5.2分式的运算 第1课时教学设计 2025-2026学年 北师大版八年级数学下册

第五章 分式的运算 2 分式的运算 第1课时   一、教学目标 1.类比分数乘除法的运算法则，探索分式乘除法的运算法则． 2.理解分式乘方的运算法则． 3.在分式乘除运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力． 4.通过乘方以及分式乘、除、乘方混合的运算，使学生感受到数学的严谨，从而体会学习数学的价值．   二、教学重难点 重点：分式乘除法的运算法则，分式乘方的运算法则． 难点：乘方以及分式乘、除、乘方混合的运算．   三、教学过程 · 复习回顾 教师活动：引领学生们思考问题1，问题2，并给出答案，且让学生感知掌握分式的乘除运算的必要性，最后引导学生思考分式的乘除如何计算呢？ 问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容器的时，水面的高度为多少？ 答：长方体容器的高为，水面的高度为. 问题2：大拖拉机 m 天耕地 a hm2，小拖拉机 n 天耕地 b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？ 答：大拖拉机的工作效率是 hm2/天； 小拖拉机的工作效率是 hm2/天； 大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍. 设计意图：通过联系实际引出分式乘除，使学生感受到学习分式乘除的必要性，感受到数学与实际生活有密不可分的联系. · 探究新知 活动一：分式的乘除法 【思考】 教师活动：复习分数的乘除法，整理运算法则，从而类比到分式的乘除法，归纳出分式乘除法的运算法则. 思考：(1)两个分数如何相乘、如何相除？请举例说明. 答案预设：，， ，. 分数的乘法法则： 分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 分数的除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数. 思考：(2)你认为两个分式应该如何相乘、如何相除？与同伴进行交流. ，. 答案预设： 【归纳】 教师活动：整理结论，带领学生朗读结论. 分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 字母表示：. 分式的除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 字母表示：. 设计意图：总结分式的乘除运算法则，使学生明确本节课重点内容. 【合作】 教师活动：带领学生分析例子，给出运算方法和注意点，通过逐步运算，并根据法则强调每一步，强调重点，提醒易错点的方式进行演示，给学生空间参与进演示过程中. 合作演示1： 分式乘以分式（分子分母为单项式）： 若分子与分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，将结果化为最简分式或整式. 合作演示2： 分式和分式相乘（分子分母含多项式）： 若分子(分母)是多项式，则先将分子(分母)分解因式，再相乘，且其结果要化简为最简分式或整式. 合作演示3： 分式和整式相乘： 只需要把整式（看作分母为1的式子）与分式的分子相乘，用其结果作为积的分子，分母不变；当整式是多项式时，同样要先分解因式. 【归纳】 分式乘以分式(整式) 分式与分式相乘： ①若分子与分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，将结果化为最简分式或整式； ②若分子、分母是多项式，则先将分子、分母分解因式，再相乘，且其结果要化简为最简分式或整式. 分式和整式相乘： 只需要把整式（看作分母为1的式子）与分式的分子相乘，用其结果作为积的分子，分母不变；当整式是多项式时，同样要先分解因式. 合作演示4： 分式的除法运算 转化为分式的乘法运算，然后按分式的乘法法则运算. 合作演示5： 分式的除法运算（分式和整式相除） 若除式（或被除式）是整式，可把它看作分母是1的“分式”，然后按分式的除法法则运算. 设计意图：通过不同情况的逐步演示，强化学生对运算法则的理解和运用，同时给与学生不同情况的运算过程展示，使学生能更灵活且准确的运用法则进行运算. 活动二：分式的乘方 思考：与有什么关系？与同伴交流． 教师活动：衔接分数乘方的回顾，引导学生根据分式的乘法运算写出运算过程，并设出疑问：多个相同分式的乘法，是否可以简写呢？ 板书一： 答案预设： n个 板书二： 答案预设： . . . . 【归纳】 分式的乘方法则： 一般地，当n是正整数时，，即. 分式乘方要把分子、分母分别乘方. 注意：a，b分别表示分母与分子，它们可以是单项式，也可以是多项式. 【合作】 教师活动：带领学生根据分式乘方的运算法则进行运算，以学生说为主，教师辅助且提醒易错点等. 合作演示1： . 提醒：分式乘方时，一定要将分式加上括号，并且要将分子、分母分别乘方(单字母或数字除外). 合作演示2： . 提醒： ①分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方. ②正分式的任何次幂都为正，负分式的偶次幂为正，奇次幂为负. 【归纳】 分式的乘方 （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同：正分式的任何次幂都为正，负分式的偶次幂为正，奇次幂为负； （2）分式乘方时，一定要将分式加上括号，并且要将分子、分母分别乘方； （3）分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方. 【回顾】 教师活动：回顾数的乘除、乘方混合运算顺序，过渡到式的乘除、乘方混合运算顺序. 数的乘除、乘方混合运算顺序 按照从左到右的顺序进行计算； 先乘方，再乘除； 有括号的先算括号里面的. 总结：分式的乘除、乘方混合运算顺序 ①先乘方，再乘除； ②有括号的先算括号里面的； ③化成最简形式. 设计意图：通过回顾有理数乘除、乘方混合运算的顺序，直接类比到分式乘除、乘方混合运算的顺序.使学生感受到数学的一般性与特殊性. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1 计算： (1) ； (2) . 解：(1)； (2). 注意：进行分式的乘除法运算时，运算结果应是最简分式或整式. 例2 计算： (1) ； (2) . 解：(1)； (2) . 注意：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除.乘除混合运算可以统一为乘法运算. 设计意图：通过例题，梳理分式乘除混合运算的解题步骤，使学生感受运算的规律性. 总结：分式乘除混合运算的一般步骤： (1)先把除法统一成乘法运算； (2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3)确定分式的符号，然后约分； (4)结果应是最简分式. 设计意图：总结概括分式乘除运算的步骤，培养学生的总结概括能力和语言表达能力. 合作·探究 购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球体，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，已知球的体积公式为V=πR3(其中R为球的半径)，请回答下列问题： (1)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？ (2)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴进行交流. 解：(1)设西瓜的半径为R，则有：V西瓜=πR3，V西瓜瓤=π(R–d)3； 西瓜瓤与整个西瓜的体积的比： = (1– ) 3； (2)由(1)的结果有：越小→ (1– )越大→(1– ) 3越大.买大西瓜合算. 设计意图：学以致用，通过实际问题的解决，让学生体会数学在实际生活中的应用，提高他们学习数学知识的积极性. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.计算： (1)； (2)； (3)； (4). 答案：(1)； (2)； (3)； (4). 【自选练习】 2.计算： (1)； (2)； (3) . 答案：(1)； (2)； (3). 3.计算： (1)； (2)； (3). 答案：(1)； (2)； (3). 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $