一元三次函数的图象和性质教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

普通高中教科书数学选择性必修第二册（人教2019 A版） 《一元三次函数的图象和性质》 昆明市第十二中学 宁有吕 《一元三次函数的图象和性质》教学设计 学校 昆明市第十二中学 年级班级 高二（1）班 课题 《一元三次函数的图象和性质》 课型 新授课 授课教师 宁有吕 学 习 目 标 确 立 依 据 课程标准分析 课 标 要 求 内容要求：掌握用导数求函数单调性、极值、最值，并研究函数图像； 教学提示：强调导数工具，注重数形结合，渗透分类讨论的思想，实用信息技术； 学业要求：能操作、会联系、解决问题，形成核心素养. 课 标 解 读 内容要求： 课标虽未直接点名“三次函数”，但“某些简单函数”和“多项式函数”自然包含了三次函数。一元三次函数是落实上述“导数应用”内容要求的绝佳载体和典型范例。学生需要通过学习三次函数，掌握利用导数研究函数单调性、极值、最值以及描绘函数图象草图的一套完整方法。 教学提示中强调一下内容： 1. 强调导数工具的重要性：在导数应用的教学中，教师应引导学生经历用导数研究函数性质的过程，强调导数在研究函数性质中的一般性和有效性。通过具体实例，让学生感受导数在解决函数相关问题中的威力。 2. 注重数形结合：引导学生理解导数与函数图象之间的内在联系，发展“看式想图，看图想式”的能力。即能根据解析式预判图象特征，也能根据图象分析函数性质。 3. 渗透数学思想方法：在教学中，应注意渗透分类与整合、数形结合、化归与转化等数学思想方法。 4. 信息技术的使用：鼓励使用图形计算器、计算机软件等信息技术工具，直观演示参数变化对函数图象的影响，帮助学生理解抽象概念。 学业要求： 1、能利用导数求出简单函数的单调区间、极值、最大（小）值。 能利用导数描绘简单函数（如三次函数）的图象草图。 2. 建立知识联系：体会导数与函数单调性、极值、最值之间的联系；能够运用导数解决一些简单的实际问题（如面积、体积最大最小等优化问题），这其中三次函数是常见的模型。 3. 形成核心素养：逻辑推理：能通过严谨的代数运算和逻辑推理，完成从求导到分析性质的全过程；直观想象：能够基于对导数的分析，想象并画出函数图象的大致形态（关键点、增减趋势）。数学建模：在解决简单优化问题时，能识别并建立三次函数模型，并用导数求解。 教学内容 分析 本节课源于人教2019版选择性必修第二册第五章《一元函数导数及其应用》第99页的拓广探索与第100页的信息技术应用《图形技术与图形性质》，是在学生已经掌握了利用导数工具研究单调性、极值、与最值之后，通过信息技术辅助手段和导数工具对一元三次函数展开的探索和研究，是对这一章知识进行深入归纳和整合的课，非常适合培养学生数学探究的能力，达到对这一章知识的学以致用. 本节课通过观察、猜想、从特殊到一般等方法得到一元三次函数具有哪些性质，并通过信息技术生成三次函数的动态效果进行辅助观察，体现数形 结合的思想方法，辨析所猜想的性质是否正确，最后利用导数，进行严谨证明，抽象出一般性的结论，提升数学抽象的核心素养.是本章知识综合应用的体现.培养了学生的实践能力，探索精神，提高了学生的直观想象、逻辑思考、数学表达的核心素养，以及感受科技带给我们的新成果。因此，本节课的教学重点为：一元三次函数的性质.难点：对一元三次函数的对称性的探究以及对称性的证明。 学情分析 (一)已具备的认知基础 1.学生已经掌握了用导数工具判断函数的单调性、求函数的极值与最值的方法.在此基础上引导学生运用数形结合、类比的数学思想，并利用GeoGebra软件，在教师的引导下对一元三次函数的图象和性质进行探索与研究，体现了单元教学的整体性、一致性. 2.让学生自主发现对一元三次函数的研究方向，如：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值情况和零点情况. 3.导数的基本应用为研究一元三次函数的图象与性质提供了知识储备. （二）可能存在的认知困难 利用前面所学的知识，学生能够分析一元三次函数的单调性和极值情况包括零点情况，但是做到整合总结有些困难，需要教师给予指导.在处理对称性问题时，只能分析出在时的对称结果，对于一般形式下的对称性不方便作出分析，对一元三次函数的证明也存在困难，包括如果证明方法有思路，涉及到三次方程的运算量也特别大，对学生的思维能力和运算能力都有很高的要求. 难点：对一元三次函数的对称性的探究以及对称性的证明 学习目标 1.通过利用信息技术，能对一元三次函数的图象进行观察和分析，并作出猜想和发现，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养； 2.通过探究一元三次函数的性质，进一步明确利用导数研究函数的步骤，并掌握对二次函数分类讨论的思路； 3.能从整体认识一元三次函数，会利用性质解决简单的问题，体会数形结合、分类整合的思想方法，提升数学探究能力. 评估任务 ①课后探究题中具体图象的画法及GGB画法的展示及后面的课堂回答情况检验学习目标1。 ②问题1及追问的课堂回答情况检验学习目标2.学生能够在教师引导下发现研究函数的思路，并在分析过程中明确对二次函数分类讨论的思路； ③通过巩固练习1的回答情况来检验学习目标3.学生能够利用所得性质完整解决练习1说明初步达成教学目标，并渗透其中蕴含的数学思想。 教学过程 环节一：激情导趣，引发思考 教师活动 学生活动 并给出当参数时，请同学们画出函数图像，教师选取同学作答进行展示，随后通过GGB展示三次函数图象随a、b、c、d改变时函数图像的变化，引导学生探究三次函数的图像和性质。 画出具体三次函数的图图象并进行订正，随后观察动画，明确研究方向 设计意图：通过课后练习题出发，让学生发现三次函数，并引导学生对三次函数开展探究，能够联系到三次函数与导数的关系，体现了单元教学内容的整体性，方法的一致性，便于提高学生的学习能力. 环节二：确定研究思路，开展合作探究 教师活动 学生活动 教师提出：问题1:你认为应该研究函数的哪些性质？待学生回答并作出总结； 随后提出：追问1：结合之前的学习经验，你认为应该用怎样的思路来研究函数？ 教师根据学生回答逐步引导学生整理利用导数研究函数的思路，为学生自主探究买下铺垫。 接着让学生以小组为单位进行“分组探究：一元三次函数的图象与性质” 巡视学生开展分组探究，并发现学生在对导函数分析中忽略或者无分类讨论意识，及时进行指导，让学生进行补充总结，并提出：追问2：我们可以从哪些方面开展对二次函数分类讨论？帮助学生梳理对二次函数分类讨论的思路。对学生的研究成果进行板书整理；得出三次函数的单调性、极值、及图象。 随后提出：追问3：一元三次函数有几个零点？让学生西安回答，但注意发现学生容易忽略极值是否存在的情况，从而进行补充总结。 随后通过导函数有轴对称性，而原函数应该具有点对称性，引导学生深化探究，发先三次函数的对称性（点对称），随后让学生自主证明三次函数的对称性并让学生展示讲解思路。（若学生未能完成，则教师引导并进行板书） 探究完成后，提出：小结：利用导数研究函数的一般步骤。让学生进行总结并完成对知识的整合运用. 学生回顾并思考回答 学生回顾之前的学习经验发现研究的思路并总结步骤； 学生分小组进行探究，并在学案上记录研究所得； 学生深入思考如何对二次函数进行分类讨论，并在老师引导下完成后续探究；并对整个研究思路最深化巩固； 通过观察三次函数的图象，总结得到三次函数零点问题的结论； 学生观察动图发现三次函数的点对称性，找到对称点后，自行尝试证明； 回顾探究过程，总结发现，形成自己的方法； 设计意图：引导学生发现和提出有意义的数学问题；提出解决问题的思路和方案；通过自主探索、合作研究论证数学结论.引导学生利用导数作为研究工具去分析函数的单调性和极值情况，在此过程中可以提高学生利用信息技术探究数学规律的能力，锻炼学生的动手能力，发展了学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象的学科素养.根据极值点概念与零点存在性定理，用极值的符号判断三次函数零点的情况，并通过归纳总结出相应的结论，通过图象直观感受一元三次函数的对称情况.在此过程中突出几何直观与代数表达之间的融合，体会一元三次函数对称情况的合理性.提升学生直观想象，数学抽象的核心素养.引导学生利用函数的性质与导数知识的结合去探究一元三次函数的对称性，沟通数形关系，体会数形结合，分类与整合的思想，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 环节三：巩固练习 教师活动 学生活动 给出练习并让学生自行解答，教师选取学生作答情况进行展示，学生讲解自己的思路，同时生生互评，教师纠正错误，教师整理总结。 学生自行做答，并在学生展示后进行判断分析，开展生生互评 设计意图：练习改遍或选自高考真题，深刻考察学生的关键能力、核心素养。检测学生对本节课堂探究内容的掌握情况，发现学生在自主解决问题时的疑惑并解决，从而提高课堂效率。通过学生展示，引导学生发现自身问题，进行改正 环节四：课堂小节 教师活动 学生活动 教师提出问题：请谈谈你本节课的收获？学生回答完毕后，教师进行补充整理。 (知识角度：1.三次函数的图象，定义域，值域；2.三次函数的单调性和极值；3.三次函数的零点;4.三次函数的对称性； 方法角度：利用导数研究函数的一般步骤： 1、确定函数的定义域；2、研究函数的单调性、极值；3、画出f(x)的大致图像；4、进一步研究函数的最值、零点、对称性等性质； 思想方法角度：分类讨论、数形结合等数学思想) 学生自行思考整理，并回答和补充学生回答 设计意图：师生共同总结，可以从所学内容、研究问题的方法、蕴含的思想方法等多角度进行总结.引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，数学语言表达世界. 板书设计 作业设计 一、单选题 1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 三、解答题 4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 5、选做题：当点选在哪个区域时，过点的切线会有一条？两条？或者三条？ 设计意图：选取经典试题，进一步巩固学生的能力，同时设置选做题，激发学生不断探究的钻研精神,提高学生理性思维、逻辑推理、数学探索的核心素养. 6 学科网（北京）股份有限公司 $