22.1 函数的概念 第1课时 常量与变量课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 一次函数 22.1 函数的概念 第1课时 常量与变量 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 常量与变量 5. 课堂小结 2. 新课导入 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 拓展与延伸 4. 知识点2 确定两个变量之间的关系 1.了 解常量、变量的概念. 2. 能列出表示变量之间关系的式子,能准确指出式子中的常量和变量. 学习目标 新课导入 万物皆变,大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢? 新课讲解 知识点1 常量与变量 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶,行驶路程为 s km,行驶时间为 t h. 请填写下表,其中路程 s 随行驶时间 t 的变化而变化吗? t/h 1 2 3 4 5 s/km 60 120 180 240 300 不变的量 变化的量 变化的量 请说明你的道理: 路程 =_ 速度 时间 变化的量和不变的量分别是什么? 用含有t 的式子表示s,则有_. s=60t 这个过程反映出路程 s 随时间 t 的变化而变化. 思考1 新课讲解 电影票的售价为10元/张,第一场售出150张,第二场售出205张,第三场售出310张,三场电影的票房收入分别为多少元?设一场电影售出 x 张票,票房收入为 y 元, y 的值随 x 的变化而变化吗? 解:第一场电影的票房收入为15010=1500(元); 第二场电影的票房收入为20510=2050(元); 第三场电影的票房收入为31010=3100(元). 变化的量 变化的量 不变的量 变化的量和不变的量分别是什么? 用含有x的式子表示y,则有_. y=10x 这个过程反映出y的值随x的变化而变化. 请说明道理: 票房收入 = 售价 售票张数 思考2 新课讲解 一般地,在一个变化过程中,我们称数值始终不变的量为常量,数值发生变化的量为变量. 例如,在问题(1)和(2)中,汽车行驶的速度、电影票的售价是常量;汽车行驶的时间t、路程s,售出的电影票数x,票房收入y是变量. 思考下面的问题(3)和问题(4)反映了什么变化过程?其中的常量和变量分别是什么? 1. “常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量;但“常量”不等于“常数”,它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量. 2. 变量与字母的指数没有关系,如在y=2x2中,x是变量,而不能说x2是变量. 说明 新课讲解 例 1. 阅读并完成下面一段叙述: (1) 某人持续以a米/分的速度用t分钟时间跑了s米,其中常量是 ,变量是 . (2) s米的路程不同的人以不同的速度a米/分各需跑的时间为t分,其中常量是 ,变量是 . (3) 根据上面的叙述,写出一句关于常量与变量的结论: . 在不同的条件下,常量与变量是相对的 a t,s s a,t 区分常量与变量,就是看在某个变化过程中,该量的值是否可以改变,即是否可以取不同的值. 方法 新课讲解 例 2. 指出下列问题中的常量和变量: (1) 某市居民生活用水的价格为 5 元/t.记某户的月用水量为 x t,月应缴水费为 y 元. (2) 在某地乘坐公交车,刷公交卡每次收费 1 元.李明在公交卡中存入 30 元,记此后他乘坐公交车 n 次,公交卡中的余额为 w 元. (3) 用 20 m 长的绳子围一个矩形,记矩形的一边长为 x m,矩形的面积为 S m . 解: (1) 生活用水的价格是常量,某户的月用水量 x 和月应缴水费 y 是变量. (2) 刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量,乘坐公交车的次数 n 和公交卡中的余额 w 是变量. (3) 绳的长度是常量,矩形的一边长 x 和面积 S 是变量. 新课讲解 练一练 1. 某报纸,每一份的价格是3元,购买此报纸 x 份,共需要花费 y 元,则有 y=3x. (1) y=3x 中的常量是 ,变量是 . (2) 若每一份报纸的价格为 a 元(a 表示常数),y=ax中的常量是 ,变量是 . 3 x,y a x,y 新课讲解 练一练 2. 分别指出下列关系式中的变量和常量. (1) 圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系式是 . (2) 每支钢笔 7 元,购买钢笔的花费 w(元)与钢笔的支数 n(支)之间的关系式是 w=7n. (3) 某种手机卡的收费标准为:每月29 元,通话 0.1元/分,用户每月的手机费 y(元)和通话时间 x(分)之间的关系式 y = 0.1x+29. 解: (1) 变量:S,r;常量:. (2) 变量:w,n;常量:7. (3) 变量:x,y;常量:0.1,29. 新课讲解 知识点2 确定两个变量之间的关系 变化的量 变化的量 思考3 风吹动水面产生的圆形水波(即涟漪)慢慢地扩大,在这一过程中,当圆的半径 r 分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积 S 分别为多少?S 的值随 r 的变化而变化吗? 解:当半径为10 cm时,圆的面积为100; 当半径为20 cm时,圆的面积为400; 当半径为30 cm时,圆的面积为900. 变化的量和不变的量分别是什么?用含有r的式子表示S,则有_. S= 不变的量是圆周率 . 这个过程反映出S 的值随 r 的变化而变化. 新课讲解 思考4 用10m长的绳子首尾相接围一个矩形,当这个矩形的一边长 x 分别为3m,3.5m,4m,4.5m时,它的邻边长y 分别为多少?y 的值随 x 的值的变化而变化吗? 解:当矩形的一边长为3m时,邻边长为2m; 当矩形的一边长为3.5m时,邻边长为1.5m; 当矩形的一边长为4m时,邻边长为1m; 当矩形的一边长为4.5m时,邻边长为0.5m. 不变的量:绳子的长(矩形的周长) 变化的量 变化的量 变化的量和不变的量分别是什么?用含有x的式子表示y,则有_. y=5-x 这个过程反映出y的值随x的值的变化而变化. 新课讲解 思考5 解:当悬挂的重物的重量为2 kg时,弹簧的总长度为15 cm+20.5 cm=16 cm; 当悬挂的重物的重量为3 kg时,弹簧的总长度为15 cm+30.5 cm=16.5 cm; 当悬挂的重物的重量为5 kg时,弹簧的总长度为15 cm+50.5 cm=17.5 cm; 当悬挂的重物的重量为7 kg时,弹簧的总长度为15 cm+70.5 cm=18.5 cm. 在一个弹簧秤的下端挂上重物,记录不同重物下弹簧的长度,探索弹簧 长度的变化规律. 已知弹簧原长为15cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.分别悬挂重量 x 为2kg,3kg,5kg,7kg的重物,弹簧的总长度 l 为多少cm? l 的值随 x 的值的变化而变化吗? 不变的量 不变的量 变化的量 变化的量 变化的量和的量分别是什么? 用含有x的式子表示y,则有_. l=15+0.5x 这个过程反映出l 的值随 x 的值的变化而变化. 新课讲解 例 怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)? 3. 弹簧的长度与所挂重物有关.如果弹簧原长为10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,试填下表: 解:由题意可知m每增加1,L增加0.5,所以L=10+0.5m. 重物的质量(kg) 1 2 3 4 5 弹簧长度(cm) 10.5 11 11.5 12 12.5 新课讲解 练一练 1. 如果弹簧原长为12cm,每1kg重物使弹簧压缩0.5cm,则用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为 . L=12-0.5m 新课讲解 练一练 2. 如图,已知直线m∥n,直线m,n之间的距离是3, ABC的顶点A在直线m上,边BC在直线n上,设BC边的长为x, ABC的面积为S,请用含x的式子表示S,并指出式子中的常量与变量. 新课讲解 常量与变量的相对性 变量与常量是相对于某个变化过程而言的. 当变化过程改变时,其中的变量与常量也可能随之改变. 例如,对于 s = vt,当 v 不变时,v 为常量,s,t 为变量;当 t 不变时,t 为常量,s,v 为变量. 归纳 课堂小结 常量与变量 常量 一般地,在一个变化过程中, 我们称数值始终不变的量为常量. 变量 一般地,在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量. 当堂小练 1. 某人要在规定的时间内加工100个零件,如果用表示工作效率,用表示规定的时间,下列说法正确的是 ( ) A.数100和都是常量 B.数100和都是变量 C.和都是变量 D.数100和都是变量 C 当堂小练 2. 指出下列问题中的常量和变量: (1) 向一个水池注水,注水速度为0.1 m3/min.记注水时间为x mim,注水量为y m3. (2) 我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示. (3) 一个平行四边形的底边长为5,高h可以任意改变,面积为S. 解:(1) 注水速度是常量,注水时间 x 和注水量y 是变量. 年份x 2016 2017 2018 2019 2020 国内生产总值y/亿元 746 395.1 832 035.9 919 281.1 986 515.2 1 013 567.0 (2) 无常量,年份 x 和国内生产总值y 是变量. (3) 平行四边形的底边长是常量,高 h 和面积S 是变量. 当堂小练 3. 举两个运动变化的例子,并分别指出其中的常量和变量. 解: (1) 每张电影票的售价为 50 元,某日共售出 x 张票,票房收入为y 元.其中,售价每张50 元为常量,售出的票数 x 和票房收入y 是变量. (2) 神舟飞船绕地球一周约需 90 min,t min 绕地球的周数为N.其中,神舟飞船绕地球一周的时间90 min 为常量,绕地球的时间t 和周数N 是变量.(答案不唯一) 当堂小练 4. 下表是加油站加油机上的数据显示牌. 下列说法正确的是( ) A. 金额、单价是变量,加油量是常量 B. 金额、单价、加油量都是变量 C. 加油量、单价是变量,金额是常量 D. 金额、加油量是变量,单价是常量 D 金额/元 303.88 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 当堂小练 5. 瓶子或罐头盒等物体如下图那样堆放,试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式. x 1 2 3 … n y … 1 1+2 1+2+3 1+2+3+ …+n 完成上表,并写出瓶子总数y 与层数x之间的关系式 1. 如图,把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木条AC自由转动.在转动过程中,下面的量是常量的为( ) A.∠BAC的度数 B.BC的长度 C. ABC的面积 D.AC的长度 拓展与延伸 D 拓展与延伸 2. 一汽车油箱里有油40 L,在行驶过程中,每小时耗油2.5 L,回答下列问题: (1) 汽车行驶1 h后油箱里还有油_L,汽车行驶6 h后油箱里还有油_L. (2) 行驶过程中,_是变量,_是常量. (3) 这辆汽车最多能行驶多少小时? 37.5 25 油箱里剩下的油量和行驶的时间 每小时的耗油量和油箱中原有的油量 解:40 2.5=16(h). 答:这辆汽车最多能行驶16 h. 解:S= 3x=x. 常量是;变量是S,x. $