精品解析：上海市陆行中学2025-2026学年高二第二学期期中练习卷2026.04

陆行中学2025学年第二学期期中练习卷 2026.04 一、填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 直线的一个法向量为__________. 【答案】（答案不唯一，） 【解析】 【分析】根据直线斜率，先写出一个方向向量，进而根据向量垂直的坐标关系求出它的一个法向量. 【详解】直线的斜率， 所以该直线的一个方向向量为，其法向量可以为. 故答案为：. 2. 抛物线的焦点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标. 【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题. 3. 直线与的夹角大小为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的斜率求出倾斜角，再由知倾斜角为，根据倾斜角求出两直线的夹角. 【详解】直线化为斜截式为， 故直线的斜率是， 直线的倾斜角满足， 结合，可得， 直线倾斜角为 所以直线与的夹角大小为. 故答案为： 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 5. 圆C：在点处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出方程. 【详解】依题意，点在圆C：上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为1， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 6. 双曲线 的右焦点到渐近线距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和右焦点坐标，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由双曲线C的渐近线方程为，即， 右焦点的坐标为， 则右焦点到直线的距离为. 故答案为： 7. 已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线过线段端点时的斜率，数形结合即可得出直线斜率范围. 【详解】如图， ，, 因为直线l与线段AB相交， 所以， 故答案为： 8. 已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 9. 已知圆，则圆心到直线的最大距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心和直线l经过的定点，计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即，令，解得， 所以直线l过定点，则圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 10. 若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法得，再代入点坐标即可得答案. 【详解】易知，设椭圆中心为， 不妨设坐标分别为，则有： . 两式作差可得：， 的中点为， . 即， 解得. 故可设直线的点斜式：， 整理得直线的方程为：. 故答案为：. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义，都用表示，由，构造齐次式即可求解. 【详解】 依题得，，又， 则，， 则， 则， 即， 则，则， 即. 12. 已知抛物线，点在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为：，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得，由可得，，进而可得，由求解即可. 【详解】解：由题意可得直线不与轴平行， 设直线的方程为：， 由，可得， 则有， 设 则有， 所以， 所以， 解得：(舍)，， 所以直线的方程为：， 所以， 所以， 所以当时，取最小值为：. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线类的题，常用的方法是联立直线与圆锥曲线方程，再结合韦达定理求解即可. 二、单选题（本大题共有4题，满分12分） 13. 已知直线与直线间的距离为2，则（ ） A. 或4 B. 4 C. 或6 D. 或16 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 14. 已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 15. 直线与曲线的公共点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中分别画出直线和曲线的图象，即可直观的看出公共点的个数. 【详解】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 16. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④. 【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则， 故①正确； 因为，由椭圆性质可知， 所以，故②正确； 设，则 ，取， 则，故③错误； 由椭圆定义知，， 所以的周长，故④正确，故答案为①②④. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； 【小问2详解】 因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 18. 已知两圆和. 求： （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】（1）57 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. 【小问2详解】 当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 19. 已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． （1）求双曲线的方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程； （2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围. 【小问1详解】 由条件可知，，且，解得：，， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立，， 时，，得； 当时，时，，得，满足条件， 综上可知，或. 20. 设椭圆的离心率，过点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，求的面积（为坐标原点）； （3）直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上结合离心率列方程组即可求解； （2）将直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理结合面积公式即可求解； （3）设，，和中点为，将直线方程与椭圆方程联立，可得弦长，根据即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 解得：，所以椭圆方程为：； 【小问2详解】 直线与轴交点为，与椭圆交于，， 联立方程：，化简得：， ， 由韦达定理得：， ， 所以， ， 所以 . 【小问3详解】 联立方程：， 化简得：， ， 解得：， 设，，和中点为， 则由韦达定理得：，， 且，， 若以为直径的圆过坐标原点，则, 由弦长公式可得：， 而， 所以，解得：， 验证，符合题意， 所以. 21. 在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点. （1）用表示点到点的距离； （2）设，是曲线上的动点，求的最小值； （3）设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求出点到点的距离； （2）根据题意得到，设，表示出，进而求解即可； （3）设，分和两种情况讨论，通过在矩形中，，，当，求出点的坐标，并判断是否在上；当时，要使得点在上，设，并代入以上条件计算，看是否能求出的值，进而即可得出结论. 【小问1详解】 由曲线，则焦点，准线为， 所以根据抛物线的定义，得. 【小问2详解】 当时，直线，则， 设，则， 则， 所以时，取得最小值. 【小问3详解】 存在，当时，直线，则，, 已知，设，， ①若，则， 因为在矩形中，，， 所以，， 又不在曲线上，则此情况不成立； ②若，则PF的斜率， 因为在矩形中，，则，得， 所以直线QF为， 则Q点纵坐标，得， 所以，， 因为在矩形中，， 设，则， 所以，得到， 要使得点在上，则将代入， 得到，解得， 又，得，即. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陆行中学2025学年第二学期期中练习卷 2026.04 一、填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 直线的一个法向量为__________. 2. 抛物线的焦点坐标是_______． 3. 直线与的夹角大小为_____． 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 5. 圆C：在点处的切线方程为_____. 6. 双曲线 的右焦点到渐近线距离为_____. 7. 已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______． 8. 已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 9. 已知圆，则圆心到直线的最大距离为_____. 10. 若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为_____. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 12. 已知抛物线，点在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为______. 二、单选题（本大题共有4题，满分12分） 13. 已知直线与直线间的距离为2，则（ ） A. 或4 B. 4 C. 或6 D. 或16 14. 已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 15. 直线与曲线的公共点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 18. 已知两圆和. 求： （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 19. 已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． （1）求双曲线的方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 20. 设椭圆的离心率，过点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，求的面积（为坐标原点）； （3）直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值. 21. 在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点. （1）用表示点到点的距离； （2）设，是曲线上的动点，求的最小值； （3）设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $