精品解析：重庆市西南大学附属中学校2026届高考全真模拟数学试题

西南大学附中高 2026 届高考全真模拟试题 数学 满分：150 分；考试时间：120 分钟 2026 年 5 月 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. 5 C. D. 10 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 10 4. 已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象的对称轴可以为（ ） A. B. C. D. 5. 圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知角 满足， ，则 （ ） A. B. C. D. 3 二、多选题： 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 等比数列的前项和为，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若是递减数列，则公比满足 C. 若，则公比 D. 若(t为常数)，则 10. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，记直线的斜率为，则 C. 面积的最小值为 2 D. 的最小值为 11. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，若函数的对称中心为，则 B. 当时，函数的图象关于点中心对称 C. 当时，若的两个极值点为，且，则 D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知双曲线：的实轴长是虚轴长的2倍，则的离心率为_______________. 13. 已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____. 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个大小、质地完全相同的小球， 甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记被抽取的球的序号分别为 ，则满足 的情况有_____种. 四、解答题：本大题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 （1）若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. （2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足. （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积. 17. 在锐角中，角的对边分别为， . （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧面是等腰三角形，且. （1）证明：平面平面； （2）设二面角的平面角为，求的值； （3）若为的中点，且，设平面与交于点；在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点：在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点；依次类推，，设平面与交于点，记，求的值. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围； （3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中高 2026 届高考全真模拟试题 数学 满分：150 分；考试时间：120 分钟 2026 年 5 月 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算和模长公式即可求解. 【详解】由， 得，即  则 . 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 得，所以集合， 集合，即， 因为，所以. 3. 已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据投影向量的定义，再结合向量模的计算公式求出，最后根据向量数量积的运算求出. 【详解】向量 在向量 上的投影向量为， 因为，所以，代入可得： ，所以， 则. 4. 已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象的对称轴可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据周期得出，再应用余弦函数对称轴计算求解即可. 【详解】因为函数  的最小正周期为  ， 则，所以，所以函数  ， 所以，即， 当时，即， 则函数  的图象的对称轴可以为. 5. 圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示 则 易得，所以，即，所以， 所以圆柱体积 记 ，得， ，单调递增 ，单调递减 故 6. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 7. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，只需到直线的距离小于或等于，再利用点到直线的距离公式列不等式求解． 【详解】解：圆，圆心为：，半径为， 当与圆相切，且直线时，最大， ∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于， ∴只需到直线的距离小于或等于， 故，解得， 8. 已知角 满足， ，则 （ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先将已知角换成新元，方便化简，化简已知条件后，再求与的比值. 【详解】设，， 则， ， ，， 所以. 二、多选题： 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 等比数列的前项和为，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若是递减数列，则公比满足 C. 若，则公比 D. 若(t为常数)，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即.那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列，但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即，解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 10. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，记直线的斜率为，则 C. 面积的最小值为 2 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线AB的方程为，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，从而可求出，即可判断A；根据弦长公式即可判断B；根据结合韦达定理即可判断C；根据弦长公式得，结合基本不等式即可判断D. 【详解】由题意知抛物线的焦点为且直线斜率不为0， 故可设直线AB的方程为，，， 由得，显然， 所以，，，， 所以，故A错误； 设直线的倾斜角为，当为锐角时， 由抛物线的定义可知， 故，同理可得， 由得，从而， 同理当为钝角时，，故B正确； ， 当时，面积的最小值为 2，故C正确； 由于，， 所以， 当且仅当，时， 的最小值为 ，故D正确. 11. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，若函数的对称中心为，则 B. 当时，函数的图象关于点中心对称 C. 当时，若的两个极值点为，且，则 D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助函数中心对称性质计算可得、，再计算即可得；对B：结合函数中心对称性质，验证是否成立即可得；对C：求导后，结合极值点定义，利用韦达定理计算即可得；对D：结合等差数列性质，设出三个零点后代入计算即可得. 【详解】对A：当时，， 由函数的对称中心为，则， 即有， 整理得，即有，解得， 即，故，故A错误； 对B：当时，， 则， 故函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对C：当时，，， 则，，， 由，且，则，故，， 即有，，且，，故，， 即有，即，故C正确； 对D：当时，， 设三个相异零点分别为、、， 则， 即， 则，由得， 则由可得，故， 又，故实数的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知双曲线：的实轴长是虚轴长的2倍，则的离心率为_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得a和b的比值，然后由公式 【详解】因为的实轴长是虚轴长的2倍，所以，从而. 故答案为： 13. 已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，得切线方程，由题意得，问题化为与有一个交点，结合导数即可求解. 【详解】设切点为，则，曲线 在点处的切线方程为， 即，由题意得，即， 令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 当时，,当时，, 故当或时，与有一个交点， 所以实数的取值范围是： 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个大小、质地完全相同的小球， 甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记被抽取的球的序号分别为 ，则满足 的情况有_____种. 【答案】90 【解析】 【分析】假设有，可得共有5种组合，有4种选择，分、，、讨论，可得答案. 【详解】假设，那么对于 ， 可化简为， 所以，即， 若可以取，对应的就是， 所以共有5种组合，对于每一组，有4种选择， 当确定后，考虑它们的排列顺序， 如果，有三种排列， 如果，同理也有三种排列， 如果，那么有种排列， 如果，那么有种排列， 可得每个组合共有种排列， 所以的5种组合共有种. 四、解答题：本大题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 （1）若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. （2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析；熟悉AI程度与参与人员学历有关联； （2）分布列见解析；. 【解析】 【分析】（1）先根据题意列出列联表，再计算，并判断； （2）先确定的可能取值，再分别求概率，列出分布列，最后求期望. 【小问1详解】 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 60 90 不熟悉 70 40 110 合计 100 100 200 零假设为：熟悉AI程度与参与人员学历互相独立，即熟悉AI程度与参与人员学历无关联. 根据列联表中的数据，经计算得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为熟悉AI程度与参与人员学历有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 根据表中数据，熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 不熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 由可见，在被调查者中，熟悉AI的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频率的将近2倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉AI的概率明显大于本科及以下学历熟悉AI的概率，即本科以上学历更容易熟悉AI. 【小问2详解】 从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，这10人中，分数在的人数为3，则可取0，1，2，3； ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足. （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出的值，结合的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线与椭圆联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的方程，求出参数，再应用点线距离公式、三角形面积公式求的面积. 【小问1详解】 由椭圆的定义可得，可得， 因为，所以，故， 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设点、，且， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 所以，则到直线的距离， 所以. 17. 在锐角中，角的对边分别为， . （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得； （2）利用正弦定理将边替换成角的表达式，再由锐角以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系知，得， 整理得，故，又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为 . 而在上单调递减， 所以的周长的取值范围为. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧面是等腰三角形，且. （1）证明：平面平面； （2）设二面角的平面角为，求的值； （3）若为的中点，且，设平面与交于点；在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点：在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点；依次类推，，设平面与交于点，记，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）2029 【解析】 【分析】（1）先计算相关线段长度，用勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明面面垂直 （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，分别求出两个面的法向量，再通过法向量的夹角与二面角的关系求解. （3）先求出，代入，再根据空间向量共面定理，得到递推关系，求出通项公式计算即可 【小问1详解】 已知底面是正方形，故，且. 又，，在中： ，所以. 因为，且平面，所以平面. 又平面，故平面平面. 【小问2详解】 以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 向量 设平面的法向量为，则，取，解得，，即. 平面的法向量为 则 二面角为锐角，故. 【小问3详解】 因为 因为，是中点，， 所以，所以 因为共面，所以 对于，，故 又在上，且，故， 即，代入得 ， 因为共面，所以 化简得 即，是公差为1的等差数列. 故 因此 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围； （3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有. 【答案】（1）单调递增区间：，单调递减区间： （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先确定的表达式，先求定义域，再求导，通过分析导数的正负来确定单调区间； （2）化简，设，得到关于的函数，再根据的范围，利用导数求该函数的值域 （3）先根据数列前项和与通项的关系求出​，再结合求出，进而表示出​，利用放缩法证明不等式 【小问1详解】 当时，，则 令，则 当时，，，故，单调递减. ，故时，，即. 当时：，故，即 综上，单调递增区间：，单调递减区间： 【小问2详解】 当时，，方程为 设，则，且 两式相减 因此 令，求导， 令，，单调递减， 所以在上单调递减时，；时， 所以 记，则，单调递增， 所以 【小问3详解】 由(1)知，当时，，即 取，得， 因此 由(2)知，当时，. 取（，此时），则 所以 记，，则 故在上单调递增，因此，即 取，则 所以，得证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $