热点09 函数（一次、反比例、二次）（热点专练7大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点09 函数（一次、反比例、二次） 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。 题型01 一次函数的图像与性质 题型02 一次函数与方程、不等式 题型03 反比例函数的图像与性质 题型04 二次函数解析式的求法 题型05 二次函数的图像与性质 题型06 二次函数的最值问题 题型07 二次函数与几何综合（存在性问题） 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 两年：函数部分主要考查一次函数的图像与性质、反比例函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、二次函数解析式的确定、二次函数的最值问题，以及二次函数与几何的综合（存在性问题、最值问题）；这些考点中，二次函数的图像性质与综合应用考查占比最高、难度最大，是湖南中考压轴题的核心载体。试题呈现分层结构：一次函数与反比例函数以选择题、填空题为主（各约3分），难度中等偏下；二次函数连续两年作为压轴解答题（10分）的核心函数，与一次函数、相似三角形、全等三角形、动点问题深度融合，区分度最高。湖南统考命题注重数形结合思想的考查，函数图像与性质的“看图说话”能力、用函数模型解决实际问题的能力是考查重点。 知识点 2025 年湖南统考 2024 年湖南统考 平面直角坐标系与函数概念 第6题（点的平移），选择题，3分 第10题（“整点”“超整点”新定义），选择题，3分 一次函数图像与性质 第15题（100米赛跑函数图像分析），填空题，3分；第26题压轴（与二次函数交点含一次函数），压轴题，10分 第25题（二次函数中求一次函数解析式），解答题，10分 反比例函数图像与性质 第9题（反比例函数 性质判断），选择题，3分 第16题（已知弦长和频率求反比例函数 值），填空题，3分 二次函数解析式与性质 第26题（，待定系数法求解析式），压轴题，10分 第25题（，待定系数法求解析式），解答题，10分 二次函数与几何综合 第26题（二次函数+一次函数→交点→相似→动点最值），压轴题，10分 第25题（二次函数+一次函数→面积定值→线段最值），解答题，10分 预测2026年：函数是中考数学的核心板块，呈现“基础选填+综合压轴”的双层稳定结构。一次函数与反比例函数在选择题或填空题中轮换考查（各约3分），属基础送分题。二次函数连续两年作为压轴题（2024年第25题、2025年第26题），与一次函数、相似三角形、动点问题深度融合，是区分度最高的题目。2026年压轴题大概率仍将以二次函数为主线，结合几何变换（相似、全等）和代数运算（函数交点、最值、存在性）进行综合考查。2026年解答题分值提升至72分，压轴题书写和逻辑表达的规范性要求更高，分类讨论的完整书写是得分关键。还须注意一次函数与反比例函数的综合题（如求交点、比较函数值大小、面积计算等）中间年份末考，2026年在解答题中可能出现。 题型01 一次函数的图像与性质 解｜题｜策｜略 1. 解析式：（） · ： 随 增大而增大，图像从左下到右上（“上坡”） · ： 随 增大而减小，图像从左上到右下（“下坡”） · ：图像与 轴交于正半轴；：交于负半轴；：过原点（正比例函数 ） 2. 两直线平行 ，（ 相同， 不同） 3. 两直线垂直 4. 一次函数图像与坐标轴交点： · 与 轴交点：令 ，得 · 与 轴交点：令，得 方｜法｜指｜导 待定系数法求解析式：已知两点坐标 、，代入 ，解方程组求 、。 含参一次函数图像分析口诀： · 管升降（斜率）， 管截距（与 轴交点） · ，：图像过一、二、三象限 · ，：图像过一、三、四象限 · ，：图像过一、二、四象限 · ，：图像过二、三、四象限 易｜错｜点 1. 的符号与增减性对应关系记反—— 时 随 增大而增大，不是减小； 2. 是与 轴交点的纵坐标，不是与 轴交点的横坐标； 3. 用两点求一次函数解析式时代入坐标顺序颠倒。 【例题1】若点，，在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式判断函数增减性，再比较三点横坐标大小，即可得到对应纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，其中一次项系数， ∴随的增大而增大． ∵点的横坐标分别为, 满足 ， ∴对应纵坐标满足，即 ． 【例题2】对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．当x增加1时，y增加1 B．函数值y随自变量x的增大而增大 C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的计算方法逐一判断选项即可． 【详解】解：A、当x增加1，为时，，即当x增加1时，y增加1，故本选项正确，不符合题意； B、因为，则函数值y随自变量x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； C、因为，则函数图象经过第一、二、三象限，即函数图象不经过第四象限，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，即，则函数图象与x轴交点坐标是，故本选项错误，符合题意； 【变式1】对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴函数值随自变量的增大而减小，该选项结论错误，不合题意； 、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，该选项结论正确，符合题意； 、函数的图象向上平移个单位长度，得的图象，该选项结论错误，不合题意； 、函数的图象与轴的交点的坐标是，该选项结论错误，不合题意； 故选：． 【变式2】已知点，都在直线上，则的关系是_______（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及增减性判定函数值大小知识，由直线确定函数中值随着的增大而减小，再由点的横坐标大小即可判断答案，熟练掌握一次函数增减性确定函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵直线中，， ∴函数中值随着的增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ， 故答案为：． 【变式3】直线与直线关于轴对称，则直线的函数解析式为____________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．直接根据关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可． 【详解】解：∵关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数， ∴直线与直线关于轴对称， 则直线的解析式为，即． 故答案为：． 题型02 一次函数与方程、不等式 解｜题｜策｜略 1. 一次函数与方程的关系： · 一次函数 与 轴交点的横坐标 = 方程 的解 · 两一次函数图像的交点横坐标 = 方程 的解 2. 一次函数与不等式的关系： · 不等式 的解集：函数图像在 轴上方对应的 范围 · 不等式 的解集： 图像在 图像上方对应的 范围 方｜法｜指｜导 核心方法：“看图说话”。 ① 先求交点横坐标 ； ② 在交点左、右两侧各取一点，比较两函数值大小； ③ 确定上方区域对应的 范围。 解集书写的注意点： · 不等式为 或 ：解集端点用“”或“”，交点处函数值相等不包含在解集中 · 不等式为 或 ：解集端点用“”或“”，含交点对应的 值 易｜错｜点 1. 解集端点是否可取（不等式是 还是 ）判断错误； 2. 的取值范围与 的取值范围混淆——题目要求的是 的范围还是 的范围，务必看清； 3. 时，图像上方对应的 范围与 时恰好相反。 【例题1】已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【例题2】已知一次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法，一次函数与一元一次方程，根据一次函数所经过点的坐标就是相对应一元一次方程的解即可解答． 利用待定系数法求函数解析式，然后解方程． 【详解】解：将，代入中， ，解得， ∴一次函数解析式为 当时，，解得， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 【变式1】如图，直线与直线相交于，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【变式2】如图，直线和直线相交于，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据图象法，求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为； 故答案为：． 【变式3】如图，已知函数和图象交于点A，点A的横坐标为，则关于x，y的方程组的解是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数交点的横纵坐标是二者函数解析式联立得到的方程组的解，据此求出A的坐标即可打得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵函数和图象交于点A， ∴关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 题型03 反比例函数的图像与性质 解｜题｜策｜略 1. 解析式：（） · ：图像在第一、三象限，在每个象限内 随 增大而减小 · ：图像在第二、四象限，在每个象限内 随 增大而增大 2. 增减性必须加“在每个象限内”的前提，不能跨象限比较 3. 的几何意义（填空选择题高频考点）： · 图像上任一点向两坐标轴作垂线，与原点围成的矩形面积 = · 图像上任一点与原点、两坐标轴围成的直角三角形面积 = 4. 双曲线是中心对称图形（对称中心为原点），也是轴对称图形（对称轴为 和 ） 方｜法｜指｜导 2025年第9题考查了反比例函数 （）的性质正误判断，解题时需逐项对照性质判断： · A项：检验点 是否在图像上 → 代入 ，，错误 · B项：，图像在一、三象限，不在二、四象限，错误 · C项：，当 时 随 增大而减小（不是增大），错误 · D项：，当 时 随 增大而减小，正确 2024年第16题考查了 值的求解：已知乐器弦长 与振动频率 成反比，给出 时 ，代入 → 。 易｜错｜点 1. 增减性叙述时遗漏“在每个象限内”的前提——跨象限不能比较大小； 2. 的几何意义中，面积为 （矩形）或 （三角形），注意取绝对值； 3. 反比例函数图像是两条曲线（双曲线），不是一条直线，也不是抛物线。 【例题1】如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点、垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 【例题2】对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，对每个选项逐一进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误， ∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确， ∵将代入，得∴图象不经过点，C错误． ∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误． 故选：B． 【变式1】问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程， 根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数． 【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令，则，两边乘得 又∵实数范围内 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令，则，整理得 解得或， ∴点是该函数的不动点，③正确； ④∵若是“不动点函数”，则， 整理得， 方程有实数解需判别式， 即，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 综上，正确的结论只有1个． 故选：A． 【变式2】如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：B． 【变式3】密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度，再利用收集的数据画出关于的反比例图象，如图2所示．下列说法正确的是（    ） A．可能为0 B．若，则 C．密度均匀增加时，深度的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由图可知，不可能为0，该选项说法错误，不合题意； B．若，则，该选项说法错误，不合题意； C．密度均匀增加时，深度的变化量不相同，该选项说法错误，不合题意； D．密度计的刻度线越往上，h越大，对应的密度值越小，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 题型04 二次函数解析式的求法 解｜题｜策｜略 三种表达式各适用不同条件： 形式 表达式 适用条件 参数含义 一般式 已知任意三点坐标 →开口，→轴交点 顶点式 已知顶点 及另一点 →顶点坐标 交点式 已知与 轴的两交点坐标 →与轴交点横坐标 方｜法｜指｜导 优先用顶点式或交点式减少计算量。由一般式化顶点式用配方法：。 2024年和2025年压轴题的二次函数均为 形式的特殊二次函数（对称轴为 轴），采用待定系数法求解： · 2024年第25题：已知图像过点 ，代入 → → → · 2025年第26题：已知图像过点 ，代入 → → 结合其他条件进一步求解 易｜错｜点 1. 顶点式 中，顶点横坐标为 ，注意 中的负号（顶点 对应 ）； 2. 交点式只能用在与 轴有交点的情况（）， 时抛物线与 轴无交点，交点式无法使用； 3. 待定系数法解方程组时，代入坐标的顺序错误导致方程列错。 【例题1】如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【详解】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 【例题2】已知二次函数的图象顶点为．且过点为，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为∶． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【变式1】已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【详解】（1）将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法，配方法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． 【变式2】已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数增减性是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线， 得， 解得， 该抛物线的解析式为． （2）解：由得，该抛物线的对称轴为， ， 当时，随的增大而减小， ∴x的取值范围为． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是． (1)求、的值． (2)判断点是否在该二次函数图象上，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点在该二次函数图象上；理由见解析 【分析】本题主义考查了求二次函数的解析式，求函数值，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标是，分别求出b、c的值即可； （2）把代入二次函数判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴，， 解得：，； （2）解：点在该二次函数图象上；理由如下： 由（1）得二次函数的解析式为， 当时，， ∴在这个二次函数的图象上． 题型05 二次函数的图像与性质 解｜题｜策｜略 核心参数分析（以一般式 为例）： 参数 决定内容 判断方法 开口方向与大小 开口向上， 开口向下， 越大开口越小 与 共同决定对称轴位置 对称轴 ，“左同右异”： 对称轴在 轴左侧， 在右侧 与 轴交点 交点坐标为 与 轴交点个数 →2个交点，→1个切点，→无交点 方｜法｜指｜导 抛物线的画法口诀（五点法）：对称轴→顶点→与 轴交点→与 轴交点（若有）→对称点。 利用对称性简化计算： · 抛物线上两点纵坐标相同 → 这两点关于对称轴对称 → 横坐标之和的一半 = 对称轴横坐标 · 例：若 ，则对称轴 增减性的判断（以对称轴为界）： · ：对称轴左侧 随 增大而减小，右侧 随 增大而增大 · ：对称轴左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小 易｜错｜点 1. 对称轴公式 的负号容易遗漏—— 前有负号； 2. “左同右异”规则—— 同号对称轴在 轴左侧，异号在右侧，不要记反； 3. 且 时函数值恒为正（图像全在 轴上方）； 且 时函数值恒为负（图像全在 轴下方）。 【例题1】关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的相关性质（对称轴、顶点坐标、开口方向与增减性、最值的关系）判断各选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， ∴对称轴为直线，故A选项错误， 顶点坐标为，故B选项错误， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值，故C选项正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，故D选项错误， 故选：C． 【例题2】已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴与顶点坐标，解决本题的关键是根据二次函数图像读出信息． 根据二次函数的图像开口方向可判断A选项，根据二次函数的对称轴与顶点坐标的纵坐标可判断B选项与C选项，根据抛物线与轴的一个交点在与之间， 可判断D选项． 【详解】解：由函数图像可知，函数图像开口向下，即，A选项错误； 由函数图像可知，该函数的对称轴为， ∴，即，即，B选项正确； 由函数图像可知，该函数顶点纵坐标为正数， 即，由， 可得，即，C选项错误； 由函数图像可知，抛物线与轴的一个交点在与之间， ∴，D选项错误． 故选：B ． 【变式1】如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对应点为， ∵， ∴． 故选：A 【变式2】如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①利用抛物线判定二次函数的参数取值； ②根据对称轴确定参数的关系； ③根据函数特殊值进行判断； ④根据对称点进行判断； ⑤根据图象和一元二次方程的关系，结合数形结合的思想进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴, ∴， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，， 即，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴点，关于直线对称， ∴，故④正确； ⑤由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线与直线有一个交点， ∴方程，有两个相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确选项为①②④⑤． 【变式3】二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④（为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质等知识．由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数，可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（m为任意实数）， ∴，所以④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 题型06 二次函数的最值问题 解｜题｜策｜略 情况一：对称轴在自变量取值范围内 二次函数在顶点处取得最值： · 对称轴 · 最值 · 时顶点为最小值点， 时顶点为最大值点 情况二：对称轴不在自变量取值范围内 最值在自变量取值范围的端点处取得，需分别代入两个端点计算函数值后比较。 方｜法｜指｜导 实际情境中最值问题的解题流程： ① 分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型； ② 确定自变量的取值范围（这一步最容易被忽略）； ③ 判断对称轴是否在取值范围内； ④ 求最值并解释实际意义。 面积最值技巧：在二次函数背景的几何面积问题中，常用“铅垂高 × 水平宽 ÷ 2”表示面积 → 得到一个关于动点坐标的二次函数 → 用顶点公式求最大面积。 易｜错｜点 1. 忽略自变量的取值范围，在无实际意义的区间求最值； 2. 时顶点为最大值，但若对称轴不在取值范围内，端点处可能比顶点更小——需要分类讨论； 3. 面积最值中忘记除以 2（铅垂高 × 水平宽后必须 ÷ 2）。 【例题1】已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，最值的计算是关键． 根据题意得到当，二次函数的最小值为，由此得到，结合二次函数最值的计算即可求解． 【详解】解：关于的二次函数， ∵， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当，二次函数的最小值为， ∴， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下， ∴当，的最大值为， 故答案为： ． 【例题2】如图，在中，，，，点，分别在边，上运动，为的中点，若，则的长的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线的性质得到，设，则，则对运用勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，F为的中点， ∴，， ∴， 当时，取得最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式1】如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为____________________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质．由相似三角形的性质得出，进而求出，设，则，由二次函数的性质可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 设， 时，的最大值为． 故答案为：． 【变式2】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 【变式3】定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)和 (2)①；② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是关键． （1）根据抛物线的“不动点”定义即可解决问题． （2）①根据抛物线的对称轴是直线，建立方程求解即可求得a的值；②过点P作轴，交直线于E，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴抛物线恒过定点和， ∴抛物线的不动点坐标为和； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线L的对称轴是直线， 解得， ∴． ②如图，过点P作轴，交直线于E， ∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 令， 解得：， ∴， ∴P是第一象限抛物线上的一个动点， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，最大，最大值为． 题型07 二次函数与几何综合（存在性问题） 解｜题｜策｜略 二次函数背景下的几何存在性问题是湖南中考压轴题的最高频题型，常见类型如下： 类型一：等腰三角形存在性 · 设动点坐标 → 三点两两距离相等 → 分三种情况（哪两边为腰）→ 解方程 类型二：直角三角形存在性 · 设动点坐标 → 勾股定理 → 分三种情况（哪个角为直角）→ 解方程 类型三：平行四边形存在性 · 利用“对角线中点重合”列方程组求解（这是最简洁的方法） · 设四个顶点坐标，两条对角线中点坐标相等 → 两个方程 → 求解 类型四：相似三角形存在性 · 设动点坐标 → 分类讨论对应关系 → 对应边成比例 → 解方程 类型五：面积相等/面积比值存在性 · 用坐标表示三角形面积（铅垂高法或底乘高法）→ 建立方程 → 求解 方｜法｜指｜导 动点问题的“标准五步”解法： ① 设点：设定点坐标（横坐标为参数 ，纵坐标用已知函数表达式表示。如 ）； ② 表示：用含 的代数式表示与目标相关的几何量（线段长的平方、面积等）： · 两点间距离平方： · 铅垂高 × 水平宽 ÷ 2（三角形面积） ③ 分类：根据几何条件存在的多种可能进行分类讨论： · 等腰三角形 → 分三种情况讨论哪两边相等 · 直角三角形 → 分三种情况讨论哪个角为直角 · 相似三角形 → 分多种情况讨论对应顶点关系 · 分类讨论的完整性是压轴题得分的关键——少一种情况就少一份分 ④ 列式：每种情况下根据几何等量关系列出关于 的方程（或方程组）； ⑤ 验证：解出 后，代入原问题检验是否满足以下条件： · 点是否在指定函数图像上 · 点是否在定义域内（如在第二象限则 ） · 三点是否构成三角形（不共线） · 是否满足题目中的其他隐含条件 易｜错｜点 1. 分类讨论遗漏情况——建议解题时先在草稿纸上列出所有可能情况，逐项讨论，不漏一种； 2. 解出参数后未验证该点是否符合题意——这是压轴题“会做但不得分”的主要原因； 3. 用坐标差表示线段长时忘记取绝对值或平方，导致符号错误； 4. 相似三角形存在性问题中对应关系分析不全——相似三角形的对应关系与全等不同，对应顶点有多种可能； 5. 平行四边形存在性的“中点法”使用条件：四个顶点坐标已知（或可以用参数表示）； 6. 求出多个解时未检验是否都在定义域内，导致多解。 【例题1】如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，二次函数的解析式为； (2)的值为常数； (3)存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【分析】（1）根据正方形性质可求出点B的坐标，因为点A是顶点以及在上，结合对称轴公式可求出点A坐标，进而利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）因为点T，点Q，点R，点H均在二次函数图像、直线以及x轴上，可分别表示出这四个点的坐标，进而利用两点之间的距离公式表示出线段长，并代入式子进行计算即可； （3）在第（2）问的基础上表示出线段的长，并分别根据题干中所乘系数表示出线段长，进而根据等边三角形三边相等列出等式，进行计算即可求解. 【详解】（1）解：∵正方形的边长为8，∴， ∴点B的坐标为， ∵二次函数的解析式为，∴二次函数的图像也经过原点O， ∴二次函数图像的对称轴为直线， ∵点A是二次函数图像的顶点，且在上， ∴点A的坐标为， 将点A和点B分别代入可得， ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵点T是直线上方的抛物线上一个动点， 设点T的坐标为， ∵轴，∴点R的坐标为， ∵直线过原点，∴设直线的解析式为， 将点A 代入，可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴， ∴点H的坐标为， ∴，， ∴； ∴的值为常数； （3）同（2）可设点T的坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴，， 要使等边三角形存在，则一定存在： ， 化简，可得， 化简，可得， ∴， ∵，消去，解得， 当时，，∴点T的坐标为， ∴存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【点睛】本题考查二次函数与线段综合问题，并结合考查等边三角形的性质，通过点坐标表示出线段长是解决本题的关键. 【例题2】在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，对称轴为直线，且对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，抛物线与交于点． ①点是抛物线上的点，若的最大值与之差为9，求的值； ②是否存在以为直角边的？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据抛物线：经过点，对称轴为直线，利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意可得：抛物线的表达式为，得出抛物线的顶点坐标为，根据点是抛物线上的点，抛物线开口向下，得出的最大值，根据的最大值与之差为9，求出，当时，求出或，得出或，将和分别代入求解即可． ②根据题意知，设，当时，如图，过点作，则，则，列出方程，整理得：，求出，即可解答．当时，如图，过点作，则，则，列出方程，整理得：，求出，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①根据题意可得：抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点是抛物线上的点，抛物线开口向下， ∴的最大值， ∵的最大值与之差为9， ∴， ∴， 当时，，解得：或， ∴或， 将代入得，解得：（舍去）或； 将代入得，解得：（舍去）或（舍去）； 综上，； ②根据题意知，设， 当时，如图，过点作， 则， 则， 即， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图，过点作， 则， 则， 即， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，解一元二次方程，二次函数的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【变式1】如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或或 【分析】（1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答． （2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答． （3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答． 本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设二次函数为， 再把代入， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当， ∴， 结合图象，得出， 把，分别代入， 得， ∴， 则； （2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴ 结合图象， 四边形的面积 ； （3）解：或或或或 过程如下： 依题意，设， 当为对角线时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 综上：或或或或． 【变式2】如图1，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求m的值． (2)如图2，过点D作轴于点E，连接，，． ①求的正切值． ②若点N是第三象限内抛物线上的一动点，射线上是否存在点P，使得与相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②存在，点坐标分别为，，，，详见解析 【分析】（1）由抛物线的顶点得出，由与y轴交于点得出，进而即可得解； （2）①如图，过E点作交于点F，利用点的坐标和勾股定理得出的长，再利用正切的定义计算即可得解；②先确只有可能等于，再分当和两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵点为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点， ∴， ∴； （2）解：①如图，过E点作交于点F， 令得得，， ∴， ∵，，轴于点E， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②存在点P，使得与相似，理由如下， ∵点N是第三象限内抛物线上的一动点， ∴， ∴只有可能等于， 如图，设交轴于点， ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过C点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 当，时，此时，，过点P作轴于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∴， ∴， 过C点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 当，时，此时，，过点P作轴于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：点坐标分别为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，三角函数的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式3】我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． (3)已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． 【答案】(1)√，×，× (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）先判断函数与轴交点坐标，进而由“点函数”定义判断即可； （2）由题意可知，整理得，进而得到无论取何值，该函数一定经过点，据此得证； （3）由题可得，再根据，以及可得点，，进而得出函数解析式为，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证，得到相关线段长度，设，则，由勾股定理列方程求解得到点的坐标，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：①图象与轴交于点， ∴是“点函数”； ②图象与轴交于点， ∴不是“点函数”； ③图象与轴无交点， ∴不是“点函数”； （2）证明：若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，则， 整理得， 令，即时，， ∴无论取何值，该函数一定经过点， ∵点在第三象限， ∴无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限； （3）解：∵二次函数是“点函数”， ， ， ∵该函数的图象与轴相交于点，两点， 则， ∴，， ， ∴， ∴点，，， ， ∴函数解析式为， 连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： 则， ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在等腰中，，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， ， 则 解得或， 又，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式， 得，解得 ∴直线的解析式为， 联立得， 消去得，则， 解得或， 则或， 点是该函数图象在第一象限内的动点， ∴点的坐标为． （20分钟限时练） 1．将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到m的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移m个单位长度，得到的新直线解析式为： ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、二、三象限时满足且， ∴ 解得， ∴只有A选项中的数符合题意． 2．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 【答案】C 【分析】根据一次函数的交点坐标求法、增减性、图象象限判断规律、平移规律，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．令，得，解得，因此图象与轴交点为，A错误，不符合题意． B． 一次函数中，随的增大而减小，B错误，不符合题意． C． ，，图象经过第一、二、四象限，C正确，符合题意． D． 的图象向上平移个单位长度得到，不是，D错误，不符合题意． 3．已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象开口向下，与轴负半轴有交点，得到、，对称轴，利用图象在处的函数值大于0，在处的函数值小于0，判断④⑤即可． 【详解】解：由图象可知，函数的对称轴为、且、， ， ， ， ， 故①错误，②正确； 由图象可知，该二次函数与轴有两个交点， 则令得：， 判别式， 故③正确； 由图象可知，在处的函数值大于零， 则将代入函数得：， 故④正确； 当时，， ， ，即， 故⑤正确； 综上所述，正确的有②③④⑤，共4个． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 6．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件求出F与L的函数解析式，结合反比例函数的性质及实际意义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵L最大为， ∴若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是，故C正确，不符合题意； 当原物体重量增加，，则，故D错误，符合题意． 7．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【分析】先把函数解析式化为顶点式，计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴当时有最小值是； 当时，， 当时，， ∴当 时，函数值y的取值范围为． 8．将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，向上平移直接在函数表达式整体加上平移的单位，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 9．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A，点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，此时抛物线的解析式为 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得A、B两点坐标； （2）由、的长可求得，用t可表示出，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用t表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知，又，由（2）可知，，由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令，得，解得， 令，得， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵运动时间为t秒， ∴， ∵轴， ∴在中，，， 在中，，， ∴， ∴． （3）解：存在， ∵轴， ∴， ∵点G不能在抛物线的对称轴上， ∴， ∴当为直角三角形时，则有， 又∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， 解得， 即当t的值为秒时，为直角三角形， 此时， ∴点E的坐标为， ∵抛物线的顶点为A， ∴可设抛物线解析式为， 将点E的坐标代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． 10．如图，抛物线（）经过点，，与轴交于点，是第四象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，过点作直线交抛物线于另一点．过点作平行于轴的直线交轴于点，过点作平行于轴的直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)设点的横坐标为，点的横坐标为． ①当时，求出此时点的坐标； ②连接，在点的运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出取最大值时，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①点的坐标为；②存在，， 【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线的一般式，通过解二元一次方程组求出系数、，从而确定表达式； （2）先利用平行线和垂直关系，证明与两角对应相等，判定它们相似，再根据相似三角形的对应边成比例，交叉相乘得到结论； （3）①先求出点的坐标和直线的解析式，再通过分析为等腰直角三角形，得到也是等腰直角三角形，最后列方程求解点的横坐标；②用参数表示点、直线上的点，再结合（2）中的相似关系，推导出与的关系，写出面积关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的顶点性质求最大值及对应的、． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 将、两点坐标分别代入中， 可得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）证明：轴， 轴，， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ． （3）①解：点的横坐标，轴于点， ，将代入中， 得， 点的坐标为，即， 设直线的表达式为（）， 将点，分别代入， 可得， 解得， 直线的表达式为， 则点的坐标为，即， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）可知，， ， ， 点的横坐标为， ，， ，解得（舍去），， 点的坐标为； ②解：存在，理由如下： 由题意可知，点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 将代入， 可得， 即， 解得， 则直线的解析式为， 当， ， 点的坐标为， ， 由（2）可知，， ， ，， ，化简得 ， ， ， ， ， ， 当时，，此时取得最大值， 故存在最大值，此时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点09 函数（一次、反比例、二次） 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。 题型01 一次函数的图像与性质 题型02 一次函数与方程、不等式 题型03 反比例函数的图像与性质 题型04 二次函数解析式的求法 题型05 二次函数的图像与性质 题型06 二次函数的最值问题 题型07 二次函数与几何综合（存在性问题） 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 两年：函数部分主要考查一次函数的图像与性质、反比例函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、二次函数解析式的确定、二次函数的最值问题，以及二次函数与几何的综合（存在性问题、最值问题）；这些考点中，二次函数的图像性质与综合应用考查占比最高、难度最大，是湖南中考压轴题的核心载体。试题呈现分层结构：一次函数与反比例函数以选择题、填空题为主（各约3分），难度中等偏下；二次函数连续两年作为压轴解答题（10分）的核心函数，与一次函数、相似三角形、全等三角形、动点问题深度融合，区分度最高。湖南统考命题注重数形结合思想的考查，函数图像与性质的“看图说话”能力、用函数模型解决实际问题的能力是考查重点。 知识点 2025 年湖南统考 2024 年湖南统考 平面直角坐标系与函数概念 第6题（点的平移），选择题，3分 第10题（“整点”“超整点”新定义），选择题，3分 一次函数图像与性质 第15题（100米赛跑函数图像分析），填空题，3分；第26题压轴（与二次函数交点含一次函数），压轴题，10分 第25题（二次函数中求一次函数解析式），解答题，10分 反比例函数图像与性质 第9题（反比例函数 性质判断），选择题，3分 第16题（已知弦长和频率求反比例函数 值），填空题，3分 二次函数解析式与性质 第26题（，待定系数法求解析式），压轴题，10分 第25题（，待定系数法求解析式），解答题，10分 二次函数与几何综合 第26题（二次函数+一次函数→交点→相似→动点最值），压轴题，10分 第25题（二次函数+一次函数→面积定值→线段最值），解答题，10分 预测2026年：函数是中考数学的核心板块，呈现“基础选填+综合压轴”的双层稳定结构。一次函数与反比例函数在选择题或填空题中轮换考查（各约3分），属基础送分题。二次函数连续两年作为压轴题（2024年第25题、2025年第26题），与一次函数、相似三角形、动点问题深度融合，是区分度最高的题目。2026年压轴题大概率仍将以二次函数为主线，结合几何变换（相似、全等）和代数运算（函数交点、最值、存在性）进行综合考查。2026年解答题分值提升至72分，压轴题书写和逻辑表达的规范性要求更高，分类讨论的完整书写是得分关键。还须注意一次函数与反比例函数的综合题（如求交点、比较函数值大小、面积计算等）中间年份末考，2026年在解答题中可能出现。 题型01 一次函数的图像与性质 解｜题｜策｜略 1. 解析式：（） · ： 随 增大而增大，图像从左下到右上（“上坡”） · ： 随 增大而减小，图像从左上到右下（“下坡”） · ：图像与 轴交于正半轴；：交于负半轴；：过原点（正比例函数 ） 2. 两直线平行 ，（ 相同， 不同） 3. 两直线垂直 4. 一次函数图像与坐标轴交点： · 与 轴交点：令 ，得 · 与 轴交点：令，得 方｜法｜指｜导 待定系数法求解析式：已知两点坐标 、，代入 ，解方程组求 、。 含参一次函数图像分析口诀： · 管升降（斜率）， 管截距（与 轴交点） · ，：图像过一、二、三象限 · ，：图像过一、三、四象限 · ，：图像过一、二、四象限 · ，：图像过二、三、四象限 易｜错｜点 1. 的符号与增减性对应关系记反—— 时 随 增大而增大，不是减小； 2. 是与 轴交点的纵坐标，不是与 轴交点的横坐标； 3. 用两点求一次函数解析式时代入坐标顺序颠倒。 【例题1】若点，，在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例题2】对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．当x增加1时，y增加1 B．函数值y随自变量x的增大而增大 C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 【变式1】对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 【变式2】已知点，都在直线上，则的关系是_______（填“”“”或“”） 【变式3】直线与直线关于轴对称，则直线的函数解析式为____________． 题型02 一次函数与方程、不等式 解｜题｜策｜略 1. 一次函数与方程的关系： · 一次函数 与 轴交点的横坐标 = 方程 的解 · 两一次函数图像的交点横坐标 = 方程 的解 2. 一次函数与不等式的关系： · 不等式 的解集：函数图像在 轴上方对应的 范围 · 不等式 的解集： 图像在 图像上方对应的 范围 方｜法｜指｜导 核心方法：“看图说话”。 ① 先求交点横坐标 ； ② 在交点左、右两侧各取一点，比较两函数值大小； ③ 确定上方区域对应的 范围。 解集书写的注意点： · 不等式为 或 ：解集端点用“”或“”，交点处函数值相等不包含在解集中 · 不等式为 或 ：解集端点用“”或“”，含交点对应的 值 易｜错｜点 1. 解集端点是否可取（不等式是 还是 ）判断错误； 2. 的取值范围与 的取值范围混淆——题目要求的是 的范围还是 的范围，务必看清； 3. 时，图像上方对应的 范围与 时恰好相反。 【例题1】已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为_____． 【例题2】已知一次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为______． 【变式1】如图，直线与直线相交于，则不等式的解集为___________． 【变式2】如图，直线和直线相交于，则关于x的不等式的解集为______． 【变式3】如图，已知函数和图象交于点A，点A的横坐标为，则关于x，y的方程组的解是_________． 题型03 反比例函数的图像与性质 解｜题｜策｜略 1. 解析式：（） · ：图像在第一、三象限，在每个象限内 随 增大而减小 · ：图像在第二、四象限，在每个象限内 随 增大而增大 2. 增减性必须加“在每个象限内”的前提，不能跨象限比较 3. 的几何意义（填空选择题高频考点）： · 图像上任一点向两坐标轴作垂线，与原点围成的矩形面积 = · 图像上任一点与原点、两坐标轴围成的直角三角形面积 = 4. 双曲线是中心对称图形（对称中心为原点），也是轴对称图形（对称轴为 和 ） 方｜法｜指｜导 2025年第9题考查了反比例函数 （）的性质正误判断，解题时需逐项对照性质判断： · A项：检验点 是否在图像上 → 代入 ，，错误 · B项：，图像在一、三象限，不在二、四象限，错误 · C项：，当 时 随 增大而减小（不是增大），错误 · D项：，当 时 随 增大而减小，正确 2024年第16题考查了 值的求解：已知乐器弦长 与振动频率 成反比，给出 时 ，代入 → 。 易｜错｜点 1. 增减性叙述时遗漏“在每个象限内”的前提——跨象限不能比较大小； 2. 的几何意义中，面积为 （矩形）或 （三角形），注意取绝对值； 3. 反比例函数图像是两条曲线（双曲线），不是一条直线，也不是抛物线。 【例题1】如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【例题2】对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 【变式1】问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式3】密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度，再利用收集的数据画出关于的反比例图象，如图2所示．下列说法正确的是（    ） A．可能为0 B．若，则 C．密度均匀增加时，深度的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小 题型04 二次函数解析式的求法 解｜题｜策｜略 三种表达式各适用不同条件： 形式 表达式 适用条件 参数含义 一般式 已知任意三点坐标 →开口，→轴交点 顶点式 已知顶点 及另一点 →顶点坐标 交点式 已知与 轴的两交点坐标 →与轴交点横坐标 方｜法｜指｜导 优先用顶点式或交点式减少计算量。由一般式化顶点式用配方法：。 2024年和2025年压轴题的二次函数均为 形式的特殊二次函数（对称轴为 轴），采用待定系数法求解： · 2024年第25题：已知图像过点 ，代入 → → → · 2025年第26题：已知图像过点 ，代入 → → 结合其他条件进一步求解 易｜错｜点 1. 顶点式 中，顶点横坐标为 ，注意 中的负号（顶点 对应 ）； 2. 交点式只能用在与 轴有交点的情况（）， 时抛物线与 轴无交点，交点式无法使用； 3. 待定系数法解方程组时，代入坐标的顺序错误导致方程列错。 【例题1】如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【例题2】已知二次函数的图象顶点为．且过点为，求该抛物线的解析式． 【变式1】已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标． 【变式2】已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是． (1)求、的值． (2)判断点是否在该二次函数图象上，并说明理由． 题型05 二次函数的图像与性质 解｜题｜策｜略 核心参数分析（以一般式 为例）： 参数 决定内容 判断方法 开口方向与大小 开口向上， 开口向下， 越大开口越小 与 共同决定对称轴位置 对称轴 ，“左同右异”： 对称轴在 轴左侧， 在右侧 与 轴交点 交点坐标为 与 轴交点个数 →2个交点，→1个切点，→无交点 方｜法｜指｜导 抛物线的画法口诀（五点法）：对称轴→顶点→与 轴交点→与 轴交点（若有）→对称点。 利用对称性简化计算： · 抛物线上两点纵坐标相同 → 这两点关于对称轴对称 → 横坐标之和的一半 = 对称轴横坐标 · 例：若 ，则对称轴 增减性的判断（以对称轴为界）： · ：对称轴左侧 随 增大而减小，右侧 随 增大而增大 · ：对称轴左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小 易｜错｜点 1. 对称轴公式 的负号容易遗漏—— 前有负号； 2. “左同右异”规则—— 同号对称轴在 轴左侧，异号在右侧，不要记反； 3. 且 时函数值恒为正（图像全在 轴上方）； 且 时函数值恒为负（图像全在 轴下方）。 【例题1】关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 【例题2】已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 【变式3】二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④（为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 二次函数的最值问题 解｜题｜策｜略 情况一：对称轴在自变量取值范围内 二次函数在顶点处取得最值： · 对称轴 · 最值 · 时顶点为最小值点， 时顶点为最大值点 情况二：对称轴不在自变量取值范围内 最值在自变量取值范围的端点处取得，需分别代入两个端点计算函数值后比较。 方｜法｜指｜导 实际情境中最值问题的解题流程： ① 分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型； ② 确定自变量的取值范围（这一步最容易被忽略）； ③ 判断对称轴是否在取值范围内； ④ 求最值并解释实际意义。 面积最值技巧：在二次函数背景的几何面积问题中，常用“铅垂高 × 水平宽 ÷ 2”表示面积 → 得到一个关于动点坐标的二次函数 → 用顶点公式求最大面积。 易｜错｜点 1. 忽略自变量的取值范围，在无实际意义的区间求最值； 2. 时顶点为最大值，但若对称轴不在取值范围内，端点处可能比顶点更小——需要分类讨论； 3. 面积最值中忘记除以 2（铅垂高 × 水平宽后必须 ÷ 2）。 【例题1】已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为______． 【例题2】如图，在中，，，，点，分别在边，上运动，为的中点，若，则的长的最小值为________． F 【变式1】如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为____________________． 【变式2】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【变式3】定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 题型07 二次函数与几何综合（存在性问题） 解｜题｜策｜略 二次函数背景下的几何存在性问题是湖南中考压轴题的最高频题型，常见类型如下： 类型一：等腰三角形存在性 · 设动点坐标 → 三点两两距离相等 → 分三种情况（哪两边为腰）→ 解方程 类型二：直角三角形存在性 · 设动点坐标 → 勾股定理 → 分三种情况（哪个角为直角）→ 解方程 类型三：平行四边形存在性 · 利用“对角线中点重合”列方程组求解（这是最简洁的方法） · 设四个顶点坐标，两条对角线中点坐标相等 → 两个方程 → 求解 类型四：相似三角形存在性 · 设动点坐标 → 分类讨论对应关系 → 对应边成比例 → 解方程 类型五：面积相等/面积比值存在性 · 用坐标表示三角形面积（铅垂高法或底乘高法）→ 建立方程 → 求解 方｜法｜指｜导 动点问题的“标准五步”解法： ① 设点：设定点坐标（横坐标为参数 ，纵坐标用已知函数表达式表示。如 ）； ② 表示：用含 的代数式表示与目标相关的几何量（线段长的平方、面积等）： · 两点间距离平方： · 铅垂高 × 水平宽 ÷ 2（三角形面积） ③ 分类：根据几何条件存在的多种可能进行分类讨论： · 等腰三角形 → 分三种情况讨论哪两边相等 · 直角三角形 → 分三种情况讨论哪个角为直角 · 相似三角形 → 分多种情况讨论对应顶点关系 · 分类讨论的完整性是压轴题得分的关键——少一种情况就少一份分 ④ 列式：每种情况下根据几何等量关系列出关于 的方程（或方程组）； ⑤ 验证：解出 后，代入原问题检验是否满足以下条件： · 点是否在指定函数图像上 · 点是否在定义域内（如在第二象限则 ） · 三点是否构成三角形（不共线） · 是否满足题目中的其他隐含条件 易｜错｜点 1. 分类讨论遗漏情况——建议解题时先在草稿纸上列出所有可能情况，逐项讨论，不漏一种； 2. 解出参数后未验证该点是否符合题意——这是压轴题“会做但不得分”的主要原因； 3. 用坐标差表示线段长时忘记取绝对值或平方，导致符号错误； 4. 相似三角形存在性问题中对应关系分析不全——相似三角形的对应关系与全等不同，对应顶点有多种可能； 5. 平行四边形存在性的“中点法”使用条件：四个顶点坐标已知（或可以用参数表示）； 6. 求出多个解时未检验是否都在定义域内，导致多解。 【例题1】如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 【例题2】在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，对称轴为直线，且对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，抛物线与交于点． ①点是抛物线上的点，若的最大值与之差为9，求的值； ②是否存在以为直角边的？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在， 【变式2】如图1，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求m的值． (2)如图2，过点D作轴于点E，连接，，． ①求的正切值． ②若点N是第三象限内抛物线上的一动点，射线上是否存在点P，使得与相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． (3)已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． （20分钟限时练） 1．将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（    ） A．2 B．1 C． D． 2．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 3．已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 7．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 8．将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 9．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A，点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线（）经过点，，与轴交于点，是第四象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，过点作直线交抛物线于另一点．过点作平行于轴的直线交轴于点，过点作平行于轴的直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)设点的横坐标为，点的横坐标为． ①当时，求出此时点的坐标； ②连接，在点的运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出取最大值时，的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $