精品解析：河南省南阳市镇平县2025-2026学年第二学期九年级调研测试数学试卷

河南省南阳市镇平县2025-2026学年第二学期九年级调研测试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 点在数轴上的位置如图，则比点表示的数大的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 数学活动课上，小丽绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. ，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，据第三方数据平台统计：截至年月日，的累计下载量约为亿次．年月，的月活用户为亿．将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，若，则MN的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 6. 如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．某校举行数学文化节，要求每班从如图所示的《海岛算经》《孙子算经》《九章算术》《周髀算经》这四本著作中随机抽取一本研究学习，则九（一）班和九（二）班抽取的是同一本著作的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（ ） A. B. 8 C. D. 9 10. 如图（1）是拳击训练中为测量击打力大小而设计的电路，电源电压恒为为的定值电阻，电流表量程为．压敏电阻的阻值与击打力的函数关系图象为折线，如图（2）所示．已知电路中电流与压敏电阻的关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当击打力（不超过4000N）由小变大时，压敏电阻的阻值逐渐变小 B. 当击打力（不超过4000N）由小变大时，电流表的示数逐渐变大 C. 当电流表示数为0.3A时，击打力为4000N D. 当击打力为2000N时，电流表示数为0.15A 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个绝对值小于3的负数：________________． 12. 图中的两组数据，分别是某地区2025年12月25日至29日每天的最高气温和最低气温，设这两组数据的方差分别为，则_____________（填“>”“＝”“＜”）． 13. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 14. 如图，在正方形中，，点是对角线的中点，以点为圆心，的长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______________． 15. 定义：底角为的等腰三角形叫做“琥珀三角形”．如图，与相切于点，交于点，点为线段上一点，若为“琥珀三角形”，则的长为______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简：． 17. “直播+电商”作为新兴销售模式，对于拓宽农产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用．某农民专业合作社计划帮助该村果农利用“直播电商”平台销售箱桃子，为检测质量是否达到合格，质检人员随机抽取部分装有桃子的果箱进行称重测量，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）抽取桃子的果箱数为___________，请补全条形统计图； （2）图①中的值为___________，抽取桃子质量的众数为___________，中位数为___________，平均数为___________； （3）请你估计这箱桃子中，质量大于的有多少箱？ 18. 如图，在梯形中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中的角平分线与边交于点，在边上截取线段，使，连接．求证：四边形为菱形． 19. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和点，与轴交于点和，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在双曲线上时，求平移的距离． 20. 踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌贵3元，20个A品牌毽子和30个B品牌毽子的售价之和为560元． （1）求这两种品牌毽子的单价各是多少？ （2）已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买B品牌毽子的数量不高于A品牌的2倍，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 21. 鄂城寺塔位于南阳市卧龙区石桥镇，始建于隋代，通高23米，是全国重点文物保护单位．这座千年古塔的雄伟身姿，是古人智慧和技艺的见证．某数学小组在综合实践活动中，分两组分别测量鄂城寺塔的高度，形成如下实践报告表： 测量过程平面图 第一组 第二组 于于，点，，，在同一条直线上． ①标杆； ②标杆底部到鄂城寺塔底部的距离； ③从点看点的仰角为． ①标杆； ②标杆的影长； ③鄂城寺塔的影长． （参考数据：） （1）选择其中一组数据计算鄂城寺塔的高度； （2）规定测量计算得到的结果误差不超过可评为优秀实践小组，请说明两个实践小组是否都能评为优秀． 22. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： （1）求的值和这个二次函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）将这个二次函数沿轴翻折，直接写出翻折后的抛物线的解析式，以及当时，的取值范围． 23. 综合与实践 两个完全一样的直角三角板和按图方式摆放(、、三点在同一条直线上)，． （1）观察发现 如图1，直线和的位置关系是，连接、，则、、之间的数量关系是_； （2）深入探究 将三角板绕点旋转，当点落在上时，如图．连接，则、、之间的数量关系是，求证：垂直平分； （3）拓展延伸 在三角板绕点旋转过程中，设直线和相交于点，当点落在直线上时，连接，若，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市镇平县2025-2026学年第二学期九年级调研测试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 点在数轴上的位置如图，则比点表示的数大的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A：，小于点表示的数，排除； B：，小于点表示的数，排除； C：，小于点表示的数，排除； D：，大于，因此大于点表示的数． 2. 数学活动课上，小丽绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从俯视图是圆环，推出几何体的上下是圆，主视图和左视图都是长方形，故这个立体图形是圆柱． 3. ，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，据第三方数据平台统计：截至年月日，的累计下载量约为亿次．年月，的月活用户为亿．将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将“亿”换算为对应的整数，再根据科学记数法的规则确定和的值即可． 【详解】解：亿， 亿． 4. 将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，若，则MN的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】第一次折叠：点落在边上，说明是上的点，且，此时是的中位线，， 第二次折叠：将点再向上折叠，得到，此时是的中位线。 因为，而是的中位线，所以：． 5. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合方程系数计算判别式的值，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程 ，二次项系数，一次项系数，常数项， ∴ ， ∵当时，一元二次方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 6. 如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化为同分母，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解： ． 8. 《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．某校举行数学文化节，要求每班从如图所示的《海岛算经》《孙子算经》《九章算术》《周髀算经》这四本著作中随机抽取一本研究学习，则九（一）班和九（二）班抽取的是同一本著作的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】九（一）班有4种选择，九（二）班也有4种选择， 根据乘法原理，总共有：种等可能的结果， 两班选择同一本著作，共有4种情况（都选《海岛算经》、都选《孙子算经》、都选《九章算术》、都选《周髀算经》）， 所以． 9. 如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质和垂线段最短可知，的最小值即为的最小值，当时，取得最小值，根据平行四边形的面积进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵于点于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 则的长不可能是． 10. 如图（1）是拳击训练中为测量击打力大小而设计的电路，电源电压恒为为的定值电阻，电流表量程为．压敏电阻的阻值与击打力的函数关系图象为折线，如图（2）所示．已知电路中电流与压敏电阻的关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当击打力（不超过4000N）由小变大时，压敏电阻的阻值逐渐变小 B. 当击打力（不超过4000N）由小变大时，电流表的示数逐渐变大 C. 当电流表示数为0.3A时，击打力为4000N D. 当击打力为2000N时，电流表示数为0.15A 【答案】C 【解析】 【详解】A.由题图（2）可知，当击打力（不超过）由小变大时，压敏电阻的阻值逐渐变小； B.由可知，当击打力（不超过）由小变大时，压敏电阻的阻值由大变小，电路总电阻变小，从而电路中的电流变大，故电流表的示数逐渐变大； C.当时，，，结合题图（2）可知击打力不小于，但不一定为； D.由图（2）点，，可知关于的函数表达式为（），故当时，，． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个绝对值小于3的负数：________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：绝对值小于3的负数可以是． 12. 图中的两组数据，分别是某地区2025年12月25日至29日每天的最高气温和最低气温，设这两组数据的方差分别为，则_____________（填“>”“＝”“＜”）． 【答案】> 【解析】 【详解】解：甲（最高气温）：；乙（最低气温）：． 甲的平均值：， 乙的平均值：， 甲的方差：， 乙的方差：， 因为 ，所以 ． 13. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别找出系数的变化规律和的指数的变化规律，总结得到一般规律即可求解． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， ∴第个式子：． 14. 如图，在正方形中，，点是对角线的中点，以点为圆心，的长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作，，证明，则，求得扇形的面积，即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：连接，作，． 正方形中，，，点为的中点，， ， ∵， ∴四边形是正方形， ∴扇形的面积是：， ∵四边形是正方形 ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 则阴影部分的面积是：， 15. 定义：底角为的等腰三角形叫做“琥珀三角形”．如图，与相切于点，交于点，点为线段上一点，若为“琥珀三角形”，则的长为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用切线的性质结合已知条件求出的长度和的度数，再根据琥珀三角形的定义分情况讨论等腰三角形的构造，分别计算的长度即可． 【详解】解：因为与相切于点，所以，即， 设的半径为，由，得， 又， 所以， 在中，由勾股定理得：， 代入已知条件得：， 整理得， 解得， 所以，且，因此， 因为是底角为的等腰三角形，分两种情况讨论： 情况：和为底角，即， 由等角对等边得，， 过点作于点， 在中，， 由等腰三角形三线合一得， 情况：和为底角，即， 由等角对等边得，， 过点作于点， 由等腰三角形三线合一得， 在中，， 所以， 两种情况的点都在线段上，符合题意， 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. “直播+电商”作为新兴销售模式，对于拓宽农产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用．某农民专业合作社计划帮助该村果农利用“直播电商”平台销售箱桃子，为检测质量是否达到合格，质检人员随机抽取部分装有桃子的果箱进行称重测量，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）抽取桃子的果箱数为___________，请补全条形统计图； （2）图①中的值为___________，抽取桃子质量的众数为___________，中位数为___________，平均数为___________； （3）请你估计这箱桃子中，质量大于的有多少箱？ 【答案】（1），补全条形统计图如下： （2），，，； （3）箱 【解析】 【分析】（1）用的数量除以其百分比可得抽取桃子的果箱数，再求出的果箱数，即可补全统计图； （2）求出的百分比可得的值，根据众数、中位数的定义和平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：抽取桃子的果箱数为（箱）， 的有（箱）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：的百分比， ， 抽取桃子质量的众数为， 中位数为， 平均数为； 【小问3详解】 解：（箱）， 答：这箱桃子中，质量大于的有箱． 18. 如图，在梯形中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中的角平分线与边交于点，在边上截取线段，使，连接．求证：四边形为菱形． 【答案】（1） 解：如图所示． ； （2） 证明：， 由（1）知 ， ， ， 又 四边形为平行四边形 又 四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意作出的角平分线，即可求解； （2）根据角平分线的定义，平行线的性质证明，，进而得出四边形为平行四边形，结合即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和点，与轴交于点和，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在双曲线上时，求平移的距离． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出双曲线的表达式，再根据题意即可求出点的坐标； （2）先确定中点的纵坐标，代入反比例函数解析式求出，即可确定平移的距离． 【小问1详解】 解：根据题意，得，． ∴， ∵双曲线经过点， ∴， ∴双曲线的表达式为． ∵， 则， ∴； 【小问2详解】 解：∵． ∴中点的纵坐标为， 当时，， 解得：， ∴平移的距离是． 20. 踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌贵3元，20个A品牌毽子和30个B品牌毽子的售价之和为560元． （1）求这两种品牌毽子的单价各是多少？ （2）已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买B品牌毽子的数量不高于A品牌的2倍，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． （2）购买A品牌毽子100个，B品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 【解析】 【分析】（1）设未知数建立二元一次方程组，利用题目给出的价格差和总价条件求解，核心是用方程思想将文字条件转化为代数关系，从而算出两种毽子的单价． （2）根据数量限制求出变量的取值范围，再构造一次函数表示总费用，利用一次函数的单调性，在变量的可行范围内找到使费用最低的购买方案． 【小问1详解】 设A品牌毽子的单价为x元，B品牌毽子的单价为y元， 根据题意，得：，解得， 所以A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． 【小问2详解】 设购买A品牌毽子m个，总费用为w元， 根据题意得：，解得， ， ∵，w随m的增大而增大， ∴时，总费用最少， 此时，． 所以购买品牌毽子100个，品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 21. 鄂城寺塔位于南阳市卧龙区石桥镇，始建于隋代，通高23米，是全国重点文物保护单位．这座千年古塔的雄伟身姿，是古人智慧和技艺的见证．某数学小组在综合实践活动中，分两组分别测量鄂城寺塔的高度，形成如下实践报告表： 测量过程平面图 第一组 第二组 于于，点，，，在同一条直线上． ①标杆； ②标杆底部到鄂城寺塔底部的距离； ③从点看点的仰角为． ①标杆； ②标杆的影长； ③鄂城寺塔的影长． （参考数据：） （1）选择其中一组数据计算鄂城寺塔的高度； （2）规定测量计算得到的结果误差不超过可评为优秀实践小组，请说明两个实践小组是否都能评为优秀． 【答案】（1）鄂城寺塔的高度约米 （2） 解：， 根据规定测量计算得到的结果误差不超过可评为优秀实践小组 两个实践小组都能评为优秀． 【解析】 【分析】（1）选第一组的方法：作，垂足为，解，即可求解．第二组的方法：根据同一时刻，物高与影长对应成比例，得出，代入数据，即可求解； （2）根据两个实践小组的结果是否超过误差进行判断，即可求解． 【小问1详解】 解：选第一组的方法：作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ． （米） 答：鄂城寺塔的高度约米．； 第二组的方法：同一时刻，物高与影长对应成比例， ，即， 解得（米）． 【小问2详解】 略 22. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： （1）求的值和这个二次函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）将这个二次函数沿轴翻折，直接写出翻折后的抛物线的解析式，以及当时，的取值范围． 【答案】（1），这个二次函数的表达式为； （2） 解：如图： （3）．． 【解析】 【分析】（1）由表格中数据可知抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即，然后设出顶点式，将代入求出a的值即可； （2）根据表格中的数据描点、连线即可； （3）根据轴对称的性质，写出顶点关于轴的对称点，进而求得的解析式，根据函数图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：∵当和时，； ∴抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即， 设这个二次函数的表达式为：， 将代入得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的顶点为 关于轴的对称点为 ∴将这个二次函数沿轴翻折，翻折后的抛物线的解析式； 由函数图象得：当时，． ∴． 23. 综合与实践 两个完全一样的直角三角板和按图方式摆放(、、三点在同一条直线上)，． （1）观察发现 如图1，直线和的位置关系是，连接、，则、、之间的数量关系是_； （2）深入探究 将三角板绕点旋转，当点落在上时，如图．连接，则、、之间的数量关系是，求证：垂直平分； （3）拓展延伸 在三角板绕点旋转过程中，设直线和相交于点，当点落在直线上时，连接，若，直接写出线段的长度． 【答案】（1），； （2） 解： 证明：如图，连接 ，由旋转知 是等边三角形 又 ， 又 垂直平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）或． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，根据两个锐角互余的三角形是直角三角形，即可得出；根据题意得是等腰直角三角形，则，，进而根据线段的和差关系，即可求解； （2）先证明垂直平分，得出，勾股定理得出，根据，，即可求解． （3）分两种情况讨论，当在上时，当在的延长线上时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当在上时， 由（1）可得 ∵ ∴， 在中，，则 ∴ ∴ ∴ ∴； 当在的延长线上时，如图， 同理可得， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $