带电粒子在电磁场中的运动 讲义-2026届高考物理二轮复习

带电粒子在电磁场中的运动 一，带电粒子在电场中的运动 （一）加速电场（直线运动） 【例题1】如图所示，平行板电容器两极板间距为,在左右两极加上恒定电压，在左极板上静止释放一个电荷量为，质量为的正电粒子，求该粒子到达右极板时的速度。（不计带电粒子粒子的重力） 【答案：】 【解析】 方法一（运动学角度）：两极板间的电场强度，带电粒子的加速度，由，解得。 方法二（能量角度）：由动能定理，解得 【变式1-1】如图所示，平行板电容器两极板间距为,在左右两极加上恒定电压，在两极板正中间静止释放一个比荷为的负电荷，求粒子到达左极板时的速度大小？ 【答案：】【解析】由动能定理，解得 【变式1-2】如图所示，平行板电容器两极板间距为，在上下两极加上恒定电压。上极板有一小孔，其正上方距离为（未知）有一带电小球（可视为质点）静止释放，小球电荷量为，质量为，小球恰好到达下极板，求的大小？（重力加速为） 【答案：】【解析】由能量守恒：，解得 【例题2】（多选）如图甲所示，平行板电容器两极板间距为，上下极板加上如图乙所示的交变电压，在两极板正中间静止释放一个正电粒子，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ） A.若在时刻释放，粒子一定打在右极板上。 B.若在时刻释放，粒子可能打在极板间做往复运动。 C.若在时刻释放，粒子一定打在左极板上。 D.粒子打在哪个极板，与释放时刻以及极板间距都有关。 【答案：AD】 【解析】在时刻释放，以水平向右为正方向，绘制该粒子的图像如下，发现粒子始终向右运动，故粒子一定打在右极板上，所以A选项正确。 同样的，若在时刻释放的图像如下，若在内，向右的位移大于则可以打在右极板上，否则将做往复运动，故B,C错误，D正确。 【变式2-1】如图甲所示，平行板电容器两极板间距为，上下极板加上如图乙所示的交变电压，其中。在两极板正中间存在一个粒子源，可以源源不断释放电荷量为，质量为的正电粒子，单位时间内释放的粒子数为。已知粒子打在B极板上会被吸收导入地下，求电流表的读数？（不计粒子重力） 【答案： 】 【解析】极板间场强大小为，加速度大小。设粒子一次性运动到右极板的时间为，，解得。可见在每个周期T内，只有前内释放的粒子可以达到右极板，所以电流 【例题3】（多选）如图甲，在水平方向上排列若干个金属圆筒且轴线在同一水平线上。不同圆筒接在不同电极M、N 上，电极M、N上的电压按图乙变化，一个质量为m电荷量为q的带正电粒子在t=0时刻从第0个筒的右边静止释放，忽略带电粒子在筒间隙的运动时间，实现对粒子的加速，不计重力。则（ ） A，粒子进入第1个筒时的速度大小为 B，粒子在圆筒中做匀加速直线运动 C，筒的长度可以一致 D，第n个筒的最短长度为 【答案：AD】 【解析】进入第n个筒时，粒子被加速n次，由动能定理，得，所以进入第1个筒得速度，故A选项争取。由于每个筒只接一个电极，左右两侧没有电势差，所以带电粒子在筒内做匀速直线运动，B错误。若要实现带电粒子在每个间隙都可以加速，则粒子在筒内的运动时间为（k=0,1,2……），所以，当k=0时最短，，所以C错误，D正确。 （二）偏转电场（类平抛运动） 【例题4】如图所示，平行板电容器极板间距为d，极板长度为L，在平行板电容器两极板上加上电压U。一个带电量为q，质量为m的点电荷从两极板正中间水平射入电场，恰好从下极板右端射出，不计带电粒子的重力，求： （1）带电粒子在电场中运动的时间？ （2）粒子得初速度？ （3）粒子从电场射出时的速度大小？ （4）带电粒子位移偏转角与速度偏转角的关系？ 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 分析得出，带电粒子在两极板之间，水平方向无外力有初速度，做匀速直线运动；竖直方向（电场方向）无初速度，受到恒定的电场力作用，做匀加速直线运动，所以粒子的运动为类平抛运动，所以对粒子的运动分析与平抛运动的分析方法或结论，与平抛运动类似。 （1）竖直方向电场强度，加速度大小，电场方向位移，解得 （2）由水平方向的匀速直线运动，得 （3）射出电场时竖直方向速度，水平方向速度， （4）位移偏转角正切值，速度偏转角的正切值，可得。与平抛运动类似。 【变式4-1】（多选）如图所示，左侧电容器两极板间电压为，右极板中间有一小孔，正对左极板上的粒子源s，且该粒子源正对右侧两极板正中间。右侧电容器极板长度为L，两极板电压为，间距为d。粒子源可以静止释放电荷量为，质量为的点电荷。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（ ） A，带电粒子进入右侧电场的初速度为 B，若带电粒子能从右侧电场射出，则其运动时间为 C，若带电粒子能从右侧电场射出，其在电场方向的位移与带电粒子的比荷无关 D，若带电粒子能从右侧电场射出，其速度为 【答案：AC】 【解析】由动能定理，解得，所以带电粒子在右侧电场的运动时间，所以A正确B错误。带电粒子在右侧电场中的加速度大小为，，与带电粒子的质量以及电荷量均无关，C正确。由动能定理，解得，D选项错误。 【变式4-2】如图所示，有一长度为L的线性粒子源，可以向水平方向发射电荷量为，质量为m的点电荷。其右侧有一平行板电容器，极板长度和板间距均为L，板间电压为U。其右侧有一长度为的收集板接地，收集板上端与上极板在同一水平线。已知粒子从粒子源射出的速度为，单位时间内射出的离子数为n，求电流表读数与收集板到极板右侧距离的关系？ 【答案】见解析 【解析】如下图，带电粒子在电场中的加速度大小为，若带电粒子能从电场右边射出，则其运动时间为，在电场方向的位移为，可知线性粒子源只有上半部分有粒子能够从右端射出。且射出电场的电子速度与水平方向的夹角为，满足，所以。 所以当时，所有射出电场的带电粒子均可打到收集板上，则,当时，任何射出电场的粒子均不能达到收集板上，故。当时，能达到收集板上的粒子占总粒子数的比例为，所以电流 综上所述 【变式4-3】如图，直角坐标系第一、四象限分别存在沿y轴正方形、负方向的匀强电场。在P（0，L)水平射出一个电荷量为（，质量为m的带电粒子，不计粒子的重力，该粒子经过两个电场后垂直打到平行于y轴的收集板上的Q（d,）。 （1）求两个电场的电场强度大小、？ （2）若粒子的射出点在轴上的不同位置，且要求粒子仍然垂直打到收集板上，则射出点需要满足什么条件？ 【答案】（1），（2）（n=1,2,3……） 【解析】设带电粒子在两个电场中运动的加速度大小分别是、，运动的时间分别为，。，，水平方向， 竖直方向：，，，联立解得 （2）以粒子射出到第一次速度变为水平为一个周期,一个周期内粒子在两个电场中运动的分别为，。竖直方向的位移分别为，。则有，，，由（1）可得， 而水平方向的运动时间需要满足，解得（n=1,2,3……） 二，带电粒子在磁场中的运动 （一）带电粒子在匀强磁场的运动情况： （1）带电粒子速度与匀强磁场平行，（不计重力）粒子在匀强磁场中不受洛伦磁力，故粒子做匀速直线运动。 （2）带电粒子速度与匀强磁场垂直，（不计重力）粒子受到洛伦兹力的作用，粒子做匀速圆周运动。 （3）带电粒子速度与匀强磁场存在夹角，可将速度分解为平行磁场方向的和垂直磁场方向的，其中与磁场平行故不产生洛伦兹力，与磁场垂直，产生与该分速度垂直的洛伦兹力。故粒子有两个分运动，一是以为大小水平向右的匀速直线运动，二是以为线速度大小的垂直纸面的匀速圆周运动，所以合运动为螺旋运动。 （二）带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 （1）半径公式：由洛伦兹力提供向心力，，解得 （2）周期公式：，将代入，解得（与粒子的速度大小无关） （3）圆心、半径的求法： ①已知射入点和射出点的速度方向。 如图甲所示，存在宽度为d垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度为B，带电量为q，质量为m的带电粒子从左边界的P点垂直边界射入磁场，并从右边界的Q点与边界成角度射出，不计重力，求粒子运动的半径和初速度大小？ 【解析】由于洛伦兹力提供向心力，所以洛伦兹力的方向垂直速度方向指向圆心。如图乙，做出P、Q两点的速度垂线交于O点，则O点即为粒子轨迹圆的圆心，由几何关系解得，由 得 ②已知射入点速度方向和射出点位置。 如图甲所示，存在宽度为d垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度为B，带电量为q，质量为m的带电粒子从左边界的P点垂直边界射入磁场，并从右边界的Q点射出，已知在竖直方向偏移量为h，不计重力，求粒子运动的半径和初速度大小 【解析】如图乙，做p点速度得垂线以及PQ线段得中垂线交于O点，则O点即为粒子轨迹圆的圆心，由几何关系，，，解得 （4）运动时间的求法 ①利用圆心角和周期。 如左图，带电粒子在有界磁场中的运动周期为T，轨迹对应的圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 ②利用线速度与弧长。如图所示，粒子在有界磁场中运动的弧长为s，线速度大小为v，则带电粒子在磁场中运动的时间为 （三）边界问题 （1）直边界 如图所示，带电粒子从P点射入有界磁场并从Q点射出，即从同一直边界射入射出，根据几何关系有： 结论1：粒子射入时速度与边界的夹角等于粒子射出时速度与边界的夹角。 结论2：带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角等于速度偏转角。 （2）圆形边界 带电粒子从圆形边界射入磁场并从边界射出，根据几何关系，有以下结论： 结论1：如图甲，射入点位置速度与半径方向的夹角等于射出点位置速度与半径方向的夹角 结论2：如图乙，从径向射入，必从径向射出。（可以当作图甲当中） （四）多解问题 （1）带电粒子电性未知： 如图，电性未知带电粒子从直边界与边界成角射出并能从同一边界射出。若粒子带正电，则偏转从Q点射出，若带负电，从偏转从M点射出。 （2）磁场方向未知： 已知直边界上方存在垂直纸面的匀强磁场（方向未知），带正电的粒子从边界P点与边界成的角度射入磁场并从同一边界射出。若磁感应强度垂直纸面向里，则粒子偏转从Q点射出，若磁感应强度垂直纸面向外，则带电粒子偏转从M点射出。 （3）临界条件不唯一： 如图，两极板AD、BC之间存在垂直向里的匀强磁场，下极板左端A处有一粒子源可水平向右射出速度大小不定的正电粒子，不计重力，为了使所以粒子均不打到上极板上，求从粒子源射出的粒子速度满足的要求。 令速度为时，粒子轨迹恰好与上极板的左端点B相切，速度为时，粒子恰好从上极板右端点C射出，所以只要或即满足要求。 （4）周期性： 如图甲所示，第一象限和第四象限分别存在垂直纸面向里和向外的匀强磁场、，且，坐标原点O处有一粒子源射出与x轴方向成角，带电量为q，质量为m的负电粒子。不计重力，若想要在x轴上放上一个粒子收集器能够收集到该粒子，求收集器所在位置的横坐标？ 【解析】粒子在、两个磁场当中的运动半径分别为、，轨迹如图乙周期性变化，则收集器或，其中n=1,2,3…… （五）动态圆 （1）平移圆 带电粒子速度大小方向均相同，但入射点不同，则粒子在磁场中的轨迹分布，可以看作将第一个圆（轨迹）沿着射入点方向平移。如图甲所示，直边界上半边有垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，边界下有一长度为L的粒子源，可向垂直边界输出质量为m，电荷量q，速度大小为的带电粒子，求所有粒子在磁场中的轨迹扫过的面积为多大？ 【解析】所有粒子的轨迹圆半径为。粒子轨迹如图乙所示，可认为是最左端射出的轨迹圆自左向右平移L的距离，所以所有粒子扫过的区域的为左右两个圆，以及中间长为L，宽度为R的矩形。则粒子扫过的面积为 （2）放缩圆 带电粒子射入点相同，速度方向确定大小变化。则所有粒子的轨迹圆，可当作是随着速度变化的圆的放大或缩小。如图，粒子源可以水平向右射出速度大小变化的带电粒子，则速度不同时，轨迹圆的半径大小也不同，且所有轨迹圆的圆心在垂直速度方向的同一条直线上。 （3）旋转圆 带电粒子射入点相同，速度大小相同，方向变化。则所有粒子的轨迹圆，可当作是随着速度方向变化的圆的旋转。如图，第一第二象限存在垂直向里的匀强磁场，在原点的粒子源射出带负电粒子速度大小相同，方向与x轴正方向从。由几何关系可知，所有粒子轨迹圆的圆心在同一个虚线圆上，且该圆的半径等于所有粒子轨迹圆的半径。 （六）磁聚焦、磁发散 （1）如图甲，当所有带电粒子射入磁场的速度大小方向均相同，且粒子轨迹圆的半径圆形边界磁场的半径相同时，所有粒子将汇聚在边界上的同一个点上，且该点的切线方向为粒子射入的速度方向。 （2）如图乙，当圆形磁场边界上的粒子源射出所有带电粒子射入磁场的速度大小均相同，且粒子轨迹圆的半径圆形边界磁场的半径相同时，则所有粒子射出磁场时速度方向均相同，该方向则为粒子源所在点的切线方向。 三、带电粒子在组合场中的运动 组合场，即不同空间存在不同的场，如电场、磁场或重力场等，只需把粒子在各个场中的运动运动分析清楚即可。 【例题1】如图甲所示，竖直平面内的直角坐标系中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。在y轴上的坐标为为(0,d)的P点有一粒子源，水平向右射出多初速度，电量为质量为m的粒子，不计重力，求带电粒子第二次过x轴的横坐标？ 【答案：d 】 【解析】如图乙，根据粒子的受力特点可知，带电粒子在第一象限做类平抛运动。竖直方向的加速度，则粒子从M点进入磁场时竖直方向的速度为，合速度大小为,速度与x轴正方向的夹角的正切值,则。粒子在磁场中运动的半径大小，则粒子第二次过x轴的横坐标 【变式1】如图所示，竖直平面的直角坐标系第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点处的粒子源向第一象限发射电荷量为q，质量为m，初速度的带电粒子，初速度方向与x轴正方向夹角为，不计粒子重力， （1）要使带电粒子不从磁场穿出y轴左侧，求磁感应强度B满足的条件？ （2）若第四象限的磁感应强度为,在x轴上安装一个粒子收集装置，且只有粒子从下往上进入才被收集，要使粒子能被收集，求收集装置位置的横坐标x？ 【答案：（1），（2）】 【解析】(1)如图甲，粒子在第一象限做斜抛运动，竖直方向的加速度，由O到P点的运动时间为，水平位移。粒子在磁场中运动，临界条件为轨迹圆恰好与y轴相切于M点，由几何关系，解得，所以 （2）如图乙所示，粒子的运动轨迹成周期性变化。粒子在磁场中的运动轨迹半径为，，根据题意，只需满足（n=0,1,2……） 四、带电粒子在复合场中的运动 带电粒子在复合场中运动的两种解法 【例题1】如图甲所示，在竖直平面内存在垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一个带电量q，质量为m的小球静止开始释放，以小球释放点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立坐标系，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球运动过程中离x轴的最大距离？ 【解法一：配速法】 如图乙，记带电小球的初速度为，满足且，即,则。可理解为初速度由两个分速度，合成。期中分速度产生竖直向上的洛伦兹力，平衡掉重力，所以粒子以做匀速直线运动。产生的洛伦兹力始终于其垂直，大小为，故粒子以大小为线速度大小做匀速圆周运动。带点小球的实际运动为水平向右的匀速直线运动和匀速圆周运动的合成。所以小球离x轴的最大距离是该圆周运动的直径 【解法二：动量定理与动能定理】 如图丙所示，将小球的速度分解为水平方向和竖直方向，则竖直方向的分速度产生的洛伦兹力为。设小球在最低点距离x轴的距离为h，速度大小为。洛伦兹力不做功，由动能定理 水平方向动量定理 解得 【变式1】如图所示，竖直平面内存在竖直向下的匀强电场E和垂直向里的匀强磁场B，从O点水平向右射出初速度为，电荷量为q，质量为m的带电粒子，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ） A，只有当时，粒子才有可能做直线运动 B，只要粒子速度满足，则无论粒子电性如何，其运动轨迹都是直线 C，若且，粒子将做类平抛运动 D，若且，粒子的运动轨迹是圆 【答案：B】 【解析】若，电场力竖直向下，洛伦兹力向上；若，电场力竖直向上，洛伦兹力向下，只需满足即，那么粒子就是做匀速直线运动，所以A错误，B正确。根据配速法，当时，可令，其中，，粒子的运动是以为匀速直线运动和以大小为线速度大小的匀速圆周的合成，故C、D均错误。 【变式2】如图所示，平行板间存在竖直向下的匀强电场和垂直向里的匀强磁场，极板长度为L=0.5m，间距为d=0.2m，从左侧两极板正中间的O点水平向右射出初速度大小为（未知），电荷量为，质量为不计粒子的重力，求 （1）若粒子沿直线运动，求粒子的初速度大小？ （2）要使粒子能从右侧射出，求初速度的范围？ 【答案：(1) (2)<< 】 【解析】 （1）要使粒子做直线运动，则需要满足洛伦兹力与电场力平衡，， （2）只要粒子不打在极板上即可从右侧射出。如下图，若粒子速度时，其实际运动为水平向右的匀速直线运动和匀速圆周运动的合成。当时，，其中，（水平向左），该圆(红色）的半径,则需要满足，解得。当时，，其中，（水平向右），该圆(蓝色）的半径,则需要满足，解得。 五、带电粒子在变化磁场中的运动 【例题1】如图所示，第一象限存在垂直向里的磁场，磁感应强度在y方向相等，在x方向满足。在原点有一粒子源可将质量为m，带电量为q的带电粒子以初速度沿x轴正方向射入磁场。不计粒子的重力，求粒子第一次离开y轴的最远距离d。 【解析】根据，粒子运动轨迹的半径越来越小，直到速度方向与y轴平行，如图乙。将任意时刻粒子的速度分解为水平方向和竖直方向，则竖直方向的洛伦兹力，水平方向动量定理 解得 六、综合训练 1．如图所示是研究带电粒子在电磁场运动的某个装置。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O1，坐标为（0，L）。第一象限存在垂直向里的匀强磁场B0（大小未知），x轴（L，0）处有小孔O2，平行板电容器上极板A与x轴紧靠且平行，A、K两极板间距为，A板中央小孔O3与O2对齐。P为下极板K上的一点，P点坐标，板M上的任何位置都可以释放出速度大小从0至某值（包括初速度为0的情况）且方向不同的电子，电子质量为m，电荷量为e。发射的电子经MN间的恒定电压加速后从O1点持续不断进入磁场，经O1的粒子速度大小在之间，已知速度为v0的电子沿垂直于y轴方向经小孔O1射入磁场，偏转后恰能垂直x轴射入O2点离开x轴。M、N、A、K四块极板均无限长，忽略电子之间的相互作用，粒子到达边界或极板立即被吸收并导走。求： （1）磁感应强度B0和UNM间电势差的大小。 （2）若时，求到达P点的电子刚从板M射出时速度v1的大小及与x轴的夹角。 （3）在（2）问的前提下，若平行板电容器内加一个沿y轴负方向大小随变化，方向垂直向里的磁场，要使电子不能碰到极板K，电容器极板最小间距为多少（A板固定，K板上下移动）。 1．【答案】（1），；（2），与x轴的夹角；（3） 【详解】（1）发射电子最小动能为，对应处飞出电子的速度为，即 求得 速度为v0的电子沿垂直于y轴方向经小孔O1射入磁场，偏转后恰能垂直x轴射入O2点离开x轴，可得电子运动轨迹半径 又由 解得 （2）到达P点的电子轨迹如图所示 由几何关系可得，电子进入处的速度与A板的夹角为，说明为这个电子圆周运动的直径，即 又由，及（1）所求，解得 根据动能定理求解电子从M板飞出的速度 解得 在竖直方向上速度大小不变 解得 ，即 （3）在方向上，由动量定理可得 化简为 两端求和 代入数据即为 得 求得 2．如下图甲所示为某质谱仪核心部件结构图。圆心为O，半径为R的圆内有垂直纸面向外磁感应强度为B的匀强磁场，圆周右侧与O等高处有一粒子源S，与SO成范围内向圆形磁场各个方向均匀发射速度大小相等、质量为m、电量为q的带正电的粒子，圆形磁场上方有关于竖直轴线对称放置的两块长为R的平行金属板，两板间距也为R，两极板MN间加上如图乙所示的电压，其中。平行金属板上方有垂直于纸面向内范围足够大的匀强磁场，其磁感应强度也为B，磁场下边缘处有一可左右平移的接收板PQ。已知从S点正对圆心O射出的粒子，出圆形磁场后恰好沿轴线进入两板间。不计粒子重力与粒子之间的相互作用，电压变化的周期远大于带电粒子在磁场中运动的时间。求： （1）进入圆形磁场中的粒子速度大小； （2）MN间电压为0时，能从板间穿出的粒子占总粒子数的比； （3）要使接收板PQ能接收到所有从平行板间射出的粒子，则PQ的长度至少多长； （4）当时，若接收板可以上下左右平移，要使接收板上下表面能挡住所有从平行板电容器中射出的粒子，则PQ的长度至少为多长。 2．【答案】（1）；（2）；（3）R；（4）0.34R 【详解】（1）由 得 （2）由图1可知 得 =30° 从两平行板穿出的粒子占总粒子数比为 η （3）如图2粒子在上方磁场中偏转距离 得 因而所有进入上方磁场中的粒子在磁场中向左偏转的距离都相等，且为2R，要使所有粒子都能打到PQ上，即两平行板电压为零时进入的粒子都能达到PQ板上即可。由于两平行板间距为R<2R，从两板间出射粒子的宽度为R，所以探测板PQ长度至少为 Lmin=R （4）如图3所示，带电粒子在两平行板间中侧移量为 圆①③为从两极板中所有出射粒子两边缘粒子的轨迹，圆②为其正中间出射粒子在上方磁场中的轨迹圆。当PQ移到如图所示的位置时（说出位置给1分）（P为圆1和圆2的交点，Q为圆2和圆3的交点），所有粒子均能被挡住（右边一半粒子被板的上部分挡住，左边一半粒子被板的下部分挡住）。因而板的长度为 3．如图甲所示，曲线OP上方有沿方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于x轴上，能够持续不断地沿方向发射速度为，质量为m、电荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）： （2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最小面积； （3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场和匀强电场（如图乙），电磁场边界与y轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场，方向垂直纸面向里，匀强电场，方向沿x轴正方向，现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场偏转后，恰好与y轴负方向成从O点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴平行）。 3．【答案】（1）；（2）；（3）3 【详解】 （1）粒子在电场E1区域做类平抛运动，则 解得 （2）设粒子经过O点的速度为v，与y轴的夹角为θ，则 由 可得 粒子在磁场中运动时，在y轴上的偏移量 ∆y恒定，故所有粒子均击中y轴上的同一位置，即 处；在x轴上从B端射入的粒子到达的x轴上坐标的最远距离为 得磁场的最小面积 （3）粒子经过O点时与y轴负方向成角，可得粒子的速度为 设粒子在第n+1个磁场区域拐弯，则电场中共加速n次：由动能定理 可得 在y轴方向上由动量定理 可得 可得 解得 由于n只能取整数，故n只能取2，即粒子将在第3个磁场区域拐弯。 4．某装置可以研究带电粒子的运动轨迹，其原理如图所示。在x轴上方存在垂直xOy平面向里的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形区域磁场，方向垂直xOy平面向外，大小为B，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O。位于x轴正半轴的绝缘板MN中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔右端D点横坐标L，板厚度可以忽略。位于圆形磁场左侧有一个粒子发射装置S可以发射一束速度方向平行于x方向的粒子流，已知粒子在y轴方向均匀分布。粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。已知速度方向对准A点的粒子经过磁场后刚好从坐标原点射出并从D点射入第四象限。不计离子的重力及相互作用。求： （1）该粒子流的速度； （2）入射位置距离x轴的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； （3）x轴上方磁感应强度； （4）若粒子束有一半能从板上的小孔通过，小孔的宽度为多少。 4．【答案】（1）；（2）30°；（3）；（4） 【详解】（1）粒子束中心粒子在磁场中的运行半径为R，由 得 （2）作出粒子运行轨迹如图 由几何关系可得第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角为30。 （3）粒子束中心粒子从O点进入上方磁场后打在D点，则运行半径 由 得 （4）粒子束有一半能从板上的小孔通过，只能是粒子束中心线两侧入射的粒子通过小孔，画出临界情况下的粒子运行轨迹如图 由几何关系得 ， 得 5．如图所示，第一象限存在垂直平面向外的匀强磁场。轴下方的分析器由两块相距为、厚度不计、足够长的平行金属薄板M和N组成，其中位于轴的M板中心有一小孔（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于轴上的某种材料P能不停地发射质量为、电荷量为的正离子，离子速度方向都沿轴正方向，速度大小连续分布在和之间，发射区间的上端点坐标，下端点坐标。已知从处射出的速度大小为的离子经磁场偏转后恰好垂直轴射入孔。未能射入孔的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求第一象限的磁感应强度大小； （2）求离子打在N板上区域的长度； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔位置坐标之间关系式． 5．【答案】（1）；（2）；（3）（4） 【详解】（1）根据题意可得粒子运动轨迹如下所示 结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律有 解得 （2）根据牛顿第二定律有 由于 故有 根据平移法可知，当粒子从发射区间的上端射出进入孔C时，粒子打在N板的左侧，且距离最远。当粒子从发射区间的最下端射出进入孔C时，粒子打在N板的右侧，且距离最远。运动轨迹如图所示 设离子发射点的坐标，则由几何关系可得 将，分别代入可得 ， 由几何关系 ， 解得 （3）由（2）分析可知，当粒子从孔C进入时，根据几何关系有 设进入孔C时速度为v，则粒子进入孔C时，竖直方向速度为 结合（1）分析及牛顿第二定律有 解得 电流表示数刚为0，即粒子到达N板时速度竖直方向速度恰好为零，则根据匀变速直线运动规律及牛顿第二定律有 解得 （4）由（2）分析可知，粒子做圆周运动的最大半径为。故当时，所有粒子均无法从孔C射出。当时。根据（3）中分析可得 联立可得 6．如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S点的粒子源可以沿纸面内与SO1（O1为圆形磁场的圆心）的夹角为的方向内均匀地发射速度为v0=10m/s、电荷量均为q=-2.0×10-4C、质量均为m=1.0×10-6kg的粒子，粒子射入半径为R=0.1m的圆形区域匀强磁场。已知粒子源在单位时间发射N=2.0×105个粒子，圆形区域磁场方向垂直纸面向里，沿着SO1射入圆形区域磁场的粒子恰好沿着水平方向射出磁场。粒子数控制系统是由竖直宽度为L、且L在范围内大小可调的粒子通道构成，通道竖直宽度L的中点与O1始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁场构成，匀强电场的方向水平向右、场强E=0.625N/C，边界由x轴、曲线OA和直线GF（方程为：y=-x+0.4（m））构成，匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度B=0.25T，磁场的边界由x轴、直线GF、y轴构成，已知所有经过聚焦系统的粒子均可以从F点沿垂直x轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。加速系统是由两个开有小孔的平行金属板构成，两小孔的连线过P点，上下两板间电势差U=-10kV，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求： （1）圆形磁场的磁感应强度B0； （2）当L=R时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数N0； （3）若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速系统射出的粒子在测试样品中运动所受的阻力f与其速度v关系为（k=0.2N·s·m-1），求粒子在样品中可达的深度d； （4）曲线OA的方程。 6．【答案】（1）0.5T；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得 解得圆形磁场的磁感应强度为 （2）临界1：粒子恰好从控制系统上边界进入，粒子在S点入射速度与的夹角为，则 解得 临界2：粒子恰好从控制系统下边界进入，粒子在S点入射速度与的夹角为，则 解得 能进入控制系统的粒子数 （3）对粒子在加速系统运用动能定理 解得 对粒子进入样品得过程运用动量定理 粒子在样品中可达的深度为 （4）设粒子从曲线OA的点进入电场，则粒子从直线GF的点射出电场，根据动能定理有 由洛伦兹力提供向心力得 曲线OA的方程为 7．某种离子收集装置的简化模型如图所示，x轴下方半径为R的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小B1=B，圆心所在位置坐标为（0，-R）。在x轴下方有一线性离子源，沿x轴正方向发射出N个（大量）速率均为v0的同种离子，这些离子均匀分布在离x轴距离为0.2R~1.8R的范围内。在x轴的上方，存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，该磁场上边界与x轴平行，磁感应强度大小B2=2B。在x轴整个正半轴上放有一厚度不计的收集板，离子打在收集板上即刻被吸收。已知离子源中指向圆心O1方向射入磁场B1的离子，恰好从O点沿y轴射出。整个装置处于真空中，不计离子重力，不考虑离子间的碰撞和相互作用。 （1）求该种离子的电性和比荷； （2）若x轴上方的磁场宽度d足够大，发射的离子全部能被收集板收集，求这些离子在x轴上方磁场中运动最长和最短时间差∆t，以及离子能打到收集板上的区域长度L； （3）若x轴上方的有界磁场宽度d可改变（只改变磁场上边界位置，下边界仍沿x轴），请写出收集板表面收集到的离子数n与宽度d的关系。    7．【答案】（1）带负电，；（2），0.4R；（3）见解析 【详解】（1）已知沿圆心O1射入的离子，恰好从O点沿y轴射出，则可知离子在B1中向上偏转，根据左手定则，可知离子带负电，根据该离子运动轨迹，画出半径，如图所示    粒子运动的轨迹半径为 解得 （2）离子经过圆心磁场区域均能到达O点，到达O点时，速度方向与y轴夹角为θ，如图所示    根据几何关系 可知 且左右对称； 在B2中，有 可得 在磁场中所花时间最少的粒子轨迹为如图所示的劣弧，其轨迹对应的圆心角为 在磁场中所花时间最长的粒子为如图所示的优弧，其轨迹对应的圆心角为 根据周期 所以 离子打到收集板上的区域长度L，取决于离子打到收集板上的最近距离和最远距离，其中，最远距离为沿y轴正方向射出的离子，如上图所示 最近距离为速度方向与y轴正方向夹角为53°射入的离子，如上图所示 所以 （3）如图所示    ①当所有离子均到达不了收集板时，此时磁场宽度为 即当时，； ②当离子方向在y轴右侧与y轴夹角度为θ时，有 对应离子在第三象限的带宽为 对应收集的离子数 当离子方向在y轴左侧与y轴夹角度为θ时，有 对应离子在第三象限的带宽为 对应收集的离子数 所以当时，； ③粒子能全部打到收集板时，，； 综上所述 ， ， ， 8．如图所示，在直角坐标系中，水平向右、竖直向上。第二、三象限存在方向水平向右的匀强电场，第一、四象限存在方向竖直向上的匀强电场，电场强度大小，第一、四象限还分别存在方向均垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的两个匀强磁场，两磁场以x正半轴为边界。带正电小球从第三象限内的A点以大小为v的速度竖直向上射入，依次经过原点O和坐标为（h，0）的P点，已知小球质量为m，小球所带电荷量为q，小球到达O点时速度大小也为v，方向与y轴正向夹角。重力加速度为g，，。 （1）求第一象限内磁场的磁感应强度大小； （2）求第二、三象限内电场的电场强度大小； （3）小球经过P点后，若要使它仅在第一四象限内运动且能再次经过P点，求其轨迹半径； （4）小球经过P点后，若要使它仅在第一四象限内运动且能再次经过P点，求第四象限内磁感应强度的大小的所有取值。    8．【答案】（1）；（2）；（3），（n=2，3，4，5，6，7，8，9）；（4），（n=2，3，4，5，6，7，8，9） 【详解】（1）小球在第一、四象限内 因此小球经过O点后将做匀速圆周运动，从O到P轨迹如图1    由几何关系得 即 又 得 （2）在O点，将速度分解为x和y方向，即 从A到O有 解得 （3）（4）小球从P点进入第四象限后做圆周运动，不能穿过y轴，轨迹与y轴相切，如图2所示    由几何关系得 小球在第四象限运动轨迹与x轴的交点分别为P1、P2……，如图2，每个周期沿x轴正向移动 要使小球再次经过P点，则必须满足 即 即    即 即 因此n=2，3，4，5，6，7，8，9 又 得 （n=2，3，4，5，6，7，8，9） 9．现代科学研究中经常利用电场、磁场来控制带电粒子的运动。在空间坐标系O-xyz中存在如图所示的电磁场，在xOz平面内，圆心O1的位置坐标为（0，R），半径为R，圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场B1；在其左侧有一离子源E飘出质量为m、电荷量为q、初速度为0的一束正离子，这束离子经电势差的电场加速后，从小孔F（点F与O1等高）沿着x轴正方向射入匀强磁场区域B1，离子恰好从点O离开进入匀强磁场B2。竖直放置的长方形离子收集板MNPQ与xOz面相距R，边MQ足够长与x轴方向平行且与y轴交于点T，宽MN为2R，匀强磁场B2只局限于收集板正前方的空间区域，磁场方向与xOy所在平面平行且与x轴正方向的夹角大小为θ，调节匀强磁强的磁感应强度B2大小，使带正电离子偏转后能打到收集板上被吸收。不考虑离子重力和离子间的相互作用（已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，cos76°=0.25） （1）求匀强磁场B1大小； （2）若角度θ=0，求磁感应强度B2大小的范围； （3）若角度θ=37°，磁感应强度，求离子打在收集板上位置的坐标； （4）若角度θ的大小在0到90°之间，试定量讨论磁感应强度B2的范围。    9．【答案】（1）；（2）；（3）（，，）；（4）见解析 【详解】（1）设经过电场加速后速度为v，进入匀强磁场磁会聚从O点沿z轴负方向射出，有 联立解得 （2）当角度为0时，磁感应强度方向沿x轴正方向，设离子恰好打到MQ边的半径为，恰好打到NP边的半径为，据几何知识得 解得 又 可得 所以磁感应强度大小范围为 （3）粒子在与y轴成θ=37°的平面做圆周运动，设半径为，则有 由于 由几何关系可知，离子刚好在磁场中运动圆周后打在收集板上，则有 ，， 离子打在收集板上的位置坐标为（，，）。 （4）当角度为θ时，设离子恰好打到MQ边圆周半径为，则有 可得 恰好达到NP边圆周半径为，则有 可得 由数学知识得时，有最小值 当时，有 当，即为打到MQ边圆周半径的最大值，所以粒子打不到收集板上，无论取什么值，所以 ①时， ②时， ③时，无论取何值，粒子均无法打到收集板上。 10．如图所示，空间中有一半径为R、圆心处于O点的圆形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。其底部A点有一电子源可向圆形磁场内各个方向内持续发射速度大小为v0，质量为m，电量为e的电子。圆形磁场右侧紧靠着一电子收集装置，该装置主要由长为2R、间距为2R的平行金属板MN和PQ构成，平行金属板中心轴线过磁场圆心O点，金属板之间加恒为的电压，PQ板接地，当电子碰到金属板立即被收集中和。未能收集的电子射出平行金属板后会撞上另一收集装置BC板（足够长），B点在金属板右端点QN连线的延长线上，并与延长线的夹角为θ（θ可调）。不计电子之间的相互作用和场的边缘效应，则： （1）现要求所有电子均能平行进入金属板间，求磁感应强度B的大小； （2）若电子初速度满足（1）的条件且进入收集装置时在竖直方向分布均匀，单位时间内电子数为n，求平行金属板的收集效率和单位时间内电子减少的总电势能； （3）在（2）中未能收集的电子离开平行金属板后与BC板发生碰撞，要求电子垂直撞击BC板，应调整θ为多少？调整后与BC撞击的电子有60%被完全吸收，40%电子会被反弹，反弹后的速度大小减小为原来一半，求BC板受到的作用力大小。    10．【答案】（1）；（2）50%；；（3）45°， 【详解】（1）当电子在磁场中运动半径与磁场半径相等时，所有电子均能平行向右进入收集装置，有 解得 （2）电子进入平行板后受向上电场力作用做类平抛运动，设恰好从N点出射的电子进入平行板时离MN距离为d，则有 其中 解得 即从中心轴线以上进入的电子全部被收集，中心轴线以下的电子不能被收集，收集效率 因电子进入平行板时分布均匀，则中心轴线以上电子减少的电势能为 中心轴线以下电子减少的电势能为 共减少的电势能 （3）设未被平行板收集的电子离开平行板区域时速度与水平方向夹角为α，则 解得 要让电子能够垂直撞击BC板，有 设电子与BC板发生碰撞时速度为v，由类平抛规律有 由动量定理得 根据牛顿第三定律，BC板受到的作用大小 11．如图所示，在xOy平面内，以O1（0，R）为圆心、R为半径的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，x轴下方有一与其平行的直线ab，ab与x轴相距为d，x轴与直线ab间区域有沿y轴正方向的匀强电场，在ab的下方有一平行于x轴的感光板MN，ab与MN间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，在0≤y≤2R的区域内，大量质量为m、电荷量为-e的电子从圆形区域左侧沿x轴正方向以速度v0射入圆形区域，经过磁场偏转后都经过O点，然后进入x轴下方。已知x轴与直线ab间匀强电场的场强大小，直线ab与感光板MN间的磁场的磁感应强度大小，不计电子重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求圆形区域内磁场的磁感应强度大小B1； （2）若沿x轴负方向进入电场的电子恰好不能打到感光板MN上，MN与ab间的距离h1是多大？ （3）若要求从不同位置出发的所有电子都能打在感光板MN上，MN与ab间的最大距离h2是多大？ （4）在（3）的条件下，电子从O点到MN的运动时间最长是多少？ 11．【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）所有电子射入圆形区域后做圆周运动的轨道半径大小相等，设为r，当电子从位置y=R处射入的电子经过O点进入x轴下方，则 解得 （2）设电子经电场加速后到达ab时速度大小为v，电子在ab与MN间磁场做匀速圆周运动轨道半径为r1，沿x轴负方向射入电场的电子离开电场进入磁场时速度方向与水平方向成θ角，则 如果电子在O点以速度v0沿x轴负方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，不能打在感光板上，则所有电子都不能打在感光板上，恰好不能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O2，轨迹如图所示 感光板与ab间的最小距离 解得 ，， （3）如果电子在O点沿x轴正方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，能打在感光板上，则所有电子都能打在感光板上，恰好能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O3，如图所示 感光板与ab间的最大距离为 解得 （4）当感光板与ab间的距离最大为d时，所有从O点到MN板的电子中，沿x轴正方向射入电场的电子，运动时间最长，设该电子在匀强电场中运动的加速度为a，运动时间为t1，在磁场B2中运动周期为T，时间为t2，则 运动最长时间 解得 ，，， 12．如图所示，空间坐标系O-xyz内有一由正方体ABCO-A'B'C'O'和半圆柱体BPC-B'P'C'拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿z轴负方向的匀强电场半圆柱体区域内存在沿z轴正方向的匀强磁场。M、M'分别为AO、A'O'的中点，N、N'分别为BC、B'C'的中点，P、P'分别为半圆弧BPC、B'P'C'的中点，Q为MN的中点。质量为m电荷量为q的正粒子在竖直平面MNN'M'内由M点斜向上射入匀强电场，如射的初速度大小为，方向与x轴正方向夹角为θ。一段时间后，粒子垂直于竖直平面BCC'B'射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为L，匀强电场的电场强度大小，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子重力。求： （1）夹角θ； （2）粒子在电场运动时间与在磁场运动时间之比； （3）若粒子以相同的初速度自O点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。    12．【答案】（1）45°；（2）；（3）（L，L，） 【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿x轴方向 沿z轴方向 由牛顿第二定律可知 解得 （2）粒子进入匀强磁场的速度 进入后，由牛顿第二定律可知 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的周期 粒子在匀强磁场中运动的时间 故粒子在电场运动时间与在磁场运动时间之比 （3）若粒子以相同的初速度自O点射入匀强电场，则粒子仍垂直于平面BCC'B'射入匀强磁场，此时进入磁场时距离O点的距离 进入磁场后做圆周运动的半径为 圆心恰在N＇N的中点，则从B＇B中点出离磁场，则出离磁场时的位置坐标（L，L，）。 13．如图甲所示，在无限长的竖直边界NS和MT间上、下部分分别充满方向垂直于 NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 B1=B 和B2=B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，P、Q点距KL高为d，NS和MT间距为5d。质量为m、带电量为+q的粒子从粒子源飘出(初速视为 0)，经电场加速后从P点垂直于NS边界射入磁场区域，粒子源单位时间内发出的粒子数恒定，加速电压u如图乙所示周期性变化，重力忽略不计，粒子在电场中加速时间极短可忽略不计，不考虑粒子间相互作用力与碰撞，粒子运动到与边界相切时仍能返回磁场。(题中可认为 sin37°=0.6，sin53°=0.8) （1）在进入电场的粒子  恰好能垂直 KL 经过磁场边界，求加速电压的最大值U0； （2）当加速电压为 U1时，粒子恰好不从 NS边界飞出，求 U1的值； （3）求在时间 0~T内发射的粒子中，从NS 边界飞出的粒子数占总粒子数的比例η。    13．【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）洛伦兹力提供向心力 粒子恰好能垂直KL经过磁场边界有 进入电场的粒子的速度为 解得 （2）粒子恰好不从NS边界飞出，则其运动轨迹如图    由 可得 由几何关系得 解得 洛伦兹力提供向心力 进入电场的粒子的速度为 解得 （3）由（2）可得，当时，粒子从NS边界飞出，在时间 0~T内发射的粒子中，从NS 边界飞出的粒子数占总粒子数的比例 14．在现代科学实验中，常利用电场和磁场来控制离子的运动。如图1所示的装置由加速区、电偏转区和磁偏转区三部分组成。离子源S可以连续不断地产生质量均为m、电荷量均为q、初速度均视为零的正离子，且离子源S在任意相同时间内产生的离子数相等。这些离子在经过A、B板间的加速电压加速后，从C点进入有辐向电场分布的电偏转区，沿着半径为R、圆心角为的圆弧CD做匀速圆周运动；之后从D点沿直线运动到P点进入磁偏转区，磁场分布在足够长、间距为d的G、H两板之间，其磁感应强度B随时间的变化规律如图2所示，设磁场方向垂直纸面向外为正方向，最大值为。不计离子的重力以及离子之间的作用力，离子在磁场中运动的时间远小于磁场变化的周期T，不考虑磁场变化产生的电场对离子的影响，且打到H板上的离子会立即被H板吸收并全部通过接地电阻导入大地，打在G板上的离子也会立即被G板吸收且不产生其他影响，，求： （1）离子从B板射出时速度的大小； （2）圆弧CD所在处的电场强度E的大小； （3）H板上能被离子击中的长度L； （4）若每秒有n个离子从P点进入磁场，求稳定后流经接地电阻电流的有效值I。    14．【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）离子的加速电场中，由动能定理得 从而求得 （2）离子在辐射电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律得 联立得到 （3）如图所示    B正向最大时，根据 解得 所以离子刚好垂直打在H板上的E点；B负向时，当离子恰好与H板相切于G点，由 解得 根据 可得 所以离子可以分布在EG之间，所以 （4）当有离子注入到H板时，产生电流 B为正方向时，一个周期中有 的时间内有电流；B为负方向时，一个周期中有 的时间内有电流，根据 流过R的电流有效值 15．如图所示，一种新型质谱仪原理图，离子源S中飘出初速度为零的离子，经间的电场加速后，沿轴线进入图中虚线所示的圆形匀强磁场区域。圆形匀强磁场半径为，磁场区域的右下部分圆周边界处安装有接收底片，P在的正下方，与同在轴线上。一个质量为的一价正离子从离子源飘入电场，最后恰好打在点。已知元电荷为e，间电压为，离子重力忽略不计。 （1）求圆形区域中磁感应强度的大小； （2）因放置失误，导致磁场区域整体向下移动，使磁场区域圆心偏离轴线，，求此情况下氢离子打在底片上的位置。（用该位置到点的连线与轴线所成的角度表示）； （3）若在离子源中放入质量为、的一价正离子，的电压波动范围为，若要这两种离子在底片上的位置不重叠时，应满足的条件。 15．【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）一个质量为的一价正离子从离子源飘入电场，最后恰好打在点，根据几何关系可知粒子圆周运动的轨道半径 离子圆周运动过程有 在电场中加速过程有 解得 （2）根据题意可知，满足（1）条件情况下，粒子在半径为的圆形磁场中做圆周运动的半径为，若磁场区域圆心向下偏离轴线，相当于在磁场区域圆心上方之间一组平行粒子进入磁场，由磁聚焦可知，氢离子均打在底片上的位置仍在光屏的P点，如图所示    由几何关系可知 （3）在离子源中放入不同的离子，离子打在底片上的位置到点连线与轴线成角，根据题意，设运动半径为，粒子在磁场圆中由径向入射，最终沿径向打在底片上，由几何关系知 令加速电场电压波动为，由动能定理有 在磁场中，由牛顿第二定律有 结合上述解得 可知，当质量M为的离子，对应角度 同理，当质量M为的离子，对应角度 其中 若要这两种离子在底片上的位置不重叠时，则需要满足 解得 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 带电粒子在电磁场中的运动 一，带电粒子在电场中的运动 （一）加速电场（直线运动） 【例题1】如图所示，平行板电容器两极板间距为,在左右两极加上恒定电压，在左极板上静止释放一个电荷量为，质量为的正电粒子，求该粒子到达右极板时的速度。（不计带电粒子粒子的重力） 【变式1-1】如图所示，平行板电容器两极板间距为,在左右两极加上恒定电压，在两极板正中间静止释放一个比荷为的负电荷，求粒子到达左极板时的速度大小？ 【变式1-2】如图所示，平行板电容器两极板间距为，在上下两极加上恒定电压。上极板有一小孔，其正上方距离为（未知）有一带电小球（可视为质点）静止释放，小球电荷量为，质量为，小球恰好到达下极板，求的大小？（重力加速为） 【例题2】（多选）如图甲所示，平行板电容器两极板间距为，上下极板加上如图乙所示的交变电压，在两极板正中间静止释放一个正电粒子，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ） A.若在时刻释放，粒子一定打在右极板上。 B.若在时刻释放，粒子可能打在极板间做往复运动。 C.若在时刻释放，粒子一定打在左极板上。 D.粒子打在哪个极板，与释放时刻以及极板间距都有关。 【变式2-1】如图甲所示，平行板电容器两极板间距为，上下极板加上如图乙所示的交变电压，其中。在两极板正中间存在一个粒子源，可以源源不断释放电荷量为，质量为的正电粒子，单位时间内释放的粒子数为。已知粒子打在B极板上会被吸收导入地下，求电流表的读数？（不计粒子重力） 【例题3】（多选）如图甲，在水平方向上排列若干个金属圆筒且轴线在同一水平线上。不同圆筒接在不同电极M、N 上，电极M、N上的电压按图乙变化，一个质量为m电荷量为q的带正电粒子在t=0时刻从第0个筒的右边静止释放，忽略带电粒子在筒间隙的运动时间，实现对粒子的加速，不计重力。则（ ） A，粒子进入第1个筒时的速度大小为 B，粒子在圆筒中做匀加速直线运动 C，筒的长度可以一致 D，第n个筒的最短长度为 （二）偏转电场（类平抛运动） 【例题4】如图所示，平行板电容器极板间距为d，极板长度为L，在平行板电容器两极板上加上电压U。一个带电量为q，质量为m的点电荷从两极板正中间水平射入电场，恰好从下极板右端射出，不计带电粒子的重力，求： （1）带电粒子在电场中运动的时间？ （2）粒子得初速度？ （3）粒子从电场射出时的速度大小？ （4）带电粒子位移偏转角与速度偏转角的关系？ 【变式4-1】（多选）如图所示，左侧电容器两极板间电压为，右极板中间有一小孔，正对左极板上的粒子源s，且该粒子源正对右侧两极板正中间。右侧电容器极板长度为L，两极板电压为，间距为d。粒子源可以静止释放电荷量为，质量为的点电荷。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（ ） A，带电粒子进入右侧电场的初速度为 B，若带电粒子能从右侧电场射出，则其运动时间为 C，若带电粒子能从右侧电场射出，其在电场方向的位移与带电粒子的比荷无关 D，若带电粒子能从右侧电场射出，其速度为 【变式4-2】如图所示，有一长度为L的线性粒子源，可以向水平方向发射电荷量为，质量为m的点电荷。其右侧有一平行板电容器，极板长度和板间距均为L，板间电压为U。其右侧有一长度为的收集板接地，收集板上端与上极板在同一水平线。已知粒子从粒子源射出的速度为，单位时间内射出的离子数为n，求电流表读数与收集板到极板右侧距离的关系？ 【变式4-3】如图，直角坐标系第一、四象限分别存在沿y轴正方形、负方向的匀强电场。在P（0，L)水平射出一个电荷量为（，质量为m的带电粒子，不计粒子的重力，该粒子经过两个电场后垂直打到平行于y轴的收集板上的Q（d,）。 （1）求两个电场的电场强度大小、？ （2）若粒子的射出点在轴上的不同位置，且要求粒子仍然垂直打到收集板上，则射出点需要满足什么条件？ 二，带电粒子在磁场中的运动 （一）带电粒子在匀强磁场的运动情况： （1）带电粒子速度与匀强磁场平行，（不计重力）粒子在匀强磁场中不受洛伦磁力，故粒子做匀速直线运动。 （2）带电粒子速度与匀强磁场垂直，（不计重力）粒子受到洛伦兹力的作用，粒子做匀速圆周运动。 （3）带电粒子速度与匀强磁场存在夹角，可将速度分解为平行磁场方向的和垂直磁场方向的，其中与磁场平行故不产生洛伦兹力，与磁场垂直，产生与该分速度垂直的洛伦兹力。故粒子有两个分运动，一是以为大小水平向右的匀速直线运动，二是以为线速度大小的垂直纸面的匀速圆周运动，所以合运动为螺旋运动。 （二）带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 （1）半径公式：由洛伦兹力提供向心力，，解得 （2）周期公式：，将代入，解得（与粒子的速度大小无关） （3）圆心、半径的求法： ①已知射入点和射出点的速度方向。 如图甲所示，存在宽度为d垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度为B，带电量为q，质量为m的带电粒子从左边界的P点垂直边界射入磁场，并从右边界的Q点与边界成角度射出，不计重力，求粒子运动的半径和初速度大小？ 【解析】由于洛伦兹力提供向心力，所以洛伦兹力的方向垂直速度方向指向圆心。如图乙，做出P、Q两点的速度垂线交于O点，则O点即为粒子轨迹圆的圆心，由几何关系解得，由 得 ②已知射入点速度方向和射出点位置。 如图甲所示，存在宽度为d垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度为B，带电量为q，质量为m的带电粒子从左边界的P点垂直边界射入磁场，并从右边界的Q点射出，已知在竖直方向偏移量为h，不计重力，求粒子运动的半径和初速度大小 【解析】如图乙，做p点速度得垂线以及PQ线段得中垂线交于O点，则O点即为粒子轨迹圆的圆心，由几何关系，，，解得 （4）运动时间的求法 ①利用圆心角和周期。 如左图，带电粒子在有界磁场中的运动周期为T，轨迹对应的圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 ②利用线速度与弧长。如图所示，粒子在有界磁场中运动的弧长为s，线速度大小为v，则带电粒子在磁场中运动的时间为 （三）边界问题 （1）直边界 如图所示，带电粒子从P点射入有界磁场并从Q点射出，即从同一直边界射入射出，根据几何关系有： 结论1：粒子射入时速度与边界的夹角等于粒子射出时速度与边界的夹角。 结论2：带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角等于速度偏转角。 （2）圆形边界 带电粒子从圆形边界射入磁场并从边界射出，根据几何关系，有以下结论： 结论1：如图甲，射入点位置速度与半径方向的夹角等于射出点位置速度与半径方向的夹角 结论2：如图乙，从径向射入，必从径向射出。（可以当作图甲当中） （四）多解问题 （1）带电粒子电性未知： 如图，电性未知带电粒子从直边界与边界成角射出并能从同一边界射出。若粒子带正电，则偏转从Q点射出，若带负电，从偏转从M点射出。 （2）磁场方向未知： 已知直边界上方存在垂直纸面的匀强磁场（方向未知），带正电的粒子从边界P点与边界成的角度射入磁场并从同一边界射出。若磁感应强度垂直纸面向里，则粒子偏转从Q点射出，若磁感应强度垂直纸面向外，则带电粒子偏转从M点射出。 （3）临界条件不唯一： 如图，两极板AD、BC之间存在垂直向里的匀强磁场，下极板左端A处有一粒子源可水平向右射出速度大小不定的正电粒子，不计重力，为了使所以粒子均不打到上极板上，求从粒子源射出的粒子速度满足的要求。 令速度为时，粒子轨迹恰好与上极板的左端点B相切，速度为时，粒子恰好从上极板右端点C射出，所以只要或即满足要求。 （4）周期性： 如图甲所示，第一象限和第四象限分别存在垂直纸面向里和向外的匀强磁场、，且，坐标原点O处有一粒子源射出与x轴方向成角，带电量为q，质量为m的负电粒子。不计重力，若想要在x轴上放上一个粒子收集器能够收集到该粒子，求收集器所在位置的横坐标？ 【解析】粒子在、两个磁场当中的运动半径分别为、，轨迹如图乙周期性变化，则收集器或，其中n=1,2,3…… （五）动态圆 （1）平移圆 带电粒子速度大小方向均相同，但入射点不同，则粒子在磁场中的轨迹分布，可以看作将第一个圆（轨迹）沿着射入点方向平移。如图甲所示，直边界上半边有垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，边界下有一长度为L的粒子源，可向垂直边界输出质量为m，电荷量q，速度大小为的带电粒子，求所有粒子在磁场中的轨迹扫过的面积为多大？ 【解析】所有粒子的轨迹圆半径为。粒子轨迹如图乙所示，可认为是最左端射出的轨迹圆自左向右平移L的距离，所以所有粒子扫过的区域的为左右两个圆，以及中间长为L，宽度为R的矩形。则粒子扫过的面积为 （2）放缩圆 带电粒子射入点相同，速度方向确定大小变化。则所有粒子的轨迹圆，可当作是随着速度变化的圆的放大或缩小。如图，粒子源可以水平向右射出速度大小变化的带电粒子，则速度不同时，轨迹圆的半径大小也不同，且所有轨迹圆的圆心在垂直速度方向的同一条直线上。 （3）旋转圆 带电粒子射入点相同，速度大小相同，方向变化。则所有粒子的轨迹圆，可当作是随着速度方向变化的圆的旋转。如图，第一第二象限存在垂直向里的匀强磁场，在原点的粒子源射出带负电粒子速度大小相同，方向与x轴正方向从。由几何关系可知，所有粒子轨迹圆的圆心在同一个虚线圆上，且该圆的半径等于所有粒子轨迹圆的半径。 （六）磁聚焦、磁发散 （1）如图甲，当所有带电粒子射入磁场的速度大小方向均相同，且粒子轨迹圆的半径圆形边界磁场的半径相同时，所有粒子将汇聚在边界上的同一个点上，且该点的切线方向为粒子射入的速度方向。 （2）如图乙，当圆形磁场边界上的粒子源射出所有带电粒子射入磁场的速度大小均相同，且粒子轨迹圆的半径圆形边界磁场的半径相同时，则所有粒子射出磁场时速度方向均相同，该方向则为粒子源所在点的切线方向。 三、带电粒子在组合场中的运动 组合场，即不同空间存在不同的场，如电场、磁场或重力场等，只需把粒子在各个场中的运动运动分析清楚即可。 【例题1】如图甲所示，竖直平面内的直角坐标系中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。在y轴上的坐标为为(0,d)的P点有一粒子源，水平向右射出多初速度，电量为质量为m的粒子，不计重力，求带电粒子第二次过x轴的横坐标？ 【变式1】如图所示，竖直平面的直角坐标系第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点处的粒子源向第一象限发射电荷量为q，质量为m，初速度的带电粒子，初速度方向与x轴正方向夹角为，不计粒子重力， （1）要使带电粒子不从磁场穿出y轴左侧，求磁感应强度B满足的条件？ （2）若第四象限的磁感应强度为,在x轴上安装一个粒子收集装置，且只有粒子从下往上进入才被收集，要使粒子能被收集，求收集装置位置的横坐标x？ 四、带电粒子在复合场中的运动 带电粒子在复合场中运动的两种解法 【例题1】如图甲所示，在竖直平面内存在垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一个带电量q，质量为m的小球静止开始释放，以小球释放点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立坐标系，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球运动过程中离x轴的最大距离？ 【变式1】如图所示，竖直平面内存在竖直向下的匀强电场E和垂直向里的匀强磁场B，从O点水平向右射出初速度为，电荷量为q，质量为m的带电粒子，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ） A，只有当时，粒子才有可能做直线运动 B，只要粒子速度满足，则无论粒子电性如何，其运动轨迹都是直线 C，若且，粒子将做类平抛运动 D，若且，粒子的运动轨迹是圆 【变式2】如图所示，平行板间存在竖直向下的匀强电场和垂直向里的匀强磁场，极板长度为L=0.5m，间距为d=0.2m，从左侧两极板正中间的O点水平向右射出初速度大小为（未知），电荷量为，质量为不计粒子的重力，求 （1）若粒子沿直线运动，求粒子的初速度大小？ （2）要使粒子能从右侧射出，求初速度的范围？ 五、带电粒子在变化磁场中的运动 【例题1】如图甲所示，第一象限存在垂直向里的磁场，磁感应强度在y方向相等，在x方向满足。在原点有一粒子源可将质量为m，带电量为q的带电粒子以初速度沿x轴正方向射入磁场。不计粒子的重力，求粒子第一次离开y轴的最远距离d。 六、综合训练 1．如图所示是研究带电粒子在电磁场运动的某个装置。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O1，坐标为（0，L）。第一象限存在垂直向里的匀强磁场B0（大小未知），x轴（L，0）处有小孔O2，平行板电容器上极板A与x轴紧靠且平行，A、K两极板间距为，A板中央小孔O3与O2对齐。P为下极板K上的一点，P点坐标，板M上的任何位置都可以释放出速度大小从0至某值（包括初速度为0的情况）且方向不同的电子，电子质量为m，电荷量为e。发射的电子经MN间的恒定电压加速后从O1点持续不断进入磁场，经O1的粒子速度大小在之间，已知速度为v0的电子沿垂直于y轴方向经小孔O1射入磁场，偏转后恰能垂直x轴射入O2点离开x轴。M、N、A、K四块极板均无限长，忽略电子之间的相互作用，粒子到达边界或极板立即被吸收并导走。求： （1）磁感应强度B0和UNM间电势差的大小。 （2）若时，求到达P点的电子刚从板M射出时速度v1的大小及与x轴的夹角。 （3）在（2）问的前提下，若平行板电容器内加一个沿y轴负方向大小随变化，方向垂直向里的磁场，要使电子不能碰到极板K，电容器极板最小间距为多少（A板固定，K板上下移动）。 1．【答案】（1），；（2），与x轴的夹角；（3） 【详解】（1）发射电子最小动能为，对应处飞出电子的速度为，即 求得 速度为v0的电子沿垂直于y轴方向经小孔O1射入磁场，偏转后恰能垂直x轴射入O2点离开x轴，可得电子运动轨迹半径 又由 解得 （2）到达P点的电子轨迹如图所示 由几何关系可得，电子进入处的速度与A板的夹角为，说明为这个电子圆周运动的直径，即 又由，及（1）所求，解得 根据动能定理求解电子从M板飞出的速度 解得 在竖直方向上速度大小不变 解得 ，即 （3）在方向上，由动量定理可得 化简为 两端求和 代入数据即为 得 求得 2．如下图甲所示为某质谱仪核心部件结构图。圆心为O，半径为R的圆内有垂直纸面向外磁感应强度为B的匀强磁场，圆周右侧与O等高处有一粒子源S，与SO成范围内向圆形磁场各个方向均匀发射速度大小相等、质量为m、电量为q的带正电的粒子，圆形磁场上方有关于竖直轴线对称放置的两块长为R的平行金属板，两板间距也为R，两极板MN间加上如图乙所示的电压，其中。平行金属板上方有垂直于纸面向内范围足够大的匀强磁场，其磁感应强度也为B，磁场下边缘处有一可左右平移的接收板PQ。已知从S点正对圆心O射出的粒子，出圆形磁场后恰好沿轴线进入两板间。不计粒子重力与粒子之间的相互作用，电压变化的周期远大于带电粒子在磁场中运动的时间。求： （1）进入圆形磁场中的粒子速度大小； （2）MN间电压为0时，能从板间穿出的粒子占总粒子数的比； （3）要使接收板PQ能接收到所有从平行板间射出的粒子，则PQ的长度至少多长； （4）当时，若接收板可以上下左右平移，要使接收板上下表面能挡住所有从平行板电容器中射出的粒子，则PQ的长度至少为多长。 2．【答案】（1）；（2）；（3）R；（4）0.34R 【详解】（1）由 得 （2）由图1可知 得 =30° 从两平行板穿出的粒子占总粒子数比为 η （3）如图2粒子在上方磁场中偏转距离 得 因而所有进入上方磁场中的粒子在磁场中向左偏转的距离都相等，且为2R，要使所有粒子都能打到PQ上，即两平行板电压为零时进入的粒子都能达到PQ板上即可。由于两平行板间距为R<2R，从两板间出射粒子的宽度为R，所以探测板PQ长度至少为 Lmin=R （4）如图3所示，带电粒子在两平行板间中侧移量为 圆①③为从两极板中所有出射粒子两边缘粒子的轨迹，圆②为其正中间出射粒子在上方磁场中的轨迹圆。当PQ移到如图所示的位置时（说出位置给1分）（P为圆1和圆2的交点，Q为圆2和圆3的交点），所有粒子均能被挡住（右边一半粒子被板的上部分挡住，左边一半粒子被板的下部分挡住）。因而板的长度为 3．如图甲所示，曲线OP上方有沿方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于x轴上，能够持续不断地沿方向发射速度为，质量为m、电荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）： （2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最小面积； （3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场和匀强电场（如图乙），电磁场边界与y轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场，方向垂直纸面向里，匀强电场，方向沿x轴正方向，现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场偏转后，恰好与y轴负方向成从O点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴平行）。 3．【答案】（1）；（2）；（3）3 【详解】 （1）粒子在电场E1区域做类平抛运动，则 解得 （2）设粒子经过O点的速度为v，与y轴的夹角为θ，则 由 可得 粒子在磁场中运动时，在y轴上的偏移量 ∆y恒定，故所有粒子均击中y轴上的同一位置，即 处；在x轴上从B端射入的粒子到达的x轴上坐标的最远距离为 得磁场的最小面积 （3）粒子经过O点时与y轴负方向成角，可得粒子的速度为 设粒子在第n+1个磁场区域拐弯，则电场中共加速n次：由动能定理 可得 在y轴方向上由动量定理 可得 可得 解得 由于n只能取整数，故n只能取2，即粒子将在第3个磁场区域拐弯。 4．某装置可以研究带电粒子的运动轨迹，其原理如图所示。在x轴上方存在垂直xOy平面向里的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形区域磁场，方向垂直xOy平面向外，大小为B，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O。位于x轴正半轴的绝缘板MN中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔右端D点横坐标L，板厚度可以忽略。位于圆形磁场左侧有一个粒子发射装置S可以发射一束速度方向平行于x方向的粒子流，已知粒子在y轴方向均匀分布。粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。已知速度方向对准A点的粒子经过磁场后刚好从坐标原点射出并从D点射入第四象限。不计离子的重力及相互作用。求： （1）该粒子流的速度； （2）入射位置距离x轴的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； （3）x轴上方磁感应强度； （4）若粒子束有一半能从板上的小孔通过，小孔的宽度为多少。 4．【答案】（1）；（2）30°；（3）；（4） 【详解】（1）粒子束中心粒子在磁场中的运行半径为R，由 得 （2）作出粒子运行轨迹如图 由几何关系可得第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角为30。 （3）粒子束中心粒子从O点进入上方磁场后打在D点，则运行半径 由 得 （4）粒子束有一半能从板上的小孔通过，只能是粒子束中心线两侧入射的粒子通过小孔，画出临界情况下的粒子运行轨迹如图 由几何关系得 ， 得 5．如图所示，第一象限存在垂直平面向外的匀强磁场。轴下方的分析器由两块相距为、厚度不计、足够长的平行金属薄板M和N组成，其中位于轴的M板中心有一小孔（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于轴上的某种材料P能不停地发射质量为、电荷量为的正离子，离子速度方向都沿轴正方向，速度大小连续分布在和之间，发射区间的上端点坐标，下端点坐标。已知从处射出的速度大小为的离子经磁场偏转后恰好垂直轴射入孔。未能射入孔的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求第一象限的磁感应强度大小； （2）求离子打在N板上区域的长度； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔位置坐标之间关系式． 5．【答案】（1）；（2）；（3）（4） 【详解】（1）根据题意可得粒子运动轨迹如下所示 结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律有 解得 （2）根据牛顿第二定律有 由于 故有 根据平移法可知，当粒子从发射区间的上端射出进入孔C时，粒子打在N板的左侧，且距离最远。当粒子从发射区间的最下端射出进入孔C时，粒子打在N板的右侧，且距离最远。运动轨迹如图所示 设离子发射点的坐标，则由几何关系可得 将，分别代入可得 ， 由几何关系 ， 解得 （3）由（2）分析可知，当粒子从孔C进入时，根据几何关系有 设进入孔C时速度为v，则粒子进入孔C时，竖直方向速度为 结合（1）分析及牛顿第二定律有 解得 电流表示数刚为0，即粒子到达N板时速度竖直方向速度恰好为零，则根据匀变速直线运动规律及牛顿第二定律有 解得 （4）由（2）分析可知，粒子做圆周运动的最大半径为。故当时，所有粒子均无法从孔C射出。当时。根据（3）中分析可得 联立可得 6．如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S点的粒子源可以沿纸面内与SO1（O1为圆形磁场的圆心）的夹角为的方向内均匀地发射速度为v0=10m/s、电荷量均为q=-2.0×10-4C、质量均为m=1.0×10-6kg的粒子，粒子射入半径为R=0.1m的圆形区域匀强磁场。已知粒子源在单位时间发射N=2.0×105个粒子，圆形区域磁场方向垂直纸面向里，沿着SO1射入圆形区域磁场的粒子恰好沿着水平方向射出磁场。粒子数控制系统是由竖直宽度为L、且L在范围内大小可调的粒子通道构成，通道竖直宽度L的中点与O1始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁场构成，匀强电场的方向水平向右、场强E=0.625N/C，边界由x轴、曲线OA和直线GF（方程为：y=-x+0.4（m））构成，匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度B=0.25T，磁场的边界由x轴、直线GF、y轴构成，已知所有经过聚焦系统的粒子均可以从F点沿垂直x轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。加速系统是由两个开有小孔的平行金属板构成，两小孔的连线过P点，上下两板间电势差U=-10kV，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求： （1）圆形磁场的磁感应强度B0； （2）当L=R时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数N0； （3）若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速系统射出的粒子在测试样品中运动所受的阻力f与其速度v关系为（k=0.2N·s·m-1），求粒子在样品中可达的深度d； （4）曲线OA的方程。 6．【答案】（1）0.5T；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得 解得圆形磁场的磁感应强度为 （2）临界1：粒子恰好从控制系统上边界进入，粒子在S点入射速度与的夹角为，则 解得 临界2：粒子恰好从控制系统下边界进入，粒子在S点入射速度与的夹角为，则 解得 能进入控制系统的粒子数 （3）对粒子在加速系统运用动能定理 解得 对粒子进入样品得过程运用动量定理 粒子在样品中可达的深度为 （4）设粒子从曲线OA的点进入电场，则粒子从直线GF的点射出电场，根据动能定理有 由洛伦兹力提供向心力得 曲线OA的方程为 7．某种离子收集装置的简化模型如图所示，x轴下方半径为R的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小B1=B，圆心所在位置坐标为（0，-R）。在x轴下方有一线性离子源，沿x轴正方向发射出N个（大量）速率均为v0的同种离子，这些离子均匀分布在离x轴距离为0.2R~1.8R的范围内。在x轴的上方，存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，该磁场上边界与x轴平行，磁感应强度大小B2=2B。在x轴整个正半轴上放有一厚度不计的收集板，离子打在收集板上即刻被吸收。已知离子源中指向圆心O1方向射入磁场B1的离子，恰好从O点沿y轴射出。整个装置处于真空中，不计离子重力，不考虑离子间的碰撞和相互作用。 （1）求该种离子的电性和比荷； （2）若x轴上方的磁场宽度d足够大，发射的离子全部能被收集板收集，求这些离子在x轴上方磁场中运动最长和最短时间差∆t，以及离子能打到收集板上的区域长度L； （3）若x轴上方的有界磁场宽度d可改变（只改变磁场上边界位置，下边界仍沿x轴），请写出收集板表面收集到的离子数n与宽度d的关系。    7．【答案】（1）带负电，；（2），0.4R；（3）见解析 【详解】（1）已知沿圆心O1射入的离子，恰好从O点沿y轴射出，则可知离子在B1中向上偏转，根据左手定则，可知离子带负电，根据该离子运动轨迹，画出半径，如图所示    粒子运动的轨迹半径为 解得 （2）离子经过圆心磁场区域均能到达O点，到达O点时，速度方向与y轴夹角为θ，如图所示    根据几何关系 可知 且左右对称； 在B2中，有 可得 在磁场中所花时间最少的粒子轨迹为如图所示的劣弧，其轨迹对应的圆心角为 在磁场中所花时间最长的粒子为如图所示的优弧，其轨迹对应的圆心角为 根据周期 所以 离子打到收集板上的区域长度L，取决于离子打到收集板上的最近距离和最远距离，其中，最远距离为沿y轴正方向射出的离子，如上图所示 最近距离为速度方向与y轴正方向夹角为53°射入的离子，如上图所示 所以 （3）如图所示    ①当所有离子均到达不了收集板时，此时磁场宽度为 即当时，； ②当离子方向在y轴右侧与y轴夹角度为θ时，有 对应离子在第三象限的带宽为 对应收集的离子数 当离子方向在y轴左侧与y轴夹角度为θ时，有 对应离子在第三象限的带宽为 对应收集的离子数 所以当时，； ③粒子能全部打到收集板时，，； 综上所述 ， ， ， 8．如图所示，在直角坐标系中，水平向右、竖直向上。第二、三象限存在方向水平向右的匀强电场，第一、四象限存在方向竖直向上的匀强电场，电场强度大小，第一、四象限还分别存在方向均垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的两个匀强磁场，两磁场以x正半轴为边界。带正电小球从第三象限内的A点以大小为v的速度竖直向上射入，依次经过原点O和坐标为（h，0）的P点，已知小球质量为m，小球所带电荷量为q，小球到达O点时速度大小也为v，方向与y轴正向夹角。重力加速度为g，，。 （1）求第一象限内磁场的磁感应强度大小； （2）求第二、三象限内电场的电场强度大小； （3）小球经过P点后，若要使它仅在第一四象限内运动且能再次经过P点，求其轨迹半径； （4）小球经过P点后，若要使它仅在第一四象限内运动且能再次经过P点，求第四象限内磁感应强度的大小的所有取值。    8．【答案】（1）；（2）；（3），（n=2，3，4，5，6，7，8，9）；（4），（n=2，3，4，5，6，7，8，9） 【详解】（1）小球在第一、四象限内 因此小球经过O点后将做匀速圆周运动，从O到P轨迹如图1    由几何关系得 即 又 得 （2）在O点，将速度分解为x和y方向，即 从A到O有 解得 （3）（4）小球从P点进入第四象限后做圆周运动，不能穿过y轴，轨迹与y轴相切，如图2所示    由几何关系得 小球在第四象限运动轨迹与x轴的交点分别为P1、P2……，如图2，每个周期沿x轴正向移动 要使小球再次经过P点，则必须满足 即 即    即 即 因此n=2，3，4，5，6，7，8，9 又 得 （n=2，3，4，5，6，7，8，9） 9．现代科学研究中经常利用电场、磁场来控制带电粒子的运动。在空间坐标系O-xyz中存在如图所示的电磁场，在xOz平面内，圆心O1的位置坐标为（0，R），半径为R，圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场B1；在其左侧有一离子源E飘出质量为m、电荷量为q、初速度为0的一束正离子，这束离子经电势差的电场加速后，从小孔F（点F与O1等高）沿着x轴正方向射入匀强磁场区域B1，离子恰好从点O离开进入匀强磁场B2。竖直放置的长方形离子收集板MNPQ与xOz面相距R，边MQ足够长与x轴方向平行且与y轴交于点T，宽MN为2R，匀强磁场B2只局限于收集板正前方的空间区域，磁场方向与xOy所在平面平行且与x轴正方向的夹角大小为θ，调节匀强磁强的磁感应强度B2大小，使带正电离子偏转后能打到收集板上被吸收。不考虑离子重力和离子间的相互作用（已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，cos76°=0.25） （1）求匀强磁场B1大小； （2）若角度θ=0，求磁感应强度B2大小的范围； （3）若角度θ=37°，磁感应强度，求离子打在收集板上位置的坐标； （4）若角度θ的大小在0到90°之间，试定量讨论磁感应强度B2的范围。    9．【答案】（1）；（2）；（3）（，，）；（4）见解析 【详解】（1）设经过电场加速后速度为v，进入匀强磁场磁会聚从O点沿z轴负方向射出，有 联立解得 （2）当角度为0时，磁感应强度方向沿x轴正方向，设离子恰好打到MQ边的半径为，恰好打到NP边的半径为，据几何知识得 解得 又 可得 所以磁感应强度大小范围为 （3）粒子在与y轴成θ=37°的平面做圆周运动，设半径为，则有 由于 由几何关系可知，离子刚好在磁场中运动圆周后打在收集板上，则有 ，， 离子打在收集板上的位置坐标为（，，）。 （4）当角度为θ时，设离子恰好打到MQ边圆周半径为，则有 可得 恰好达到NP边圆周半径为，则有 可得 由数学知识得时，有最小值 当时，有 当，即为打到MQ边圆周半径的最大值，所以粒子打不到收集板上，无论取什么值，所以 ①时， ②时， ③时，无论取何值，粒子均无法打到收集板上。 10．如图所示，空间中有一半径为R、圆心处于O点的圆形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。其底部A点有一电子源可向圆形磁场内各个方向内持续发射速度大小为v0，质量为m，电量为e的电子。圆形磁场右侧紧靠着一电子收集装置，该装置主要由长为2R、间距为2R的平行金属板MN和PQ构成，平行金属板中心轴线过磁场圆心O点，金属板之间加恒为的电压，PQ板接地，当电子碰到金属板立即被收集中和。未能收集的电子射出平行金属板后会撞上另一收集装置BC板（足够长），B点在金属板右端点QN连线的延长线上，并与延长线的夹角为θ（θ可调）。不计电子之间的相互作用和场的边缘效应，则： （1）现要求所有电子均能平行进入金属板间，求磁感应强度B的大小； （2）若电子初速度满足（1）的条件且进入收集装置时在竖直方向分布均匀，单位时间内电子数为n，求平行金属板的收集效率和单位时间内电子减少的总电势能； （3）在（2）中未能收集的电子离开平行金属板后与BC板发生碰撞，要求电子垂直撞击BC板，应调整θ为多少？调整后与BC撞击的电子有60%被完全吸收，40%电子会被反弹，反弹后的速度大小减小为原来一半，求BC板受到的作用力大小。    10．【答案】（1）；（2）50%；；（3）45°， 【详解】（1）当电子在磁场中运动半径与磁场半径相等时，所有电子均能平行向右进入收集装置，有 解得 （2）电子进入平行板后受向上电场力作用做类平抛运动，设恰好从N点出射的电子进入平行板时离MN距离为d，则有 其中 解得 即从中心轴线以上进入的电子全部被收集，中心轴线以下的电子不能被收集，收集效率 因电子进入平行板时分布均匀，则中心轴线以上电子减少的电势能为 中心轴线以下电子减少的电势能为 共减少的电势能 （3）设未被平行板收集的电子离开平行板区域时速度与水平方向夹角为α，则 解得 要让电子能够垂直撞击BC板，有 设电子与BC板发生碰撞时速度为v，由类平抛规律有 由动量定理得 根据牛顿第三定律，BC板受到的作用大小 11．如图所示，在xOy平面内，以O1（0，R）为圆心、R为半径的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，x轴下方有一与其平行的直线ab，ab与x轴相距为d，x轴与直线ab间区域有沿y轴正方向的匀强电场，在ab的下方有一平行于x轴的感光板MN，ab与MN间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，在0≤y≤2R的区域内，大量质量为m、电荷量为-e的电子从圆形区域左侧沿x轴正方向以速度v0射入圆形区域，经过磁场偏转后都经过O点，然后进入x轴下方。已知x轴与直线ab间匀强电场的场强大小，直线ab与感光板MN间的磁场的磁感应强度大小，不计电子重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求圆形区域内磁场的磁感应强度大小B1； （2）若沿x轴负方向进入电场的电子恰好不能打到感光板MN上，MN与ab间的距离h1是多大？ （3）若要求从不同位置出发的所有电子都能打在感光板MN上，MN与ab间的最大距离h2是多大？ （4）在（3）的条件下，电子从O点到MN的运动时间最长是多少？ 11．【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）所有电子射入圆形区域后做圆周运动的轨道半径大小相等，设为r，当电子从位置y=R处射入的电子经过O点进入x轴下方，则 解得 （2）设电子经电场加速后到达ab时速度大小为v，电子在ab与MN间磁场做匀速圆周运动轨道半径为r1，沿x轴负方向射入电场的电子离开电场进入磁场时速度方向与水平方向成θ角，则 如果电子在O点以速度v0沿x轴负方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，不能打在感光板上，则所有电子都不能打在感光板上，恰好不能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O2，轨迹如图所示 感光板与ab间的最小距离 解得 ，， （3）如果电子在O点沿x轴正方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，能打在感光板上，则所有电子都能打在感光板上，恰好能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O3，如图所示 感光板与ab间的最大距离为 解得 （4）当感光板与ab间的距离最大为d时，所有从O点到MN板的电子中，沿x轴正方向射入电场的电子，运动时间最长，设该电子在匀强电场中运动的加速度为a，运动时间为t1，在磁场B2中运动周期为T，时间为t2，则 运动最长时间 解得 ，，， 12．如图所示，空间坐标系O-xyz内有一由正方体ABCO-A'B'C'O'和半圆柱体BPC-B'P'C'拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿z轴负方向的匀强电场半圆柱体区域内存在沿z轴正方向的匀强磁场。M、M'分别为AO、A'O'的中点，N、N'分别为BC、B'C'的中点，P、P'分别为半圆弧BPC、B'P'C'的中点，Q为MN的中点。质量为m电荷量为q的正粒子在竖直平面MNN'M'内由M点斜向上射入匀强电场，如射的初速度大小为，方向与x轴正方向夹角为θ。一段时间后，粒子垂直于竖直平面BCC'B'射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为L，匀强电场的电场强度大小，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子重力。求： （1）夹角θ； （2）粒子在电场运动时间与在磁场运动时间之比； （3）若粒子以相同的初速度自O点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。    12．【答案】（1）45°；（2）；（3）（L，L，） 【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿x轴方向 沿z轴方向 由牛顿第二定律可知 解得 （2）粒子进入匀强磁场的速度 进入后，由牛顿第二定律可知 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的周期 粒子在匀强磁场中运动的时间 故粒子在电场运动时间与在磁场运动时间之比 （3）若粒子以相同的初速度自O点射入匀强电场，则粒子仍垂直于平面BCC'B'射入匀强磁场，此时进入磁场时距离O点的距离 进入磁场后做圆周运动的半径为 圆心恰在N＇N的中点，则从B＇B中点出离磁场，则出离磁场时的位置坐标（L，L，）。 13．如图甲所示，在无限长的竖直边界NS和MT间上、下部分分别充满方向垂直于 NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 B1=B 和B2=B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，P、Q点距KL高为d，NS和MT间距为5d。质量为m、带电量为+q的粒子从粒子源飘出(初速视为 0)，经电场加速后从P点垂直于NS边界射入磁场区域，粒子源单位时间内发出的粒子数恒定，加速电压u如图乙所示周期性变化，重力忽略不计，粒子在电场中加速时间极短可忽略不计，不考虑粒子间相互作用力与碰撞，粒子运动到与边界相切时仍能返回磁场。(题中可认为 sin37°=0.6，sin53°=0.8) （1）在进入电场的粒子  恰好能垂直 KL 经过磁场边界，求加速电压的最大值U0； （2）当加速电压为 U1时，粒子恰好不从 NS边界飞出，求 U1的值； （3）求在时间 0~T内发射的粒子中，从NS 边界飞出的粒子数占总粒子数的比例η。    13．【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）洛伦兹力提供向心力 粒子恰好能垂直KL经过磁场边界有 进入电场的粒子的速度为 解得 （2）粒子恰好不从NS边界飞出，则其运动轨迹如图    由 可得 由几何关系得 解得 洛伦兹力提供向心力 进入电场的粒子的速度为 解得 （3）由（2）可得，当时，粒子从NS边界飞出，在时间 0~T内发射的粒子中，从NS 边界飞出的粒子数占总粒子数的比例 14．在现代科学实验中，常利用电场和磁场来控制离子的运动。如图1所示的装置由加速区、电偏转区和磁偏转区三部分组成。离子源S可以连续不断地产生质量均为m、电荷量均为q、初速度均视为零的正离子，且离子源S在任意相同时间内产生的离子数相等。这些离子在经过A、B板间的加速电压加速后，从C点进入有辐向电场分布的电偏转区，沿着半径为R、圆心角为的圆弧CD做匀速圆周运动；之后从D点沿直线运动到P点进入磁偏转区，磁场分布在足够长、间距为d的G、H两板之间，其磁感应强度B随时间的变化规律如图2所示，设磁场方向垂直纸面向外为正方向，最大值为。不计离子的重力以及离子之间的作用力，离子在磁场中运动的时间远小于磁场变化的周期T，不考虑磁场变化产生的电场对离子的影响，且打到H板上的离子会立即被H板吸收并全部通过接地电阻导入大地，打在G板上的离子也会立即被G板吸收且不产生其他影响，，求： （1）离子从B板射出时速度的大小； （2）圆弧CD所在处的电场强度E的大小； （3）H板上能被离子击中的长度L； （4）若每秒有n个离子从P点进入磁场，求稳定后流经接地电阻电流的有效值I。    14．【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）离子的加速电场中，由动能定理得 从而求得 （2）离子在辐射电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律得 联立得到 （3）如图所示    B正向最大时，根据 解得 所以离子刚好垂直打在H板上的E点；B负向时，当离子恰好与H板相切于G点，由 解得 根据 可得 所以离子可以分布在EG之间，所以 （4）当有离子注入到H板时，产生电流 B为正方向时，一个周期中有 的时间内有电流；B为负方向时，一个周期中有 的时间内有电流，根据 流过R的电流有效值 15．如图所示，一种新型质谱仪原理图，离子源S中飘出初速度为零的离子，经间的电场加速后，沿轴线进入图中虚线所示的圆形匀强磁场区域。圆形匀强磁场半径为，磁场区域的右下部分圆周边界处安装有接收底片，P在的正下方，与同在轴线上。一个质量为的一价正离子从离子源飘入电场，最后恰好打在点。已知元电荷为e，间电压为，离子重力忽略不计。 （1）求圆形区域中磁感应强度的大小； （2）因放置失误，导致磁场区域整体向下移动，使磁场区域圆心偏离轴线，，求此情况下氢离子打在底片上的位置。（用该位置到点的连线与轴线所成的角度表示）； （3）若在离子源中放入质量为、的一价正离子，的电压波动范围为，若要这两种离子在底片上的位置不重叠时，应满足的条件。 15．【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）一个质量为的一价正离子从离子源飘入电场，最后恰好打在点，根据几何关系可知粒子圆周运动的轨道半径 离子圆周运动过程有 在电场中加速过程有 解得 （2）根据题意可知，满足（1）条件情况下，粒子在半径为的圆形磁场中做圆周运动的半径为，若磁场区域圆心向下偏离轴线，相当于在磁场区域圆心上方之间一组平行粒子进入磁场，由磁聚焦可知，氢离子均打在底片上的位置仍在光屏的P点，如图所示    由几何关系可知 （3）在离子源中放入不同的离子，离子打在底片上的位置到点连线与轴线成角，根据题意，设运动半径为，粒子在磁场圆中由径向入射，最终沿径向打在底片上，由几何关系知 令加速电场电压波动为，由动能定理有 在磁场中，由牛顿第二定律有 结合上述解得 可知，当质量M为的离子，对应角度 同理，当质量M为的离子，对应角度 其中 若要这两种离子在底片上的位置不重叠时，则需要满足 解得 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $