2.6 对数与对数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，依据高考评价体系梳理对数概念、运算性质及函数图象性质等核心考点，通过近五年真题分析明确对数运算、单调性判断等高频考点，归纳比较大小、解不等式等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法指导+素养落地”，如以2024全国甲卷对数方程题为例，详解换底公式转化技巧，培养数学运算与逻辑推理素养，提能训练分基础到拓展组，助力学生掌握得分关键，教师可依此精准教学，提升复习效率。

第二章 函数 第六讲　对数与对数函数 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[11] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　对数与对数运算 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_____________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数． x＝logaN a N 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) ___________ 常用对数 底数为______ _________ 自然对数 底数为____ _________ logaN 10 lg N e ln N 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝______； ②logaa＝______(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝______(a>0且a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 0 1 b N 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (3)对数的换底公式 logbN＝_________(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__________________； ③logaMn＝___________(n∈R)． logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 知识点二　对数函数的图象与性质 1．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数______________________________叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 y＝logax(a＞0，且a≠1) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 性质 定义域：_____________ 值域：_______________ 当x＝1时，y＝0，即过定点___________ 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，________ 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，________ 在(0，＋∞)上为__________ 在(0，＋∞)上为__________ (0，＋∞) (－∞，＋∞) (1，0) y＞0 y＜0 增函数 减函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数_______________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__________对称． y＝logax y＝x 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 归 纳 拓 展 1．换底公式的两个重要结论 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R且m≠0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)log2x2＝2log2x.(　　) (3)2lg 3≠3lg 2.(　　) (4)函数y＝ln (1－x2)与y＝ln(x＋1)＋ln(1－x)是同一函数．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ [解析]　(3)设2lg 3＝M，3lg 2＝N，则lg M＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N，∴M＝N. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组二　走进教材 2．(多选题)(必修1习题4.3 T2改编)下列各式正确的是(　　) [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(必修1习题4.3 T3改编)写出下列各式的值： (4)(log29)·(log34)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(必修1习题4.3第2(1)题变式)在b＝log3a－1(4－a2)中，实数a的取值范围是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　64 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．(2025·四川宜宾)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) [答案]　A [解析]　由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞,－2)∪(4,＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递减区间是(－∞，－2)，选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点突破 · 互动探究 返回导航 对数与对数运算——自主练透 1．(多选题)(2026·焦作模拟)下列等式成立的是(　　) D．(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·郑州模拟)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法： (1)“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和； (2)“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数． 2．利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 对数函数的图象与性质 考向1　对数函数的图象及其应用——师生共研 (2025·潍坊模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：应用对数型函数的图象可求解的问题 1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 (多选题)(2026·青岛调研)已知ax＝b－x，函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是(　　) [答案]　AB 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向2　对数函数的性质及其应用——多维探究 角度1　比较对数值的大小 1．(2026·湖南长沙部分学校月考)设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则(　　) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(多选题)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中可能成立的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)． 由图象可知B，C，D可能成立． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　解对数不等式 已知log2a(4a2＋1)<log2a(4a)<0，则(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度3　对数性质的综合应用 (2026·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 1．(角度1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a [答案]　A [解析]　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53> log63，∴a>b>c. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(角度3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 有关对数运算的创新应用问题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D [解析]　令北极星与牛郎星的亮度分别为I1，I2， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 (2026·北京四中检测)点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：m)的关系式为ΔL＝10·lg(πr2)＋k，其中k为常数．当传播距离为r1时，衰减量为ΔL1；当传播距离为r2时，衰减量为ΔL2.若r2＝2r1，则ΔL2－ΔL1约为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．6 dB　　 B．4 dB　　 C．3 dB　　 D．2 dB [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 提能训练　练案[11] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·北京大兴三模)已知2a＝3，log25＝b，则2a－b的值为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．0.030 B．0.031 C．0.032 D．0.033 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 5．已知函数f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)，则(　　) A．f(x)有最小值，且最小值为－2 B．f(x)有最小值，且最小值为－1 C．f(x)有最大值，且最大值为－2 D．f(x)有最大值，且最大值为－1 [答案]　D [解析]　f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)＝log0.5[(x2－2)2＋2]≤log0.52＝－1，所以f(x)有最大值，且最大值为－1，但无最小值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．(2026·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　由函数y＝ax的图象可判断出a>1.当a>1时，y＝logax的图象经过定点(1，0)，且为增函数，因为y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝loga(－x)的图象经过定点(－1，0)，为减函数．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移1个单位长度得到的．所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0，0)，为减函数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 7．(2025·甘肃白银三模)若a＝log53，b＝log5018，c＝lg 6，则(　　) A．b<c<a B．a<c<b C．c<a<b D．a<b<c [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 8．(2026·湖南长沙高三阶段练习)若函数f(x)＝ln|ex－1|＋mx为偶函数，则实数m＝(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二、多选题 9．已知0<a<b<1，下列不等式成立的是(　　) [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　AB 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．f(x)是奇函数 B．f(x)≥0 C．f(x)在(－2，2)上单调递减 D．f(x)在(2，＋∞)上单调递增 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　4 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 13．(2025·安徽滁州一模)已知函数f(x)＝loga(3x＋4)＋2x恒过定点(m，n)，则m＋n＝________. [答案]　－3 [解析]　令3x＋4＝1,则x＝－1,又f(－1)＝－2，所以f(x)过定点(－1,－2)，即m＝－1，n＝－2，所以m＋n＝－3. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 14．(2026·江西宜春一模)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax)在[2，4]上的最小值是1，则a＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 四、解答题 15．(2026·上海崇明二模)已知f(x)＝log3(x＋a)＋log3(6－x)． (1)是否存在实数a，使得函数y＝f(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若a>－3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6－x)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)存在实数a＝6，使得函数y＝f(x)是偶函数． 要使函数f(x)＝log3(x＋a)＋log3(6－x)有意义， 显然－a<6，即a>－6， 函数y＝f(x)的定义域D＝(－a，6)． 当a≠6时，函数定义域不关于原点对称， 此时必然存在x∈D且－x∉D，此时函数y＝f(x)不是偶函数． 当a＝6时，f(x)＝log3(x＋6)＋log3(6－x)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 函数y＝f(x)的定义域为(－6，6)，对于任意的x∈(－6，6)， 都有－x∈(－6，6)， 并且f(－x)＝log3(－x＋6)＋log3(6＋x)＝f(x)， 因此函数y＝f(x)是一个偶函数， 综上所述，存在实数a＝6，使得函数y＝f(x)是偶函数． (2)由f(x)≤f(6－x)， 得log3(x＋a)＋log3(6－x)≤log3(6－x＋a)＋log3x， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 由①得，ax≥3a. 因为a>－3且a≠0， 所以当－3<a<0时，－a<x≤3， 当a>0时，3≤x<6. 综上可得：当－3<a<0时，不等式f(x)≤f(6－x)的解集为(－a，3]；当a>0时，不等式f(x)≤f(6－x)的解集为[3，6)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； (2)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)若函数f(x)是R上的奇函数， 则f(0)＝0， ∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0. 当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数． ∴a＝0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 B组能力提升 1．(2026·河南模拟)已知a>0，b>0且ab＝4，则(　　) A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1 C．2a·2b＝16 D．(2a)b＝16 [答案]　D [解析]　由题意得A项中的log2a·log2b和C项中的2a·2b＝2a＋b的值无法确定，对于B，log2a＋log2b＝log2(ab)＝2，对于D，(2a)b＝2ab＝16.故选D． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·浙江名校协作体返校联考)已知函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 解法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝　2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示，易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　(1，＋∞) [解析]　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 5．(2026·黑龙江大庆模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(0<a<1)，函数y＝g(x)的图象与函数f(x)的图象关于原点对称． (1)写出函数g(x)的解析式； (2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若x∈[0，1)时，总有f(x)＋g(x)≤m成立，求实数m的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称， ∴g(x)＝－f(－x)＝－loga(－x＋1)， 即h(x)＝loga[(1＋x)(1－x)]＝loga(1－x2)，x∈(－1，1)． ∵h(－x)＝loga[1－(－x)2]＝loga(1－x2)＝h(x)， ∴函数h(x)为偶函数，即函数f(x)－g(x)为偶函数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ∵a∈(0，1)，x∈[0，1)， ∴u(x)单调递减， ∴u(x)max＝u(0)＝loga1＝0， ∴m≥0，即实数m的取值范围是[0，＋∞)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； [解析]　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x ＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x， 因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 所以k<－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 C组拓展应用(选作) 1．(2026·广东广州模拟)已知57>310，410>77.设a＝log47，b＝2log72＋log73，c＝log925，则(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2025·龙岩模拟)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数，若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 谢谢观看 alogaN＝______(其中a>0且a≠1，N>0)． ②loga＝__________________； ①logab＝； ②logambn＝logab. A．＝loga2(a>0且a≠1) B．lg 2＋lg 5＝1 C．(ln x)2＝2ln x D．lg＝lg x [解析]　A选项，由换底公式，可得＝log36＝1＋log32，故A错误；B选项，lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝1，故B正确；C选项，(ln x)2＝ln x×　ln x≠2ln x，故C错误；D选项，lg＝lg x＝lg x，故D正确． (1)log2＝________； (2)log53＋log5＝________； (3)lg ＋2lg 2－－1＝________； [答案]　(1)－　(2)0　(3)－1　(4)4 [解析]　(1)log2＝log22＝－. (2)log53＋log5＝log51＝0. (3)lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 4－－1＝lg 10－2＝－1. (4)解法一：原式＝·＝＝4. 解法二：原式＝2log23·＝2×2＝4. A． B．∪ C． D． [解析]　要使式子b＝log3a－1(4－a2)有意义，需解得<a<或<a<2.故选B． 题组三　走向考场 5．(2024·全国甲卷理)已知a>1且－＝－，则a＝________. [解析]　∵－＝－，∴loga8－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2，∵a>1，∴t>0，3t－＝－，即6t2＋5t－1＝0，解得t＝或－1(舍)，loga2＝，解得a＝64. A．＝1 B．＝2 C．lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝0 [解析]　＝＝1，A成立；＝＝＝1，B不成立；lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0，C成立；(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1，D不成立． C． D． [解析]　由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝4＝，故选C． [答案]　 [解析]　log1815＝＝ ＝＝. [解析]　由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，因为f(x)＝ax－为减函数，所以0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，排除B，C，D，故选A． [解析]　∵ax＝b－x＝x，∴a＝.当a>1时，0<b<1，指数函数y＝bx在R上单调递减，且过点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增且过点(1，0)，将y＝logax的图象关于y轴对称得到y＝loga(－x)的图象，则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减且过点(－1，0)，故A符合题意；当0<a<1时b>1，同理可得指数函数y＝bx在R上单调递增，且过点(0，1)，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增且过点(－1，0)，故B符合题意，故选AB． [解析]　因为a＝log43<log44＝1，b＝log53<1，c＝log45>1，其中a＝，b＝，所以a－b＝－＝>0，所以c>a>b，故选D． A．0<a< B．<a< C．<a< D．<a<1 [解析]　因为log2a(4a2＋1)<0，4a2＋1>1，结合对数函数图象的性质得0<2a<1，所以4a2＋1>4a>1，所以<a<. A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 [解析]　由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，得f(x)的定义域为，关于坐标原点对称，又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A、C；当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，∵y＝ln(2x＋1)在上单调递增，y＝ln(1－2x)在上单调递减，∴f(x)在上单调递增，故排除B；当 x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln，∵u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确． 2．(角度2)(2026·重庆模拟)已知a>0且a≠1，loga<1，则实数a的取值范围是________. [答案]　∪(1，＋∞) [解析]　当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，则loga<0<1恒成立，当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，由loga<1，可得loga<logaa，解得0<a<，综上，使loga<1成立的a的取值范围是∪(1，＋∞)． [答案]　 [解析]　当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<；当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，得0<8－a<a，4<a<8，故a不存在．综上可知，实数a的取值范围是. (2025·四川成都第二次诊断性检测)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－lg ，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(　　) A．10 B．10 C．10 D．10 依题意，得两式相减得－lg ＝，解得＝10.故选D． [解析]　依题意，知ΔL2－ΔL1＝10·lg(πr)＋k－10·lg(πr)－k＝20lg ＝20lg 2≈20×0.3＝6(dB)．故选A． A．15 B． C． D．－2 [解析]　因为log25＝b，所以2b＝5，又2a＝3，所以2a－b＝＝.故选C． 2．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　) A． B． C． D． [解析]　函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是，即. 3．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　) [解析]　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D． 4．(2026·贵州黔东南三模)在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v(单位：TOPS)满足函数关系E＝0.006＋0.2·lg，则当芯片处理数据的运算速度为128TOPS时，芯片处理数据的错误率约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) [解析]　当v＝128，则E＝0.006＋0.2·lg＝0.006＋0.2lg ＝0.006＋0.2(2lg 2－lg 3)＝0.006＋0.2×(2×0.301－0.477)＝0.031.故选B． [解析]　a＝log53＝＝<＝＝log5018＝b，c＝＝＝>＝＝log5018＝b，所以a<b<c.故选D． A．1 B． C．－1 D．－ [解析]　由函数f(x)＝ln|ex－1|＋mx为偶函数，可得f(－1)＝f(1)，即ln|e－1－1|－m＝ln|e－1|＋m，解之得m＝－，则f(x)＝ln|ex－1|－x(x≠0)，f(－x)＝ln|e－x－1|＋x＝ln|ex－1|－x＋x＝ln|ex－1|－x＝f(x)，故f(x)＝ln|ex－1|－x为偶函数，符合题意．故选D． A．a>b B．a>b C．loga>logb D．loga>logb [解析]　因为a>b，b>b，所以a>b，故A正确；因为a<b，b<b，所以a<b，故B错误；因为loga>logb，logb>logb，所以loga>logb，故C正确；因为loga<loga，loga<logb，所以loga<logb，故D错误．故选AC． 10．(2025·安徽合肥三模)已知m>0且m≠1，则函数f(x)＝log＋3的图象一定经过(　　) [解析]　由f(x)＝log＋3＝2logm＋3，m>0且m≠1，则f(0)＝2logm＋3＝－2＋3＝1，即函数f(x)过点(0，1)，当m>1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限；当0<m<1时，函数f(x)单调递减，过第一、二、四象限．故选AB． 11．(2026·贵州安顺模拟)已知函数f(x)＝ln，则(　　) [解析]　要使得函数f(x)有意义，则>0，解得x≠2且x≠－2，所以f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝　ln 1＝0，从而f(x)是奇函数，A正确；f(1)＝ln<ln 1＝0，B错误；当x∈(－2，2)时，f(x)＝ln＝ln ＝ln(2－x)－ln(2＋x)，y＝ln(2－x)在(－2，2)上单调递减，y＝ln(2＋x)在(－2，2)上单调递增，所以f(x) 在(－2，2)上单调递减，C正确；当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝ln＝ln ＝ln，y＝1－在(2,＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，D正确．故选ACD． 三、填空题 12．(2026·河南信阳质量检测)若a＝(a>0)，则loga＝________. [解析]　∵a＝＝3(a>0)，∴a＝， ∴a＝4，∴loga＝4. [答案]　 [解析]　若a＝0，则x∈[2，4]，f(x)＝2log2x在[2，4]上单调递增，最小值为f(2)＝2log22＝2，不符合题意；若a<0，则f(x)的定义域为(－∞，2a)∪(0，＋∞)，且由复合函数的单调性可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则最小值为f(2)＝log2(4－4a)＝1，解得a＝，不符合题意；若a>0，则f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2a，＋∞)，由题意可得[2，4]⊆(2a，＋∞)，则a<1，此时由复合函数的单调性可知f(x)在[2，4]上单调递增，则最小值为f(2)＝log2(4－4a)＝1，解得a＝，符合题意；综上，a＝. 须满足即 所以且(x＋a)(6－x)≤(6－x＋a)x① 16．已知函数f(x)＝log2. (2)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2. 由题设得log2(1＋a)－log2≥2， 则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)． ∴解得－<a≤－. 故实数a的取值范围是. A． B． C． D．[1，＋∞) [解析]　因为函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，y＝log2x为增函数，所以函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上有意义，且y＝ax2－x在(1，2)上单调递增，所以a≠0，则或解得a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞)．故选D． [解析]　解法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，此时x>y>z，A有可能；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．故选B． 4．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 即g(x)＝loga，x<1. (2)函数f(x)－g(x)是偶函数．理由如下： 记h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga， (3)记u(x)＝f(x)＋g(x)＝loga(1＋x)＋loga＝loga，x∈[0，1)． 由题知f(x)＋g(x)≤m恒成立， ∴m≥max. 令u(x)＝loga＝loga， (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围． (2)由f(x2)·f()>k·g(x)， ②当t∈(0，2]时，k<恒成立， 即k<4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝， 即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3. [解析]　由题意可得b＝log712，c＝log35，因为57>310，410>77，所以两边取对数整理可得log35>，log47<，所以a<c，又a＝log47＝>1，b＝log712＝>1，＝，且<＝<＝ln 7，即ln 4ln 2<(ln 7)2，所以>1，a>b，所以b<a<c.故选D． A．[－，] B．[－2，2] C．(2，] D．(0，2) [解析]　因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的局部奇函数，所以x＋m>0在[－2，2]上恒成立，所以m－2>0，即m>2，由局部奇函数的定义，存在x∈[－2，2]，使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)，即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0，所以存在x∈[－2，2]，使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1，又因为x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]，所以m2∈[1，5]，即m∈[－，－1]∪[1，]，综上，m∈(2，]． $