数学（江西卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 融合传统窗棂、七巧桌等文化素材与天幕露营、地球公转等现实情境，梯度设计覆盖代数、几何、统计核心知识，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|实数、对称图形、代数运算|结合地球回归线考切线性质，体现空间观念| |填空题|6/18|分式意义、视图、旋转|七巧桌俯视图内角和考几何直观，卡片游戏问题考模型意识| |解答题|11/84|函数、几何证明、统计|天幕露营问题综合解直角三角形，三角板旋转探究动态几何关系，突出推理能力与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个选项中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．3.14 2．窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（        ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 5．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系内，已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，二次函数，以下说法不正确的是（    ） A．抛物线的开口方向无法确定 B．抛物线的对称轴为直线 C．关于x的方程的解是 D．当时，都随x的增大而增大 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7．要使代数式有意义，则的值可以是____． 8．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 9．据悉，我国每年培养科学、技术、工程和数学（）专业毕业生超过500万人，全球领先、数据“500万”用科学记数法表示为______． 10．如图，钝角三角形绕点A逆时针旋转得到，点在直线上，．已知，，则的长为__________． 11．在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 12．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上一个动点，连接、．将沿折叠，点A的对应点为点，当为直角三角形时，的长为________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．按要求解题： (1)计算：． (2)如图，已知，，交于点E，求证：． 14．以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 15．中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做猜字游戏，游戏开始时，李凯将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”、“兵”、“馬(马)”、“仕”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由张萌随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． (1)张萌第一次摸到棋子正面的汉字为“兵”是______事件，张萌摸到棋子正面的汉字为“相”是______事件(填“不可能”、“必然”或“随机”)，张萌第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率为________； (2)试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率． 16．图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点E，F均在格点上） (2)在图2中的上找一点M，上找一点N，连接，使，且相似比为． 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，自变量的取值范围为__________； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．为进一步巩固脱贫工作成果，某县从甲、乙两个乡的脱贫户中随机抽查了户去年脱贫的农户上半年的家庭月人均收入（单位：百元），根据调查的数据，进行整理分析（月人均收入用表示，共分为四个等级：．，．，．，．），下面给出了部分信息 【信息一】甲乡调查户的月人均收入：，，，，，，，，，． 【信息二】乙乡调查户月人均收入是等级的所有数据为：，，，，． 【信息三】 甲、乙两个乡抽取的户家庭月人均收入统计表 地区 平均数 中位数 众数 方差 、等级所占百分比的和 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，____，_____ (2)求的值； (3)甲、乙两个乡去年脱贫分别是户和户，求其中今年上半年家庭月人均收入大于或等于百元的脱贫户共有多少户？ 19．如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面上的固定点E与点B的距离，．（参考数据：，，） (1)求拉绳的长； (2)如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（精确到） 20．如图，在矩形中， F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点，四边形的面积为6时，求反比例函数的解析式； (2)在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点D，若点D横坐标为，时，求点B坐标； (3)若点B坐标为时，当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．如图，是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C，直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值． (2)当时，设点M，N到线段的距离分别为m，n，当时，求t的值； (3)将图象做如下变换：当时，，当时，，将变换后函数称为原函数y的变构函数．将所在的直线向上或向下平移，得到新一次函数解析式为．当所在的直线与有3个交点时，求b的范围． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23．如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个选项中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．3.14 2．窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（        ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 5．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系内，已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，二次函数，以下说法不正确的是（    ） A．抛物线的开口方向无法确定 B．抛物线的对称轴为直线 C．关于x的方程的解是 D．当时，都随x的增大而增大 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7．要使代数式有意义，则的值可以是____． 8．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 9．据悉，我国每年培养科学、技术、工程和数学（）专业毕业生超过500万人，全球领先、数据“500万”用科学记数法表示为______． 10．如图，钝角三角形绕点A逆时针旋转得到，点在直线上，．已知，，则的长为__________． 11．在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 12．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上一个动点，连接、．将沿折叠，点A的对应点为点，当为直角三角形时，的长为________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．按要求解题： (1)计算：． (2)如图，已知，，交于点E，求证：． 14．以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 15．中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做猜字游戏，游戏开始时，李凯将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”、“兵”、“馬(马)”、“仕”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由张萌随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． (1)张萌第一次摸到棋子正面的汉字为“兵”是______事件，张萌摸到棋子正面的汉字为“相”是______事件(填“不可能”、“必然”或“随机”)，张萌第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率为________； (2)试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率． 16．图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点E，F均在格点上） (2)在图2中的上找一点M，上找一点N，连接，使，且相似比为． 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，自变量的取值范围为__________； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．为进一步巩固脱贫工作成果，某县从甲、乙两个乡的脱贫户中随机抽查了户去年脱贫的农户上半年的家庭月人均收入（单位：百元），根据调查的数据，进行整理分析（月人均收入用表示，共分为四个等级：．，．，．，．），下面给出了部分信息 【信息一】甲乡调查户的月人均收入：，，，，，，，，，． 【信息二】乙乡调查户月人均收入是等级的所有数据为：，，，，． 【信息三】 甲、乙两个乡抽取的户家庭月人均收入统计表 地区 平均数 中位数 众数 方差 、等级所占百分比的和 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，____，_____ (2)求的值； (3)甲、乙两个乡去年脱贫分别是户和户，求其中今年上半年家庭月人均收入大于或等于百元的脱贫户共有多少户？ 19．如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面上的固定点E与点B的距离，．（参考数据：，，） (1)求拉绳的长； (2)如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（精确到） 20．如图，在矩形中， F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点，四边形的面积为6时，求反比例函数的解析式； (2)在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点D，若点D横坐标为，时，求点B坐标； (3)若点B坐标为时，当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．如图，是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C，直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值． (2)当时，设点M，N到线段的距离分别为m，n，当时，求t的值； (3)将图象做如下变换：当时，，当时，，将变换后函数称为原函数y的变构函数．将所在的直线向上或向下平移，得到新一次函数解析式为．当所在的直线与有3个交点时，求b的范围． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23．如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 4[AJIB][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 7. 9 11 8 10 12 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.(6分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 14.(6分) 15.(6分) 16.(6分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(6分) 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18.(8分) 19.(8分) D' D D B E EE 图1 图2 图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) C B D A 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理) 21.(9分) M O B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) y 备用图 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23.(12分) E P D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个选项中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．3.14 【答案】B 【分析】本题考查实数的大小比较，运用“负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小”的规则即可求解． 【详解】解： 故四个数中最小的数是． 2．窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握两种图形的定义：轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形.根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 3．下列计算正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项定义、积的乘方法则、单项式除以单项式法则、完全平方公式，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并， ∴A错误； 选项B：∵， ∴B错误； 选项C：∵，与等式右边一致， ∴C正确； 选项D：∵， ∴D错误． 4．关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根是,， ，， ． 5．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 6．在同一平面直角坐标系内，已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，二次函数，以下说法不正确的是（    ） A．抛物线的开口方向无法确定 B．抛物线的对称轴为直线 C．关于x的方程的解是 D．当时，都随x的增大而增大 【答案】D 【分析】先根据一次函数与x轴的交点坐标得到m与n的关系为，再结合二次函数、一次函数的性质逐一判断选项正误． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴将代入解析式得，即． 对选项A，∵，可取正数也可取负数， ∴抛物线的开口方向无法确定，A正确； 对选项B，抛物线的对称轴公式为， ∴对称轴为直线，B正确； 对选项C，整理方程得 ，代入得 ， ∵，两边同除以得，因式分解得， 解得，，C正确； 对选项D，若，一次函数的图象在时，随增大而增大； 二次函数的图象在时，随增大而减小，在时，随增大而增大； 若，一次函数的图象在时，随增大而减小， 二次函数的图象在时，随增大而增大，在时，随增大而减小，故不符合结论， ∴D不正确． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7．要使代数式有意义，则的值可以是____． 【答案】2026（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数， 因此列不等式得： 解得， 因此可以取任意大于或等于的数，此处取． 8．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 【答案】 【分析】边形的内角和（其中为多边形的边数，且，为正整数），先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：该六棱柱的俯视图为六边形， 根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为． 9．据悉，我国每年培养科学、技术、工程和数学（）专业毕业生超过500万人，全球领先、数据“500万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值，即可得到结果． 【详解】解：500万． 10．如图，钝角三角形绕点A逆时针旋转得到，点在直线上，．已知，，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的综合应用．通过延长交于点H，构造直角三角形，利用正切值设未知数，结合旋转性质证明三角形相似，建立方程求解． 【详解】解：延长交于点H， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 在中，， ∴ 设，则， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 绕点旋转得到， ∴ ，，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 设， ∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴ ， ∴ 代入得， ∴整理，得， ∴ 解得或， ∴ 当时，，不合题意，舍去， ∴ ， ∴ ，， ∴ 在中，． 11．在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 【答案】C 【分析】设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为，由题意得到关于的方程组，求出，然后作差表示出即可得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为， 则， 由①②③④⑤得， 则， ， ， ， ， ， ， 这五张卡片上数字最大的是C． 12．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上一个动点，连接、．将沿折叠，点A的对应点为点，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或或 【分析】分情况讨论，当时，利用翻折的性质可证；当时，利用翻折的性质可证；再分别利用相似三角形对应线段成比例即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，，． ∵点M是边的中点， ∴． 由折叠得． 如图1，当时，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴，． 如图2，当时，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得或． 则的长为或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．按要求解题： (1)计算：． (2)如图，已知，，交于点E，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）化简二次根式，将特殊角的三角函数值代入，计算零指数幂和负整数指数幂，然后去绝对值，进行合并即可； （2）证明，得到，等量代换，即可得出结果. 【详解】（1）解：原式； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 14．以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 【答案】(1)② (2)化简过程见解析，化简结果为，分式的值为． 【分析】（1）第②步计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）先计算小括号内的分式减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：观察可知，第②步出现错误，错误原因是计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）解：原式 ， 当时，原式． 15．中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做猜字游戏，游戏开始时，李凯将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”、“兵”、“馬(马)”、“仕”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由张萌随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． (1)张萌第一次摸到棋子正面的汉字为“兵”是______事件，张萌摸到棋子正面的汉字为“相”是______事件(填“不可能”、“必然”或“随机”)，张萌第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率为________； (2)试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率． 【答案】(1)随机；不可能； (2)树状图见解析； 【分析】（1）根据事件发生的可能性判定事件类型，利用棋子“仕”数量棋子总数，直接计算第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率； （2）通过树状图列出不放回摸棋全部等可能结果，用符合条件的结果数÷所有总结果数，求出两次都摸到“兵”的概率即可． 【详解】（1）解：∵棋子中存在“兵”， ∴第一次摸到“兵”可能发生、也可能不发生，是随机事件； ∵枚棋子里没有“相”， ∴摸到“相”一定不会发生，是不可能事件； ∵总共有枚棋子，“仕”仅有枚， ∴第一次摸到“仕”的概率：； （2）解：根据题意，可画出如下的树状图： 由树状图得，共有种等可能结果，其中两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的结果有种， ∴两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率为：． 16．图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点E，F均在格点上） (2)在图2中的上找一点M，上找一点N，连接，使，且相似比为． 【详解】（1）解：如图，线段为所求； 证明：∵， ∴， ∴，即线段即为所求． （2）解：如图，点M，N即为所求． 证明：∵，, ∴， ∴，即点M，N即为所求． 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，自变量的取值范围为__________； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象和性质，函数和不等式的关系，函数和三角形面积计算相结合等知识点． （1）把点的横坐标代入正比例函数的表达式得到的值，进而将点的坐标代入反比例函数，得到的值． （2）根据函数图象以及点的坐标，通过比较对应函数值的大小，即可得到对应的取值范围． （3）连接，，根据点关于原点对称，得到，进而得到，通过计算面积的面积得到的值，进而得到直线的表达式． 【详解】（1）解：把代入得，， ， 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由（1）可知，反比例函数表达式为， 正比例函数与反比例函数的交于点，点， 点关于原点对称， 点， 根据函数图象可知，当反比例函数在正比例函数的上方时，， 当时，的取值范围为：或； （3）解：如图，连接，， 由（2）可知，点，点关于原点对称， ， ， ， ，即， ， ， 直线是由直线向上平移个单位得到的， 直线的表达式为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．为进一步巩固脱贫工作成果，某县从甲、乙两个乡的脱贫户中随机抽查了户去年脱贫的农户上半年的家庭月人均收入（单位：百元），根据调查的数据，进行整理分析（月人均收入用表示，共分为四个等级：．，．，．，．），下面给出了部分信息 【信息一】甲乡调查户的月人均收入：，，，，，，，，，． 【信息二】乙乡调查户月人均收入是等级的所有数据为：，，，，． 【信息三】 甲、乙两个乡抽取的户家庭月人均收入统计表 地区 平均数 中位数 众数 方差 、等级所占百分比的和 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，____，_____ (2)求的值； (3)甲、乙两个乡去年脱贫分别是户和户，求其中今年上半年家庭月人均收入大于或等于百元的脱贫户共有多少户？ 【答案】(1)，， (2) (3)户 【分析】（1）根据题意可得乙乡抽取的户家庭月人均收入为等级的百分比，可得等级所占的百分比，即可得，根据众数和中位数的定义，可得，； （2）根据方程的计算公式，代入数值计算即可； （3）分别计算两个乡、等级的户数，相加即可． 【详解】（1）解：乙乡抽取的户家庭月人均收入中： 等级所占的百分比为， 等级所占的百分比为， 、等级所占百分比的和， ∴， 等级（户）， 等级（户），有户月人均收入为百元， 等级（户）， 等级（户）， ∴， 按照从小到大的顺序排列，第个数和第个数均为， ∴； （2）解： ； （3）解： （户） ∴其中今年上半年家庭月人均收入大于或等于百元的脱贫户共有户． 19．如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面上的固定点E与点B的距离，．（参考数据：，，） (1)求拉绳的长； (2)如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得．结合，求解即可． （2）在中，，在中，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：（2）由题意可得，． ∵， ∴． 在中，． 在中，， ∴． 20．如图，在矩形中， F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点，四边形的面积为6时，求反比例函数的解析式； (2)在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点D，若点D横坐标为，时，求点B坐标； (3)若点B坐标为时，当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)点B坐标为 (3)当时，的面积有最大值 【分析】（1）在矩形中，设点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为，根据四边形的面积为6列方程求解； （2）首先求出，，然后证明出，得到，然后代入求出，，进而求解即可； （3）设，，表示出，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：如图：在矩形中，设点E坐标为，点F坐标为， ∵F为的中点， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵四边形的面积为6， ∵， ∴， ∴， ∴该函数的解析式为； （2）解：如图1，过点D作于点M． ∵点D横坐标为， 将代入得，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴点B坐标为； （3）解：如图2， ∵点B坐标为 设，， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．如图，是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在；；证明见解析 【分析】（1）由圆内接四边形的性质即可求解； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由即可求证； （3）存在；；延长交于点F，分别在中，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴点O、A在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：存在；，此时； 证明如下： 如图，延长交于点F， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 即， ∴， ∴当，成立． 22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C，直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值． (2)当时，设点M，N到线段的距离分别为m，n，当时，求t的值； (3)将图象做如下变换：当时，，当时，，将变换后函数称为原函数y的变构函数．将所在的直线向上或向下平移，得到新一次函数解析式为．当所在的直线与有3个交点时，求b的范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再将代入，解方程组即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，可求直线表达式为，则，表示出，，可得均为等腰直角三角形，则，，然后根据列出方程，解方程即可； （3）先求出平移后新一次函数解析式为，根据题意得出，先求出点，直线经过点时，，再求出时，方程只有一个解，得出此时直线与抛物线只有一个交点，最后根据图象得出答案即可． 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点， ∴，解得： ∴，； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点， ∵， 设直线表达式为：， 代入点， 则，解得：， ∴直线表达式为， ∴， 当时， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 即， 同理可得：， ∴当时，， 整理得：， 解得：，． （3）解：根据解析（2）可知：直线表达式为， ∵将所在的直线向上或向下平移，得到新一次函数解析式为， ∴， 即平移后新一次函数解析式为， 根据题意得：， 把代入得：，即对应点为， 当直线经过点时，， 令， 整理得：， 当时，方程只有一个解， 即时，方程只有一个解， 此时直线与抛物线只有一个交点，如图所示： 根据图象可得：当所在的直线与有3个交点时，． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23．如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3)当时，取得最小值；当时，取得最大值． 【分析】（）作于，作于，可证明，从而； （）作于，作于，可证得，，从而，可证得，进而得出结果； （）可推出，当时，取最小值，当点最大时，取最大值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， ∴ ∵，，即， ∴平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，作于，作于， ∴， 由（）知，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， ∴， 综上可得：当时，取得最小值；当时，取得最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分) 1[A][B][C][D] 3.[A][B][C1[D1 5.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 6.[A1[B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 7. 9. 11 8 9 2 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.(6分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 14.(6分) 15.(6分) 16.(6分) B B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(6分) E 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18.(8分) 19.(8分) A' A D' C. D B B EE 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) E B 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21.(9分) M ·0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) M 0 备用图 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23.(12分) A A(D P D Bt 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！null