：120分钟 试卷分值：120分 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列各式不可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，点分别是的中点，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列关于的叙述，正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是矩形 6. 如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 7. 镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 10. 如图是用个全等的直角三角形与个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是( ) A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①②③④ 二、填空题（共15分，每题3分） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 12. 如图，矩形的对角线，，则的长为________． 13. 如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则________． 14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 15. 如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 三、解答题（一）（共21分，每题7分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 18. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 四、解答题（二）（共27分，每题9分） 19. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 20. 阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列式子分母有理化： （3）化简：． 21. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． （1）求证：； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 五、解答题（三）（共27分，第22题13分，第23题14分） 22. 【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 23. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期中数学测试卷 考试时间：120分钟 试卷分值：120分 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的基本性质，利用公式即可直接计算出结果． 【详解】解：． 2. 下列各式不可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只有化简后被开方数相同的同类二次根式可以合并，将各选项二次根式化简后，判断被开方数是否与的被开方数相同即可得到结果． 【详解】解：A．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． B．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． C．，化简后被开方数为，与不是同类二次根式，不可以与合并． D．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． 3. 如图，在中，，点分别是的中点，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的化简和混合运算的法则逐一判断即可． 【详解】解：对于A：和不是同类二次根式，无法合并，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误． 5. 下列关于的叙述，正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， A：若，无法推出平行四边形邻边相等，不满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，故A错误； B：若，可得，由有一个内角是直角的平行四边形是矩形，判定是矩形，但不一定是菱形，故B错误； C：若，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定是菱形，但不一定是矩形，故C错误； D：若，由对角线相等的平行四边形是矩形，判定是矩形，故D正确． 6. 如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，则正方形和正方形的面积之和为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴正方形和正方形的面积之和为：， 故选：． 7. 镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的特点得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴，， ∴． 8. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出长度，即长度，进而计算长度，则题目可求． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， 则， ， ∴点A所表示的实数是． 9. 如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 10. 如图是用个全等的直角三角形与个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是( ) A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到，即可判定④；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断①． 【详解】解：如图所示， 正方形的面积为， ， 是直角三角形， 根据勾股定理得：，故④正确； 正方形的面积为， ， ，故②错误； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③正确； 由可得， 又， 两式相加得：， 整理得：， ，故①错误； 故正确的是③④． 二、填空题（共15分，每题3分） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 12. 如图，矩形的对角线，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由矩形的性质得，由等边三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ． 13. 如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，证明点、、在同一直线上，求出，由勾股定理可得，连接，最后再由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形、均为正方形， ∴，，， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∴， ∴， 如图，连接， ， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 【答案】136 【解析】 【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得． 【详解】解：， ， 在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 15. 如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 三、解答题（一）（共21分，每题7分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）结合完全平方公式和平方差公式进行计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 【答案】 证明：在平行四边形中，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】由平行四边形的判定与性质求证即可． 【详解】略 18. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算，得到为直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，可得是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，由此即可求解； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ， 为直角三角形，即， 则； 【小问2详解】 解：根据题意得：． 四、解答题（二）（共27分，每题9分） 19. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 20. 阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列式子分母有理化： （3）化简：． 【答案】（1）， （2） （3）2024 【解析】 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）把的分子、分母同时乘以，进行化简即可； （3）先进行分母有理化，再根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵ ∴原式 ． 21. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． （1）求证：； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， 则， 点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒， ， 在中，，，则， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）或 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可得证； （2）根据为直角三角形，分两种情况：和讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：或， 理由如下： 由题意可知，分两种情况： 当时，如图所示： 则四边形是矩形， ， ，则在中，， 点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒， ， 在中，，，，则， ， ， ，解得； 当时，如图所示： 过点作于点G， ， 则四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在等腰中，；在等腰中，； 点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒， ， 在中，，，，则， ， 在中，，则， ，， 则由得； 综上所述，当或时，为直角三角形 五、解答题（三）（共27分，第22题13分，第23题14分） 22. 【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】（1） ， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）新路比原路少1米 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． 【小问3详解】 解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 23. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 【答案】（1）， （2）； （3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时， 【解析】 【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，； （2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出，进而得出； （3）根据题意，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）． 理由如下：如图，连接， ∵是正方形的对角线， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，作于点， ∴， ∵点是正方形的对角线上的点， ∴，， ∴四边形是正方形， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形重叠的面积是， ∴， 解得（负值舍去）， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴． ∴此时的长为； （3）分三种情况： ①如图所示，当时， 过点E作交于点P，交于点Q， ∴四边形是矩形，，是等腰直角三角形 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，且点与点重合； ③当时， 同理可证． 【点睛】此题主要考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $