广东广州市增城区六校（仙村中学、永和中学、派潭中学、中新中学、荔城中学、高级中学）2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷

**基本信息** 六校联考高一（下）期中数学卷，聚焦立体几何、向量、解三角形核心知识，通过几何体情境（如三棱柱盛水）与新定义问题（如“源向量”），分层考查空间观念、推理能力与数学表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|棱柱结构、复数运算、向量表示|结合三棱柱盛水情境（第1题），基础题占比高（难度0.85-0.94）| |多选题|3/18|复数模、向量夹角、正方体截面|正方体截面与体积比综合（第11题），多选项分层考查| |填空题|3/15|复数距离、向量垂直、正四面体体积|正交正四面体公共体积计算（第14题），空间想象能力要求高| |解答题|5/77|解三角形、棱台表面积与体积、面面平行证明、新定义综合|“源向量”与三角函数创新应用（第19题），综合考查逻辑推理与数学表达|

2025-2026学年广东省广州市增城区六校联考高一（下）期中数学试卷 （仙村中学、永和中学、派潭中学、中新中学、荔城中学、高级中学） 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分。 1．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱柱 2．复数的共轭复数=（ ） A．2+i B．2-i C．1+2i D．1-2i 3．在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是(　　) A．＝(0，0)，＝(1，2) B．＝(－1，2)，＝(5，－2) C．＝(3，5)，＝(6，10) D．＝(2，－3)，＝(－2，3) 4．如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 6．中，，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 7．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 8．在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（） A．4 B． C． D．6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（     ） A． B．的模为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 10．已知向量，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 11．正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（     ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数对应的点到原点的距离是，则实数___________． 13．已知平面向量，若，则__________. 14．如图，两个正交的全等正四面体（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点），若正四面体棱长为2，则这两正交四面体公共部分的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 16．（15分）如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm．    (1)求四棱台的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 17．（15分）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 18．（17分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 19．（17分）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 试卷第4页，共4页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年广东省广州市增城区六校联考高一（下）期中数学试卷（仙村中学、永和中学、派潭中学、中新中学、荔城中学、高级中学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C B C B ACD AD 题号 11 答案 BCD 1．A 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：A 2．C 【难度】0.85 【知识点】复数综合运算 【详解】试题分析：因为,所以,故选C． 考点： 复数运算． 3．B 【难度】0.94 【知识点】用基底表示向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可． 【详解】根据， 选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能； 选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能． 选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能． 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题． 4．D 【难度】0.85 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案. 【详解】解： . 故选：D. 5．C 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面平行的性质 【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则或异面或相交，故A错误； 对于B，，则或异面，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，且，则或，故D错误. 故选：C. 6．B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理可求的值，由同角三角函数基本关系可得的值，再由三角形的边角关系即可求解. 【详解】在中，由余弦定理得：， 因为，所以， 故边上的高为， 故选：B. 7．C 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、向量在几何中的其他应用 【分析】由题意可得，平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，从而即可得答案. 【详解】解：因为 ， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线， 点的轨迹过的内心. 故选：． 8．B 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，假设点的坐标，进而可表示成关于角的三角函数，结合辅助角公式及正弦函数的图象可求其最大值. 【详解】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上，设 为等边三角形，， ， ， ， 当，即时，， 故选：B. 9．ACD 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的除法化简得出复数，可判断A选项；利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，A对； 对于B选项，，则，B错； 对于C选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 10．AD 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示、已知向量垂直求参数、求投影向量 【分析】由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的夹角、投影向量及向量共线的坐标运算求解即可． 【详解】若，则，即，A选项正确； 若， 结合A可知此时，且夹角为180°，B选项错误； 因为，所以， 由于， 所以，解得， C选项结论错误. 若，，则向量在上的投影向量为，D选项正确； 故选：AD 11．BCD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】作出平面判断AC；作出平面截正方体所得截面，推理、计算判断BD. 【详解】在正方体中，过作分别交于，连接，则， 对于A，平面，点平面，点， 又点平面， 因此是异面直线，A错误； 对于C，四边形是矩形，且是平面截该正方体所得的截面，而为正方形的中心， 则是的中点，，矩形的面积，C正确； 连接，矩形是正方体的对角面，则， 由为正方形的中心，得点为中点，因此， 点共面，则与共面，B正确； 对于D，，延长交于点，连接交于点， 延长交于，连接，令直线交于，连接， 则四边形是平面截正方体所得截面， 由分别为正方形，的中心，得， 连接， 多面体的体积， 而正方体的体积，因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，D正确. 故选：BCD 12． 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义和两点间距离公式求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以即，解得， 故答案为： 13．0 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，所以， 又，所以，解得； 故答案为： 14． 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】根据题意可知该几何图形的体积由八个小正四面体和所求公共部分的体积组成， 设大正四面体为，是中心， 因为大正四面体的棱长为2，所以，， 所以大正四面体的高，小正四面体的高， 设所求部分的体积为，大正四面体的体积为，小正四面体的体积为， 则，， 所以，解得， 即这两正交四面体公共部分的体积为， 故答案为： 15．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）用正弦定理化简边角关系，解出tanB的值，从而得到答案; （2）利用余弦定理解出a的值，再用正弦面积公式求出答案. 【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以， 所以，即，因为，所以， 所以，所以． （2）由余弦定理，得， 解得或（舍去），所以． 16．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】（1）利用正四棱台的性质，求出侧面等腰梯形的高，再分别计算每个面的面积，相加即可得棱台的表面积； （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高，再根据圆台的体积公式计算即可. 【详解】（1）正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接，作交于， 如图所示，因为，，且，则四边形为矩形， 则，，，， 所以， 所以四棱台的表面积为．    （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高， 则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高， 则圆台的体积为． 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、证明面面平行 【分析】（1）利用平行四边形证明，即可证明四点共面； （2）由梯形可知，再根据两平面的交线，证明过点即可； （3）根据平面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 18．(1) (2) (3) 【难度】0.56 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长； （3）利用正弦定理和三角恒等变换，结合正弦函数的性质，即可求得周长的取值范围. 【详解】（1）已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； （2）由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 （3）由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是. 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、余弦定理边角互化的应用、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据“伴随函数”的定义有，即可求解； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【详解】（1）因为向量的“伴随函数”为， 所以函数在的值域为； （2）因为，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值. （3）如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $