5.2分式的运算 共3课时 教学设计 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程 2 分式的运算 第3课时   一、教学目标 1.掌握分式的混合运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算. 2.会用分式的混合运算解决简单的实际问题. 3.经历类比分数的混合运算，得出分式的混合运算法则的过程，体会类比的思想方法，学会知识的迁移. 4.通过渗透类比转化的思想，意识到数学中知识之间的紧密联系，体会数学的一致性，培养学生对学习数学的兴趣.   二、教学重难点 重点：掌握分式的混合运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算. 难点：会用分式的混合运算解决简单的实际问题.   三、教学过程 · 复习回顾 问题1：同分母分式是如何相加减的？ 预设答案：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：. 问题2：异分母的分式如何加减？ 预设答案：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 公式表示为： 设计意图：通过复习分式的加减法法则，一方面巩固已学知识，另一方面为新课学习做准备. · 探究新知 活动一：分式的混合运算 思考：计算： 解：原式= . 追问：分数混合运算的顺序是怎样的呢？ 预设答案：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的. 思考：尝试计算： 解：原式 . 提问：说一说，你是怎么运算的？ 预设答案：先算的乘方、再算的乘除. 解：原式 . 提问：说一说，你是怎么运算的？ 预设答案：先通分变成同分母分式，再按照从左到右的顺序进行加减运算. 解：原式= . 提问：说一说，你是怎么运算的？ 预设答案：先算的括号里的加减，所得的结果再与括号外的进行乘除运算，按照从左到右的顺序进行. 设计意图：类比分数的混合运算，尝试进行分式的混合运算，体会类比的思想方法，学会知识的迁移. 总结：分式的混合运算： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②同级运算，按照从左到右的顺序进行； ③如有括号，先做括号里的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行. 设计意图：让学生经历观察、类比、归纳、概括的过程，得出分式的混合运算的顺序. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1 计算： . 分析：(1)先通分，变成同分母分式进行加减运算. (2)先算乘法，再算加法. 解：(1) . (2) . 设计意图：通过例题的解答，引导学生解决各种类型的分式混合运算. 例2 已知，求的值. 分析：由已知得x=2y，对分式进行化简，再将x=2y代入求值. 解： 因为，即，所以，原式=. 设计意图：引导学生此类题型，简便方法应该先化简再进行求值. 尝试·思考：根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m的盲道.由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？ 分析：工作时间=工作总量÷工作效率 解：由原计划每天修建盲道x m，则实际每天修建盲道(x+10) m. 所以原计划修建这条盲道需要天， 实际修建这条盲道用了天. (天). 答：实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了天. 设计意图：运用分式的混合运算解决实际问题，让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理地思考及代数表达能力. 回顾·反思：回顾分式运算的学习过程，你对代数式的运算有哪些感悟？ 提示：可以从运算基础、运算规则、转化思想、符号处理、化简意识等方面进行思考和总结. 预设答案：例如：分式与分数的运算法则和顺序是一致的.分式是分数的抽象与扩展，当分式中的字母表示具体数值时，分式就化为分数，当字母代表变量时，分式便具有普遍适用性.这种从特殊到一般的转化，使得数学的运算与表达获得了质的提升. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.计算： (1)；(2). 解：(1). (2). 2.先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)已知x=3y，求的值. 解：(1). 当时，原式=. (2) . 当x=3y时，原式= 【自选练习】 3.计算：的结果是________. 解：原式=. 4.先化简再求值: 设求 的值. 解：原式 . 把代入，得,原式 5.某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水a t，b t.若单独开放A进水管，p h可将该水池注满.如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？ 解：两个水管同时注满水的时间为t h,则有.解得， 提前注满水的时间为： . 答：A，B两根水管同时开放，那么能提前将该蓄水池注满. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程 2 分式的运算 第2课时   一、教学目标 1.理解异分母分式的加减法的法则，会进行异分母分式的加减法运算. 2.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 3.经历探索分式加减运算法则的过程，进一步培养代数化归意识，发展合情推理能力. 4.体会数学与实际生活的密切联系，培养学生热爱生活的情操.   二、教学重难点 重点：理解异分母分式的加减法的法则，会进行异分母分式的加减法运算. 难点：会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.   三、教学过程 · 复习回顾 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 问题：同分母分式是如何相加减的？ 如： 预设答案：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：. 追问：异分母的分式如何加减？ 设计意图：通过复习同分母分式的加减法法则，提出新的问题引发思考，为新课学习做准备. · 探究新知 活动一：异分母分式相加减 观察·交流：在计算时，小颖和小亮的做法如下. 追问：他们的做法有何相同和不同之处呢？ 预设答案：相同点：根据分式的基本性质将异分母分式变成同分母分式. 不同点：公分母不一样，一个是“4a²”，另一个是“4a”. 设计意图：通过思考如何计算,引导学生尝试不同的方法，产生思想的火花，再经过交流讨论，得出不同的方法相同和不同之处，引导学生如何通分和找分式的最简公分母. 总结：通分和最简公分母： 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分. 为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母. 设计意图：类比分数的通分，得出分式的通分概念. 思考：如何取最简公分母呢？ 预设答案：举例说明分数如何找最简公分母，所有分母必须是公分母的其中一个因数. 类比分数取最简公分母，说明分式如何取最简公分母. ①先找各个分母系数的最小公倍数； ②再找相同字母或因式，相同字母或因式取次数最高的； ③单独出现的字母或因式直接加上. 追问：如何确定最简公分母呢？ 预设答案：第一种情况：各分式分母为单项式 (1)定系数：分母各系数的最小公倍数； (2)定字母：凡各分母中出现的不同字母都要取到； (3)定指数：相同字母取指数最高的. 预设答案：第二种情况：各分母为多项式 (1)定系数：分式分母各系数的最小公倍数； (2)定因式：凡各分母中出现的不同因式都要取到； (3)定指数：相同因式取指数最高的. 设计意图：通过类比，归纳，得出分式找最简公分母的方法和步骤. 思考：还记得异分母分数是如何加减吗？ 预设答案：异分母的分数相加减，先通分，化为同分母的分数，然后再按同分母分数的加减法法则进行计算. 总结：与异分母的分数加减法法则类似，异分母的分式加减法法则是： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 上述法则可用式子表示为： 设计意图：让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，得出异分母分式加减法法则. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1 计算： (1)；(2)；(3). 分析：(1)将第一个分式的分子、分母同乘5，即可化为同分母分式的加减. (2)对分母是多项式的分式通分，分母中出现的不同因式都要出现在最简公分母中. (3)先对分母因式分解，再通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则计算. 解：(1)； (2)； (3). 总结：异分母分式的加减法的步骤： (1)正确地找出各分式的最简公分母. (2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式. (3)通分后进行同分母分式的加减运算. (4)将得到的结果化成最简分式或整式. 例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2vkm/h.小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h.那么： (1)小刚从家到学校需要多长时间? (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少?少用多长时间? 分析：(1)根据时间=路程÷速度，分别求上坡路和下坡路的时间，从而得到从家到学校的时间. (2)先求出小丽所花的时间，再与小刚所花的时间进行比较. 解：(1)小刚从家到学校需要： (2)小刚从家到学校需要 ，小丽从家到学校需要 . 因为，所以小丽在路上花费的时间少. 小丽比小刚在路上花费时间少： 设计意图：运用分式的加减运算解决这一实际问题，既体现了加减运算的意义，又让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理的思考及代数表达能力. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.将下列各分式通分： 解：(1)最简公分母：3ax2，、； (2)最简公分母：2a-b，，； (3)最简公分母：(a+3)2(a-3)，，； (4)最简公分母：2(x+2)(x-2)，，. 2.计算： (1)；(2). 解：(1)； (2). 【自选练习】 3.计算： 解：原式=. 4.先化简，再求值： 解：原式 . ：. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程 2 分式的运算 第1课时   一、教学目标 1.理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算. 2.会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算. 3.经历探索分式加减运算法则的过程，进一步培养代数化归意识，发展合情推理能力. 4.体会数学与实际生活的密切联系，培养学生热爱生活的情操.   二、教学重难点 重点：理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算. 难点：会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算.   三、教学过程 · 情境导入 星期天，小明从家骑车到距家3km处的新华书店，然后以同样的速度骑车到距新华书店2km处的姥姥家.设小明骑车的速度是v km/h，那么 (1)小明从家到新华书店用了多长时间？ (2)小明从新华书店到姥姥家用了多长时间？ (3)小明从家到姥姥家在路上骑车一共用了多长时间？ 预设答案：(1)h；(2)h；(3). 追问：你会计算吗？ 设计意图：通过列出分式，提出新的问题引发思考，为新课的学习做准备. · 探究新知 活动一：同分母分式相加减 尝试·交流：(1)两个同分母的分数如何相加减？请举例说明. 例如：计算下列式子： (1)=_______；(2)=______； (3)=______；(4)=______. 预设答案：(1)1；(2)；(3)；(4)2. 追问：同分母的分数如何加减？ 预设答案：同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. (2)你认为两个同分母的分式如何相加减？与同伴进行交流. 教师追问：试着总结出同分母分式相加减的运算法则. 设计意图：通过对分数的加减运算，引导学生说出同分母分数的加减法法则.类比同分母的分数加减法，尝试对同分母的分式进行加减，让学生初步感受分式加减法的运算方法. 总结：同分母分式相加减的运算法则： 与同分母的分数加减法法则类似，同分母的分式加减法法则是： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：. 例如： ；. 设计意图：让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，得出同分母的分式加减法法则. 活动二：分母互为相反数的分式相加减 思考：下列等式是否成立？为什么？ 预设答案：成立，分式的符号法则. 练一练：把分母化成相反数的形式： (1)；(2)；(3). 预设答案：(1)；(2)；(3). 设计意图：引导学生思考，遇到分母相反形式的加减法，该如何处理，明确符号法则的用处. 总结：分母互为相反数分式加减法运算： 分式的分母互为相反数时，同时改变分式及分母的符号，化为同分母分式．再根据同分母分式相加减的法则进行运算.. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1.计算： (1)；(2). 解：(1)；(2))． 注意：分子相减后先因式分解，再约分！结果要化成最简形式哦. 注意：在进行同分母的分式加减法时要注意： (1)在进行运算时，若分子是多项式，分子要加括号，再运算； (2)运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简分式或整式，即要化简； (3)在化简前，先因式分解，再约分． 例2.计算： (1)；(2)． 分析：(1)式和(2)式分母均互为相反数，先把分母化为同分母，再利用同分母的分式加减法法则计算即可. 解：(1). (2)． 设计意图：通过例题的解答，引导学生解决各种类型的分式加减法. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.下列运算正确吗？如果不正确，请改正. (1)；(2)；(3)；(4). 解：(1)不正确，; (2)不正确，； (3)不正确，； (4)正确. 【自选练习】 2.计算的结果是( ) A. 2 B.2a+2 C. 1 D. 答案：A 3.化简的结果是( ) A. B.1 C. 1 D. 答案：C 【教材练习】 4.计算： (1)；(2)；(3). 解：(1)； (2)； (3). 【自选练习】 5.计算： (1)；(2). 解：(1)原式=； (2) 6.先化简，再求值：，其中. 解：原式=. 把代入得： 原式=. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $