专题05 二次函数综合应用8大重点题型（抢分专练，江西专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题05 二次函数综合应用 考点1 二次函数中新定义型问题 1．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 0 2 3 4 6 5 5 2．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 考点2 二次函数有关的平移综合问题 3．（2025·江西吉安·一模）抛物线的顶点坐标为点，与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)若抛物线经过点， ①的值为______；点的坐标为______． ②______． (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的抛物线恰好经过点，求的值． (3)若点，在该抛物线上． ①当时，求的值； ②在①的条件下，是否存在实数，使得为等边三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ③当时，请直接写出的取值范围． 4．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，已知抛物线：与直线相交于A，B． (1)______； (2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于C，D（点C在点D左边），已知抛物线顶点M的横坐标为m． ①当时，抛物线的解析式是______，______； ②连接，当为等边三角形时，求点M的坐标． 考点3 二次函数应用中的小球飞行问题 5．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 6．（2025·江西上饶·一模）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为． (1)求a的值及的长． (2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式． ②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________． 考点4 二次函数应用中喷泉型问题 7．（2025·江西抚州·一模）如图，为助力乡村振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为上的点C处，求点C距出水口的水平距离． 8．（2026·江西吉安·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，这是某地的一处音乐喷泉，可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化． 【实验数据】如图2，这是音乐喷泉其中的一根水管，喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点与水管的水平距离为10米． 【数学建模】如图2，以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，水管所在的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为米的景观灯，且景观灯的顶端恰好碰到水流． ①求出水点与景观灯底部之间的距离； ②现计划将出水点A向下平移米，使新水流的落地处恰好在点处，求的值． 考点5 几何图形中的动点问题引申出的二次函数问题 9．（2023·江西·中考真题）综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系    (1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． (3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 10．（2026·江西·一模）如图（1），在中，，点从点出发以的速度沿路线运动，点从点出发以的速度沿运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究与的关系． (1)初步感知 当点由点运动到点时， ①若_____________； ②关于的函数解析式为_____________． (2)深入探究 当点由点运动到点时，经探究发现关于的函数解析式为，其图象如图（2）所示． ①的值为_____________； ②求关于的函数解析式． (3)延伸探究 当点在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为． ①求与的数量关系； ②当时，的值为_____________． 考点6 二次函数的翻折或对称问题 11．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点D的坐标； ②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围． 12．（2025·江西·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 考点7 二次函数应用中的拱桥型问题 13．（2025·江西宜春·一模）【课本再现】九年级上册第51页探究3： 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．水面下降，水面宽度增加多少？ 分析：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系． 解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ，即，… (1)请你完成剩余部分； (2)【实际应用】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某市计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度为，拱桥最高点到水面的距离为9米，设桥拱上的点到水面的竖直高度米，到点的水平距离米． ①以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求与的函数关系式； ②据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计多少条龙舟赛道． 14．（2025·广东深圳·一模）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 考点8 二次函数应用中的双抛物线模型 15．（2025·江西景德镇·一模）在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材． 素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5，且最高点到立柱的水平距离为1． 素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为3.5的支架． 小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题： (1)求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）． (2)求与之间的距离． (3)若是第二象限的抛物线上一点，是点关于立柱的对称点，且在点的下方，的上方，过点分别作于点，于点．为迎接春节，在上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长的最大值． 16．（2025·江西景德镇·一模）滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线． (1)求“U”型碗池最低点到地面的距离； (2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式； ②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围． 1．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式为___________； (2)若抛物线的顶点也落在直线上，其对称轴为直线，点在上，点在上，设， ①当时，取点关于直线对称的点，判断线段的中点是否落在直线上？并说明理由； ②当，时，求的取值范围； ③当的最小值大于或等于6时，求的取值范围． 2．（2025·江西抚州·一模）【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度与水平距离的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 （1）根据表中数据，_____，关于的函数解析式为_____． 【解决问题】 （2）全红婵和陈芋汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则_____；（填“”“”或“”） ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好是米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 4．（2026·江西吉安·一模）问题背景 如果一条抛物线（）与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，称为“抛物线三角形系数”．某数学兴趣小组围绕该定义，结合抛物线的性质进行了相关探究． 探究条件 已知抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且“抛物线三角形系数”为． 初步探究 (1)求的取值范围． (2)若抛物线的顶点与点，组成的“抛物线三角形”为等腰直角三角形，求的值． 深入探究 (3)在（2）条件下，现将抛物线向右平移，平移后得到的抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且，求抛物线的解析式． 5．（2026·江西九江·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求n的值． (2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？ (3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 6．（2026·江西南昌·一模）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练．如图所示，在某次试投中，实心球经过的路线是抛物线．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的处，实心球的落地点为处．    (1)如图，已知于点，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点的坐标为______； (2)求出抛物线的解析式； (3)已知此次比赛成绩的核定方式为实心球出手处点A至球落地处的水平距离（即的长），则小明此次投掷的成绩是多少米？ 7．（2026·江西九江·一模）抛物线：（其中）与轴交于两点（点在点的左侧）． (1)①填空：当时，点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②随值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线的对应点分别为点，求抛物线的表达式； (3)设抛物线的顶点为点，当，为直角三角形时，求方程的根． 8．（2026·江西吉安·一模）问题背景：已知二次函数的一般表达式是，如果a为非0的确定常数，，我们就称该函数为“b值函数”．例如：当，时，此二次函数为，它就是一个“b值函数”．某数学兴趣小组围绕该定义，做以下探究． 探究1 (1)对“b值函数”进行探究后，得到下列结论： ①“b值函数”的图象与x轴一定有两个交点； ②随着b值增大，函数的顶点纵坐标一直增大； ③当b值取相反数时，两函数的顶点关于y轴对称． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． (2)对于“b值函数”，随着b值的变化，函数图象与x轴的交点也在变化．设其与x轴的一交点为，若时，求b的取值范围． 探究2 (3)设“b值函数”的顶点坐标为，请用含b的式子表示m与n的关系． 探究3 (4)如图，某人想用长的栅栏，借用围墙围成一个矩形羊圈，围墙足够长，设矩形的边，面积为，请写出S关于x的函数表达式，判断该函数是不是“b值函数”，并说明该函数的顶点变化规律；当羊圈最大面积是时，求需要用多长的栅栏． 9．（2026·江西上饶·一模）综合与实践 【问题背景】9·3抗战胜利80周年纪念活动后，某地区举办了一场以铭记抗战历史为主题的大型文艺晚会．这场晚会吸引了众多观众前来观看，在入场时，排队现象成为关注焦点．某数学小组针对此次晚会，研究了排队人数与安检时间、安排安检通道数之间的关系．如图是晚会安检的示意图． 【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：该晚会场地最多可开设10条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人． 【模型构建】晚会前30分钟开始安检，统计发现现场总人数y（人）与安检时间x（分钟）的关系为：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开设4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为________（用含x的式子表示），排队人数w与安检时间x的函数解析式为________； (2)【模型应用】 在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该晚会主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟（包含10分钟）内开始减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支； 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由． 10．（2025·江西南昌·一模）如图1，是某房前晾衣服的实景图，图2是它的示意图，巴知铁柱和都与地面垂直．晾衣绳可以近似看作一条抛物线，经测量，，，晾衣绳最低点到地面的距离为1.2m．现以O为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求晾衣绳所在抛物线的函数解析式； (2)如图3，为防止衣服碰到地面，晾衣绳最低点到地面的距离不能小于1.4m.小斌准备用一根长为2m，且与地面垂直的立柱撑起晾衣绳，使晾衣绳分成和两部分，当E为线段的中点时，解析式分别为和．他们的最低点分别是G和H． ①求证：最低点G，H到地面的距离相等； ②晾衣绳的长度可以通过打结处A，D调节.若要使晒在晾衣绳和上的衣服不会碰到地面，则a应满足什么条件？ 11．（2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数综合应用 考点1 二次函数中新定义型问题 1．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 2．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 考点2 二次函数有关的平移综合问题 3．（2025·江西吉安·一模）抛物线的顶点坐标为点，与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)若抛物线经过点， ①的值为______；点的坐标为______． ②______． (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的抛物线恰好经过点，求的值． (3)若点，在该抛物线上． ①当时，求的值； ②在①的条件下，是否存在实数，使得为等边三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ③当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①1，；②6 (2)2 (3)①2；②存在，；③ 【分析】（1）①把代入求得，则，即可得出顶点坐标； ②令，则，解得：，，则，，即可求解； （2）由求得顶点坐标为，再根据抛物线平移规律得出平移后解析式为，把顶点代入求解即可； （3）①根据，则对称轴为直线，又根据对称轴为直线，即可求解； ②由，则，，所以，根据顶点的坐标为，则点到的距离为，然后根据等边三角形的性质得，，所以，即可求解； ③根据，则，即，再根据，则，求解即可． 【详解】（1）解：①把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为点的坐标为， ②令，则， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：①1；；②6． （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 又∵将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度， ∴平移后解析式为， 把代入，得： ， ． （3）解：①， 对称轴为直线， 又对称轴为直线， ． ②存在，理由如下： ， ，， ， 又顶点的坐标为， 点到的距离为， 又为等边三角形， ∴，， ， ； ③∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象平移，等边三角形的性质，解直角三角形，此题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键． 4．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，已知抛物线：与直线相交于A，B． (1)______； (2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于C，D（点C在点D左边），已知抛物线顶点M的横坐标为m． ①当时，抛物线的解析式是______，______； ②连接，当为等边三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)2 (2)①；4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义： （1）令，解方程即可求解； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再令，解方程即可求解；②根据题意可得，从而得到抛物线的解析式为，令，可得，过点M作于点E，则，，然后根据是等边三角形，得出，再根据锐角三角函数即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴； 故答案为：2 （2）解：①对于， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：或4， ∴ ∴； 故答案为：；4 ②解：∵点M在直线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：或， ∴，， ∴， 如图，过点M作于点E，则，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为． 考点3 二次函数应用中的小球飞行问题 5．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】(1)①3，6；②； (2)①8，② 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 6．（2025·江西上饶·一模）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为． (1)求a的值及的长． (2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式． ②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________． 【答案】(1),米 (2)；． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键． （）将点坐标代入解析式，即可求出的值； （）由（）可得弹力球第一次着地前抛物线的解析式，再令，解方程求出的值，即可得出点坐标，再根据两条抛物线形状相同，且弹力球在处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半以及点坐标，即可求出弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；l把代入，解方程求出的值与框的位置比较即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线的起点， ∴， 解得， 则， 当时，， 解得， (不合，舍去)， ∴点的横坐标为； ∴； （2）解：由（）知，点的横坐标为5； ∵两条抛物线形状相同，弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ∴， 设弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线解析式为， 将点代入该解析式，得， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴ 弹力球第一次着地后的弹起降落形成抛物线解析式为； 令中，则， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴弹力球第二次落地点距离原点米， ∵筐的最左端与原点的水平距离为．在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐， 当代入， 得 解得或， ∵时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴由题意可知, 解得： ∴要使得游戏成功，则d的取值范围是． 故答案为：． 考点4 二次函数应用中喷泉型问题 7．（2025·江西抚州·一模）如图，为助力乡村振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为上的点C处，求点C距出水口的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题是解题的关键， （1）根据坡比，求出的长，从而得到点，点坐标，再由题意设抛物线的表达式为，代入即可求得抛物线的解析式； （2）设直线的解析式为，由点，点坐标求得直线的解析式，再由点是直线和抛物线的交点，联立方程并求解，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：， ， 设，则． ， ， 解得， ， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 由条件可设抛物线的表达式为， 将代入，可得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点，点代入得：， 解得， 直线的解析式为． 联立， 得， 解得， 点C的横坐标为， 点C距出水口的水平距离为． 8．（2026·江西吉安·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，这是某地的一处音乐喷泉，可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化． 【实验数据】如图2，这是音乐喷泉其中的一根水管，喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点与水管的水平距离为10米． 【数学建模】如图2，以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，水管所在的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为米的景观灯，且景观灯的顶端恰好碰到水流． ①求出水点与景观灯底部之间的距离； ②现计划将出水点A向下平移米，使新水流的落地处恰好在点处，求的值． 【答案】(1) (2)①出水点与景观灯底部之间的距离为米；② 【分析】（1）根据题意已知抛物线的顶点坐标及抛物线上一点，设抛物线的顶点式为，再将抛物线上一点代入即可； （2）①首先，根据题意把代入（1）中对应抛物线的表达式中，转换为关于的一元二次方程，解出方程的两个解，再根据题目中的实际意义舍去负值，然后，求得点对应的坐标，进而得出的长，最后，运用勾股定理即可求出的长； ②由平移的性质及题意设出平移后对应的抛物线的表达式，再将点的坐标代入即可求得的值． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过点，顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①解：当时，， 整理得，解得． ， 点， ． 当时，， ， ． 答：出水点与景观灯底部之间的距离为米． ②解：根据题意得平移后的抛物线为， ∵平移后的抛物线经过点， ， 解得， 的值为． 考点5 几何图形中的动点问题引申出的二次函数问题 9．（2023·江西·中考真题）综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系    (1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． (3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1)①3；② (2)， (3)①4；② 【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， 故答案为：4； ②由（3）①可得， ∵， ∴， ∴， ∴．   . 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 10．（2026·江西·一模）如图（1），在中，，点从点出发以的速度沿路线运动，点从点出发以的速度沿运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究与的关系． (1)初步感知 当点由点运动到点时， ①若_____________； ②关于的函数解析式为_____________． (2)深入探究 当点由点运动到点时，经探究发现关于的函数解析式为，其图象如图（2）所示． ①的值为_____________； ②求关于的函数解析式． (3)延伸探究 当点在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为． ①求与的数量关系； ②当时，的值为_____________． 【答案】(1)①；②； (2)①16；② (3)①；② 【分析】（1）①由题意可知，当时，，作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②，作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可； （2）①把代入（1）①中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）①根据时，，列出比例式进行求解即可；②联立①的等式和，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：①∵点从点出发以的速度沿路线运动，点从点出发以的速度沿运动．设运动时间为， ∴当时，， 作于点，如图1， ， ， ∴平行四边形的面积为：； 故答案为：； ②由题意，得：， ， ， 故答案为：； （2）解：①由图象可知，当时，此时点恰好运动到点，由（1）②可知：，故， 故答案为：16； ②由图象和①可知，抛物线过， 将两点坐标分别代入，得：， 解得：， 关于的函数解析式为； （3）解：①由题图（2）可知，点与点重合时，，点与点重合时，， ， 由题意可知， ， 当时，则：， ， ， ； ②联立得：， 解得， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，含30度角的直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键． 考点6 二次函数的翻折或对称问题 11．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点D的坐标； ②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，中心对称的性质，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用二次函数的顶点式求顶点坐标即可，利用二次函数的抛物线特征进行求解即可； （2）①根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，然后利用二次函数的性质求交点坐标即可； ②联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 当时，， ∴． （2）解：①设抛物线的顶点为C，则点C与点A关于点B对称， ，． ∴点C的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令，解得（不合题意，舍去)， ∴点D的坐标为． ②当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， 当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， ∴若与直线有三个交点，则b的取值范围为． 12．（2025·江西·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 【答案】(1)，（或） (2)①在，② 【分析】本题主要涉及二次函数的性质及应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用已知点的坐标可求出对称轴，可知顶点C的坐标； 已知顶点C的坐标，设二次函数解析式（顶点式），代入已知点，可得二次函数的解析式； （2）因为抛物线与具有相同的对称轴，根据抛物线的对称性，所以点B在抛物线上； 直线为抛物线的对称轴．F为抛物线的顶点，F，B，D三点共线，且．过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E，可得的长，由D点在上，且点到直线的距离垂线最短，可得d的取值范围 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，两点， 对称轴为 C为抛物线的顶点，其纵坐标为． 点C坐标为． 设二次函数解析式，将代入， 得，解得． 二次函数的解析式为或． （2）解∶ ①在， 因为抛物线与具有相同的对称轴，且经过点，根据抛物线的对称 性，点关于对称轴的对称点为，所以点B在抛物线上． 如图，直线为抛物线的对称轴． F为抛物线的顶点， ∴F，B，D三点共线，且． 过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E， ，． ∵将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线， 点D在直线上运动. ∵， d的取值范围为． 考点7 二次函数应用中的拱桥型问题 13．（2025·江西宜春·一模）【课本再现】九年级上册第51页探究3： 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．水面下降，水面宽度增加多少？ 分析：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系． 解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ，即，… (1)请你完成剩余部分； (2)【实际应用】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某市计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度为，拱桥最高点到水面的距离为9米，设桥拱上的点到水面的竖直高度米，到点的水平距离米． ①以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求与的函数关系式； ②据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计多少条龙舟赛道． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②最多可设计5条龙舟赛道 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）依据题意，令，解方程求出x的值，即可得此时的水面宽度，再减去即可得水面增加的宽度； （2）①由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为，可设拱桥所在抛物线的解析式为，将代入，求出k的值即可； ②依据题意，令，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以8得出可设计赛道的条数． 【详解】（1）解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ， 即， ∴抛物线表示的二次函数为， 当时，， 解得， 此时水面宽度为， ∴水面下降，水面宽度增加； （2）①解：由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为， 可设拱桥所在抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴拱桥所在抛物线的解析式为； ②当时，， 解得或， ∴可设计赛道的宽度为， ∵， ∴最多可设计5条龙舟赛道． 14．（2025·广东深圳·一模）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为， 将代入得，，解得， ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴， 将代入得，，解得， ∴， 将代入得，，解得， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 考点8 二次函数应用中的双抛物线模型 15．（2025·江西景德镇·一模）在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材． 素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5，且最高点到立柱的水平距离为1． 素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为3.5的支架． 小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题： (1)求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）． (2)求与之间的距离． (3)若是第二象限的抛物线上一点，是点关于立柱的对称点，且在点的下方，的上方，过点分别作于点，于点．为迎接春节，在上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，得出二次函数的解析式以及利用数形结合思想进行分析解决是关键． （1）由题意设抛物线的顶点式为，代入A点坐标即可得出答案； （2）由题意得支架高度为，代入得，解出方程即可进一步得出与之间的距离； （3）先设，与x轴交于点H，表示出，即可得出，注意配方法的使用，进一步分析即可得出的最大值． 【详解】（1）解：， ∴A点坐标为， ∵最高点距离地面4.5，且最高点到立柱的水平距离为1， ∴最高点坐标为， 设抛物线的顶点式为， 将代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵支架高度为3.5，即， 当时，有， 解得，， ∴点的横坐标为， 由对称性知点的横坐标为， ∴与之间的距离为：； （3）解：设，与x轴交于点H， ， ， ，， ， ， 当时，， ∵是点关于立柱的对称点， ∴， ∴， ∴彩带长最大值为． 16．（2025·江西景德镇·一模）滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线． (1)求“U”型碗池最低点到地面的距离； (2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式； ②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围． 【答案】(1)“U”型碗池最低点到地面的距离为米 (2)①；② 【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答； （2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可； ②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．　　 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称，米，米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴， 将代入，则， 解得：， 则“U”型碗池最低点到地面的距离为米； （2）解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为， ∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反， 设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为， 过点作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵点为斜坡的中点， ∴，即， ∴米，米， ∴米， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴此抛物线的解析式为； ②由①知， ∵， 根据题意：， 解得：； ∴若此次挑战成功，b的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 1．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式为___________； (2)若抛物线的顶点也落在直线上，其对称轴为直线，点在上，点在上，设， ①当时，取点关于直线对称的点，判断线段的中点是否落在直线上？并说明理由； ②当，时，求的取值范围； ③当的最小值大于或等于6时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①是，见解析；②；③或 【分析】（1）先求得顶点坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）①求得，根据中点坐标公式计算即可判断； ②求得，根据二次函数的性质求解即可； ③求得，即最小值为，根据题意得到，分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，则，顶点坐标为，代入得，即， ∴抛物线的解析式为； ①线段的中点落在直线上，理由如下： 当时，则顶点坐标为， ∴， 依题意知：点，点， 点与点关于直线对称， 点 ， 即中点为， 线段的中点落在直线上； ② ， ∴的最小值为0， 当时，设， 这是一个开口向上的二次函数，且对称轴为直线， ∴当，取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴最大值为， ∴的范围是； ③∵，， ∴， 其对称轴为，开口向上， 当时，的最小值为， 由题意得， 分两种情况讨论：或， 当， 整理得，解得或； 当时，整理得， ，此情况无解； ∴当时， 的取值范围为或． 2．（2025·江西抚州·一模）【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)与之间的距离为1． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可． 【详解】（1）解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， 设抛物线的解析式为（）， 由题意知，，对称轴为直线， 即，， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，，，对称轴为直线， 设抛物线的解析式为（）， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ∴，， 设直线解析式为，代入得：，解得：， ∴直线解析式为， ∴，， ∴，， ∴， ∴，解得或． ∵在的左侧， ∴与之间的距离为1． 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度与水平距离的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 （1）根据表中数据，_____，关于的函数解析式为_____． 【解决问题】 （2）全红婵和陈芋汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则_____；（填“”“”或“”） ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好是米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②不会失误，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到的值； （2）①将代入两个函数解析式，求出，的值即可； ②将代入求出，即可进行判断． 【详解】解：（1）由表中数据可知，经过， 故对称轴 顶点坐标为 设关于的函数解析式为， 将代入， 得 解得 故关于的函数解析式为， 将代入，， ， 故答案为：，； （2）①将代入， 解得（舍去）或， ， 将将代入， 解得（舍去）或， ， ， 故答案为：． ②不会失误，理由如下： 将代入， 即， ， ， 全红婵本次训练不会失误． 4．（2026·江西吉安·一模）问题背景 如果一条抛物线（）与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，称为“抛物线三角形系数”．某数学兴趣小组围绕该定义，结合抛物线的性质进行了相关探究． 探究条件 已知抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且“抛物线三角形系数”为． 初步探究 (1)求的取值范围． (2)若抛物线的顶点与点，组成的“抛物线三角形”为等腰直角三角形，求的值． 深入探究 (3)在（2）条件下，现将抛物线向右平移，平移后得到的抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意可知，抛物线的解析式为，令，可得其与轴的两个交点横坐标为和，根据题设“交点从左到右依次为，”，可知，解此不等式即可求出的取值范围； （2）抛物线与轴的交点坐标为，，顶点坐标为，得到，根据“抛物线三角形”为等腰直角三角形推出，即可求解； （3）由（2）知抛物线的解析式为，，，设将抛物线向右平移个单位长度，得到，，抛物线的解析式为，结合列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的“抛物线三角形系数”为， 抛物线的解析式为， 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为，， ， 即； （2）由（1）知抛物线的解析式为，开口向上， 抛物线与轴的交点坐标为，， 顶点坐标为， ，在的左边， ， ， “抛物线三角形”为等腰直角三角形， ， 抛物线开口向上， ， ， 解得或（舍去）， 的值为； （3）由（2）知抛物线的解析式为，，， 设将抛物线向右平移个单位长度， ，，抛物线的解析式为， ，， ， ， 或， 抛物线的解析式为或． 【点睛】理解题意，结合抛物线的图象与性质，列方程求解是解题的关键． 5．（2026·江西九江·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求n的值． (2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？ (3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2)对，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把，点代入解析式即可求解； （2）由抛物线解析式，得顶点是，把代入，求出值与比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误； （3）当、重合时，可得出，，把代入可得，即可得出的最大值为；当、不重合时，由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到＝＝，根据二次函数的性质即可证得结论． 【详解】（1）解：当时， ∵在函数图象上， ∴， （2）解：由题意得，顶点是 当时， ∴顶点在直线上 （3）证明：当、重合时，， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵都在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴有最大值， 当、不重合时， ∵，都在二次函数的图象上， ∴对称轴是直线 ∴， ∴， ∴， 把代入抛物线解析式，得 ＝＝， ∵， ∴c有最大值为， ∴． 6．（2026·江西南昌·一模）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练．如图所示，在某次试投中，实心球经过的路线是抛物线．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的处，实心球的落地点为处．    (1)如图，已知于点，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点的坐标为______； (2)求出抛物线的解析式； (3)已知此次比赛成绩的核定方式为实心球出手处点A至球落地处的水平距离（即的长），则小明此次投掷的成绩是多少米？ 【答案】(1)图见解析， (2) (3)小明此次投掷的成绩是8米 【分析】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键， （1）根据题意画出坐标系直接写出坐标即可； （2）用待定系数法求出二次函数表达式； （3）求C点横坐标即可； 【详解】（1）解：建立坐标系，如下图：    由题意得：； （2）解：由题意得：抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 由抛物线经过点， 得， 解得， ； （3）解：时，， ，（舍）， 答：小明此次投掷的成绩是8米． 7．（2026·江西九江·一模）抛物线：（其中）与轴交于两点（点在点的左侧）． (1)①填空：当时，点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②随值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线的对应点分别为点，求抛物线的表达式； (3)设抛物线的顶点为点，当，为直角三角形时，求方程的根． 【答案】(1)①；；②会，定点 (2)或 (3) 【分析】（1）①把代入函数解析式，再令，再建立方程求解即可； ②把函数化为，从而可得答案； （2）根据平移的性质可得，再求解即可得到答案； （3）求解顶点P的坐标，当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形，可得，，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 令，则， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为； ②会．求值如下： ， 当时，， 抛物线会经过定点； （2）解：当时，解得， ． 点的对应点分别为点， ， ，解得， 抛物线的表达式为或； （3）解：方程的根为， ， 顶点的坐标为，如图， 当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 解得， 且， ， 代入方程中得， 解得． 8．（2026·江西吉安·一模）问题背景：已知二次函数的一般表达式是，如果a为非0的确定常数，，我们就称该函数为“b值函数”．例如：当，时，此二次函数为，它就是一个“b值函数”．某数学兴趣小组围绕该定义，做以下探究． 探究1 (1)对“b值函数”进行探究后，得到下列结论： ①“b值函数”的图象与x轴一定有两个交点； ②随着b值增大，函数的顶点纵坐标一直增大； ③当b值取相反数时，两函数的顶点关于y轴对称． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． (2)对于“b值函数”，随着b值的变化，函数图象与x轴的交点也在变化．设其与x轴的一交点为，若时，求b的取值范围． 探究2 (3)设“b值函数”的顶点坐标为，请用含b的式子表示m与n的关系． 探究3 (4)如图，某人想用长的栅栏，借用围墙围成一个矩形羊圈，围墙足够长，设矩形的边，面积为，请写出S关于x的函数表达式，判断该函数是不是“b值函数”，并说明该函数的顶点变化规律；当羊圈最大面积是时，求需要用多长的栅栏． 【答案】(1)③ (2) (3) (4)，该函数是“b值函数”， 当增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是时，需要用的栅栏 【分析】（1）设“b值函数”为，且a为非0的确定常数，结合二次函数的性质逐项分析即可得出结果； （2）先求出“b值函数”与轴的交点坐标为或，再结合题意得出，求解即可； （3）由（1）可得“b值函数”的顶点坐标为，结合题意得出，，由此计算即可得出结果； （4）由矩形的性质可得，求出，结合矩形的面积公式可得，再由二次函数的性质解答即可 【详解】（1）解：设“b值函数”为，且a为非0的确定常数， 令，则， 当时，，此时有两个相等的实数根，则与轴只有一个交点，故①错误； ∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵是大于0，还是小于0，是不确定的， ∴增大时，无法确定是增大还是减小，故②错误； 当b值取相反数时，新的顶点为，即， 两顶点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，故它们关于轴对称，故③正确； （2）解：令，则， 解得：，， ∴“b值函数”与轴的交点坐标为或， ∵对于“b值函数”，与x轴的一交点为，且， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：“b值函数”的顶点坐标为， ∴，， ∴，即； （4）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是“b值函数”， ∵，且， ∴顶点坐标为， ∴当增大时，顶点的横纵坐标均增大， ∵当时，取得最大值为，羊圈最大面积是， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴，该函数是“b值函数”， 当增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是时，需要用的栅栏． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，理解“b值函数”的定义是解此题的关键． 9．（2026·江西上饶·一模）综合与实践 【问题背景】9·3抗战胜利80周年纪念活动后，某地区举办了一场以铭记抗战历史为主题的大型文艺晚会．这场晚会吸引了众多观众前来观看，在入场时，排队现象成为关注焦点．某数学小组针对此次晚会，研究了排队人数与安检时间、安排安检通道数之间的关系．如图是晚会安检的示意图． 【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：该晚会场地最多可开设10条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人． 【模型构建】晚会前30分钟开始安检，统计发现现场总人数y（人）与安检时间x（分钟）的关系为：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开设4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为________（用含x的式子表示），排队人数w与安检时间x的函数解析式为________； (2)【模型应用】 在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该晚会主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟（包含10分钟）内开始减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支； 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由． 【答案】(1)； (2)排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人 (3)可开设6条安检通道，理由见解析 【分析】（1）根据已入场人数等于每条通道每分钟安检的人数乘以通道数，再乘以安检时间可得第一空的答案；根据排队人数现场总人数已入场人数可得第二空的答案； （2）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可； （3）设开设了m条通道，根据排队人数现场总人数已入场人数列出w关于x的关系式，根据二次函数的增减性求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：若开设4条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为，若排队人数为w，则w与x的函数解析式为． （2）解：由（1）得， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为345． 答：排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人． （3）解：可开设6条安检通道，理由如下： 设开设了m条通道， 则， ∴对称轴为直线． ∵排队人数在安检开始10分钟（包括10分钟）内开始减少， ∴，即． 又∵最多开设10条安检通道， ∴． ∵需尽量少安排安检通道，且m为正整数， ∴m最小值为6， ∴可开设6条安检通道． 10．（2025·江西南昌·一模）如图1，是某房前晾衣服的实景图，图2是它的示意图，巴知铁柱和都与地面垂直．晾衣绳可以近似看作一条抛物线，经测量，，，晾衣绳最低点到地面的距离为1.2m．现以O为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求晾衣绳所在抛物线的函数解析式； (2)如图3，为防止衣服碰到地面，晾衣绳最低点到地面的距离不能小于1.4m.小斌准备用一根长为2m，且与地面垂直的立柱撑起晾衣绳，使晾衣绳分成和两部分，当E为线段的中点时，解析式分别为和．他们的最低点分别是G和H． ①求证：最低点G，H到地面的距离相等； ②晾衣绳的长度可以通过打结处A，D调节.若要使晒在晾衣绳和上的衣服不会碰到地面，则a应满足什么条件？ 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用顶点设出顶点式是解题的关键． （1）设顶点式，将代入即可得解； （2）①设顶点式，将和分别求出即可得证；②由题可知，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：依题意得，顶点的坐标为， 设，将代入， 得. 解得. ∴晾衣绳所在抛物线的函数解析式为. （2）①证明：∵，E为的中点， ∴G，H两点的横坐标分别为2和6. 设抛物线的解析式为， 将代入得. ∴. ∴G到地面的距离为. 同理可得H到地面的距离也为. ∴最低点G，H到地面的距离相等. ②∵要使晒在晾衣绳和上的衣服不会碰到地面， ∴. 解得：. 故a应满足的条件为. 11．（2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合思想和分类讨论是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，再令求解x值即可； （2）①先求得平移后的函数解析式，令求得点C坐标，进而求得直线的解析式；设点的坐标为则结合正方形性质得到． 由点在抛物线上求解m值即可； （3）分当时和时两种情况，结合图象寻找临界点，进而根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． 抛物线的解析式为． 令，得． 解得． 点的坐标为． （2）解：①， ． 令，得． 解得 ． 设直线的解析式为． 将点代入，得． 直线的解析式为． 设点的坐标为（m，0）． ． 四边形是正方形， ． ． 当点在抛物线上时， ． 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 四边形是正方形， ． 当时，点在轴上方． 当点在抛物线上时， 如图1，此时点关于直线对称． ． 解得（不合题意，舍去）． 当点与点重合时，如图2． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时． 当点与点重合时，． 的取值范围是． 当时，点在轴下方． 当点与点重合时，如图4． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 综上所述，的取值范围是或或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数综合应用 考点1 二次函数中新定义型问题 1．【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 2．【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 考点2 二次函数有关的平移综合问题 3．【答案】(1)①1，；②6 (2)2 (3)①2；②存在，；③ 【分析】（1）①把代入求得，则，即可得出顶点坐标； ②令，则，解得：，，则，，即可求解； （2）由求得顶点坐标为，再根据抛物线平移规律得出平移后解析式为，把顶点代入求解即可； （3）①根据，则对称轴为直线，又根据对称轴为直线，即可求解； ②由，则，，所以，根据顶点的坐标为，则点到的距离为，然后根据等边三角形的性质得，，所以，即可求解； ③根据，则，即，再根据，则，求解即可． 【详解】（1）解：①把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为点的坐标为， ②令，则， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：①1；；②6． （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 又∵将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度， ∴平移后解析式为， 把代入，得： ， ． （3）解：①， 对称轴为直线， 又对称轴为直线， ． ②存在，理由如下： ， ，， ， 又顶点的坐标为， 点到的距离为， 又为等边三角形， ∴，， ， ； ③∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：． 4．【答案】(1)2 (2)①；4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义： （1）令，解方程即可求解； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再令，解方程即可求解；②根据题意可得，从而得到抛物线的解析式为，令，可得，过点M作于点E，则，，然后根据是等边三角形，得出，再根据锐角三角函数即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴； 故答案为：2 （2）解：①对于， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：或4， ∴ ∴； 故答案为：；4 ②解：∵点M在直线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：或， ∴，， ∴， 如图，过点M作于点E，则，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为． 考点3 二次函数应用中的小球飞行问题 5．【答案】(1)①3，6；②； (2)①8，② 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 6．【答案】(1),米 (2)；． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键． （）将点坐标代入解析式，即可求出的值； （）由（）可得弹力球第一次着地前抛物线的解析式，再令，解方程求出的值，即可得出点坐标，再根据两条抛物线形状相同，且弹力球在处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半以及点坐标，即可求出弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；l把代入，解方程求出的值与框的位置比较即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线的起点， ∴， 解得， 则， 当时，， 解得， (不合，舍去)， ∴点的横坐标为； ∴； （2）解：由（）知，点的横坐标为5； ∵两条抛物线形状相同，弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ∴， 设弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线解析式为， 将点代入该解析式，得， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴ 弹力球第一次着地后的弹起降落形成抛物线解析式为； 令中，则， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴弹力球第二次落地点距离原点米， ∵筐的最左端与原点的水平距离为．在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐， 当代入， 得 解得或， ∵时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴由题意可知, 解得： ∴要使得游戏成功，则d的取值范围是． 故答案为：． 考点4 二次函数应用中喷泉型问题 7．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题是解题的关键， （1）根据坡比，求出的长，从而得到点，点坐标，再由题意设抛物线的表达式为，代入即可求得抛物线的解析式； （2）设直线的解析式为，由点，点坐标求得直线的解析式，再由点是直线和抛物线的交点，联立方程并求解，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：， ， 设，则． ， ， 解得， ， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 由条件可设抛物线的表达式为， 将代入，可得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点，点代入得：， 解得， 直线的解析式为． 联立， 得， 解得， 点C的横坐标为， 点C距出水口的水平距离为． 8．【答案】(1) (2)①出水点与景观灯底部之间的距离为米；② 【分析】（1）根据题意已知抛物线的顶点坐标及抛物线上一点，设抛物线的顶点式为，再将抛物线上一点代入即可； （2）①首先，根据题意把代入（1）中对应抛物线的表达式中，转换为关于的一元二次方程，解出方程的两个解，再根据题目中的实际意义舍去负值，然后，求得点对应的坐标，进而得出的长，最后，运用勾股定理即可求出的长； ②由平移的性质及题意设出平移后对应的抛物线的表达式，再将点的坐标代入即可求得的值． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过点，顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①解：当时，， 整理得，解得． ， 点， ． 当时，， ， ． 答：出水点与景观灯底部之间的距离为米． ②解：根据题意得平移后的抛物线为， ∵平移后的抛物线经过点， ， 解得， 的值为． 考点5 几何图形中的动点问题引申出的二次函数问题 9．【答案】(1)①3；② (2)， (3)①4；② 【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， 故答案为：4； ②由（3）①可得， ∵， ∴， ∴， ∴．   . 10．【答案】(1)①；②； (2)①16；② (3)①；② 【分析】（1）①由题意可知，当时，，作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②，作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可； （2）①把代入（1）①中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）①根据时，，列出比例式进行求解即可；②联立①的等式和，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：①∵点从点出发以的速度沿路线运动，点从点出发以的速度沿运动．设运动时间为， ∴当时，， 作于点，如图1， ， ， ∴平行四边形的面积为：； 故答案为：； ②由题意，得：， ， ， 故答案为：； （2）解：①由图象可知，当时，此时点恰好运动到点，由（1）②可知：，故， 故答案为：16； ②由图象和①可知，抛物线过， 将两点坐标分别代入，得：， 解得：， 关于的函数解析式为； （3）解：①由题图（2）可知，点与点重合时，，点与点重合时，， ， 由题意可知， ， 当时，则：， ， ， ； ②联立得：， 解得， ，， ， 故答案为：． 考点6 二次函数的翻折或对称问题 11．【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，中心对称的性质，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用二次函数的顶点式求顶点坐标即可，利用二次函数的抛物线特征进行求解即可； （2）①根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，然后利用二次函数的性质求交点坐标即可； ②联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 当时，， ∴． （2）解：①设抛物线的顶点为C，则点C与点A关于点B对称， ，． ∴点C的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令，解得（不合题意，舍去)， ∴点D的坐标为． ②当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， 当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， ∴若与直线有三个交点，则b的取值范围为． 12．【答案】(1)，（或） (2)①在，② 【分析】本题主要涉及二次函数的性质及应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用已知点的坐标可求出对称轴，可知顶点C的坐标； 已知顶点C的坐标，设二次函数解析式（顶点式），代入已知点，可得二次函数的解析式； （2）因为抛物线与具有相同的对称轴，根据抛物线的对称性，所以点B在抛物线上； 直线为抛物线的对称轴．F为抛物线的顶点，F，B，D三点共线，且．过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E，可得的长，由D点在上，且点到直线的距离垂线最短，可得d的取值范围 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，两点， 对称轴为 C为抛物线的顶点，其纵坐标为． 点C坐标为． 设二次函数解析式，将代入， 得，解得． 二次函数的解析式为或． （2）解∶ ①在， 因为抛物线与具有相同的对称轴，且经过点，根据抛物线的对称 性，点关于对称轴的对称点为，所以点B在抛物线上． 如图，直线为抛物线的对称轴． F为抛物线的顶点， ∴F，B，D三点共线，且． 过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E， ，． ∵将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线， 点D在直线上运动. ∵， d的取值范围为． 考点7 二次函数应用中的拱桥型问题 13．【答案】(1)，见解析 (2)①；②最多可设计5条龙舟赛道 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）依据题意，令，解方程求出x的值，即可得此时的水面宽度，再减去即可得水面增加的宽度； （2）①由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为，可设拱桥所在抛物线的解析式为，将代入，求出k的值即可； ②依据题意，令，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以8得出可设计赛道的条数． 【详解】（1）解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ， 即， ∴抛物线表示的二次函数为， 当时，， 解得， 此时水面宽度为， ∴水面下降，水面宽度增加； （2）①解：由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为， 可设拱桥所在抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴拱桥所在抛物线的解析式为； ②当时，， 解得或， ∴可设计赛道的宽度为， ∵， ∴最多可设计5条龙舟赛道． 14．【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为， 将代入得，，解得， ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴， 将代入得，，解得， ∴， 将代入得，，解得， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 考点8 二次函数应用中的双抛物线模型 15．【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，得出二次函数的解析式以及利用数形结合思想进行分析解决是关键． （1）由题意设抛物线的顶点式为，代入A点坐标即可得出答案； （2）由题意得支架高度为，代入得，解出方程即可进一步得出与之间的距离； （3）先设，与x轴交于点H，表示出，即可得出，注意配方法的使用，进一步分析即可得出的最大值． 【详解】（1）解：， ∴A点坐标为， ∵最高点距离地面4.5，且最高点到立柱的水平距离为1， ∴最高点坐标为， 设抛物线的顶点式为， 将代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵支架高度为3.5，即， 当时，有， 解得，， ∴点的横坐标为， 由对称性知点的横坐标为， ∴与之间的距离为：； （3）解：设，与x轴交于点H， ， ， ，， ， ， 当时，， ∵是点关于立柱的对称点， ∴， ∴， ∴彩带长最大值为． 16．【答案】(1)“U”型碗池最低点到地面的距离为米 (2)①；② 【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答； （2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可； ②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．　　 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称，米，米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴， 将代入，则， 解得：， 则“U”型碗池最低点到地面的距离为米； （2）解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为， ∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反， 设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为， 过点作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵点为斜坡的中点， ∴，即， ∴米，米， ∴米， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴此抛物线的解析式为； ②由①知， ∵， 根据题意：， 解得：； ∴若此次挑战成功，b的取值范围为． 1．【答案】(1) (2)①是，见解析；②；③或 【分析】（1）先求得顶点坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）①求得，根据中点坐标公式计算即可判断； ②求得，根据二次函数的性质求解即可； ③求得，即最小值为，根据题意得到，分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，则，顶点坐标为，代入得，即， ∴抛物线的解析式为； ①线段的中点落在直线上，理由如下： 当时，则顶点坐标为， ∴， 依题意知：点，点， 点与点关于直线对称， 点 ， 即中点为， 线段的中点落在直线上； ② ， ∴的最小值为0， 当时，设， 这是一个开口向上的二次函数，且对称轴为直线， ∴当，取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴最大值为， ∴的范围是； ③∵，， ∴， 其对称轴为，开口向上， 当时，的最小值为， 由题意得， 分两种情况讨论：或， 当， 整理得，解得或； 当时，整理得， ，此情况无解； ∴当时， 的取值范围为或． 2．【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)与之间的距离为1． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可． 【详解】（1）解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， 设抛物线的解析式为（）， 由题意知，，对称轴为直线， 即，， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，，，对称轴为直线， 设抛物线的解析式为（）， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ∴，， 设直线解析式为，代入得：，解得：， ∴直线解析式为， ∴，， ∴，， ∴， ∴，解得或． ∵在的左侧， ∴与之间的距离为1． 3．【答案】（1），；（2）①；②不会失误，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到的值； （2）①将代入两个函数解析式，求出，的值即可； ②将代入求出，即可进行判断． 【详解】解：（1）由表中数据可知，经过， 故对称轴 顶点坐标为 设关于的函数解析式为， 将代入， 得 解得 故关于的函数解析式为， 将代入，， ， 故答案为：，； （2）①将代入， 解得（舍去）或， ， 将将代入， 解得（舍去）或， ， ， 故答案为：． ②不会失误，理由如下： 将代入， 即， ， ， 全红婵本次训练不会失误． 4．【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意可知，抛物线的解析式为，令，可得其与轴的两个交点横坐标为和，根据题设“交点从左到右依次为，”，可知，解此不等式即可求出的取值范围； （2）抛物线与轴的交点坐标为，，顶点坐标为，得到，根据“抛物线三角形”为等腰直角三角形推出，即可求解； （3）由（2）知抛物线的解析式为，，，设将抛物线向右平移个单位长度，得到，，抛物线的解析式为，结合列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的“抛物线三角形系数”为， 抛物线的解析式为， 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为，， ， 即； （2）由（1）知抛物线的解析式为，开口向上， 抛物线与轴的交点坐标为，， 顶点坐标为， ，在的左边， ， ， “抛物线三角形”为等腰直角三角形， ， 抛物线开口向上， ， ， 解得或（舍去）， 的值为； （3）由（2）知抛物线的解析式为，，， 设将抛物线向右平移个单位长度， ，，抛物线的解析式为， ，， ， ， 或， 抛物线的解析式为或． 5．【答案】(1) (2)对，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把，点代入解析式即可求解； （2）由抛物线解析式，得顶点是，把代入，求出值与比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误； （3）当、重合时，可得出，，把代入可得，即可得出的最大值为；当、不重合时，由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到＝＝，根据二次函数的性质即可证得结论． 【详解】（1）解：当时， ∵在函数图象上， ∴， （2）解：由题意得，顶点是 当时， ∴顶点在直线上 （3）证明：当、重合时，， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵都在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴有最大值， 当、不重合时， ∵，都在二次函数的图象上， ∴对称轴是直线 ∴， ∴， ∴， 把代入抛物线解析式，得 ＝＝， ∵， ∴c有最大值为， ∴． 6．【答案】(1)图见解析， (2) (3)小明此次投掷的成绩是8米 【分析】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键， （1）根据题意画出坐标系直接写出坐标即可； （2）用待定系数法求出二次函数表达式； （3）求C点横坐标即可； 【详解】（1）解：建立坐标系，如下图：    由题意得：； （2）解：由题意得：抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 由抛物线经过点， 得， 解得， ； （3）解：时，， ，（舍）， 答：小明此次投掷的成绩是8米． 7．【答案】(1)①；；②会，定点 (2)或 (3) 【分析】（1）①把代入函数解析式，再令，再建立方程求解即可； ②把函数化为，从而可得答案； （2）根据平移的性质可得，再求解即可得到答案； （3）求解顶点P的坐标，当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形，可得，，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 令，则， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为； ②会．求值如下： ， 当时，， 抛物线会经过定点； （2）解：当时，解得， ． 点的对应点分别为点， ， ，解得， 抛物线的表达式为或； （3）解：方程的根为， ， 顶点的坐标为，如图， 当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 解得， 且， ， 代入方程中得， 解得． 8．【答案】(1)③ (2) (3) (4)，该函数是“b值函数”， 当增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是时，需要用的栅栏 【分析】（1）设“b值函数”为，且a为非0的确定常数，结合二次函数的性质逐项分析即可得出结果； （2）先求出“b值函数”与轴的交点坐标为或，再结合题意得出，求解即可； （3）由（1）可得“b值函数”的顶点坐标为，结合题意得出，，由此计算即可得出结果； （4）由矩形的性质可得，求出，结合矩形的面积公式可得，再由二次函数的性质解答即可 【详解】（1）解：设“b值函数”为，且a为非0的确定常数， 令，则， 当时，，此时有两个相等的实数根，则与轴只有一个交点，故①错误； ∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵是大于0，还是小于0，是不确定的， ∴增大时，无法确定是增大还是减小，故②错误； 当b值取相反数时，新的顶点为，即， 两顶点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，故它们关于轴对称，故③正确； （2）解：令，则， 解得：，， ∴“b值函数”与轴的交点坐标为或， ∵对于“b值函数”，与x轴的一交点为，且， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：“b值函数”的顶点坐标为， ∴，， ∴，即； （4）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是“b值函数”， ∵，且， ∴顶点坐标为， ∴当增大时，顶点的横纵坐标均增大， ∵当时，取得最大值为，羊圈最大面积是， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴，该函数是“b值函数”， 当增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是时，需要用的栅栏． 9．【答案】(1)； (2)排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人 (3)可开设6条安检通道，理由见解析 【分析】（1）根据已入场人数等于每条通道每分钟安检的人数乘以通道数，再乘以安检时间可得第一空的答案；根据排队人数现场总人数已入场人数可得第二空的答案； （2）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可； （3）设开设了m条通道，根据排队人数现场总人数已入场人数列出w关于x的关系式，根据二次函数的增减性求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：若开设4条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为，若排队人数为w，则w与x的函数解析式为． （2）解：由（1）得， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为345． 答：排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人． （3）解：可开设6条安检通道，理由如下： 设开设了m条通道， 则， ∴对称轴为直线． ∵排队人数在安检开始10分钟（包括10分钟）内开始减少， ∴，即． 又∵最多开设10条安检通道， ∴． ∵需尽量少安排安检通道，且m为正整数， ∴m最小值为6， ∴可开设6条安检通道． 10．【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用顶点设出顶点式是解题的关键． （1）设顶点式，将代入即可得解； （2）①设顶点式，将和分别求出即可得证；②由题可知，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：依题意得，顶点的坐标为， 设，将代入， 得. 解得. ∴晾衣绳所在抛物线的函数解析式为. （2）①证明：∵，E为的中点， ∴G，H两点的横坐标分别为2和6. 设抛物线的解析式为， 将代入得. ∴. ∴G到地面的距离为. 同理可得H到地面的距离也为. ∴最低点G，H到地面的距离相等. ②∵要使晒在晾衣绳和上的衣服不会碰到地面， ∴. 解得：. 故a应满足的条件为. 11．【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合思想和分类讨论是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，再令求解x值即可； （2）①先求得平移后的函数解析式，令求得点C坐标，进而求得直线的解析式；设点的坐标为则结合正方形性质得到． 由点在抛物线上求解m值即可； （3）分当时和时两种情况，结合图象寻找临界点，进而根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． 抛物线的解析式为． 令，得． 解得． 点的坐标为． （2）解：①， ． 令，得． 解得 ． 设直线的解析式为． 将点代入，得． 直线的解析式为． 设点的坐标为（m，0）． ． 四边形是正方形， ． ． 当点在抛物线上时， ． 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 四边形是正方形， ． 当时，点在轴上方． 当点在抛物线上时， 如图1，此时点关于直线对称． ． 解得（不合题意，舍去）． 当点与点重合时，如图2． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时． 当点与点重合时，． 的取值范围是． 当时，点在轴下方． 当点与点重合时，如图4． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 综上所述，的取值范围是或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $