题号猜押02 辽宁中考数学23题（二次函数综合压轴）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押02 辽宁中考数学23题 （二次函数综合压轴题） 考点1 线段的长度及最值问题 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与交于，两点，已知的图象与轴交于点，且关于直线对称． (1)求二次函数的函数解析式； (2)直线分别与和的图象交于，两点，与轴交于点．若，求的值： (3)定义：为较小函数，即，直线与的图象交于，，，四点（，，，从左到右依次排布），若，求出的值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）设，则，则可得，解方程即可； （3）解方程可得，，列方程即可． 【详解】（1）解：过，对称轴， ，， ， ∴二次函数的函数解析式； （2）解：设，则，， ，， 由， 可得， 可得或， 解得或或， ， 或； （3）解：如图， 令， 可得， 解得， ， 令， 可得， 解得， ， ， ， 解得． 2．（2026年江苏省苏州市九年级阳光调研试卷数学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 考点2 区间最值与含参问题 3．（2026海南·一模）如图1所示，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于． (1)求此抛物线的解析式； (2)若为第四象限内抛物线上一点． ①如图2，连接，，求四边形面积的最大值； ②如图3，连接，过点作轴，交抛物线于另一点，交于点，若，直接写出点的横坐标； (3)当时，讨论二次函数的最大值和最小值（用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，②2 (3)见解析 【分析】（）利用待定系数法求解析式，将已知点和的坐标代入即可． （）①利用割补法表示四边形的面积，得到关于的二次函数解析式，通过配方求出最值． ②利用平行线分线段成比例或者坐标运算，结合，建立方程求解的坐标． （）根据二次函数的对称轴和开口方向，结合与对称轴的位置关系，进行分类讨论，确定最大值和最小值． 【详解】（1）解：将和代入中得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①过作轴于， 令，则， 解得， ∴， 设， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为； ②∵轴，且、在抛物线上， ∴、关于对称，， ∵在直线上，且， ∴设直线的解析式为（） 解得 ∴直线的解析式为 当时， ∴， ∵,且、、在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得，， ∵P在第四象限， ∴， ∴， （3）解：，对称轴为，开口向上 ∵ ∴当即时，抛物线在对称轴的左侧，且随增大而减小， ∴当时，抛物线有最大值， ， 当时，抛物线有最小值， 当即时：最小值为， 若（左端点到对称轴的距离右端点到对称轴的距离） ∴当时，； 若（左端点到对称轴的距离右端点到对称轴的距离） ∴当时，； 当时，在对称轴的右侧，随的增大而增大， 当时， 当时， ． 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）由点，得．顶点在轴上，得， 即可确定对称轴为 ．即可确定； （2）推导出．设点，则点， 得，解得（舍）， ．得． （3）由图可知，当时，有最小值，得，解得． 得最大值 ．当时，，解得：或（舍）．即得． 【详解】（1）图象与轴交于点， ． 顶点在轴上， ， ， ． 对称轴为 ． 与的对称轴相同，且经过点， ． 把点代入得：， ， ． （2）解：设直线与抛物线的对称轴交于点， 由题可知：， ． ， ， ． 设点， 则点， ， 解得（舍）， ． ． （3）解：①定义为： ① 在部分，代入​得​； 在​部分，代入​得； 在时，​随x的增大而减小； 在时​随x的增大而增大，在​时随x的增大而减小，最大值为3（时），时​。 当时，线段与无交点。 当时，是公共点，线段与​交于和， 共2个交点； 当​时，线段与（）交于1点，与​（）交于2点，共3个交点； 当时，线段与（） 无交点，与​（）交于2点，共2个交点； 当时，线段与交于，与​无交点，仅1个交点； 当时，线段与（） 无交点。 故n的取值为：或 ， ②当时，， 由图可知，当时，有最小值， ， ． 最大值为 ． 在中，当时，， 解得：或（舍）． ． 考点3 交点个数与含参问题 1．（2026·河北邯郸·二模）如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．          (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为； ①用含的代数式表示线段的长； ②求的最大值及此时点的坐标； (3)现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围．（注：阴影部分为线段，抛物线上点到点部分和抛物线上点到点部分围成的图形，不包含图形的边界） 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2)①；②PQ取得最大值， (3) 【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）①先求出点的坐标，再求出直线的解析式，根据题意表示出点和点的坐标，进而得到的代数式；②利用配方法求出的最大值，并写出此时点的坐标； （3）根据题意，阴影部分包含在抛物线的、两点之间，区域内所有整点（不含边界），一共7个，结合图象可知，当点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上时，满足5个整点的要求．利用平移规律写出抛物线的解析式，求出和时的函数值，并与和作比较，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点的坐标为； （2）解：①将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点， 代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ②， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间， ∵，，，， 又∵抛物线关于直线对称 ∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个， 如图， 根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上， 根据平移规律可得，抛物线的解析式为， 将代入，得， ∵点在抛物线的下方， ∴，即， 解得或（不符题意，舍去）； 将代入，得， ∵点在抛物线的上方或者在抛物线上， ∴，即， 解得， 综上所述，的取值范围为． 2．（2026·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合思想和分类讨论是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，再令求解x值即可； （2）①先求得平移后的函数解析式，令求得点C坐标，进而求得直线的解析式；设点的坐标为则结合正方形性质得到． 由点在抛物线上求解m值即可； （3）分当时和时两种情况，结合图象寻找临界点，进而根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． 抛物线的解析式为． 令，得． 解得． 点的坐标为． （2）解：①， ． 令，得． 解得 ． 设直线的解析式为． 将点代入，得． 直线的解析式为． 设点的坐标为（m，0）． ． 四边形是正方形， ． ． 当点在抛物线上时， ． 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 四边形是正方形， ． 当时，点在轴上方． 当点在抛物线上时， 如图1，此时点关于直线对称． ． 解得（不合题意，舍去）． 当点与点重合时，如图2． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时． 当点与点重合时，． 的取值范围是． 当时，点在轴下方． 当点与点重合时，如图4． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 综上所述，的取值范围是或或． 考点4 新定义题型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析 (2)或或 (3)①；② 【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断； （2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案； （3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可； ②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当时，，当时，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点为直线上的点的“共圆点”； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， 如图，， ∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”， ∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得： 或或， 综上：的坐标为：或或 （3）解：①如图， ∵抛物线为， ∴对称轴为直线，此时， ∴， 设，则， ∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ∴， ∴， 解得：，（舍去），， ∴； ②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点， ∴平移后的抛物线为：， ∴平移后的对应点， 如图，∵关于轴的对称点，连接， ∴， 当三点共线时，， 此时周长最短； 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标的倍的点，则称该点为该函数的“双倍比例点”．例如，函数的“双倍比例点”是点． (1)【初步理解】 求出函数的“双倍比例点”的坐标； (2)【深入探究】 不重合的两点和是抛物线的“双倍比例点”，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于点（不与点重合）．若的面积为，求的值； (3)【拓展思考】 抛物线关于点的中心对称图象为，当与的图象共有个“双倍比例点”时，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)满足条件的值为，， 【分析】（1）根据“双倍比例点”的定义，令，解方程即可得解； （2）根据“双倍比例点”的定义可求得点的坐标，再由抛物线的对称性可确定点的坐标，即可得到的长，由的面积列方程求解即可； （3）先确定抛物线的“双倍比例点”，再由中心对称的性质确定抛物线的解析式，再结合“双倍比例点”的定义分两种情况讨论：的图象有且仅有个“双倍比例点”，且与图象“双倍比例点”不重合；的图象有个“双倍比例点”，且有个点与图象“双倍比例点”重合． 【详解】（1）解：令函数，即， 解得或， 此时或， 函数的“双倍比例点”的坐标是：或； （2）解：是“双倍比例点”， ， ， 对于抛物线，其对称轴为直线， 过点作平行于轴的直线，交该抛物线于点， ，解得， ， ， 的面积为：， 即， 解得或； （3）解：令函数， 整理得， 即， 解得或； 的图象有个“双倍比例点”：，； 抛物线关于点的中心对称图象为， 点关于点的对称点为， 将点代入抛物线中得， ， 整理得， 即， 令，即， ， 与的图象共有个“双倍比例点”， 分以下两种情况讨论： 的图象有且仅有个“双倍比例点”，且与图象“双倍比例点”不重合； 此时，即，解得， 方程的解为， 即当时，的图象有个“双倍比例点”：，与图象“双倍比例点”不重合，符合题意； 的图象有个“双倍比例点”，且有个点与图象“双倍比例点”重合； 此时，即，解得， 若与点重合，则有，解得， 方程为，即， ，解得或， 此时，的图象有个“双倍比例点”：，； 即与的图象共有个“双倍比例点”：，，； 若与点重合，则有，解得， 方程为，即， ，解得或， 此时，的图象有个“双倍比例点”：，； 即与的图象共有个“双倍比例点”：，，； 综上，满足条件的值为，，． 考点5 几何综合问题 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图1：在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)点的坐标为______；点的坐标为______；点的坐标为______； (2)求出长度； (3)把二次函数图像沿水平方向，向右平移1个单位长度，得到一个新的二次函数．点，点为新抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为．当新抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值的最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； (4)在（3）条件下，过，两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，新二次函数图像顶点为，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值．（直接写出答案）． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)m的值为或 【分析】（1）令，解方程得；令得，结合A在B左侧，得； （2）由，在中，，由勾股定理即可计算； （3）先求得函数最小值为，再根据函数的增减性求得，然后分当时；当时；根据函数值最大值与最小值差为，列式即可求解； （4）分两种情况：①当为最高点或，对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部；②当为最高点时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部；分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得，； 当时，， ∵在左侧， ∴，，； （2）解：由（1）得，在中，，，． ∴ ； （3）解：由题意得，， ∵将抛物线向右平移1个单位， ∴新抛物线解析式为：， 新抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，函数有最小值为， 点的横坐标为m，点的横坐标为， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大， 且， 解得， 当时， 解得， 在时，抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值最大值为，最小值为， 又函数值最大值与最小值差为， ， 即； 当时， 解得， 当时，抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值最大值为，最小值为， 又函数值最大值与最小值差为， ， 即． 综上，与m的关系式为； （4）解：当，两点关于对称轴对称时，即 解得， ∵新抛物线为， ∴新顶点为， 分两种情况：①当为最高点或，对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，如图， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，， 又轴， ， ， 点Q到该正方形边的最小距离是1，， ， ， 四边形正方形， ，即 解得，（舍去）； ②当为最高点时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，如图， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，， 又轴， ， ， 点Q到该正方形边的最小距离是1，， ， ， 四边形正方形， ，即 解得（舍去），； 综上，当点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，且点Q到该正方形边的最小距离是1，m的值为或． 2．（2026·广东河源·一模）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； (3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①当点N运动到秒时，四边形NBFG是菱形；②点F的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法将B、C两点坐标代入抛物线求解即可； （2）当时求得长度，并且利用平行线分线段成比例求得E点横坐标，代入抛物线解析式即可求得E点纵坐标，再根据求解即可； （3）①根据题意可求出，．再根据旋转的性质易证四边形是平行四边形，则四边形是菱形，只需即可，又可求出，，则，解出t的值即可；②当四边形是矩形时，只需．由，得出，利用平行线分线段成比例，求得；将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即，再代入解析式即可求得点F的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象过两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：    ∵， ∴，， ∴． 当时，． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 在中，令，得：， ∴； ∴； （3）解：①如图：    根据题意得：，． ∵将绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是菱形，只需，即， 此时． 在中，， ∴， 解得：， 答：当点N运动到秒时，四边形是菱形； ②如图：    由①得四边形是平行四边形． 当四边形NBFG是矩形时，只需． ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴当点N运动1秒时，四边形是矩形． ∴， ∴． 将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即． 当时，即， 解得：，， ∴点F的坐标为或． 考点6 倍角半角问题 1．（2026·陕西·中考模拟）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 2．（2026·浙江金华·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②存在，，点G的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． （2）①如图：    设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②过点G作轴于点H，    由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 1．（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长． (3)将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． 当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围； 设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)此抛物线对应的函数表达式为； (2)线段的长为； (3)；或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）待定系数法求解析式； （）根据对称轴求得点，的横坐标，即可求解； （）根据题意分最高点为点和最高点为点，两种情况讨论即可求解； 由题意可得点在线段上，然后分在上方和在下方两种情况列出不等式组，解不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为， ∴，， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称， ∴， 解得：， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴线段的长为； （3）解：当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知： 点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意， 点A在左侧，点B在右侧； 可得： 解得：； 图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大； 则最低点即为抛物线顶点； 当，即时；点为图象G的最高点； 则； 由可得：； 当，即时； 点为图象G的最高点；则； 由得：； ∴综上，h的取值范围为：； 由题意，，即， 当线段与图象有公共点时，， 解得：， 当时，代入抛物线表达式可得， 设线段与抛物线的交点为点，则， 由题意可知点在线段上； 当，即时，则点在点上方， ∴， 又， 解得：； 当，即时；则点在点下方， ∴， 又， 解得：， 综上所述：或． 2．（2026·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”． (1)判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是_____（填序号）； (2)若直线的解析式为：，此函数的“友好函数”与抛物线交于，两点，当，满足时，直线总经过一个定点，试求该定点的坐标； (3)若，，三个不同的点均在二次函数为常数，且的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好函数”的定义，利用中点坐标公式，然后逐个函数进行判断即可； （2）先得出的友好函数，根据题意，联立方程组，得，故，又因为，整理得，即，此时，对于任意m恒成立，令，解得，即可作答． （3）先整理得出函数的“友好函数”为，从而有，，由可得，根据点M，P的纵坐标相等，可得，所以，设，可得，根据恒成立得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴图象上的点和图象上的点关于成中心对称， ∴①是“友好函数”； ∵，， ∴， 故②不是“友好函数”； ∵，， ∴， ∴图象上的点和图象上的点关于成中心对称， 故③是“友好函数”； （2）解：设直线的友好函数为， 故， 即， ∴， 依题意，， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， ∵， ∴， ∴， 把代入直线， 得， 依题意，对于任意m恒成立，则令， 解得， 此时， 故直线总经过定点． （3）解：依题意，设函数的友好函数为， 则， ∴， ∵，在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则， 由解得， 由解得， 即， 即， ∵点M，P的纵坐标相等， ∴， 即， ∴， ∴， 设， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 3．（2026·湖南·中考模拟）定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为． (1)判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”； ①：的“3倍函数”是：；（   ） ②：是：的“2倍函数”；（   ） ③若：是：的“倍函数”，则（   ） (2)如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积； (3)如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值． 【答案】(1)①×；②√；③× (2)10 (3) 【分析】（1）利用“倍函数”的定义逐一计算判断即可； （2）先求出的“倍函数”，得到点A、B、C、D的坐标，根据矩形的性质得到，据此列出方程，求出的值，再利用求解即可； （3）分情况讨论：当或时，先求出点M、N坐标，进而得到是等边三角形，根据“倍函数”的定义求出的表达式，进而得到点G的坐标，过点作轴交于点，过点作交于点，证得四边形是矩形，进而得到，在中，、，进而求出点坐标，利用点在上，求出的值． 【详解】（1）解：①设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上， 则，即， 所以的解析式为， 故答案为：×； ②设上的任意一点为，则变换之前的点在的图象上， 则，即， 故答案为：√； ③由于为的“倍函数”， 则， 整理得：， ，即， 故答案为：×； （2）解：由题可知，函数， 、， 设的“倍函数”上点为，则在原函数上， 则， 整理得：， 、， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得：， 、， ，点A、C到轴距离均为2， ； （3）解：（）如图，当时， 由题意知，抛物线， 顶点， 令得：， 解得， ， 、、， ， 是等边三角形， ， 是的“倍函数”， 设上的点，则在上， 则， 整理得：， 顶点， ， 过点作轴交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 、， ， 轴， ， ， ， 在等边中，， 、， ， 、， 在中，， 、， ， ， 将点P坐标代入表达式得： ， 解得； （）如图，当时， 由（）抛物线的解析式为， 由题可知，，，三点共线，且顶点为， 作关于轴对称的，交于点， 同（）可证四边形是矩形、是边长为2的等边三角形， ，，， 在中，，， ， ，， ， 点坐标， 将点P坐标代入表达式得： ， ， 综上所述，的值为． 4．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，是除原点外的一点，点在经过点的正比例函数图象上，若点在点的右侧，且它们的横坐标之差为，则称点为点的“进点”；当点在函数上运动时，点在函数上运动，此时称是的“进函数”例如：当动点的坐标为时，经过点的正比例函数为，点在直线上，点与点的横坐标之差为，则点为点的“进点”另外，当点在函数上运动时，则点的“进点”在函数上运动，因此称是的“进函数”． (1)点的“进点”的坐标 ； (2)二次函数上一点的“进点”的坐标为． ①求的函数表达式； ②点是函数图象上一点，点的横坐标为，用表示点的“进点”的坐标； ③求函数的“进函数”关于的表达式． (3)在（2）条件下，函数，若直线与的图象恰好有个交点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ (3)或 【分析】（1）根据“进点”定义求解； （2）①根据“进点”定义，得到，再代入即可求解析式； ②根据“进点”定义计算的坐标即可； ③根据“进函数”的定义，设，则，代入即可求解； （3）先得到，再数形结合即可求解． 【详解】（1）解：过点的正比例函数为， 点的“4进点”的横坐标为， 当时，， ； （2）解：①， 易证直线的表达式为， 点是点的“4进点”， 点的横坐标为，代入中， 得， 代入，得， 故； ②的横坐标为， 可设的坐标为， 设过点的正比例函数为， 代入点的坐标可得， ， 过点的正比例函数为， 点是的“6进点”， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为； ③设，则，代入得， ； （3）解：由题意可得， 画出其图象如图所示： 当直线过原点时，满足与的图象恰好有3个交点， 代入原点坐标，可得； 当直线与且位于x轴下方部分的图象只有一个公共点时，满足与的图象恰好有3个交点， 令， 整理可得， 令，即， 解得， 综上，的值为或. 5．（2026·辽宁沈阳·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得的解析式和直线的解析式，再设点的横坐标为，根据题意列方程即可解答； （3）设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，求得的横坐标为，根据题意确定的位置，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． 6．（2026·辽宁丹东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标； (2)当时，求的值； (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； (4)点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，的坐标为 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用两点之间的距离公式列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，①当边与抛物线有交点时，②当边与抛物线有交点时，分别画出图形，列式计算即可求解； （4）分四种情况讨论，画出图形，列出不等组，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴，令，即， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：由题意得，点，点， ∴，即， ∴，； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ①当边与抛物线有交点时，如图1， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点G和点N关于对称轴对称， ∴，， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； ②当边与抛物线有交点时，如图2， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点M和点G关于对称轴对称， ∴， ， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； 综上，或； （4）解：∵对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， ∴， ∵点是点关于抛物线对称轴的对称点， ∴， 分情况讨论， 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得或， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得，不符合题意； 综上，的取值范围是或或，即或． 7．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点，得出点坐标为，点坐标为，进而根据，解方程，即可求解； （3）依题意得出，根据点坐标为，进而得出根据，即可求解； （4）依题意，点坐标为，，分别表示出，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， ， 解得， ． （2）设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 过点作轴交延长线于点， 过，两点分别作，分别交于，两点， 点坐标为，点坐标为， ， ， 解得，， ∵点在轴左侧，， ． （3）解：，， ， ∵点坐标为， ，， ， ，． （4）解：依题意，点坐标为，， ，， 当时，矩形的周长， 当时，矩形的周长， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， ①当时，解得，（舍） ②当时，解得（舍） ③当时，解得（舍） ④当时，解得，（舍） 综上所述：或． 8．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押02 辽宁中考数学23题 （二次函数综合压轴题） 考点1 线段的长度及最值问题 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与交于，两点，已知的图象与轴交于点，且关于直线对称． (1)求二次函数的函数解析式； (2)直线分别与和的图象交于，两点，与轴交于点．若，求的值： (3)定义：为较小函数，即，直线与的图象交于，，，四点（，，，从左到右依次排布），若，求出的值． 2．（2026年江苏省苏州市九年级阳光调研试卷数学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 考点2 区间最值含参问题 1．（2026海南·一模）如图1所示，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于． (1)求此抛物线的解析式； (2)若为第四象限内抛物线上一点． ①如图2，连接，，求四边形面积的最大值； ②如图3，连接，过点作轴，交抛物线于另一点，交于点，若，直接写出点的横坐标； (3)当时，讨论二次函数的最大值和最小值（用含有的代数式表示）． 2．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 考点3 交点个数与含参问题 1．（2026·河北邯郸·二模）如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．          (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为； ①用含的代数式表示线段的长； ②求的最大值及此时点的坐标； (3)现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围．（注：阴影部分为线段，抛物线上点到点部分和抛物线上点到点部分围成的图形，不包含图形的边界） 2．（2026·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 考点4 新定义题型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标的倍的点，则称该点为该函数的“双倍比例点”．例如，函数的“双倍比例点”是点． (1)【初步理解】 求出函数的“双倍比例点”的坐标； (2)【深入探究】 不重合的两点和是抛物线的“双倍比例点”，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于点（不与点重合）．若的面积为，求的值； (3)【拓展思考】 抛物线关于点的中心对称图象为，当与的图象共有个“双倍比例点”时，求的值． 考点5 几何综合问题 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图1：在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)点的坐标为______；点的坐标为______；点的坐标为______； (2)求出长度； (3)把二次函数图像沿水平方向，向右平移1个单位长度，得到一个新的二次函数．点，点为新抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为．当新抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值的最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； (4)在（3）条件下，过，两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，新二次函数图像顶点为，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值．（直接写出答案）． 2．（2026·广东河源·一模）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； (3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 考点6 几何综合问题 1．（2026·陕西·中考模拟）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 2．（2026·浙江金华·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 1．（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长． (3)将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． 当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围； 设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围． 2．（2026·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”． (1)判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是_____（填序号）； (2)若直线的解析式为：，此函数的“友好函数”与抛物线交于，两点，当，满足时，直线总经过一个定点，试求该定点的坐标； (3)若，，三个不同的点均在二次函数为常数，且的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围． 3．（2026·湖南·中考模拟）定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为． (1)判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”； ①：的“3倍函数”是：；（   ） ②：是：的“2倍函数”；（   ） ③若：是：的“倍函数”，则（   ） (2)如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积； (3)如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值． 4．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，是除原点外的一点，点在经过点的正比例函数图象上，若点在点的右侧，且它们的横坐标之差为，则称点为点的“进点”；当点在函数上运动时，点在函数上运动，此时称是的“进函数”例如：当动点的坐标为时，经过点的正比例函数为，点在直线上，点与点的横坐标之差为，则点为点的“进点”另外，当点在函数上运动时，则点的“进点”在函数上运动，因此称是的“进函数”． (1)点的“进点”的坐标 ； (2)二次函数上一点的“进点”的坐标为． ①求的函数表达式； ②点是函数图象上一点，点的横坐标为，用表示点的“进点”的坐标； ③求函数的“进函数”关于的表达式． (3)在（2）条件下，函数，若直线与的图象恰好有个交点，请直接写出的值． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 6．（2026·辽宁丹东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标； (2)当时，求的值； (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； (4)点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 7．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 8．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $