2026年中考数学二轮信息必刷卷02（无锡专用）

**基本信息** 聚焦无锡中考“素养立意”新动向，以AI、新能源、无锡地标等真实情境为载体，通过二次函数与几何动点结合（第27题）、新定义问题（第10题）等设计，考查用数学解决真问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数（分式、函数）、几何（旋转）|第10题新定义“变函数”，考查抽象与推理能力| |填空题|8/24|统计（科学记数法）、几何（折叠）|第18题平行四边形折叠，综合轴对称与临界分析| |解答题|10/96|函数与几何综合、实践操作|第26题测量南禅寺妙光塔高度，体现情境建模；第25题尺规作图+推理计算，形成闭环|

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：结合无锡市教育局发布的《2026年无锡市初中学业水平考试方案》及近期教研风向，2026年无锡中考数学的核心变化可概括为：“素养立意”取代“知识本位”。题目不再单纯考计算，而是重在考查“用数学解决真问题”的能力。试卷仍遵循 6:3:1（基础:中档:难题）原则。确保基础题（计算、基本定理）零失误，是得分的关键。 中考·新考法：代数：从“套公式”到“情境建模+多解开放”，如第13题写出单项式 的一个同类型； 函数（二次函数/一次函数）：不再是孤立的求解析式，而是与几何动点（相似、面积）捆绑。如第27题将二次函数与等腰三角形存在性结合，考查含参讨论与距离公式的灵活运用； 几何（四边形/相似）：操作探究是主流，如第18题考查平行四边形折叠，要求自主构图并分析折痕取值范围，综合了轴对称性质与临界分析。 中考·新情境：融入当年科技、社会、文化热点，如AI、新能源、航天、环保、无锡地标/产业，题干新数据、新事件，时效性强。 统计与概率：从“算结果”到“数据分析+决策”，结合“无锡文旅、垃圾分类、学生体质”等真实数据，考条形/扇形/折线图、平均数、方差、概率；要求分析数据、推断结论、提出建议，而非单纯计算，如第23题请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议； 实际应用新情境：如第26题，从测量校内旗杆的高度为背景，过度到测量南禅寺妙光塔的高度，纯数字计算题减少，文字阅读量增大，要求学生具备从长题干中快速提取数学信息、建立模型（函数、方程）的能力。 命题·大预测：①新定义问题（第10题、第18题或第28题）是近几年的中考热点问题之一，涉及函数新定义、几何新定义、代数新定义、几何探究等题型，涉及函数、几何、代数等多知识点，综合性较强。解题时逐字翻译，圈关键词，对应到熟悉知识（函数对称、折叠性质、中心对称），不慌新名词，多选/多结论→逐个验证；几何→分类讨论；函数→代入计算，不要脑补条件，严格按定义来； ②尺规作图（第25题）是中考必考题型之一，属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。从“依令画图”升级为“作图+推理+计算”闭环（如正方形中满足某条件的点并求长度）。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．2026的倒数是（　　） A．﹣2026 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可． 【解答】解：∵20261， ∴2026的倒数是． 故选：B． 2．要使分式有意义，字母x须满足（　　） A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≥﹣2 D．x≥2 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件可得：x﹣2≠0，即可得出答案． 【解答】解：要使分式有意义， 则x﹣2≠0， ∴x≠2． 故选：B． 3．下列计算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（﹣a）2＝a2 C．a4•a＝a4 D．a2+a4＝a8 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项的运算法则进行判断． 【解答】解：A、2a+3a＝（2+3）a＝5a≠5a2，选项计算错误，不符合题意； B、（﹣a）2＝（﹣1）2•a2＝a2，选项计算正确，符合题意； C、a4•a＝a4+1＝a5≠a4，选项计算错误，不符合题意； D、a2和a4不是同类项，不能合并，a2+a4≠a8，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 4．某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，95，95，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 【答案】B 【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：∵95出现的次数最多， ∴众数为95． 将这组数据重新排列为88，94，95，95，95，95，95，位于中间的数是95， ∴中位数是95． ∴这组数据的中位数为95，众数为95， 故选：B． 5．能说明命题“若a2＞25，则a＞5”是假命题的反例是（　　） A．a＝5 B．a＝6 C．a＝﹣6 D．a＝﹣4 【答案】C 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到满足命题条件、但不满足命题结论的反例，本题只需验证哪个选项满足a2＞25，且不满足a＞5即可． 【解答】解：逐项验证选项满足a2＞25，且不满足a＞5如下： A、当a＝5时，a2＝25，不满足a2＞25，不符合要求； B、当a＝6时，a2＝36＞25，且6＞5，满足结论，不符合要求； C、当a＝﹣6时，a2＝（﹣6）2＝36＞25，满足条件，且﹣6＜5，不满足结论，符合反例要求； D、当a＝﹣4时，a2＝16＜25，不满足条件，不符合要求． 故选：C． 6．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原计划每天植树x棵，可得实际每天植树2x棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可． 【解答】解：根据结果提前5天完成任务可得：． 故选：A． 7．一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A．15π cm2 B．30π cm2 C．15cm2 D．30cm2 【答案】A 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而根据扇形的面积公式可计算出这个圆锥的侧面积． 【解答】解：∵一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm， ∴这个圆锥的侧面积2π×3×5＝15π（cm2）． 故选：A． 8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C对应点分别为D、E．若∠B＝55°，当点B、C、D、P在同一条直线上时，则∠PDE的度数为（　　） A．55° B．70° C．80° D．110° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝55°， ∴∠ABC＝∠ADB＝55°， ∴∠PDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝70°， 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y（x＞0），y（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为8，，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【答案】D 【分析】由反比例函数系数k的几何意义可得S矩形AEOM＝6，S矩形OEBN＝|k|＝﹣k，根据三角形的面积公式可得，进而求出S△ADB＝5，再求出S矩形ABNM和S矩形OEBN即可． 【解答】解：如图，过点A、点B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N， ∵点A，B分别在函数y（x＞0），y（x＜0）的图象上， 由反比例函数系数k的几何意义可知， ∴S矩形AEOM＝6，S矩形OEBN＝|k|＝﹣k， 又∵，而S△ABC＝8， ∴S△ADB＝5， ∵S△ADBS矩形ABNM， ∴S矩形ABNM＝2S△ADB＝10， ∴S矩形OEBN＝10﹣6＝4＝﹣k， ∴k＝﹣4， 故选：D． 10．定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称y2是y1的“变函数”． 例如：函数，它的“变函数”解析式为．则关于函数，该函数图象经过点（﹣2，2）． ①该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；②当a＜0，﹣2≤x≤2时，8a+2≤y1≤﹣a+2；③若点（1，m）、（2，n）均在抛物线上，则mn的最小值为；④若y2是y1的“变函数”，y2的函数图象仍然关于直线x＝﹣1对称；⑤若y2是y1的“变函数”，直线y＝t与y2的函数图象恰好有两个交点时，t1＝2，t2＝2+a． 则其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】先根据已知点坐标推导出b＝2a，得到y1的解析式，再逐一判断每个结论，结合变函数定义分析即可． 【解答】解：由条件可得2＝a•（﹣2）2+b•（﹣2）+2， 整理得b＝2a， ∴， ①对称轴为直线，故①正确，符合题意； ②当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1， 在﹣2≤x≤2范围内，顶点在对称轴处，函数取得最大值，离对称轴距离最远，函数取得最小值， 当x＝﹣1时，，为最大值， 当x＝2时，，为最小值， ∴8a+2≤y1≤﹣a+2，故②正确，符合题意； ③∵点（1，m），（2，n）在抛物线上， ∴m＝3a+2，n＝8a+2， ∴， ∵24＞0， ∴mn的最小值为，故③正确，符合题意； ④根据定义，， 取x＝﹣3，它关于x＝﹣1的对称点为x＝1， 当x＝﹣3时，y2＝﹣3a+2，当x＝1时，y2＝3a+2， ∵a≠0， ∴﹣3a+2≠3a+2， 故y2不关于x＝﹣1对称，④错误，不符合题意； ⑤x＜0时，，顶点为（﹣1，a+2）， 当t＝2时，直线与y2恰好有2个交点；当t＝2+a时，直线也恰好与y2有2个交点，故⑤正确，符合题意； 综上，正确结论共4个． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．分解因式：x2y﹣y＝y（x+1）（x﹣1）　 ． 【答案】y（x+1）（x﹣1） 【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：x2y﹣y ＝y（x2﹣1） ＝y（x+1）（x﹣1）． 故答案为：y（x+1）（x﹣1）． 12．若有意义，则x的取值范围为 x≥﹣7　 ． 【答案】x≥﹣7． 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，由此列出不等式求解． 【解答】解：根据题意可知，x+7≥0， 解得：x≥﹣7． 故答案为：x≥﹣7． 13．2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为　2.5×104 ． 【答案】2.5×104． 【分析】根据科学记数法的定义，确定a和n的值即可得到答案． 【解答】解：25000＝2.5×104． 故答案为：2.5×104． 14．九边形的内角和为　1260　 度． 【答案】1260 【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入求值即可． 【解答】解：九边形的内角和为（9﹣2）•180＝1260°． 15．当﹣1≤x≤4时，一次函数的最大值是　　 ． 【答案】． 【分析】根据可知一次函数中，y随x的增大而减小，因此x取最小值时，y取得最大值，代入计算即可得到结果． 【解答】解：∵， ∴一次函数中，y随x的增大而减小． ∵当﹣1≤x≤4时，一次函数的最大值为x＝1时， 此时． 故答案为：． 16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．书中有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？“其大意是：“如图所示，已知长方形门的高比宽多6尺8寸（6尺8寸＝6.8尺）．门的对角线长1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”若设宽为x尺，则可列方程为x2+（x+6.8）2＝100　 ． 【答案】x2+（x+6.8）2＝100． 【分析】根据“矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”设宽为x尺，则高是（x+6.8）尺，即可列出方程． 【解答】解：设矩形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺， 根据题意得x2+（x+6.8）2＝100， 故答案为：x2+（x+6.8）2＝100． 17．如图，直线与圆O没有公共点，从点O向直线引垂线OA，垂足为A，线段OA交圆O于点M，若OA＝3，圆O的半径为2．点P为圆O上一动点，且PB⊥AB于点B，则AB+PB最大值为　　 ． 【答案】． 【分析】过点P作PN⊥OA于点N，连接OP，由四边形ABPN是矩形，设AB＝PN＝x，结合勾股定理分别表示出AB，PB，根据P的不同位置分情况讨论AB+PB的最大值即可． 【解答】解：过点P作PN⊥OA于点N，连接OP， ∵PB⊥AB，OA⊥AB， ∴∠PBA＝∠BAO＝∠PNA＝90°， ∴四边形ABPN是矩形， 设AB＝PN＝x， ∵在Rt△PNO中，OP＝2， ∴， 当P在O的右侧且不在直线OA上时， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，AB+PB最大， 令， 则， ∴当x2＝2，即时，y有最大值， ∴故当时，y最大为，此时AB+PB最大值为：； ∵， ∴当时，y最大为，此时AB+PB最大值为：． 当P在O的左侧时， ∴， ∴， ∵， ∴当x＞0时，随x的增大而增大， 即当x＝2时，AB+PB最大为：5； 故答案为：． 18．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在AB，CD上．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在边BC上的点H处，点D的对应点为M，CD与HM交于点P． （1）若∠AEF＝α，则∠CPH＝　2α﹣90°　 ．（用含α的式子表示） （2）若，，则BH的长为　　 ． 【答案】2α﹣90°，． 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得∠B＝∠A＝∠C＝90°，由折叠可得∠EHM＝∠A＝90°，∠AEF＝∠HEF＝α，从而得2α＝∠CPH+90°，进而即可得解； （2）由，设BH＝4x，BE＝3x（x＞0），则．由折叠性质得，∠MHE＝∠A＝∠D＝∠M＝90°，AE＝EH＝5x，DF＝MF，BC＝AD＝MH．AB＝AE+BE＝8x，证明△CHP∽△BEH，得，即，解得，，，证明△CHP∽△MFP，得，即，解得MF＝2x，在Rt△EFG中，利用勾股定理得，解得，进而． 【解答】解：（1）∵∠B＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC， 由折叠可得∠EHM＝∠A＝90°，∠AEF＝∠HEF＝α， ∴∠CPH＝90°﹣CHP＝∠EHB， ∵∠AEH＝∠EHB+∠B， ∴2α＝∠CPH+90°， ∠CPH＝2α﹣90°， 故答案为：2α﹣90°； （2）过点F作FG⊥AB于G，则DF＝AG，FG＝AD＝BC， ∵， ∴设BH＝4x，BE＝3x（x＞0），则． ∵∠MHE＝∠A＝∠D＝∠M＝90°，AE＝EH＝5x，DF＝MF，BC＝AD＝MH． ∴AB＝AE+BE＝8x， ∵， ∴BC＝6x， ∴CH＝BC﹣BH＝6x﹣4x＝2x， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90， ∴∠CHP+∠CPH＝90°， 又∵∠MHE＝∠A＝90°， ∴∠CHP+∠BHE＝90°， ∴∠CPH＝∠BHE， ∴△CHP∽△BEH， ∴，即， 解得，， ∴， ∵∠M＝∠C＝90°，∠MPF＝∠CPH， ∴△CHP∽△MFP， ∴，即， 解得MF＝2x， ∴DF＝MF＝2x， ∴GE＝AB﹣AG﹣BE＝AB﹣DF﹣BE＝3x， ∵FG2+EG2＝EF2， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）解方程：4x2﹣8x+1＝0； （2）解不等式组：． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答； （2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】（1）4x2﹣8x+1＝0， x2﹣2x0， x2﹣2x， x2﹣2x+11， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x1＝1，x2＝1． （2）解：解不等式①得，x＞﹣1， 解不等式②得，x≤2， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2． 20．（8分）先化简，再从﹣1，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 【分析】先化简所求式子，再从﹣1，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • • • ， ∵当x＝﹣1，0，1时，原分式无意义， ∴x＝2， 当x＝2时，原式． 21．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F． （1）求证：△ADF≌△CBE． （2）若∠A＝40°，求∠BEC的度数． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，则∠ADC＝∠CBA，AD＝CB，∠A＝∠C，根据角平分线，得出，，则∠ADF＝∠CBE，推出△ADF≌△CBE（ASA）； （2）因为四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，AB∥CD，推出∠BEC＝∠ABE，∠A+∠ABC＝180°，则∠ABC＝140°，根据BE平分∠ABC，则∠ABE＝70°，则∠BEC＝70°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠CBA，AD＝CB，∠A＝∠C， ∵DF平分∠ADC，BE平分∠ABC， ∴，， ∴∠ADF＝∠CBE， ∴△ADF≌△CBE（ASA）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠ABE，∠A+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝140°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝70°， ∴∠BEC＝70°． 22．（10分）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3的3个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是　　 ； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知：有9种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有4种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 23．（10分）某校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球，排球，篮球，羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生共有　50　 人，m＝　24　 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为　28.8　 °； （4）若该校有2000名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 【分析】（1）用排球的人数除以36%可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出m的值； （2）用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数，再补全条形统计图即可； （3）用360°乘羽毛球对应的百分比即可得到答案； （4）用样本估计总体进行计算即可． 【解答】解：（1）样本容量为：18÷36%＝50， 故m24， 故答案为：50；24； （2）篮球人数为：50﹣12﹣18﹣4＝16， 补全条形统计图如下： （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为：360°28.8°， 故答案为：28.8； （4）2000480（人）． 答：估计该校最喜欢足球运动的学生约有480人． 24．（10分）如图，在△ABC中，AD是中线． （1）将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF，其中E是点B的对应点，点D的对应点G恰好落在CB的延长线上，请用无刻度直尺与圆规作出旋转后的△AEF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接EB，FB，若∠EBF＝90°，求∠ABC的大小． 【分析】（1）以A为圆心，AD为半径作弧交CB的延长线于点G，连接AG，在AG的左侧作∠AGT＝∠ADB，以G为圆心，DB为半径作弧交直线GT于点E，F，连接AE，AF，△AEF即为所求； （2）证明BG＝DB，再利用等腰三角形的性质求解． 【解答】解：（1）如图，△AEF即为所求； （2）如图，连接BE，BF． ∵∠EBF＝90°，EG＝GF， ∴GB＝GE＝GF， ∵DB＝DC＝EG＝GF， ∴BG＝BD， ∵AG＝AD， ∴AB⊥GD， ∴∠ABC＝90°． 25．（10分）如图，BC为⊙O直径，BA为⊙O的切线，D为⊙O上一点，且满足BD＝BA，连接CD、AD，线段AD交直径BC于点E，交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：BF＝EF； （2）若，OE＝5，求⊙O的半径． 【分析】（1）由BD＝BA，得∠BDA＝∠A，因为BC为⊙O的直径，所以∠BDC＝90°，因为∠FBE＝∠FDC，∠FBE+∠BDA＝∠FDC+∠BDA＝90°，由切线的性质得∠ABO＝90°，则∠FEB+∠A＝90°，所以∠FBE＝∠FEB，则BF＝EF． （2）设EB＝m，连接CF，则∠CFB＝∠ABE＝90°，可证明∠FBA＝∠A，则AF＝BF＝EF，因为，OE＝5，所以BF＝EFEBm，OC＝OB＝5+m，则AE＝2EF＝3m，BC＝2OB＝10+2m，因为∠BCF＝∠BDA＝∠A，所以sin∠BCF＝sinA，则BC＝3BF，于是得10+2m＝3，求得m＝4，则OB＝9，所以⊙O的半径长为9． 【解答】（1）证明：∵BD＝BA， ∴∠BDA＝∠A， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∵∠FBE＝∠FDC， ∴∠FBE+∠BDA＝∠FDC+∠BDA＝90°， ∵BA为⊙O的切线， ∴BA⊥OB， ∴∠ABO＝90°， ∴∠FEB+∠A＝90°， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴BF＝EF． （2）解：设EB＝m，连接CF，则∠CFB＝∠ABE＝90°， ∵∠FBA+∠FBE＝90°，∠A+∠FEB＝90°，且∠FBE＝∠FEB， ∴∠FBA＝∠A， ∴AF＝BF＝EF， ∵，OE＝5， ∴BF＝EFEBm，OC＝OB＝5+m， ∴AE＝2EF＝3m，BC＝2OB＝10+2m， ∵∠BCF＝∠BDA＝∠A， ∴sin∠BCF＝sinA， ∴BC＝3BF， ∴10+2m＝3， 解得m＝4， ∴OB＝5+4＝9， ∴⊙O的半径长为9． 26．（10分）综合实践：照明节能改造方案调研与设计 一、项目背景 为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议，数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研．目前，校园内部分路灯因设计年代较早，存在光照不均匀、能耗较高等问题，小组成员需要先测量现有路灯的各项参数，再结合相似三角形、比例关系等数学知识，分析改造方案． 二、实践任务 任务一基础测量——两种方法测灯高 情境：校园主干道上的路灯由主杆AB和悬臂AC构成，悬臂与地面平行．为了获取准确数据，小组分别设计了两种测量方案． 方案1（影子比例法） 如图1，在路灯CD旁竖直立一根MN＝2m的标杆，测得标杆影长NP＝3m，标杆底部到路灯底部的水平距离DN＝4.5m． 问题1：请计算路灯CD的高度． 方案2（共线投影法） 如图2，将一根长为2m的标杆MN竖直立于地面，调整位置使得：主杆顶端A、标杆顶端M、地面点P三点共线；路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线．已知EP＝1m，路灯悬臂底部D到主杆底部B的水平距离BD＝1.5m，且B、D、N、E、P在同一水平线上． 问题2：求主杆AB的高度． 任务二：节能分析——改造前后对比 原路灯使用0.25千瓦高压钠灯，改造后拟使用0.16千瓦的LED灯，LED灯的照明效率更高． 问题3：若校园内共有此类路灯20盏，每晚点亮3小时，电费0.6元/千瓦时，估算改造后每学期（按100天计算）节约的电费． 【分析】问题一：证明△PMN∽△PCD，得到，进而根据已知条件计算即可； 问题二：证明△MAC∽△MPE，△EMN∽△ECD，得到，，进而根据已知条件计算即可； 问题三：求出用电量的变化，再乘以电费、点亮时间、路灯数、天数即可． 【解答】问题1：由题意知MN∥CD， ∴△PMN∽△PCD， ∴． 又∵DN＝4.5m，MN＝2m，NP＝3m， ∴， ∴CD＝5m． 答：路灯CD的高度为5m； 问题二：由题意知：AC∥EP，MN∥AB，AC＝BD＝1.5m， ∴△EMN∽△ECD，△MAC∽△MPE， ∵△MAC∽△MPE， ∴， ∵△EMN∽△ECD， ∴， 又MN＝2m， ∴CD＝5m，即AB＝5m． 答：主杆AB的高度为5m； 问题3：（0.25﹣0.16）×0.6×3×20×100＝324（元）， 答：改造后，每学期可节约324元的电费． 27．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点F在BC上，点E在AD上，连接EF，将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点H，G． （1）如图1，当点G落在CD边上时，连接BG． ①求的值； ②若BF＝5，求AE的长； （2）如图2，若保持BF＝5，点E在AD上移动（可与点A，D重合），试确定DG的长度范围． 【分析】（1）①过点A作AP∥EF，交BC于点P，交BG于点Q，结合矩形的性质推导出四边形APFE为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出△ABP∽△BCG，再运用相似的性质即可求解； ②连接BE，EG，根据折叠求出BE＝EG，BF＝FG＝5，根据矩形性质求出∠C＝90°，AB＝CD＝6，BC＝8，再根据勾股定理求出CG的值，最后设AE＝x，根据BE2＝AB2+AE2＝EG2＝DE2+DG2，列出方程求解即可； （2）由FG＝BF（定值），将G的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点F，G，D在一条直线上时，DG最小求解，根据当点E与点D重合时，DG最大求解． 【解答】解：（1）①如图1.1，四边形ABCD为矩形，过点A作AP∥EF，交BC于点P，交BG于点Q． ∴AD∥BC， ∴四边形APFE为平行四边形， ∴AP＝EF． ∵点B，G关于直线EF对称， ∴EF⊥BG， ∴AP⊥BG， ∴∠BAP+∠ABQ＝90°， ∵∠CBG+∠ABQ＝90°， ∴∠BAP＝∠CBG， 又∵∠ABP＝∠BCG＝90°， ∴△ABP∽△BCG， ∴，即； ②如图1.2，点B，G关于直线EF对称，BF＝5，连接BE，EG． ∴BE＝EG，BF＝FG＝5， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD＝6，BC＝8， ∴CF＝BC﹣BF＝8﹣5＝3， 在直角三角形CFG中，由勾股定理得：， ∴DG＝CD﹣CG＝6﹣4＝2， 设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝8﹣x， 由BE2＝AB2+AE2＝EG2＝DE2+DG2，得：62+x2＝（8﹣x）2+22， 解得：x＝2， ∴AE的长为2； （2）当点E在AD上移动时，点G在以点F为圆心，FG的长为半径的圆弧上， 如图2，当点F，G，D在一条直线上时，DG最小， ∴； 如图3，当点E与点D重合时，DG最大， ∵点B，G关于直线EF对称， ∴BE＝DG， ∴， ∴DG的长度范围是． 28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线，经过点（2，1）． （1）用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N． ①若a＝1，t＝2，则MN＝　1　 ； ②已知点A（a，0），B（2a，0），在点P从点A运动到点B的过程中，MN的长随AP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点（2，1），则1＝4a+2b+1，从而可以计算得解； （2）①依据题意，由a＝1，t＝2，结合（1）可得，b＝﹣2a＝﹣2，则抛物线y1＝x2﹣2x+1，y2x2+1，又P（2，0），从而M（2，1），N（2，2），进而计算可以得解； ②依据题意，可得M（t，at2﹣2at+1），，进而分两种情况进行分析计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线经过点（2，1）， ∴1＝4a+2b+1． ∴b＝﹣2a； （2）①由题意，∵a＝1，t＝2， ∴结合（1）可得，b＝﹣2a＝﹣2， ∴抛物线y1＝x2﹣2x+1，y2x2+1． 又∵P（2，0）， ∴M（2，1），N（2，2）， ∴MN＝1． 故答案为：1； ②∵过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N， ∴M（t，at2﹣2at+1），． 分两种情况： 情况1：当a＞0时， （i）当时，， ∴． ∴函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随t的增大而增大，当时，y随t的增大而减小． ∵AP＝t﹣a， ∴当时符合题意，时不符合题意． ∴； （ⅱ）当时，， ∴． ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随t的增大而减小，当时，y随t的增大而增大． ∵AP＝t﹣a， ∴时符合题意． ∴． 情况2：当a＜0时， ∵2a≤t≤a＜0， ∴． ∴． ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随t的增大而减小，当时，y随t的增大而增大． ∵AP＝a﹣t， ∴当时，y随 a﹣t的增大而增大，当时，y随a﹣t的增大而减小． 当t＜0时，即MN的长随AP的长的增大而增大． ∴当a＜0时符合题意． 综上所述，a的取值范围是a＜0或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B B C A A B D A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．y（x+1）（x﹣1） 12．x≥﹣7 13．2.5×104 14．1260 15． 16．x2+（x+6.8）2＝100 17． 18．2α﹣90°， 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】（1）4x2﹣8x+1＝0， x2﹣2x0， x2﹣2x， x2﹣2x+11， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x1＝1，x2＝1．（4分） （2）解：解不等式①得，x＞﹣1， 解不等式②得，x≤2， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．（8分） 20．（8分） 【详解】解： • • • ，（5分） ∵当x＝﹣1，0，1时，原分式无意义， ∴x＝2，（7分） 当x＝2时，原式．（8分） 21．（10分） 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠CBA，AD＝CB，∠A＝∠C， ∵DF平分∠ADC，BE平分∠ABC， ∴，， ∴∠ADF＝∠CBE， ∴△ADF≌△CBE（ASA）；（5分） （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠ABE，∠A+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝140°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝70°， ∴∠BEC＝70°．（10分） 22．（10分） 【详解】解：（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：；（3分） （2）根据题意，画树状图如下： （8分） 由树状图可知：有9种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有4种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．（10分） 23．（10分） 【详解】解：（1）样本容量为：18÷36%＝50， 故m24， 故答案为：50；24；（3分） （2）篮球人数为：50﹣12﹣18﹣4＝16， 补全条形统计图如下： （5分） （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为：360°28.8°， 故答案为：28.8；（7分） （4）2000480（人）． 答：估计该校最喜欢足球运动的学生约有480人．（10分） 24．（10分） 【详解】解：（1）如图，△AEF即为所求； （5分） （2）如图，连接BE，BF． ∵∠EBF＝90°，EG＝GF， ∴GB＝GE＝GF， ∵DB＝DC＝EG＝GF， ∴BG＝BD， ∵AG＝AD， ∴AB⊥GD， ∴∠ABC＝90°．（10分） 25．（10分） 【详解】（1）证明：∵BD＝BA， ∴∠BDA＝∠A， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∵∠FBE＝∠FDC， ∴∠FBE+∠BDA＝∠FDC+∠BDA＝90°， ∵BA为⊙O的切线， ∴BA⊥OB， ∴∠ABO＝90°， ∴∠FEB+∠A＝90°， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴BF＝EF．（5分） （2）解：设EB＝m，连接CF，则∠CFB＝∠ABE＝90°， ∵∠FBA+∠FBE＝90°，∠A+∠FEB＝90°，且∠FBE＝∠FEB， ∴∠FBA＝∠A， ∴AF＝BF＝EF， ∵，OE＝5， ∴BF＝EFEBm，OC＝OB＝5+m， ∴AE＝2EF＝3m，BC＝2OB＝10+2m， ∵∠BCF＝∠BDA＝∠A， ∴sin∠BCF＝sinA， ∴BC＝3BF， ∴10+2m＝3， 解得m＝4， ∴OB＝5+4＝9， ∴⊙O的半径长为9．（10分） 26．（10分） 【详解】问题1：由题意知MN∥CD， ∴△PMN∽△PCD， ∴． 又∵DN＝4.5m，MN＝2m，NP＝3m， ∴， ∴CD＝5m． 答：路灯CD的高度为5m；（4分） 问题二：由题意知：AC∥EP，MN∥AB，AC＝BD＝1.5m， ∴△EMN∽△ECD，△MAC∽△MPE， ∵△MAC∽△MPE， ∴， ∵△EMN∽△ECD， ∴， 又MN＝2m， ∴CD＝5m，即AB＝5m． 答：主杆AB的高度为5m；（8分） 问题3：（0.25﹣0.16）×0.6×3×20×100＝324（元）， 答：改造后，每学期可节约324元的电费．（10分） 27．（10分） 【详解】解：（1）①如图1.1，四边形ABCD为矩形，过点A作AP∥EF，交BC于点P，交BG于点Q． ∴AD∥BC， ∴四边形APFE为平行四边形， ∴AP＝EF． ∵点B，G关于直线EF对称， ∴EF⊥BG， ∴AP⊥BG， ∴∠BAP+∠ABQ＝90°， ∵∠CBG+∠ABQ＝90°， ∴∠BAP＝∠CBG， 又∵∠ABP＝∠BCG＝90°， ∴△ABP∽△BCG， ∴，即；（3分） ②如图1.2，点B，G关于直线EF对称，BF＝5，连接BE，EG． ∴BE＝EG，BF＝FG＝5， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD＝6，BC＝8， ∴CF＝BC﹣BF＝8﹣5＝3， 在直角三角形CFG中，由勾股定理得：， ∴DG＝CD﹣CG＝6﹣4＝2， 设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝8﹣x， 由BE2＝AB2+AE2＝EG2＝DE2+DG2，得：62+x2＝（8﹣x）2+22， 解得：x＝2， ∴AE的长为2；（6分） （2）当点E在AD上移动时，点G在以点F为圆心，FG的长为半径的圆弧上， 如图2，当点F，G，D在一条直线上时，DG最小， ∴； 如图3，当点E与点D重合时，DG最大， ∵点B，G关于直线EF对称， ∴BE＝DG， ∴， ∴DG的长度范围是．（10分） 28．（10分） 【详解】解：（1）由题意，∵抛物线经过点（2，1）， ∴1＝4a+2b+1． ∴b＝﹣2a；（2分） （2）①由题意，∵a＝1，t＝2， ∴结合（1）可得，b＝﹣2a＝﹣2， ∴抛物线y1＝x2﹣2x+1，y2x2+1． 又∵P（2，0）， ∴M（2，1），N（2，2）， ∴MN＝1． 故答案为：1；（4分） ②∵过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N， ∴M（t，at2﹣2at+1），． 分两种情况： 情况1：当a＞0时， （i）当时，， ∴． ∴函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随t的增大而增大，当时，y随t的增大而减小． ∵AP＝t﹣a， ∴当时符合题意，时不符合题意． ∴；（6分） （ⅱ）当时，， ∴． ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随t的增大而减小，当时，y随t的增大而增大． ∵AP＝t﹣a， ∴时符合题意． ∴．（7分） 情况2：当a＜0时， ∵2a≤t≤a＜0， ∴． ∴． ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随t的增大而减小，当时，y随t的增大而增大． ∵AP＝a﹣t， ∴当时，y随 a﹣t的增大而增大，当时，y随a﹣t的增大而减小．（9分） 当t＜0时，即MN的长随AP的长的增大而增大． ∴当a＜0时符合题意． 综上所述，a的取值范围是a＜0或或．（10分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：结合无锡市教育局发布的《2026年无锡市初中学业水平考试方案》及近期教研风向，2026年无锡中考数学的核心变化可概括为：“素养立意”取代“知识本位”。题目不再单纯考计算，而是重在考查“用数学解决真问题”的能力。试卷仍遵循 6:3:1（基础:中档:难题）原则。确保基础题（计算、基本定理）零失误，是得分的关键。 中考·新考法：代数：从“套公式”到“情境建模+多解开放”，如第13题写出单项式 的一个同类型； 函数（二次函数/一次函数）：不再是孤立的求解析式，而是与几何动点（相似、面积）捆绑。如第27题将二次函数与等腰三角形存在性结合，考查含参讨论与距离公式的灵活运用； 几何（四边形/相似）：操作探究是主流，如第18题考查平行四边形折叠，要求自主构图并分析折痕取值范围，综合了轴对称性质与临界分析。 中考·新情境：融入当年科技、社会、文化热点，如AI、新能源、航天、环保、无锡地标/产业，题干新数据、新事件，时效性强。 统计与概率：从“算结果”到“数据分析+决策”，结合“无锡文旅、垃圾分类、学生体质”等真实数据，考条形/扇形/折线图、平均数、方差、概率；要求分析数据、推断结论、提出建议，而非单纯计算，如第23题请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议； 实际应用新情境：如第26题，从测量校内旗杆的高度为背景，过度到测量南禅寺妙光塔的高度，纯数字计算题减少，文字阅读量增大，要求学生具备从长题干中快速提取数学信息、建立模型（函数、方程）的能力。 命题·大预测：①新定义问题（第10题、第18题或第28题）是近几年的中考热点问题之一，涉及函数新定义、几何新定义、代数新定义、几何探究等题型，涉及函数、几何、代数等多知识点，综合性较强。解题时逐字翻译，圈关键词，对应到熟悉知识（函数对称、折叠性质、中心对称），不慌新名词，多选/多结论→逐个验证；几何→分类讨论；函数→代入计算，不要脑补条件，严格按定义来； ②尺规作图（第25题）是中考必考题型之一，属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。从“依令画图”升级为“作图+推理+计算”闭环（如正方形中满足某条件的点并求长度）。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．2026的倒数是（　　） A．﹣2026 B． C．2026 D． 2．要使分式有意义，字母x须满足（　　） A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≥﹣2 D．x≥2 3．下列计算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（﹣a）2＝a2 C．a4•a＝a4 D．a2+a4＝a8 4．某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，95，95，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 5．能说明命题“若a2＞25，则a＞5”是假命题的反例是（　　） A．a＝5 B．a＝6 C．a＝﹣6 D．a＝﹣4 6．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A．15π cm2 B．30π cm2 C．15cm2 D．30cm2 8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C对应点分别为D、E．若∠B＝55°，当点B、C、D、P在同一条直线上时，则∠PDE的度数为（　　） A．55° B．70° C．80° D．110° 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y（x＞0），y（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为8，，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 10．定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称y2是y1的“变函数”． 例如：函数，它的“变函数”解析式为．则关于函数，该函数图象经过点（﹣2，2）． ①该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；②当a＜0，﹣2≤x≤2时，8a+2≤y1≤﹣a+2；③若点（1，m）、（2，n）均在抛物线上，则mn的最小值为；④若y2是y1的“变函数”，y2的函数图象仍然关于直线x＝﹣1对称；⑤若y2是y1的“变函数”，直线y＝t与y2的函数图象恰好有两个交点时，t1＝2，t2＝2+a． 则其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．分解因式：x2y﹣y＝　 ． 12．若有意义，则x的取值范围为　 ． 13．2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为　 ． 14．九边形的内角和为　 度． 15．当﹣1≤x≤4时，一次函数的最大值是　 ． 16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．书中有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？“其大意是：“如图所示，已知长方形门的高比宽多6尺8寸（6尺8寸＝6.8尺）．门的对角线长1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”若设宽为x尺，则可列方程为　 ． 17．如图，直线与圆O没有公共点，从点O向直线引垂线OA，垂足为A，线段OA交圆O于点M，若OA＝3，圆O的半径为2．点P为圆O上一动点，且PB⊥AB于点B，则AB+PB最大值为　 ． 18．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在AB，CD上．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在边BC上的点H处，点D的对应点为M，CD与HM交于点P． （1）若∠AEF＝α，则∠CPH＝　 ．（用含α的式子表示） （2）若，，则BH的长为　 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）解方程：4x2﹣8x+1＝0； （2）解不等式组：． 20．（8分）先化简，再从﹣1，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 21．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F． （1）求证：△ADF≌△CBE． （2）若∠A＝40°，求∠BEC的度数． 22．（10分）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3的3个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是　 ； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23．（10分）某校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球，排球，篮球，羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生共有　 人，m＝　 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为　 ； （4）若该校有2000名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 24．（10分）如图，在△ABC中，AD是中线． （1）将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF，其中E是点B的对应点，点D的对应点G恰好落在CB的延长线上，请用无刻度直尺与圆规作出旋转后的△AEF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接EB，FB，若∠EBF＝90°，求∠ABC的大小． 25．（10分）如图，BC为⊙O直径，BA为⊙O的切线，D为⊙O上一点，且满足BD＝BA，连接CD、AD，线段AD交直径BC于点E，交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：BF＝EF； （2）若，OE＝5，求⊙O的半径． 26．（10分）综合实践：照明节能改造方案调研与设计 一、项目背景 为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议，数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研．目前，校园内部分路灯因设计年代较早，存在光照不均匀、能耗较高等问题，小组成员需要先测量现有路灯的各项参数，再结合相似三角形、比例关系等数学知识，分析改造方案． 二、实践任务 任务一基础测量——两种方法测灯高 情境：校园主干道上的路灯由主杆AB和悬臂AC构成，悬臂与地面平行．为了获取准确数据，小组分别设计了两种测量方案． 方案1（影子比例法） 如图1，在路灯CD旁竖直立一根MN＝2m的标杆，测得标杆影长NP＝3m，标杆底部到路灯底部的水平距离DN＝4.5m． 问题1：请计算路灯CD的高度． 方案2（共线投影法） 如图2，将一根长为2m的标杆MN竖直立于地面，调整位置使得：主杆顶端A、标杆顶端M、地面点P三点共线；路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线．已知EP＝1m，路灯悬臂底部D到主杆底部B的水平距离BD＝1.5m，且B、D、N、E、P在同一水平线上． 问题2：求主杆AB的高度． 任务二：节能分析——改造前后对比 原路灯使用0.25千瓦高压钠灯，改造后拟使用0.16千瓦的LED灯，LED灯的照明效率更高． 问题3：若校园内共有此类路灯20盏，每晚点亮3小时，电费0.6元/千瓦时，估算改造后每学期（按100天计算）节约的电费． 27．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点F在BC上，点E在AD上，连接EF，将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点H，G． （1）如图1，当点G落在CD边上时，连接BG． ①求的值； ②若BF＝5，求AE的长； （2）如图2，若保持BF＝5，点E在AD上移动（可与点A，D重合），试确定DG的长度范围． 28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线，经过点（2，1）． （1）用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N． ①若a＝1，t＝2，则MN＝　 ； ②已知点A（a，0），B（2a，0），在点P从点A运动到点B的过程中，MN的长随AP的长的增大而增大，求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $