2026年中考数学复习讲义 专题1.6分式方程及其应用（题型归纳+知识梳理+常考题型）.

专题1.6分式方程及其应用中考复习讲义 💧 考点分析 分式方程命题基础题型侧重考查分式方程的解法与增根辨析，综合题型多结合工程、行程、销售、利润等实际场景命题，侧重考查数学建模与运算求解能力，整体分值稳定在6-10分，难度中等，是中考数学的核心得分点。 高频考点：分式方程的概念辨析、标准解法与验根、增根与参数求解、实际问题建模求解 备考关键：规范解题流程，牢记验根核心步骤，精准梳理实际问题等量关系，规避易错失分点 ☘ 题型归纳 题型1分式方程的定义 题型2解分式方程 题型3根据分式方程解的情况求值 题型4分式方程无解问题 题型5列分式方程 题型6分式方程的行程问题 题型7分式方程的经济问题 题型8分式方程的和差倍分问题 题型9分式方程的工程问题 题型10分式方程的其他实际问题 ✍ 核心知识点梳理 知识点一、分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，统称为分式方程。 核心辨析：与整式方程的本质区别为分母是否含未知数，且分式方程中所有分母均不能为0。 知识点二、分式方程的解法 转化思想：通过去分母，将分式方程转化为一元一次方程（整式方程）求解。 标准化解题步骤 整理分母：对所有分母进行因式分解，确定方程的最简公分母； 去分母转化：方程两边各项同时乘以最简公分母，约去分母，转化为整式方程； 求解整式方程：按照一元一次方程解法，求出未知数的取值； 严格验根（必考步骤）- 方法：将解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则为原方程的解； 若最简公分母等于0，则该解为方程增根，原分式方程无解； 规范作答：明确写出方程的解或判定方程无解。 知识点三、分式方程的增根 定义：满足去分母后所得整式方程，但使原分式方程分母为0的未知数的值，即为增根； 产生原因：去分母时，方程两边同乘了取值为0的整式，违背等式基本性质； 解题应用：已知分式方程有增根→令最简公分母为0求出增根→将增根代入整式方程→求解参数值。 知识点四、分式方程的实际应用 常考题型及核心等量关系： 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，合作效率=各分效率之和，通常将工作总量看作单位“1”； 行程问题：路程=速度×时间，变式：速度=，时间=； 销售利润问题：总价=单价×数量，利润=售价-进价，利润率=×100%； 浓度配比问题：溶液浓度=×100%。 规范解题流程： 审题→设元（直接/间接）→找等量关系→列分式方程→解方程→双重检验（验增根+验实际意义）→作答 知识点五、高频易错点提醒 去分母时，常数项或整式项漏乘最简公分母，导致整式方程求解错误； 省略验根步骤，未排除增根，造成答案失分； 未对分母因式分解，直接找公分母，导致最简公分母确定错误； 去括号、移项时符号出错，影响整式方程计算结果； 实际应用题中，忽略解的实际意义，未舍去不符合题意的解。 。♻ 核心考点精析 【题型1分式方程的定义】 1．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 2．存在下列说法： ①相等的角是对顶角； ②方程是关于的一元二次方程； ③概率为的事件为不可能事件； ④动直线（为常数）过定点；定直线不过定点； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，则这个方程为一元一次方程． 上述说法中正确的有______条． 3．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (3)模仿上述换元法解方程：． 4．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【题型2解分式方程】 1．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 2．分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．方程的解为_________． 4．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，；再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则 ， ． (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，．求的值． 【题型3根据分式方程解的情况求值】 1．关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的和为______． 4．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【题型4分式方程无解问题】 1．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 2．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的分式方程 无解，则________ 4．已知，当为何值时，关于的分式方程有增根？ 【题型5列分式方程】 1．年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 2．小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A．B．C．D． 3．小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 4．【智能生活】用，两种智能机器人搬运大米，型机器人比型机器人每小时多搬运袋大米． (1)设型机器人每小时搬运袋大米，则型机器人每小时搬运___________大米，型机器人搬运袋大米所用的时间是___________小时；（用含的代数式表示） (2)现有两个条件：①型机器人搬运袋大米与型机器人搬运袋大米所用时间相等；②型机器人搬运袋大米所用的时间是型机器人搬运相同数量大米所用时间的，从两个条件中选一个，求，型机器人每小时分别搬运多少袋大米． 【题型6分式方程的行程问题】 1．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 2．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 3．今年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为21km，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，则松延动力机器人的平均速度__________． 4．小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【题型7分式方程的经济问题】 1．某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 2．小明和同学们计划购进两种水果送给社区养老院，其中种水果的售价比种水果的售价高4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求种水果的售价？若设种水果的售价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．奉节脐橙是重庆的特色时令水果．脐橙一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批脐橙，前两天以高于进价的价格共卖出，第三天她发现市场上脐橙数量陡增，而自己的脐橙卖相已不大好，于是果断地将剩余脐橙以低于进价的价格全部售出，前后一共获利750元，则小李所进脐橙的数量是 _____千克． 4．飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【题型8分式方程和差倍分问题】 1．某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 2．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是__________． 4．2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会于5月22日在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输带来了巨大便利．已知A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运 所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【题型9分式方程的工程问题】 1．已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产8个，结果延期6天完成 B．每天比原计划多生产8个，结果提前6天完成 C．每天比原计划少生产8个，结果延期6天完成 D．每天比原计划少生产8个，结果提前6天完成 2．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 4．某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 【题型10分式方程的其他实际问题】 1．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 3．医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水___________． 4．学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6分式方程及其应用中考复习讲义 💧 考点分析 分式方程命题基础题型侧重考查分式方程的解法与增根辨析，综合题型多结合工程、行程、销售、利润等实际场景命题，侧重考查数学建模与运算求解能力，整体分值稳定在6-10分，难度中等，是中考数学的核心得分点。 高频考点：分式方程的概念辨析、标准解法与验根、增根与参数求解、实际问题建模求解 备考关键：规范解题流程，牢记验根核心步骤，精准梳理实际问题等量关系，规避易错失分点 ☘ 题型归纳 题型1分式方程的定义 题型2解分式方程 题型3根据分式方程解的情况求值 题型4分式方程无解问题 题型5列分式方程 题型6分式方程的行程问题 题型7分式方程的经济问题 题型8分式方程和差倍分问题 题型9分式方程的工程问题 题型10分式方程的其他实际问题 ✍ 核心知识点梳理 知识点一、分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，统称为分式方程。 核心辨析：与整式方程的本质区别为分母是否含未知数，且分式方程中所有分母均不能为0。 知识点二、分式方程的解法 转化思想：通过去分母，将分式方程转化为一元一次方程（整式方程）求解。 标准化解题步骤 整理分母：对所有分母进行因式分解，确定方程的最简公分母； 去分母转化：方程两边各项同时乘以最简公分母，约去分母，转化为整式方程； 求解整式方程：按照一元一次方程解法，求出未知数的取值； 严格验根（必考步骤）- 方法：将解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则为原方程的解； 若最简公分母等于0，则该解为方程增根，原分式方程无解； 规范作答：明确写出方程的解或判定方程无解。 知识点三、分式方程的增根 定义：满足去分母后所得整式方程，但使原分式方程分母为0的未知数的值，即为增根； 产生原因：去分母时，方程两边同乘了取值为0的整式，违背等式基本性质； 解题应用：已知分式方程有增根→令最简公分母为0求出增根→将增根代入整式方程→求解参数值。 知识点四、分式方程的实际应用 常考题型及核心等量关系： 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，合作效率=各分效率之和，通常将工作总量看作单位“1”； 行程问题：路程=速度×时间，变式：速度=，时间=； 销售利润问题：总价=单价×数量，利润=售价-进价，利润率=×100%； 浓度配比问题：溶液浓度=×100%。 规范解题流程： 审题→设元（直接/间接）→找等量关系→列分式方程→解方程→双重检验（验增根+验实际意义）→作答 知识点五、高频易错点提醒 去分母时，常数项或整式项漏乘最简公分母，导致整式方程求解错误； 省略验根步骤，未排除增根，造成答案失分； 未对分母因式分解，直接找公分母，导致最简公分母确定错误； 去括号、移项时符号出错，影响整式方程计算结果； 实际应用题中，忽略解的实际意义，未舍去不符合题意的解。 。 ♻ 核心考点精析 【题型1分式方程的定义】 1．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 2．存在下列说法： ①相等的角是对顶角； ②方程是关于的一元二次方程； ③概率为的事件为不可能事件； ④动直线（为常数）过定点；定直线不过定点； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，则这个方程为一元一次方程． 上述说法中正确的有______条． 【答案】 【分析】根据对顶角相等、分式方程的定义、不可能事件的定义、一次函数解析式、一元二次方程的解进行判断即可得解． 【详解】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，①说法错误； ②方程不是关于的一元二次方程，是分式方程，②说法错误； ③不可能事件的概率为，但概率为的事件不一定为不可能事件，③说法错误； ④动直线（为常数）过定点；定直线也过定点，如，④说法错误； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，这个方程也可能为一元二次方程，如，⑤说法错误； 综上，上述说法中正确的有条． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是对顶角相等、分式方程的定义、不可能事件的定义、一次函数解析式、一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握相关知识点． 3．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (3)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． （1）和（2）将所设的代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可． 【详解】（1）解：将代入原方程，则原方程化为； 故答案为：； （2）将代入方程，则原方程可化为； 故答案为：； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 4．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 【题型2解分式方程】 1．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 【答案】B 【分析】分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ②当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴x的值为或6． 2．分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的求解，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验得到方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 则是原分式方程的解． 3．方程的解为_________． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：将代入（中，， 是分式方程的解． 4．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，；再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则 ， ． (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，．求的值． 【答案】(1)2，5 (2) (3) 【分析】（1）根据，结合“十字分式方程”的定义可得答案； （2）原方程可变形为，根据“十字分式方程”的定义可得或，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，再由，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵为“十字分式方程”，且， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为“十字分式方程”， ∴或 ∴； （3）解：“十字分式方程”的两个解分别为，， ∴， ∴ ． 【题型3根据分式方程解的情况求值】 1．关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 2．若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入分式方程，再解方程即可得解． 【详解】解：是分式方程的根， ， 方程两边都乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得． 3．已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有个整数解，确定出的范围，将分式方程去分母转化为整式方程，表示出，由为整数以及分式有意义的情况确定出的值，再计算满足条件的整数的和即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解， ，解得， 整数可以为，，，，，，，， ， 去分母得，， 解得， ，即， ， ，即， ， 分式方程的解为整数，当时，，不满足题意， ， 整数可以为，，，，， 满足条件的整数的和为． 4．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【详解】（1）解： （2）， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． 【题型4分式方程无解问题】 1．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 2．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴分母和为0，则增根为． 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， 解得． 3．若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 4．已知，当为何值时，关于的分式方程有增根？ 【答案】当时，原分式方程有增根 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程是增根是解题的关键； 将代入分式方程，去分母化为整式方程，求出可能的增根，再将增根代入整式方程求出b的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 两边都乘， 得， 整理，得． 分式方程有增根， ， 即或． 当时，，此时方程无解； 当时，，解得． 综上，当时，原分式方程有增根． 【题型5列分式方程】 1．年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，利用无人机比快艇配送时间少分钟的等量关系列方程即可． 【详解】解：设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，快艇的配送时间为小时，无人机的配送时间为小时， 根据题意得：． 2．小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【详解】∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 3．小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设骑自行车的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间路程速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为千米/小时． ∵汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时， ∴汽车的速度为千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． 根据题意，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达， 即骑自行车的时间减去乘汽车的时间等于小时， 可列方程为． 4．【智能生活】用，两种智能机器人搬运大米，型机器人比型机器人每小时多搬运袋大米． (1)设型机器人每小时搬运袋大米，则型机器人每小时搬运___________大米，型机器人搬运袋大米所用的时间是___________小时；（用含的代数式表示） (2)现有两个条件：①型机器人搬运袋大米与型机器人搬运袋大米所用时间相等；②型机器人搬运袋大米所用的时间是型机器人搬运相同数量大米所用时间的，从两个条件中选一个，求，型机器人每小时分别搬运多少袋大米． 【答案】(1)， (2)型机器人每小时搬运袋大米，型机器人每小时搬运袋大米 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； （1）根据型机器人比型机器人每小时多搬运袋大米及工作时间等于工作总量除以工作效率即可得出结论； （2）根据所选条件列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：型机器人每小时搬运：袋大米； 所用时间为：小时； 故答案为：袋；； （2）解：选①， 由题意得： 解得：； 答：型机器人每小时搬运袋大米，型机器人每小时搬运袋大米． 【题型6分式方程的行程问题】 1．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】C 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 2．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 3．今年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为21km，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，则松延动力机器人的平均速度__________． 【答案】6 【分析】设松延动力机器人的平均速度为，可得北京天工机器人的平均速度为，根据二者用时差为建立方程求解即可． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是， 则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 4．小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 【题型7分式方程的经济问题】 1．某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，找到等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同， ． 2．小明和同学们计划购进两种水果送给社区养老院，其中种水果的售价比种水果的售价高4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求种水果的售价？若设种水果的售价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，核心是根据两种水果购买数量的倍数关系列方程． 【详解】解：∵设A种水果的售价为元，且B种水果的售价比A种水果高4元， ∴B种水果的售价为元． ∵数量=总价÷单价， ∴用240元购进A种水果的数量为，用160元购进B种水果的数量为． 又∵用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍， ∴可列方程为． 故选：C． 3．奉节脐橙是重庆的特色时令水果．脐橙一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批脐橙，前两天以高于进价的价格共卖出，第三天她发现市场上脐橙数量陡增，而自己的脐橙卖相已不大好，于是果断地将剩余脐橙以低于进价的价格全部售出，前后一共获利750元，则小李所进脐橙的数量是 _____千克． 【答案】200 【分析】设小李所进脐橙的数量为，根据前后一共获利750元列分式方程，求解后检验即可得到结果. 【详解】解：设小李所进脐橙的数量为，根据题意得： ， 去分母得， 整理计算得， ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合实际意义.， 所以，小李所进脐橙的数量是． 4．飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 (2)该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 【题型8分式方程和差倍分问题】 1．某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据设出的未知数表示出星际穿越票的单价，再分别求出两种票可购买的数量，最后根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设火星漫步票的单价为元，则星际穿越票单价为元， ∵总费用为元， ∴可购买火星漫步票数量为张，可购买星际穿越票数量为张， ∵购买的星际穿越票比火星漫步票少张， ∴． 2．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程在实际生活中的应用．审清题意、找出等量关系是解题的关键． 设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下．再根据相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次列出分式方程即可解答． 【详解】解：设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下． 由题意可得： ． 故选：A． 3．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是__________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 如果设第一次有人捐款，那么第二次有人捐款，根据两次人均捐款额相等，可得等量关系为：第一次人均捐款额第二次人均捐款额，据此列出方程即可． 【详解】 解：设第一次有人捐款，那么第二次有人捐款，由题意，有 . 故答案为：． 4．2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会于5月22日在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输带来了巨大便利．已知A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运 所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运，B型机器人每小时搬运 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运，则A型机器人每小时搬运，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运，则A型机器人每小时搬运， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人每小时搬运，B型机器人每小时搬运． 【题型9分式方程的工程问题】 1．已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产8个，结果延期6天完成 B．每天比原计划多生产8个，结果提前6天完成 C．每天比原计划少生产8个，结果延期6天完成 D．每天比原计划少生产8个，结果提前6天完成 【答案】B 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得题目缺失的条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 2．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天植树棵，可得实际每天植树棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵， 原计划完成任务的时间为天，实际完成任务的时间为天， 根据结果提前天完成任务，可得：． 3．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 【答案】400 【分析】设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹，根据时间差关系列分式方程求解，最后检验方程的解即可. 【详解】解：设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹． 根据题意，得 去分母，得 合并同类项，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 4．某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 【答案】原计划完成这项工程需用28个月 【分析】设原计划完成这项工程需用x个月，列分式方程解答． 【详解】解：设原计划完成这项工程需用x个月， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划完成这项工程需用28个月． 【题型10分式方程的其他实际问题】 1．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题根据密度公式，结合已知的密度比和体积差，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设物体A的体积为， ∵物体B的体积比物体A大， ∴物体B的体积为， 根据密度公式，得，， 已知，，， 因此， 化简得， ， ， 解得， ∴物体A的体积为，答案选B． 2．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 3．医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． 设需要加水，根据稀释前后酒精质量不变，列出方程求解． 【详解】初始酒精质量为 ． 加水后总质量为 ，酒精质量不变，浓度为 ，即 解方程得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 故需要加水． 故答案为：． 4．学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？ 【答案】 甲的单价为元． 【分析】设甲的单价为元，则乙的单价为元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设甲的单价为元，则乙的单价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是的解， ∴甲的单价为元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $