22.1 函数的概念 第2课时 函数 课件--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 一次函数 22.1 函数的概念 第2课时 函数 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 函数的概念 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 拓展与延伸 3. 新课导入 1. 认识变化过程中的两个变量，了解函数的概念及其多种表现形式，能举出函数的实例，形成模型观念. 2. 能通过解析式、图象、表格这三种形式，识别并表达两个变量之间的函数关系. 学习目标 知识回顾 变量、常量的定义 一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量. 判断一个量是常量还是变量的方法 看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变（或者说是否会取不同的数值），若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则次量是变量. 新课导入 想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 新课讲解 知识点 函数的概念 思考 下面思考题中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ (1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，当行驶时间 t 分别为 1 h，2 h，5 h 时，行驶路程 s 分别为多少？s 的值随 t 的值的变化而变化吗？ 解：当t=1时，s=60； 当t=2时，s=120； 当t=5时，s=300 两个变量是t和s，s随t的变化而变化. 每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应. 它们之间的关系可以用 s=60t 表示. 新课讲解 思考 (2) 电影票的售价为 40 元/张.第一场售出 80 张票，第二场售出 105 张票，第三场售出 180 张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？ 解：当x=80时，y=3 200； 当x=105时，y=4 200； 当x=180时，y=7 200. 两个变量是x和y，y随x的变化而变化.每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应. 它们之间的关系可以用y=40x表示. 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. 归纳 新课讲解 思考 (3) 你见过水中的涟漪吗？如图. 圆形水波慢慢地扩大. 在这一过程中，当圆的半径 r 分别为 10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？ 在问题(3)中，两个变量是S和r，S随r的变化而变化. 每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应.其中当r=10 时，S=100π ；当r=20 时，S=400π ；当 r = 30 时，S = 900π它们之间的关系可以用 S = πr² 表示. 新课讲解 思考 (4) 长方体的体积为 1 000 cm³，当长方体的底面积 S 分别为 50 cm²，100 cm²，125 cm² 时，高 h 分别为多少？h 的值随 S 的值的变化而变化吗？ 在问题(4)中，两个变量是 h 和 S，h 随 S 的变化而变化. 每当 S 取定一个值时，h 就有唯一确定的值与其对应.其中当 S = 50 时，h = 20；当 S = 100 时，h = 10；当 S = 125 时，h = 8它们之间的关系可以用 h = 表示. 新课讲解 思考 一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系. (1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t 与h .这两个变量之间有什么关系？ 对于变量 t（时间）在该时段内的每一个确定值，都有唯一确定的变量 h（潮高）与之对应. 新课讲解 思考 存款期限x/ 月 3 6 12 24 36 60 年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00 (2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y.这两个变量之间有什么关系？ 对于变量 x（存款期限）的每一个确定值，都有唯一确定的变量 y（年利率）与之对应. 新课讲解 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数（function）. 如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值. 1. 函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量；函数存在不同的表现形式，可以用式子、也可以用图象、表格来表达两个变量之间的对应关系. 2. 函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应；但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一；对自变量的不同值，函数y的值可以相同. 说明 新课讲解 判断一个关系是否是函数关系的方法： 1. 看是否在一个变化过程中； 2. 看是否存在两个变量； 3. 看每当变量取定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与其相对应. 三个条件缺一不可！ 1. 函数具有唯一对应性.判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对于给定x的每一个值，y是否有唯一确定的值与其对应.如在中，y就不是x的函数. 2. 函数具有相互依存性.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量x与y，y是x的函数. 3. 函数具有顺序性.如表示y是x的函数，而变化后的等式表示x是y的函数. 注意 新课讲解 思考 判断下列函数关系中的自变量. (1)汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，当行驶时间 t 分别为 1 h，2 h，5 h 时，行驶路程 s 分别为多少？s 的值随 t 的值的变化而变化吗？ (2) 电影票的售价为 40 元/张.第一场售出 80 张票，第二场售出 105 张票，第三场售出 180 张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？ 解：(1)时间是自变量，路程s是t的函数， 当t=1时，函数值s=60，当t=2时，函数值s=120； 当t=5时，函数值s=300. (2)售出票数x是自变量，票房收入y是x的函数， 当x=80时，函数值y=3 200；当x=105时，函数值y=4 200； 当x=180时，函数值y=7 200. 新课讲解 思考 判断下列函数关系中的自变量. 解：在图中，时间t是自变量，潮高h是t的函数， 当t=18:00时，函数值 h =158. 新课讲解 思考 判断下列函数关系中的自变量. 存款期限x/ 月 3 6 12 24 36 60 年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00 解：在表中，存款期限x是自变量，年利率y是x的函数， 当x=12时，函数值y=1.45%. 新课讲解 例 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应. 方法 1. 下列关于变量x ，y 的关系式：；；；④；⑤，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．  一个x 值有两个 y 值与它对应 新课讲解 例 2. 小明向平静的池塘水面扔一颗石头，在水面形成了圆形水波. 当圆形水波的半径从2cm扩大成6cm时，圆形水波的面积从 变成了 .在这一变化过程中， 是自变量， 是自变量的函数. 4π 36π 半径 面积 新课讲解 练一练 2. 如图所示，在△ABC 中，底边 BC 的长为 5，BC 边上的高 AD 的长为 h，则△ABC 的面积 S 为 .在这一变化过程中，变量有 ， 可以看成是 的函数. A B C D ┐ 2.5 高h，面积S 面积S 高h 新课讲解 练一练 2. 填表并回答问题： (1) 对于的每一个值，都有唯一的值与之对应吗？答： . (2) 是的函数吗？为什么？ x 1 4 9 16 2和－2 8和－8 18和－18 32和－32 不是 答：不是，因为y的值不是唯一的. 关键词：两个变量，给一个x，得一个y. 易错点： 顺序不要反. 课堂小结 函数 概 念 函数值 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值. 当堂小练 1. 下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量. (1) 改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； (2) 秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化； (3) P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化． S 是x的函数，其中x是自变量. y 是n的函数，其中n是自变量. y 不是x的函数. 例如，到原点的距离为1的点对应实数1或-1. 当堂小练 2. 给出下列各式： ① y = x + ；② y = x + 2z；③ y = ；④ y = |x|；⑤ y² = 2x. 其中表示函数的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 D 存在三个变量. 当x取一个正值时，y有两个不同的值与它对应. 当堂小练 3. 下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是( ) D 当堂小练 4. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数. (1) 改变正方形的边长x，正方形的面积 S 随 x 的变化而变化； (2) 乘坐摩天轮时，游客离地面的高度 h 随时间 t 的变化而变化； (3) 某天不同时刻的气温如图所示，气温 T 随时间 t 的变化而变化. 解：(1) 是. 正方形的边长x是自变量，面积S是x的函数. (2) 是. 时间t是自变量，游客离地面的高度h是t的函数. (3) 是. 时间t是自变量，气温T是t的函数. 当堂小练 5. 下列图象不能表示 y 为 x 的函数的是( ) C 当堂小练 6. 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ） A. y=3x+1 B. y=x C. y2=x D. y=x2-3 C 当堂小练 7．已知函数y＝|x－b|，当x＝1或3时，对应的两个函数值相等，则实数b的值是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 C 解：将x＝1和x＝3分别代入，可得|1－b|＝|3－b|，所以1－b＝3－b(舍去)或1－b＝b－3，解得b＝2. 当堂小练 B 8. 下列各图中，能表示y是x的函数的有 (　　)   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 拓展与延伸 1. 如图是某超市青苹果一年内的销售价格y(元/kg)随时间x(月)变化的关系图，请回答下列问题： (1) 当x取1～12之间的任何一个整数时，对应几个y值？反之， 当y取3～7之间的任何一个整数时，对应几个x值？ (2) y可以看成是x的函数吗？ 解：(1) 当x取1～12之间的任何一个整数时，对应一个y值；当y取3或7时，对应三个x值，当y取4或5或6时，对应两个x值． (2) y可以看成是x的函数． 拓展与延伸 2. 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫作刹车距离．根据有关资料，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s＝v． (1) 上述关系中的两个变量之间是不是函数关系？若是，请指出自变量和函数． (2) 当v＝30 km/h时，求相应的刹车距离s的值． (3) 若该车在限速40 km/h的公路上行驶，则当刹车距离为12 m时，通过计算说明该车是否超速． 解：(1) 是函数关系，v是自变量，s是v的函数． (2) 当v＝30 km/h时，s＝×30＝7.5(m)． (3) 当s＝12 m时，12＝v，解得v＝48 km/h， ∵48>40，∴该车超速了． $