2026年高考数学考前仿真冲刺卷04（全国Ⅰ卷）

**基本信息** 2026年高考数学考前模拟卷，覆盖集合、复数、概率等核心知识，解答题融合AI象棋比赛、椭圆轨迹等情境，突出数学思维与逻辑推理，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合、复数、向量、抛物线|基础概念辨析，如向量共线条件判断| |选择题（多选）|3/18|统计、立体几何、函数零点|多选项分层，如立体几何轨迹与体积综合| |填空题|3/15|向量运算、函数最值、椭圆离心率|聚焦关键能力，如椭圆焦点弦与离心率计算| |解答题|5/77|三角函数图像变换、立体几何面面垂直、概率分布列、椭圆轨迹与面积、数列证明|情境化综合，如AI象棋比赛概率模型、椭圆内接三角形重心问题，体现数学语言表达与逻辑推理|

2026年高考数学考前仿真冲刺卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，为实数集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，用列举法先求出集合，再根据集合的补集求出集合，从而求出. 【详解】解：由题意得集合，集合， 所以. 2．已知复数z满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 3．在等比数列中，若，则（    ） A．3 B． C．9 D．27 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得：，可得， 所以. 4．函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可. 【详解】函数定义域为，，因此是奇函数，故排除A. 当时，，又，所以.故排除C. 当时，，故排除D. 函数的部分图象可能是选项B. 5．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：；    乙：； 丙：；        丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】若甲：是真命题，则， 若乙、丙为真， 则，此时甲为真， 由可得，显然， 即丁为假，故D符合题意. 6．已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下： 1 2 3 4 5 2 3 6 若其线性回归方程，且满足，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求出，再计算得到，得到与的另一个式子，联立可解 【详解】，代入回归方程得： ，联立得． 7．设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】在中，由为上一点，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4． 8．已知，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令，，原式可变形为，结合辅助角、二倍角余弦公式及三角函数的性质有最大值为，由，及二次函数的性质求最大值，求解即可． 【详解】， 令，，则原式， 所以的最大值为. ，， 令，则，令， 所以当，即时，取得最大值，即， 此时原式的最大值为，即， 综上，，时，取最大值为1． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理及直四棱柱的性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：平面与平面为同一平面，故平面，故A错误； 选项B：易知，与不垂直，故与不垂直，故与平面不垂直，故B错误. 选项C：如图，连接，平面与平面为同一平面，因为与平面相交，所以与平面相交，故C错误. 选项D：因为直四棱柱的底面为长方形，所以，，，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 如图，连接，，易知，，故， 因为四边形为正方形，所以，则， 又平面，所以平面，故D正确. 10．已知在中，.设函数，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C． D．在区间上有且仅有3个零点 【答案】AC 【分析】A根据求出；B、D利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质判断；C计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 则在中，，故A正确； ， 若，则， 因为正弦函数在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 若，则， 因为正弦函数在上存在个零点， 所以在区间上有且仅有2个零点，故D错误. 11．已知O为坐标原点，双曲线，其左右焦点分别为，过的直线与C的右支交于两点，与两条渐近线分别交于两点，在x轴上方，过点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线C的离心率为 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本量求解离心率判断B，利用四点共圆的性质判断A，利用平面向量数量积的定义结合点到直线的距离公式判断C，利用正弦定理结合两点间距离公式判断D即可. 【详解】对于B，由题意得，则，故B正确， 对于A，如图，作出符合题意的图形，设， 由题意得分别与渐近线垂直， 则四点共圆，且渐近线的方程为， 结合斜率的几何意义得，可得，故A错误， 对于C，由向量数量积的定义得， 由点到直线的距离公式得，， 则， 因为在双曲线上，所以，则， 可得，故C正确， 对于D，由已知得四点共圆，且圆的直径为， 由正弦定理得，整理得， 由两点间距离公式得， 令，而过的直线与C的右支交于两点， 且作直线过焦点并与渐近线平行，其方程为， 设直线与双曲线交点为，联立方程组， 解得，可得，而， 由二次函数性质得在上单调递增， 则，即，得到，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________. 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由圆锥的母线与底面所成角为， 故该圆锥的侧面积为：. 13．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，规则如下：消费每满元可参与抽奖一次，每次可随机抽取盲盒一个，每个盲盒内有一个小球，颜色是黑色、白色或灰色中的一种，且抽中每种颜色的概率都相等，集齐三种颜色的小球即可获得一个高压锅奖品．小陈共消费了元，则他能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为_______． 【答案】 【分析】这道题的解题核心是先确定抽奖次数，再用对立事件与补集思想简化计算：先算出小陈可参与次抽奖，再计算次抽奖的总结果数，接着通过 “减去只抽到种或种颜色的情况”，间接得到集齐三种颜色的结果数，最后求出对应概率． 【详解】因为，所以小陈可以参与4次抽奖， 因为每次抽奖种颜色（黑、白、灰），次抽奖的总结果数为， 而次抽奖只抽到种颜色的结果数为， 次抽奖只抽到种颜色的结果数为， 所以小陈能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为． 14．已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】设切点为，得切线方程，由题意得，问题化为与有一个交点，结合导数即可求解. 【详解】设切点为，则，曲线 在点处的切线方程为， 即，由题意得，即， 令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 当时，,当时，, 故当或时，与有一个交点， 所以实数的取值范围是： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，利用正弦定理，结合三角恒等变换可求值； （2）利用已知，结合（1）求得，进而利用正弦定理可求得外接圆的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，故. （2）因为，又， 所以， 所以， 记外接圆的半径为，所以，解得， 所以外接圆的面积. 16．如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，先根据面面平行判定定理证明平面平面，再证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求的坐标，利用向量方法求结论即可. 【详解】（1）（1）取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）因，则以为原点，所在直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，又， 所以； （3）因为，为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义可得； （2）解法一：分、、三种情况结合单调性讨论； 解法二：分离参数后分的取值讨论单调性可得. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， （2）解法一：（i）当时，，在单调递增，此时存在，使， 不符合题意，舍去； （ii）当时，显然成立； （iii）当时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 解法二：由已知，得. （i）当时，可得.因为，所以，又因为时，， 所以； （ii）当时，恒成立，所以； （iii）当时，可得. 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以. 综上所述，的取值范围为. 18．甲､乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球． (1)求甲连胜三局的概率． (2)求需要进行第五局比赛的概率． (3)比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为 【分析】（1）利用概率的乘法公式计算； （2）分甲发球的两局甲都胜，其余都负、乙发球的两局甲都胜，其余都负、甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负三种情况求出概率； （3）根据独立事件和互斥事件结合前两问逐一求出概率，最后利用期望公式求出. 【详解】（1）甲连胜三局的概率． （2）需要进行第五局比赛，说明前四局甲胜两局负两局，有三种情况： 甲发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为； 乙发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为； 甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负，其概率为 ， 故需要进行第五局比赛的概率为． （3）X的所有可能取值为0，1，2，3 ． 的情况是比赛四局，前三局甲胜一局负两局，第四局甲负， 则甲发球胜一局的概率为， 乙发球甲胜一局的概率为， 所以； ； ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． 19．椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)数列是等比数列，公比为 (3)直线恒过定点 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 故E的方程为. （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学考前仿真冲刺卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，为实数集，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（　　） A． B． C． D． 3．在等比数列中，若，则（    ） A．3 B． C．9 D．27 4．函数的部分图象可能是（   ） A．B．C．D． 5．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：；    乙：； 丙：；        丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下： 1 2 3 4 5 2 3 6 若其线性回归方程，且满足，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 8．已知，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．已知在中，.设函数，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C． D．在区间上有且仅有3个零点 11．已知O为坐标原点，双曲线，其左右焦点分别为，过的直线与C的右支交于两点，与两条渐近线分别交于两点，在x轴上方，过点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线C的离心率为 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________. 13．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，规则如下：消费每满元可参与抽奖一次，每次可随机抽取盲盒一个，每个盲盒内有一个小球，颜色是黑色、白色或灰色中的一种，且抽中每种颜色的概率都相等，集齐三种颜色的小球即可获得一个高压锅奖品．小陈共消费了元，则他能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为_______． 14．已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的面积. 16．如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 18．甲､乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球． (1)求甲连胜三局的概率． (2)求需要进行第五局比赛的概率． (3)比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望． 19．椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $