命题与证明专项练习2026年中考数学考前冲刺

命题与证明专项练习-2026年中考数学考前冲刺 1．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等． 2．下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 3．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 4．如图，P为内部的一点，，，垂足分别为M，N．写出命题“若，则”的逆命题，并证明该逆命题． 5．北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 6．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，． 命题1：若四边形是菱形，则四边形是矩形； 命题2：若四边形是矩形，则四边形是菱形．任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 7．判断下列命题是真命题还是假命题，若为真命题，请写出已知，求证，再进行证明；若为假命题，请直接画出反例． (1)一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； (2)若一个三角形一边上的中线与该边所对角的角平分线重合，则该三角形为等腰三角形． 8．如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 9．证明命题：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据命题，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 10．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 11．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 12．如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． (1)将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； (2)你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 13．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” (1)写出这个命题的题设和结论； (2)画出符合这个命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)如果内错角相等，那么两直线平行 (2)如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 (3)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (4)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键， 先确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法，即可求解（1），（2），（3），（4）． 【详解】（1）解：∵命题：内错角相等，两直线平行， ∴题设是内错角相等，结论是两直线平行， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果内错角相等，那么两直线平行； （2）解：∵命题：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， ∴题设是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，结论是两个三角形全等， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 （3）解：∵命题：直角三角形两个锐角互余， ∴题设是直角三角形，结论是两个锐角互余， 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； （4）解：∵命题：同角的余角相等 ∴题设：两个角是同一个角的余角，结论是两个角相等， 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 2．(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 3．(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 4．逆命题为：若，则；证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，逆命题． 先写出逆命题，证明，即可． 【详解】解：逆命题为：若，则． 证明：，， ． 在和中， ， ． ∴． 5．(1)反证法 (2)逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，该命题是真命题 (3)证明见详解 【分析】（1）根据反证法的定义即可判断； （2）根据逆命题的定义，找准结论和条件即可写出逆命题，并判断； （3）根据反证法，假设一个三角形中有两个直角，再利用三角形内角和证伪即可． 【详解】（1）解：由题目中的证明过程可知，该方法为反证法； （2）解：逆命题需将结论和条件互换，故逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 根据“等角对等边”定理可知，此为真命题； （3）证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设在中，，， ∵三角形内角和为， ， ∵在一个三角形中 ， ∴， 这与三角形内角和等于矛盾， ∴假设不成立， ∴一个三角形中不能有两个直角． 6．见解析 【分析】命题1：先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，即对角线互相垂直可得，由此证明即可； 命题2：先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，即对角线互相平分且相等可得，由此证明即可． 【详解】解：命题1：真命题，证明如下： 证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴四边形是矩形； 命题2：真命题，证明如下： 证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 7．(1)假命题，反例见解析 (2)真命题，证明见解析 【分析】本题考查判断命题的真假，举反例，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定． （1）它是假命题，可举等腰梯形为反例； （2）它是真命题，写出已知和求证，通过倍长中线，根据全等三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】（1）解：该命题为假命题，反例如下： 如图， ，，四边形是等腰梯形，不是平行四边形． （2）解：该命题为真命题，证明如下： 如图，在中，平分，交于点D，点D是的中点． 求证：是等腰三角形． 证明：∵延长至点E，使得， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 8．(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．见解析 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，命题证明类问题；难点是写出已知和求证．先确定命题的题设和结论，据此画图用数学符号语言表示，再利用角平分线的性质及三角形全等进行证明． 【详解】解：已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：． 证明：∵，，是的角平分线． ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题，反例见解析． (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题，反例见解析． 【分析】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【详解】（1）该命题为真命题． （2）该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    （3）该命题为真命题． （4）该命题为假命题． 反例：当时，． 11．(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 12．(1)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直 (2)能，见解析 【分析】（1）根据题意一般的命题形式叙述出来； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，证明或，即可得出结论． 【详解】（1）解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． （2）平行线中“三线八角”的平分线互相垂直，理由如下， 如图，过点作 ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ ∴平行线中“三线八角”的平分线互相垂直或平行 13．(1)题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行 (2)见解析 (3)见解析 (4)这个命题是真命题，理由见解析 【分析】本题主要考查了命题、几何语言、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）直接确定题设和结论即可； （2）直接根据题意画图即可； （3）将该命题写出几何语言即可； （4）由两直线平行、内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，即，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行． （2）解：如图即为所求． （3）解：已知分别平分和，则． （4）解：这个命题是真命题．理由如下： ， ， 又分别平分和， ， ， ， ∴这个命题是真命题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $