6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 【学习目标】 1. 掌握平面向量加法、减法的坐标运算法则. 1. 能利用坐标运算求向量的和、差，以及已知起点和终点坐标求向量的坐标. 1. 会用向量坐标运算解决平面几何中的简单问题（如平行四边形顶点坐标计算）. 【学习重点】 1. 向量加、减运算的坐标表示：，. 2. 已知点 ，，则 . 【学习难点】 1. 向量坐标与点的坐标的区别与联系. 2. 利用向量坐标运算解决几何问题的转化方法. 学习任务一 向量加、减运算的坐标表示 【合作探究】 1. 问题引入： · 已知 ，，如何用坐标表示 和 ？ · 由向量坐标定义，，， · ， · 所以 . · 同理，. 1. 向量 的坐标： · 设 ，，则 . · 即终点坐标减起点坐标. 1. 例题： · 已知 ，，求 ，. · 解：； · . 1. 思考： (1) 两个向量的和与差的坐标运算是否满足交换律、结合律？ · （交换律：；结合律：，坐标表示下显然成立.） (2) 一个向量的坐标是否等于其终点坐标？ · （不一定，只有起点在原点时才相等.） 【自主梳理】 1. 加法坐标表示：. 1. 减法坐标表示：. 1. 向量 坐标：. 学习任务二 坐标运算的应用 【合作探究】 1. 例1（求向量的坐标）： · 已知点 ，，求 ，. · 解：；. 1. 例2（平行四边形顶点坐标）： · 已知平行四边形 的三个顶点 ，，，求顶点 的坐标. · 解法一（利用向量相等）： · ，，设 ，则 ， · 解得 ，，即 ，，所以 . · 解法二（利用对角线中点相同）： · 中点 ， 中点也是 ，设 ，则 ，，解得 ，. 1. 例3（向量线性运算的坐标形式）： · 已知 ，，求 的坐标. · 解：，. 1. 例4（共线条件）： · 已知 ，，若 与 平行，求 . · 解：，由平行得 ， · 解得 ，，，，. 【自主梳理】 1. 向量坐标运算可转化为代数运算，便于解决几何问题. 2. 用坐标表示向量后，平行、垂直等条件可转化为方程求解. 【自查自纠】（正误判断） 1. 已知 ，，则 . （ ） 1. 若 ，，则 . （ ） 1. 向量加法的坐标运算法则与点的加法相同. （ ） 1. 在坐标形式下也成立. （ ） 1. 已知平行四边形 ，，，，则 坐标为 . （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.×（向量加法对应坐标相加，点的加法一般无意义） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：已知 ，，求： (1) ； (2) ； (3) . 解： (1) . (2) . (3) . 例2：已知点 ，，，求 的坐标，并求 . 解： ，， 则 . 又 ，所以 . 【习题巩固】 1. 已知 ，，则 的坐标为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若点 ，，则 的坐标为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，则 的坐标为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在平行四边形 中，，，，则顶点 的坐标为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）已知 ，，且 与 垂直，求 的值. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B（） 1. A（） 1. A（，） 1. A（由 ，，设 ，则 ，解得 ，） 1. 解：，与 垂直，则 ，，，. 学科网（北京）股份有限公司 $