甘肃渭源县第一中学等学校2025-2026学年高三下学期数学最后一套卷

**基本信息** 该卷覆盖高中数学核心知识，通过莱洛三角形面积计算、概率统计实际情境分析等题，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、立体几何等|第7题莱洛三角形结合几何直观，体现数学眼光| |多选题|3/18|三角函数、数列、函数极值|第11题函数极值与切线分析，考查数学思维| |填空题|3/15|函数零点、排列组合|第12题函数零点问题，强化抽象能力| |解答题|5/77|解三角形、概率统计、导数等|第17题概率结合打球情境，第19题导数证明不等式，体现数学语言与创新意识|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C D A C D AC AD 题号 11 答案 ACD 12． 13．540 14．8 15．（1）由题设及正弦边角关系知，得， 整理得，故，又，所以； （2）由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为 . 而在上单调递减， 所以的周长的取值范围为. 16．（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即； 平面的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 17．（1）设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. （2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. （3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 18．（1）设，，则， 由，所以有， 则有，又，所以有， 所以点的轨迹的方程：； 【2】（ⅰ）当直线的斜率存在时， 设直线：，，， 联立，消去得， 则，， 由题意，，即， ， 代入化简得， 所以有 ， 若，则直线：，所以直线过定点； 若，则直线：，此时直线过点(不合题意，舍去). 当直线的斜率不存在时，，， 由有，得，（舍）， 综上，直线过定点， 由题意，，所以在以为直径的圆上， 故的轨迹为； （ⅱ）设直线的斜率为，当时，直线斜率为，直线斜率为， 由题意知，，所以， 设直线的斜率为，要使，与该圆相切， 则满足直线与的夹角等于直线与的夹角， 所以，因为为，夹角的角平分线，所以不可能垂直或，所以 和均不为，即等式分母均不为0. 化简为 ， 因为 ，所以同号，即不为0，即或， 当时，，有；当时，同理有. 当(即与轴平行)时，与重合，此时、垂直轴，若圆K与和相切，则，此时 ，即或，满足题意. 综上所述，或3 19．（1），所以切点 由得，， 所以切线方程为：，即： （2）的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， （3）变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 因为，则有，不妨设． 由（2）知，先证． 要证：． 令， 则， ∴在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，所以，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年甘肃省渭源一中最后一套卷学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，集合，则（    ） A．B．C． D． 2．已知：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 4．设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（   ） A． B．16 C． D．32 5．在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（   ） A． B． C． D． 8．圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分 ，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知在中，.设函数，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C． D．在区间上有且仅有3个零点 10．已知数列满足，，，是的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．的前项和小于1 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的极大值为 B．函数的极小值为 C．直线是函数图象的一条切线 D．若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分 12．已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 13．某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 14．在的展开式中，的系数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15（13分）．在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 16（15分）．如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17（15分）．小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 18（17分）．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件. (1)求点的轨迹的方程； (2)在点的轨迹上存在两点、，使得以为直径的圆恰与交于点，过点作直线的垂线，垂足为. （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在点左侧时，若是上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切.若存在，求；若不存在，说明理由. 19（17分）．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为两个不相等的正数，且，证明： 第1页共4页 第2页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $