江苏扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高一数学周练10

**基本信息** 高一数学周练涵盖立体几何、复数、解三角形等模块，以赵爽弦图类比、球体高度测量等情境融合文化传承与实际应用，通过基础题与综合题梯度设计，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直观图面积、正棱锥性质、复数模、解三角形多解性|基础题为主，如直观图面积计算考查空间观念| |多选题|3/18|复数概念、三棱柱共面与空间分割、解三角形外接圆|注重知识辨析，如三棱柱空间分割考查推理能力| |填空题|3/15|复数运算、直三棱柱最值、赵爽弦图类比|融入文化情境，赵爽弦图类比题体现创新意识| |解答题|5/77|复数纯虚数与实部范围、三棱锥异面直线证明、向量运算、解三角形面积与不等式恒成立|综合性强，如三棱锥异面直线证明考查逻辑推理，解三角形不等式恒成立考查数学思维|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练10 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 则原图形的面积 （ ） A． B．1 C． D． 2．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ） A．六棱锥 B．五棱锥 C．四棱锥 D． 三棱锥 3．设为虚数单位，复数z满足，则为 （ ） A. B. 5 C. 2 D. 4．在△ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知， A=30°， 若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围是 （ ） A. （0，4） B. （2，4） D. （2，+∞） 5. 已知向量，满足，，则在方向上投影向量为 （ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则 （ ） A. B. C. D. 7．某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为（ ）米． A. B. C. D. 8．如图，中，点满足交于点，延长于点，则 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知为虚数单位，则下列说法正确的有 （ ） A．若复数 B．若为虚数，则也为虚数 C．若复数，则实数 D．若复数 满足，则 10．如图，在三棱柱分别为的中点，则下列说法正确的有 （ ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D． 在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 11．在△ABC中，，，，D为边BC上一动点，则 （ ） A.当D为BC中点时， B.△ABC的外接圆半径为 C. D.当AD为角A的角平分线时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知复数，若，则_____． 14．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直）中， 为线段上的一 动点，则当最小时，的面积为 . 14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为__ ___ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求复数； （2）若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 16．已知三棱锥满足. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 17．已知向量，，. （1）求的值； （2）若，，且，求的值. . 18．在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且. （1）当时，求的值； （2）当时，与交于点，求的值； （3）求的最小值. 19．已知函数 （1） 若为锐角，求的值； （2） 在中，若D是BC的中点，且求的面积； （3）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练10 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 则原图形的面积 （ A ） A． B．1 C． D． 2．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ A ） A．六棱锥 B．五棱锥 C．四棱锥 D． 三棱锥 3．设为虚数单位，复数z满足，则为 （ D ） A. B. 5 C. 2 D. 4．在△ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知， A=30°， 若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围是 （ B ） A. （0，4） B. （2，4） D. （2，+∞） 5. 已知向量，满足，，则在方向上投影向量为 （ C ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则 （ C ） A. B. C. D. 7．某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为（ B ）米． A. B. C. D. 【详解】如图，设球心为，连接，则 设球的半径为，则， ， ， ，则该球体建筑物的高度为米．故选：B． 8．如图，中，点满足交于点，延长于点，则 （ D ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知为虚数单位，则下列说法正确的有 （ ABD ） A．若复数 B．若为虚数，则也为虚数 C．若复数，则实数 D．若复数 满足，则 10．如图，在三棱柱分别为的中点，则下列说法正确的有 （ ABC ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D． 在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 11．在△ABC中，，，，D为边BC上一动点，则 （ BCD ） A.当D为BC中点时， B.△ABC的外接圆半径为 C. D.当AD为角A的角平分线时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知复数，若，则_____． 14．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直）中， 为线段上的一 动点，则当最小时，的面积为 . 14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为__4___ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求复数； （2）若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 15．解：（1）已知，则． 根据复数乘法法则展开可得：  ， 因为为纯虚数，根据纯虚数的定义，可得． 解得．所以． （2）设（，且）． 则． 可得：． 所以． 因为为实数，所以虚部为，即． 因为，可得，即． 此时． 又因为，即，可得． 16．已知三棱锥满足. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 16．解：（1）因为直线平面，点平面，点，点平面， 所以直线与直线是异面直线； （2）如图：取的中点，连接，，， 所以，，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，，， 所以有， 由余弦定， 因为异面直线所成角范围为 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17．已知向量，，. （1）求的值； （2）若，，且，求的值. 17．解：（1）因为， 所以 . 因为，所以， 所以. （2）因为，，所以. 因为，， 所以，， 所以， ， 所以. 18．在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且. （1）当时，求的值； （2）当时，与交于点，求的值； （3）求的最小值. 18．解：（1）由已知当时，， 所以，， 所以， 因为，所以， . （2）当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. （3）因为，， 所以 ， 由（1），又， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 19．已知函数 （1） 若为锐角，求的值； （2） 在中，若D是BC的中点，且求的面积； （3）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围. 19．解：（1）因为， 即． 所以． 因为为锐角，所以，所以． 所以 ． （2）在中，， 因为，所以， 所以，即． 因为是的中线，所以， 所以． 因为，所以．① 又因为， 所以．② ①－②，得，即． 而， 所以， 所以的面积． （3）不等式即为 ． 因为，所以，所以， 所以不等式等价于． 令，则，所以不等式等价于． 因为，， 当且仅当，即或时，取“”， 所以． 6 学科网（北京）股份有限公司 $