22.1 函数的概念 第3课时 函数的解析式课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 一次函数 22.1 函数的概念 第3课时 函数的解析式 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 函数自变量的取值范围 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 4. 知识点2 函数的解析式 7. 对接中考 1. 探索实际问题中的数量关系与变化规律，明确常量、变量的意义，理解函数概念及解析式表示法，结合实例建立函数，形成模型观念. 2. 掌握函数解析式的书写方法，能依据实际背景确定自变量的取值范围，并会代入自变量的值求函数值，提升应用数学的能力. 学习目标 知识回顾 函数的定义 判断一个关系是不是函数关系的方法 ①看是否在一个变化过程中； ②看是否存在两个变量； ③看每当自变量确定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数（function）. 新课讲解 知识点1 函数自变量的取值范围 问题 请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： (1) 汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）； (2) 多边形的边数为 n，内角和的度数为 y． 问题 (1) 中，t 取 有实际意义吗？ 问题 (2) 中，n 取2 有意义吗？ 新课讲解 1. 当用函数关系表示实际问题时，自变量的取值不仅要使函数关系式有意义，还应该使实际问题有意义. 2. 当函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况. 注意 根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？ 在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义. 函数自变量的取值范围 使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫做自变量的取值范围. 新课讲解 例 1. 求下列函数的自变量的取值范围. (1) (2) (3) (4) . 解：(1) 函数式子无特殊情况，自变量 x 的取值范围是全体实数. (2) 函数式子含有分母，则分母不能为 0，自变量 x 的取值范围是 x≠0. (3) 函数式子含有二次根式，则被开方数 ≥ 0，x - 4 ≥ 0，解得 x ≥ 4. (4) 函数式子含有分母和二次根式，则分母不能为 0并且被开方数 ≥ 0，自变量x的取值范围是 x > -1. 新课讲解 不同类型函数自变量取值范围的确定： 1. 整式型 等号右边是整式，自变量的取值范围是全体实数，例如：. 2. 分式型 等号右边的自变量在分母的位置上，自变量的取值范围是使分母不为0的实数，例如：. 3. 根式型 等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数，例如：. 4. 零次型 等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂，自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数，例如：. 新课讲解 练一练 1. 函数 y = + (x - 2)⁰ 的自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x ≥ 1 B. x > 2 C. x > 1 且 x ≠ 2 D. x ≠ 1 且 x ≠ 2 C 解：由题意，可得 解得 x > 1 且 x ≠ 2. 新课讲解 练一练 2. 下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）. A. 中，x 取全体实数 B. 中，x 取 x≠-3 的全体实数 C. 中，x 取 x≥2 的全体实数 D. 中，x 取 x≥1 的全体实数 D 分母不能为零 新课讲解 知识点2 函数的解析式 像 y=500.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 通常函数解析式等号右边的代数式中的变量是自变量，等号左边的变量是因变量. 注意 新课讲解 例 2. 某品牌新能源纯电动汽车电池容量为 90 kW·h，每千米耗电约 0.15 kW·h.当电池充满电后开始行驶，那么该电池中剩余电量 y kW·h 与行驶路程 x km 之间的函数解析式是 _____________，自变量 x 的取值范围是 ___________，当x=400时，函数值 y=______. y=90-0.15x 0≤ x ≤ 600 30 新课讲解 例 3. 汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L. (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)指出自变量x的取值范围； (3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中剩余的油量 y 是 x 的函数，它们的关系为 y = 50 0.1x. 0.1x表示的实际意义是什么？ 0.1x表示这辆汽车行驶x km时的耗油量为0.1x L. (2)仅从式子 y = 50 0.1x 看，x 可以取任意实数.但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数.行驶中的耗油量为 0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量 50 L，即 0.1x ≤ 50.因此，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500. (3)汽车行驶200 km时，油箱中剩余的汽油量是函数y=500.1x在 x=200时的函数值. 将x=200代入y=500.1x，得 y=500.1×200=30. 因此，汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油. 新课讲解 确定函数解析式的步骤 1. 找：认真审题，根据题意找出各个量之间的数量关系. 2. 写：根据数量关系写出含有两个变量的等式. 3. 变：将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式. 新课讲解 练一练 1. 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： (1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量与函数； (2)写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的函数关系式； (3)求这根香可燃烧的时间． 解：(1) 根据题意可知，自变量是燃烧时间t，香可燃烧部分的长度l是燃烧时间t的函数； 燃烧时间t /min 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度l /cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 … (2) 根据题意可知，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度减少0.5 cm， ∴当t=0时，香的长度为22.4+0.5=22.9（cm）， ∴这根香燃尽所需的时间为22.9÷0.5=45.8（min）， ∴这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的函数关系式为l=-0.5t+22.9(0≤t≤45.8). (3) 由(2)可得这根香可燃烧的时间为45.8 min. 新课讲解 练一练 2. 举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变量的取值范围. 解：已知一等腰三角形的面积为 20 cm²，设它的底边长为 x (cm)，底边上的高为 y (cm)， 则 y 与 x 之间的函数解析式为 xy = 20， 即 y = (x > 0).（答案不唯一） 新课讲解 练一练 分析：每个学生可以借书5本，则x个学生可以借书5x本，根据剩余图书数量=图书的总数量-借出的图书总量，列出函数关系式. 3. 希望高中今有1 000本图书借给学生阅读，每个学生可以借阅 5 本书，写出剩余的图书本数 y 和借阅学生人数 x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围. 解：每个学生可以借书 5 本, 则 x 个学生可以借书5x 本. 则y与x之间的函数关系式为 y=1 000-5x. 自变量的取值范围为：0≤x≤200，且 x 取整数. 课堂小结 函数 概 念 表 示 自变量的取值范围 函数值 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y， 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 函数的解析式. 使函数关系式有意义. 使实际问题有意义. 如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值. 当堂小练 1. 求下列函数中自变量x 的取值范围： (1) y＝3x＋7； (2) y＝； (3) y＝； (4) y＝＋. 解：(1)因为函数关系式右边是整式，所以x的取值范围为全体实数. (2)由题意得x－4≥0，解得x≥4，所以x的取值范围是x≥4. (3)由题意得解得x ≥ －2 且x ≠ 0， 所以x的取值范围是x ≥ －2 且x ≠ 0 . (4)由题意得解得x＝， 所以x的取值范围是x＝. 当堂小练 2. 求下列函数中自变量x 的取值范围： (1) y＝； (2)y＝. 解：(1) 由题意得4－2x >0，解得x<2. 当堂小练 3. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式. (1) 水箱中原有水 10 L，漏水速度为 0.05 L/h，水箱中剩余的水量 V（单位：L）随时间 t（单位：h）的变化而变化； (2) 绿水村的耕地面积是 10⁶ m²，这个村的人均耕地面积 y（单位：m²）随人数 n 的变化而变化. 解：(1) 是.自变量是 t，V 是 t 的函数. V = 10 - 0.05t. (2) 是.自变量是 n，y 是 n 的函数. y = . 当堂小练 4. 梯形的上底长为 2 cm，高为 3 cm，下底长 x（单位：cm）大于上底长但不超过 5 cm，写出梯形面积 S（单位：cm²）关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x 的取值范围. 解：，即 + 3 (2 < x ≤ 5). 当堂小练 5. 已知函数y＝13－4x. (1)当x＝3 时，对应的函数值是多少？ (2)当x 为何值时，函数值为2 ？ 解：(1)当x＝3时，函数值y＝13－4×3＝1. (2)当y＝2 时，2＝13－4x，解得x＝. 当堂小练 6. 等腰三角形ABC 的周长为10 cm，底边BC 的长为y cm，腰AB 的长为x cm. (1)写出y 关于x 的函数解析式； (2)求x 的取值范围. 解：(1)由题意可得2x＋y＝10，所以y关于x的函数解析式为y＝10－2x. (2)由题意可得x>0，y>0，所以10－2x>0 . 再由三角形的三边关系，得2x>y，即2x>10－2x. 所以自变量x应满足 解这个不等式组，得<x<5. 当堂小练 7. 李大爷要围一个矩形菜园，如图，矩形菜园ABCD的一边靠墙(墙长为10 m)，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为24 m. 设BC＝x m，AB＝y m，请写出y关于x的解析式，并判断y是不是x的函数，如果是，请写出x的取值范围. 当堂小练 8. 为打造特色乡镇，充分利用生态资源，整合闲置资源，推动以城带乡、以工促农、城乡融合发展模式. 某镇大力种植一种具有观赏价值的苗木，为尽快打开市场，准备把实体销售渠道向网络拓展，发展“实体＋ 网络”的销售模式. 每株苗木的标价为4 元，具体优惠标准如下： ①实体销售，每株按标价的六折出售；②网络销售(顾客免运费)，每株按标价的八折出售，购买超过100 株，超过的部分每株再降1.2 元. 若购买这种苗木x 株，在实体店购买所需费用为y1 元，通过网络购买所需费用为y2 元. 解：y1与x之间的函数解析式为y1＝0.6×4x＝2.4x(x为正整数). 当0<x ≤ 100时，y2＝0.8×4x＝3.2x； 当x>100时，y2＝0.8×4×100＋(0.8×4－1.2)(x－100)＝2x＋120 . ∴ y2 与x之间的函数解析式为y2＝ (1)分别求y1，y2与x 之间的函数解析式； 当堂小练 8. 为打造特色乡镇，充分利用生态资源，整合闲置资源，推动以城带乡、以工促农、城乡融合发展模式. 某镇大力种植一种具有观赏价值的苗木，为尽快打开市场，准备把实体销售渠道向网络拓展，发展“实体＋ 网络”的销售模式. 每株苗木的标价为4 元，具体优惠标准如下： ①实体销售，每株按标价的六折出售；②网络销售(顾客免运费)，每株按标价的八折出售，购买超过100 株，超过的部分每株再降1.2 元. 若购买这种苗木x 株，在实体店购买所需费用为y1 元，通过网络购买所需费用为y2 元. (2)不考虑其他情况，王叔叔计划用600元来购买这种苗木，则他选择哪种方式购买的苗木更多? 解：当y1＝600时，2.4x＝600，解得x＝250. 当y2＝600时， ∵ 3.2×100＝320(元)<600 元，∴通过网络购买的苗木超过100 株. ∴ 2x＋120＝600，解得x＝240. ∵ 250 株>240 株，∴在实体店购买的苗木更多. 对接中考 1. 在函数y＝x－2中，自变量x的取值范围是( ) A. x ≥2 B. x ≤2 C. x>2 D. x<2 A 解：根据二次根式的被开方数是非负数，得x－2 ≥0，解得x ≥2. 对接中考 2. 如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x 尺，长桌的长为y 尺，则y与x的关系可以表示为(　　) A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1 解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x尺， ∴ y＝x＋x＋2x，即y＝4x. B 拓展与延伸 1. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，P为BC上的动点，动点P从点B向点C运动. 设BP的长度为x，△APE的面积为y. (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当点P运动的路程为多少时，△APE的面积为0.25 ？ 解：(1) ∵正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝1, CE＝DE＝. ∵BP的长度为x，∴CP＝1－x. ∴S△APE＝S正方形ABCD－S△ABP－S△CPE－S△ADE＝1－x－(1－x)×－××1＝－x＋. 又∵BP≥0，PC≥0，即x≥0，1－x≥0，∴x的取值范围为0≤x≤1， 故y＝－x＋(0 ≤ x ≤ 1). (2) ∵△APE的面积为0.25，∴ －x＋＝0.25，解得x＝1. ∴当点P与点C重合，即点P运动的路程为1 时，△APE的面积为0.25. 拓展与延伸 2. 正方形ABCD与正方形EFGH的AD边和EF边在直线MN 上，起始状态如图所示，点F与点D重合，点G在CD边上，已知EF＝2 cm，AB＝4 cm. 正方形EFGH沿MN方向以2 cm/s的速度运动，运动时间为t s，两个正方形重叠部分图形的面积为S cm2 . (1)在正方形EFGH平移过程中，若t＝1，则S＝_____；若t＝3，则S＝_____. (2)在0 ＜ t ≤ 3 这段时间内，求S与t的函数关系式. 4 0 解：当t＝1时，DF＝2×1＝2，此时点E与点D重合； 当t＝2时，DF＝2×2＝4，此时点F与点A重合． 分三种情况讨论： 在0<t<1这段时间内，如图①，DF＝2t， ∴ S＝DF·FG＝4t； 当1≤t≤2时，小正方形在大正方形内部， 如图②，S＝EF2＝22＝4； 拓展与延伸 2. 正方形ABCD与正方形EFGH的AD边和EF边在直线MN 上，起始状态如图所示，点F与点D重合，点G在CD边上，已知EF＝2 cm，AB＝4 cm. 正方形EFGH沿MN方向以2 cm/s的速度运动，运动时间为t s，两个正方形重叠部分图形的面积为S cm2 . (1)在正方形EFGH平移过程中，若t＝1，则S＝_____；若t＝3，则S＝_____. (2)在0 ＜ t ≤ 3 这段时间内，求S与t的函数关系式. 4 0 (2) 由题意得解得x≥1且x≠2. 解：由题意得AB＋BC＋CD＝2y＋x＝24， ∴y与x之间的关系式为y＝－x＋12. 根据函数的意义，y是x的函数． ∵ ∴0<x≤10， ∴x的取值范围为0<x≤10. 在2<t≤3这段时间内，如图③， AF＝2t－4，则AE＝2－AF＝6－2t ， ∴S＝AE·EH＝2(6－2t)＝12－4t. 综上，S＝ $