专题03 几何图形中的课本再现问题（抢分专练，江西专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题03 几何图形中的课本再现问题 考点1 三角形有关的课本再现问题 1．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 2．（2026·江西·模拟预测）课本再现 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形． ②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）①3；②见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质． （）延长到点，使，连接，，．证明四边形是平行四边形，可得，且，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论； （）①连接，由三角形中位线的性质得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论； ②连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】解：（1）证明：如图1，延长到点，使，连接，，． ，， 四边形是平行四边形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形， ，且． 又， ，且． （2）①如图，连接， ∵，，分别是，，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，都是平行四边形． 故答案为：3； ②证明：如图2，连接． ，，，分别是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 3．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版八上P14 追本溯源 （1）如图（1），，相交于点E．与有什么关系？为什么？ 知识应用 （2）如图（2），相交于点E，，点F在上且．求证：是等边三角形． 拓展提升 （3）如图（3），相交于点E，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）9 【分析】（1）由三角形外角性质推得； （2）运用（1）结论，推出，得，即得； （3）在上取点G，使，连接，运用（1）结论，推出，得，证明，得 在中，运用勾股定理求出AG长，即得． 【详解】（1）．理由： ∵， ∴． （2）证明:∵， ∴由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 （3）如图，在上取点G，使，连接， 则由(1)可得，     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，     ∴， ∴， ∴， ， 设， 则， ∴在中， 解得 (负值已舍去)， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，熟练掌握是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江西南昌·月考）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是： （1）根据内心的定义求出，，然后根据三角形内角和定理求解即可； （）①由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； ②画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，由内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，即得，，，，利用勾股定理得，设，则，可得，，进而由得，解得，设，利用三角形面积得，最后利用勾股定理即可求解； 【详解】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴； ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 考点2 菱形有关的课本再现问题 5．（2023·江西·中考真题）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．    (2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．    ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 同理可得，则， 又∵ ∴ ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵四边形是平行四边形，． ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点，    ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 6．（2025·江西九江·模拟预测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论解答题（2）． （1）如图1，在中，，，垂足为D． 求证：． 结论应用 （2）如图2，在菱形中，过点C作，交的延长线于点E，过点E作，垂足为F，且交于点G． ①若，，求的长； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，正确应用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，列出比例式即可求证； （2）①由（1）可得：，那么，代入，即可求解； ②由，再由勾股定理可得，证明，则，求出，那么． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点3 矩形有关的课本再现问题 7．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质， （1）要证是等腰三角形，则需要证中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质即可证得结论； （2）由折叠可得，要证，则需要证明，进而结合（1）中结论即可得证； （3）结合（1）中结论，可延长交的延长线于点 N，进而得到，再结合正方形的性质、勾股定理求出，即可求出的值； 【详解】（1）证明：由折叠知， 在长方形中，， ∴，    ∴ ， ∴ ， ∴ 重合部分是等腰三角形； （2）证明：同理（1）可知， ∴，    ∵四边形是长方形， ∴， 由折叠知，， ∴，   ∴； （3）如图，延长交的延长线于点 N， 同（1）可得， ∴    设，则， ， ，   ， ∵， ∴， ． 8．（24-25九年级下·江西南昌·月考）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 【答案】（1）正方形；（2）． 【分析】（1）由长方形的性质得，由折叠的性质得，，进而可证明四边形是正方形； （2）先证明和为等腰三角形，在中，求出，在Rt中，求出，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形； （2）四边形为正方形， ． ， ， ． 又沿着直线翻折到， ， ． 和为等腰三角形． 又四边形是长方形， ， ． 在中，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 9．（2024·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义  有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 (1)如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． (2)如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 (3)如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）证明，根据性质得，证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）由折叠易知，，证明，然后分当时和时即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵E 是  的中点， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）由折叠易知，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴，不符合题意， 综上所述，符合题意的． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（25-26九年级上·江西南昌·期末）【课本再现】 （1）如图1，矩形的对角线相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； 【类比迁移】 （2）如图2，和是有公共斜边的直角三角形，判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上，若在，指出圆心的位置，并结合图2①或②中的其中一个说明理由；若不在，请举出一个反例； 【拓展延伸】 （3）如图3，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形，分别是和． 求证：直线，的外接圆相交于一点． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解 【分析】（1）根据矩形的性质：对角线互相平分且相等，得，即可作答． （2）选图①：运用斜边上的中线等于斜边的一半，得出即，故A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点，选图②：运用斜边上的中线等于斜边的一半，得出即，故A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点， （3）先连接，并延长交于一点，且交于点，结合等腰直角三角形的性质，证明，则，运用三角形内角和性质得，则，，故A，B，C，H四个点是在同一个圆上，即可作答． 【详解】解：（1）∵矩形的对角线相交于点O， ∴，， 则， 即A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）选图①： 取的中点，连接， ∴， ∵和是有公共斜边的直角三角形， ∴ 即， ∴A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点； 选图②：取的中点，连接， ∴， ∵和是有公共斜边的直角三角形， ∴ 即， ∴A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点； （3）连接，并延长交于一点，且交于点，如图所示： ∵，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， 即A，B，C，H四个点是在同一个圆上， ∴直线，的外接圆相交于一点，即该点为点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，90度的圆周角所对的弦是直径，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点4 正方形有关的课本再现问题 11．（2026·江西·模拟预测）追本溯源 题（1）来自于课本中的练习题，请你提炼方法、类比探究，完成后面的题目． (1)如图1，是一个正方形花园，、是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ (2)如图2，四边形是边长为3的正方形，当点、分别是与的中点时，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则______． (3)如图3，四边形是边长为3的正方形，点是延长线上一点，点是上一点．且，连接交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)，，见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）利用证明，推出，，可得到； （2）利用证明，推出，同理（1）求得，再利用直角三角形的性质即可求解； （3）先证明，推出，再证明，求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，； 理由：四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）解：∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点时， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 又，正方形的边长为3， ， 在中，， ， 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等．掌握相关结论是完成几何推导的关键． 12．（2025·江西·模拟预测）追本溯源 （1）如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点，求证：． 方法应用 （2）如图2，在正方形中，，点在正方形内部，，，求的长．      【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； （1）根据正方形的性质可得，根据垂线定义以及平行线的性质可得，则，进而证明，根据全等三角形的性质即可得出，，进而得证； （2）过点作，垂足为，证明，根据，设，则，在中，根据勾股定理，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】证明：四边形是正方形， ，． ． 于点，， ． ． ． ． ，． ． （2）解：如图，过点作，垂足为． ， ，． 四边形是正方形， ． ，． ， ． ． ，． ． ． ． 由（）知． 设，则． 在中，由，可得， 解得． 考点5 圆有关的课本再现问题 13．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①是，18；② 【分析】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）设，则，，，列方程即可求解，进而可求相关线段的长； （2）①根据切线长定理即可证明结论；②由证明，即可求解． 【详解】(1)设，则，，． 由， 可得． 解得． ，，．     (2)①是．     与相切于点 P， ，． 的周长为 ．                  ②， ． 即 ， 解得 14．（24-25九年级上·江西宜春·月考）追本溯源：题（）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（）中得到的结论完成题（）． （）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．求证：． 结论应用 （）如图，外接圆的圆心是的中点，． ①求的长； ②若，求点到的距离． 【答案】（）证明见解析；（）①；② 【分析】（）连接，由内心可得，，进而可得，即可得，即可求证； （）①设外接圆的圆心为，半径为，连接，可得，进而根据（）得，得到为等腰直角三角形，即得，得到，再根据弧长公式计算即可；②可得为等边三角形，得到，，进而可得，得到，，再利用三角形面积求出设的内切圆半径即可求解． 【详解】（）证明：连接， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （）解：连接， ∵是的中点， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长； ②∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 由（）①可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设的内切圆半径为， 则， 即， 解得， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内心和外接圆，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（24-25九年级上·云南昭通·期中）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，求的度数． 方法应用 （2）如图2，在中，，E是上的点（不与点A，C重合），连接并延长至点G，连接并延长至点F．连接． ①求证：． ②若，的面积为27，求的半径． 【答案】（1）；（2）①证明见解析，②半径为5 【分析】（1）根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可求解； （2）①由四边形为圆内接四边形，得到，进而可得，再根据同弧(或等弧)所对圆周角相等得出，由对顶角相等可得，进而证明结论； ②过点作于点，连接，根据垂径定理可知点O在上，，由求出，设，则．根据在中， ，列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）①证明：点均在上， 四边形为圆内接四边形， ． 又． ∴， ， ， 又， ； ②解：如图，过点作于点． ， 点在上， ． ，即， ，解得． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的半径为5． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理的推论，勾股定理，三角形的内角和定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 16．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． （1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）解：． 证明：， ， ，即． （2）解：①证明：是的中点， ． ， ， ， ， ． ②如图，过点作，是垂足，连接． 在中，，， ， ． 1．（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； （2）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 2．（24-25九年级上·江西九江·期末）课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证； （2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）如图1，延长到E使得，连接，，          图1 D为中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ； （2）解：如图2，连接、，          图2 ，点E是的中点，， ， 点F是中点， ，， ． 3．（2025·山东德州·一模）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于50，求的长； (2)如图2，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F．若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据线段垂直平分线性质知，，根据三角形的周长公式即可求解； （2）根据线段垂直平分线性质知，，由等边对等角求得，由三角形的外角性质求得，证得，由等角对等边求得，据此即可证得，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长等于50， ∴，， ， 又∵， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 4．（2025·江西九江·三模）追本溯源 题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得，，再进一步求解即可； （2）先证明，，可得，，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为 ． （2）解：在中，，，， ∴，， ∵的平分线交于点，的平分线交于点． ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的判定等腰三角形是解本题的关键． 5．（2025·江西景德镇·一模）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论解答题（2）． （1）如图1，在中，是的角平分线．求证：． 结论应用 （2）如图2，在中，是的角平分线，过点作且交于点．若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质可得，结合三角形的面积公式即可得证； （2）由（1）可知，，设，，由角平分线的定义可得，根据，可得，，推出，，得到，则，即可求解． 【详解】（1）证明：过点分别作于点，于点， 是的角平分线， ， ，， ， 即； （2）由（1）可知，， 设，， 是的角平分线， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识． 6．（24-25九年级上·江西新余·月考）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（1）中得到的结论完成题（2）． 如图1，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D． (1)求证：． (2)结论应用： 如图2，外接圆的圆心是BC的中点，． ①求的长； ②若，求点E到的距离． 【答案】(1)见解析； (2)①；② 【分析】（）连接，由内心可得，，进而可得，即可得，即可求证； （）①设外接圆的圆心为，半径为，连接，可得，进而根据（）得，得到为等腰直角三角形，即得，得到，再根据弧长公式计算即可； ②可得为等边三角形，得到，，进而可得，得到，，再利用三角形面积求出设的内切圆半径即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的中点， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长； ②∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 由（）①可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设的内切圆半径为， 则， 即， 解得， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内心和外接圆，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（2025·江西·模拟预测）追本溯源 题（1）来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中的结论完成题（2）． (1)如图1， 是的弦，半径 求 的面积． 结论应用 (2)如图2，点A，B，P在半径为的上， ，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积公式以及圆周角定理．解题关键是熟练掌握圆周角定理． （1）作垂线，将分两个直角三角形，利用直角三角形性质求、，再用面积公式计算． （2）由圆周角定理得，求扇形面积，减去（1）中面积的阴影面积． 【详解】（1）解：如图1，过点 O 作(于点 C， 由勾股定理得， ∴的面积 ． （2）如图2，点O 为的圆心，连接，， ∵， ∴， ， 由(1)可得的面积， ． 8．（2026·山东滨州·一模）【教材再现】 （1）如图①，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，． 【纵向探变】 （2）如图②，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长． 【横向拓展】 （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图③所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出·的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）利用正方形性质，通过证明，得到；再通过角的等量代换，证明与的夹角为，从而证得． （2）先由折叠性质得垂直平分，再证明，利用相似比求出、的长度；接着在中，利用正切函数求出的长，最后用勾股定理算出，进而求得的长度． （3）分两种情况讨论： 当时，过作于，延长交延长线于，先求的长，证明得、的长，证明得，进而得、，再证明得，最后计算；当时，证明，结合相似性质求出、，进而计算． 【详解】（1）证明：延长交于点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：延长交于点． ∵矩形中，，，， ∴，，，， 在中， ， ∵沿折叠得， ∴垂直平分，即，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ， ， ∵ 在中，，， ， ， ； （）解：由（）得，，． 情况：，则， 过点作交延长线于，延长交延长线于． ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，  ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 情况：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及解直角三角形，熟练掌握全等三角形与相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及折叠变换的性质是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03 几何图形中的课本再现问题 押题预测 一考点1三角形有关的课本再现问题 1.【答案】(1)△BDE是等腰三角形；理由见解析；(2)①B;②CF=2. 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和 等腰三角形的判定是解题的关键； (I)利用角平分线的定义得到LABD=∠CBD,利用平行线的性质得到∠BDE=∠CBD,推出 ∠BDE=∠ABD,再等角对等边即可证明△BDE是等腰三角形； (2)①同(1)利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形： ②由①得DA=DF,，利用平行四边形的性质即可求解， 【详解】解：(I)△BDE是等腰三角形；理由如下： :BD平分∠ABC, .∠ABD=LCBD, :DE∥BC, ∠BDE=∠CBD, ∠BDE=LABD, .EB=ED, :△BDE是等腰三角形； (2)①：口ABCD中， .AE∥BC,AB∥CD, A E 同(1)∠ABE=∠CBE=∠AEB, .AB=AE, :AF⊥BE, 1/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BAF=∠EAF, :AE∥BC,AB∥CD, ∠BGA=∠EAF,∠BAF=∠F, :∠BGA=∠CGF, .∠BGA=LBAG,∠DAF=∠F,LCGF=LF, .AB=AG,DA=DF,CG=CF, 即△ABE、△ABG、△ADF、△CGF是等腰三角形；共有四个， 故选：B. ②口ABCD中，AB=3,BC=5, .AB=CD=3,BC=AD=5, 由①得DA=DF, ∴CF=DF-CD=5-3=2. 2.【答案】(1)见解析；(2)①3；②见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平 行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质. (I)延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF,证明：四边形ADCF是平行四边形，可得 CF∥DA,且CF=DA,再证明四边形DBCF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论： (2)①连接DE,DF,EF,由三角形中位线的性质得DE∥AC,DF∥BC,EF∥AC,然后根据两组对边分 别平行的四边形是平行四边形可得结论： ②连接AC,利用三角形中位线的性质分别得到EF∥AC,EF=!AC,HG∥AC,HG=。4C,即可得 到EF∥HG,EF=HG,进而由平行四边形的判定定理即可求证. 【详解】解：(I)证明：如图1，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF, D AE EC,DE=EF, 图1 四边形ADCF是平行四边形， ∴.CF DA,且CF=DA, 2/36 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CF∥BD,且CF=BD, ·四边形DBCF是平行四边形， DF∥BC,且DF=BC. 又E-0r, DEw8c.且0E-c. (2)①如图，连接DE,DF,EF, 图2 :D,E,F分别是AB,BC,CA的中点， .DE,DF,EF是ABC的中位线， :.DE∥AC,DF∥BC,EF∥AC, ∴四边形ADEF,四边形BDFE,四边形CEDF,都是平行四边形. 故答案为：3； ②证明：如图2，连接AC. :E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， H 图2 EF是ABC的中位线，HG是△ACD的中位线， EFHAC.EF-TAC.HGU AC.HG-TAC. 2 :EF∥HG,EF=HG, :四边形EFGH是平行四边形 3.【答案】(1)∠CAE=∠DBE,见解析；(2)见解析；(3)9 【分析】(1)由三角形外角性质推得： (2)运用(1)结论，推出△AFD≌△CFB(SAS),得FD=FB,∠AFD=∠CFB,即得； 3/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在CD上取点G,使LEAG=LECG,连接BG,运用(1)结论，推出△AGD≌△CGB(SAS),得 GD=GB,LAGD=LCGB,证明△GCAGDB,得 GDBD2在R14BG中，运用勾股定理求出AG GC AC 1 长，即得. 【详解】(1)∠CAE=∠DBE,理由： :∠AEB=LCAE+∠C=LDBE+∠D,∠C=∠D, .∠CAE=∠DBE. (2)证明：∠AFC=∠AEC, :.由(1)可得∠FAE=∠FCE, 又：AD=BC,AF=CF, △AFD≌△CFB(SAS), ∴FD=FB,∠AFD=∠CFB, ∴.∠AFC=∠BFD=60°， ·.BDF是等边三角形 (3)如图，在CD上取点G,使∠EAG=∠ECG,连接BG, G B 则由(1)可得∠AGC=∠AEC=45°， :∠ACD=67.5°， ∠CAG=180°-45°-67.5°=67.5°， .∠ACG=CAG, .GA=GC, 又：AD=BC, :.△AGD≌△CGB(SAS), GD=GB,∠AGD=∠CGB, .LCGA=LDGB=45°， .∠AGB=180°-45°-45°=90° 4/36 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 GC GA GD GB .△GCA∽aGDB, GC=AC1 GD BD2' 设GC=GA=x, 则GD=GB=2x, :AB=3V5, 在Rt△ABG中， x2+2x=35, 解得x=3(负值已舍去)， .GC=3,GD=6, .CD=3+6=9. 4.【答案】(1)117.5°；(2)①135°；②2√26 【分析】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是： (1)根据内心的定义求出∠0BC=25°，∠0CB=37.5°，然后根据三角形内角和定理求解即可； (2)①由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=90°，再根据内心的定义得 ∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB)=45°，进而即可求解： 2 ②画出ABC的内切圆⊙0，过点O分别作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为E,F,G,连接 OA,由内切圆的性质可知垂足E,F,G也是ABC三边与⊙0的切点，即得OE=OF=OG,AE=AG, BE=BF,CF=CG,利用勾股定理得AB=√BC2-AC2=12,设BE=x,则BF=x,可得 CG=CF=13-x,AG=AE=12-x,进而由CG+AG=AC得13-x+12-x=5,解得BE=10,设OE=r, 利用三角形面积得OE=2,最后利用勾股定理即可求解； 【详解】解：(1)：点0是ABC的内心. .OB平分∠ABC,OC平分∠ACB, :∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB, 2 2 :∠ABC=50°，∠ACB=75°， ∠0BC=25°，∠0CB=37.5°， ∴.∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=117.5°； (2)①在ABC中，∠BAC=90°， 5/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .LABC+LACB=90°. :点O是ABC的内心， ∠OBC+∠OCB=2∠ABC+∠ACB)=45°， LB0C=180°-L0BC+∠0CB)=180°-45°=135°： ②如图，画出ABC的内切圆⊙0，过点O分别作0E⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为E,F,G ，连接OA, A E A G B 根据三角形的内切圆的性质可知垂足E,F,G也是ABC三边与⊙O的切点， .OE=OF=0G,AE =AG,BE=BF,CF=CG, :∠BAC=90°，BC=13,AC=5, AB=V√BC2-AC2=132-52=12, 设BE=x,则BF=x, .AE AB-BE =12-x,CF BC-BF =13-x, :.CG=CF=13-x,AG=AE=12-x, :CG+AG=AC, .13-x+12-x=5, 解得x=10, .BE=10, 设OE=r, :S△MBc=S△4OB+S△Boc+S△40C, 5x2=r5412*151. 解得r=2, ∴.0E=2, ∴.0B=VBE2+0E2=V102+22=2√26 考点2菱形有关的课本再现问题 6/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.【答案】(1)见解析 (2)0见解析；② 【分析】(1)根据平行四边形的性质证明△AOB≌aCOB得出AB=CB,同理可得△DOA≌aODC,则 DA=DC,AB=CD,进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； (2)①勾股定理的逆定理证明△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，得出AC⊥BD,即可得证： ②根据菱形的性质结合己知条件得出∠E=∠C0E,则OC=OE=二AC=4,过点O作OG∥CD交BC于点 G,根据平行线分线段成比得CGCB,然后很据平行线分线段成比份即可求解 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ..A0=CO,AB=DC, :BD⊥AC ∴.∠A0B=∠C0B=90°， 在△AOB,△COB中， AO=CO ∠AOB=∠COB BO=BO ∴△AOB≌AC0B .AB=CB, 同理可得△DOA≌△ODC,则DA=DC, 又：AB=CD .AB=BC=CD =DA 四边形ABCD是菱形： (2)①证明：：四边形ABCD是平行四边形，AD=5,AC=8,BD=6. :D0=B0=BD=3,40=C0=AC=4 在△A0D中，AD2=25,A02+0D2=32+42=25, .AD2=A02+OD2, .△AOD是直角三角形，且∠A0D=90°， AC⊥BD, :.四边形ABCD是菱形； 7136 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②：四边形ABCD是菱形； ∠ACB=LACD :∠E=5∠ACD, 2 :∠E=∠ACB, 2 :∠ACB=∠E+∠COE, :ZE ZCOE, :0C=CE=4C=4, 2 如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G, D B BG BO GC OD =1, ∴CG=BC= 2 2 2 5 0F-GC2- EF CE 4 8 6.【答案】1)证明见解析；(2)①4，②5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，正确应用相似三角形的判定与性 质是解题的关键。 (I)证明△ADC∽△CDB,列出比例式即可求证； (2)①由(1)可得：EG2=BG.CG,那么(BG+CG2=BG2+CG2+2BG.CG=25,代入BG+CG=18 ,即可求解BGCG=2 7 ②由GE2=BG×CG=8,再由勾股定理可得BE=VBG+GE=3,证明△EGBn△EFA,则=，3 AF3+9 求出AF=4,那么DF=9-4=5. 【详解】(1)证明：：CD⊥AB,∠ACB=90°， .∠CDB=LADC=90°， .∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°， 8/36 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠BCD, .△ADC∽△CDB, AD CD CD BD :CD2=AD.BD; (2)①解：：四边形ABCD是菱形， .BC=AB=5,AD∥BC, .BG+CG=5, :EF⊥AD, .EG⊥BC, :CE⊥AB, .由(1)可得：EG=BG.CG, .BG+CG=5, :.(BG+CG)=BG2+CG2+2BG.CG=25, :BG+CG=18, BG.CG= 万_4 :.EG= =2 ②四边形ABCD是菱形， .AB=AD=BC=9, .CG=9-1=8, GE2=BGXCG=8, GE=2√2， BE=BG2+GE2=3, BG∥AF, ∴△EGB∽△EFA, BG BE AF AE 13 六AF3+9' AF=4, 9/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DF=9-4=5. >考点3矩形有关的课本再现问题 7.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)5-」 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质， (1)要证△EBD是等腰三角形，则需要证△EBD中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质 即可证得结论； (2)由折叠可得BN=ND,要证AM=NC,则需要证明MD=BN,进而结合(1)中结论即可得证； (3)结合(1)中结论，可延长AM交BC的延长线于点N,进而得到AF=FN,aCNM∽△DAM,再结合正 方形的性质、勾歌定与求出器耳可求出岩的值： MD 【详解】(1)证明：由折叠知LEBD=∠DBC, 在长方形ABCD中，AD∥BC, .∠ADB=∠CBD, ∠EBD=∠EDB, :EB=ED, :重合部分△EBD是等腰三角形； (2)证明：同理(1)可知∠DMN=∠DNM, .MD =ND, :四边形ABCD是长方形， :AD =BC, 由折叠知，BN=ND, :MD BN :AM =NC; (3)如图，延长AM交BC的延长线于点N, M B C 同(1)可得∠FAN=∠FNA, .FA=FN 10/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设AB=2x,则AD=2x,BF=FC=x, AF=AB2+BF2=5x, .FN=5x .CN=5x-x :AD∥BC, .ACNM△DAM, CM CN 5-1 MD AD 2 8.【答案】(1)正方形；(2)8-42. 【分析】(1)由长方形的性质得LB=LBAD=90°，由折叠的性质得LAFE=∠B=90°，AB=AF,进而可 证明四边形ABEF是正方形； (2)先证明aHDF和△HEG为等腰三角形，在Rt△HDF中，求出DF=HF=4,在RtRt&HEG中，求出 HG=V2HE=8-4V2,进而可求出GC的长. 【详解】解：(1)：四边形ABCD是长方形， ∠B=∠BAD=90°. 由折叠的性质得，LAFE=∠B=90°，AB=AF, :.四边形ABEF是矩形， 四边形ABEF是正方形. 故答案为：正方形； (2):四边形ABEF为正方形， .∠AEB=45°. :AB∥HG, ∠HGE=∠AEB=45°， ∠EHG=45°. 又：△CDG沿着直线DG翻折到△HDG, CD=HD,∠C=∠DHG=90°， ∠FHD=45°. ·△HDF和△HEG为等腰三角形. 又：四边形ABCD是长方形， .DC=AB=42, 11/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :HD CD=42. 在R△HDF中，DF=HF= -HD=4, HE=4V2-4, 在RtAHEG中，HG=V2HE=√24V2-4=8-4√2， .CG=8-42 9.【答案】（①）见解析： (2)见解析； 6)4B=5 BC 2 【分析】(1)先证明四边形ABCD是平行四边形，再由∠A=90°，即可证明四边形ABCD是矩形； (2)证明Rt△AED≌RtABEC(HL),根据性质得AD=BC,证明四边形ABCD是平行四边形，再由 ∠A=90°，即可证明四边形ABCD是矩形： (3)由折叠易知，△AED≌△FED,证明△BEF∽△CFD,然后分当△AED∽△BEF时和△AED∽△BFE 时即可求解。 【详解】(1)证明：：∠A=∠B=∠C=90°， .∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， AD∥BC,AB∥CD, :四边形ABCD是平行四边形， 又：∠A=90°， .四边形ABCD是矩形； (2)证明：：E是AB的中点， .AE =BE :∠A=∠B=90°，AE=BE,DE=CE, :.Rt△AED≌RtABEC(HL), :AD =BC, 又：∠A+∠B=180°， .AD∥BC, :.四边形ABCD是平行四边形， 又：∠A=90°， 12/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .四边形ABCD是矩形； (3)由折叠易知，△AED≌△FED, ∴.∠EFD=90° .LBFE+∠DFC=90° :∠B=∠EFD=∠C=90°， ∴.∠BFE+∠BEF=90° :ZBEF LDFC .△BEF∽△CFD, 当△AED∽△BEF时，∠DEF=∠AED=∠BEF=60°， AD =tan60°=V3,∠EFB=30°， AE :.AB-AE, 2 ABAB 3 15 BC AD=2AE- 3AE 2 当△AED∽△BFE时，∠DEF=∠DEF=∠BFE, .DE∥BC,不符合题意， 综上所述，符合题意的4B=5 BC 2 10.【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解 【分析】(1)根据矩形的性质：对角线互相平分且相等，得A0=OC=B0=0D,即可作答. (2)选图①：运用斜边上的中线等于斜边的一半，得出AE=二BC,ED=二BC,即AE=ED=BE=CE,故 2 A,B,C,D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点E,选图②：运用斜边上的中线等于斜边的一半， 得出AB=BC,ED=BC,即AE=ED=BE=CE,故A,B,C,D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆 2 心为点E, (3)先连接AD,BE,并延长BE交AD于一点H,且交DC于点G,结合等腰直角三角形的性质，证明 △ACD≌aECB(SAS),则∠ADC=∠BEC,运用三角形内角和性质得LDHG=LDCE=90°，则 LAHG+∠ACB=180°，∠HAC+∠HBC=360°-（LAHG+∠ACB)=180°，故A,B,C,H四个点是在同 个圆上，即可作答. 13/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：(1)：矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, :BD=AC,AO=OC=1AC,BO=OD=1BD, 2 2 则A0=0C=B0=0D, 即A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； (2)选图①： 取BC的中点E,连接AE,DE, A B E ① 86=cE=c, :ABC和△DBC是有公共斜边的直角三角形， :.AE=1 BC,ED=1BC, 2 2 即AE=ED=BE=CE, :A,B,C,D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点E; 选图②：取BC的中点E,连接AE,DE, E D BE-C-C :ABC和△DBC是有公共斜边的直角三角形， .E-BC ED-BC. 即AE=ED=BE=CE, :A,B,C,D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点E: (3)连接AD,BE,并延长EB交AD于一点H,且交DC于点G,如图所示： 14/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E :△ACB,△DCE以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形， .LACB=90°=∠DCE,AC=BC,DC=EC, :.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即LACD=∠ECB, .AC BC.DC=EC, .△ACD≌△BCE(SAS, ∴.∠ADC=∠BEC, :∠DGH=LCGE, .180°-∠DGH-∠ADC=180°-∠CGE-∠BEC, 即∠DHG=∠DCE=90°， ∠AHG=90°， .∠ACB=90°， ∠AHG+∠ACB=180°， 在四边形AHBC中，∠HAC+∠HBC=360°-（∠AHG+∠ACB)=180° 即A,B,C,H四个点是在同一个圆上， .直线AD,BE,ABC的外接圆相交于一点，即该点为点H. 。考点4正方形有关的课本再现问题 11.【答案】(I)BE=AF,BE⊥AF,见解析 (2)3 ③)PE=20 5 【分析】(I)利用SAS证明△BAE≌△ADF,推出BE=AF,∠ABE=∠DAF,可得到BE⊥AF: (2)利用ASA证明△CFH≌△DFA,推出CH=AD=3,同理(1)求得BE⊥AF,再利用直角三角形的 性质即可求解； (3)先证明△ADF≌△CDE(SAS),推出∠DAF=∠DCE,再证明△ADF∽△APE,求得AE=4,在 15/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 RtADF中，利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：BE=AF,BE⊥AF: 理由：“四边形ABCD是正方形， AB=AD=CD,∠BAD=∠D=90°， DE=CF, .AE DF, △BAEd△ADF(SAS), .BE=AF,∠ABE=∠DAF, ∠ABE+∠AEB=∠DAF+∠AEB=90°， BE⊥AF; (2)解：四边形ABCD是边长为3的正方形， ·AB=AD=CD,∠BAD=∠BCD=∠D=90°， ∠DCH=90°， ∠DCH=∠D=90°， F是CD的中点时， .DF=CF, LCFH=∠DFA, ∴△CFH≌△DFAASA, :.CH AD=3, 同理BAE·ADF(SAS), ∴∠ABE=∠DAF, ·LABE+∠AEB=∠DAF+LAEB=90°， BE⊥AF, ∠BGH=90°， BC=CH=3, ∴.CG=BC=CH=3, 故答案为：3； (3)解：：四边形ABCD是正方形， AD=CD,LADC=LCDE=90°， 16/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE DF, ∴.△ADF≌△CDE(SAS, ∠DAF=∠DCE, :∠DFA=∠CFP, :∠DAF+∠DFA=∠DCE+LCFP=90°， ∠APC=∠APE=90°， ∠ADF=∠APE=90°， :∠DAF=∠PAE, △ADFn△APE. DF AF ∴PEAE' 又：DE=DF=1,正方形ABCD的边长为3， :AE=AD+DF=3+1=4, 在RtAADE中，AF=√AD2+DF2=V32+12=√0， .1=0 PE 4 PE=2V10 5 12.【答案】(1)见解析；(2)65 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握 正方形的性质是解题的关键； (1)根据正方形的性质可得∠BAG+∠DAG=90°，根据垂线定义以及平行线的性质可得 ∠BAG+∠ABF=90°，则∠ABF=∠DAE,进而证明△ABF≌△DAE(AAS),根据全等三角形的性质即可 得出BF=AE,AF=DE,进而得证AF-BF=EF; (2)过点D作DF⊥AE,垂足为F,证明BE⊥AB,根据AB-BE=EF=AF=AB,设BE=x,则 2 AE=2x,在Rt△ABE中，根据勾股定理，列出方程，解方程，即可求解. 【详解】证明：：四边形ABCD是正方形， ·AB=AD,∠BAD=90°. ·∠BAG+LDAG=90°. :DE⊥AG于点E,BF∥DE, ·∠AFB=∠DEA=90°. 17/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠BAG+∠ABF=90°. .∠ABF=∠DAE. ·△ABF≌△DAE(AAS). BF=AE,AF=DE. AF-BF AF-AE EF (2)解：如图，过点D作DF⊥AE,垂足为F, D DA=DE, C ∠ADF5ADE,EF=A :四边形ABCD是正方形， :∠BAD=∠ABC=90°. :LBAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠EBC=90°. :DF⊥AE, :∠ADF+∠DAE=90°. ·∠BAE=∠ADF. ZEBC-ZADE,ZADF -ZEBC ·∠ABE+∠EAB=90°. .BE⊥AE. 由(1)知AE-BE=EF=AF= 设BE=x,则AE=2x. ·在Rt△ABE中，由AB=6,可得x2+(2x)2=62, 65 解得BE=x= 5 。考点5圆有关的课本再现问题 13.【答案】1)见解新；(2)①是，18：②号 18/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键. (1)设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=I3-x,BD=BF=AB-AF=9-x,列方程即可求解， 进而可求相关线段的长； (2)①根据切线长定理即可证明结论；②由MN∥AB证明△CMN∽△CAB,即可求解， 【详解】(I)设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC, 可得9-x+13-x=14. 解得x=4. AF=4,BD=5,CE=9. (2)①是. ~MN与⊙O相切于点P, :MP=ME,NP=ND. △CMN的周长为 CM+CN+MN=CM+CN+MP+NP=CM+CN+ME+ND=CE+CD=9+9=18. ②.MNI‖AB, :△CMN∽△CAB. △CMN的周长-MN即。I8-N △CAB的周长AB 9+14+139, 解得MN=9 14.【答案】(1)证明见解析：(2)①√2π；②√6-√2 【分析】(I)连接BE,由内心可得∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD,进而可得∠CBD=∠BAD,即可得 ∠EBD=∠BED,即可求证； (2)①设ABC外接圆的圆心为O,半径为”，连接0D,可得∠BAD=∠CAD=45°，进而根据(1)得 LCBD=45°，得到△B0D为等腰直角三角形，即得BD=√2r=4,得到r=2√2，再根据弧长公式计算即可； ②可得BDE为等边三角形，得到DE=DB=BE=4,∠EBD=60°，进而可得LABC=30°，得到 4C-8C=25,48=VC:-4C:26,再利用三角形面积求出设ABC的内切圆半径即可求解 【详解】(1)证明：连接BE, 19/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 :点E是ABC的内心， .∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD, :∠CBD=∠CAD, .∠CBD=∠BAD, :∠EBD=LCBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD, .∠EBD=∠BED, .DE=DB; (2)解：连接0D, E B D 图2 :O是BC的中点， .0B=0C=r, :点E是ABC的内心， .∠BAD=∠CAD=∠BAC, :BC是O0的直径， .∠BAC=90°， .LBAD=∠CAD=45°， :∠CBD=∠CAD, .∠CBD=45°，即∠0BD=45°， 20/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :0B=0D, ∠0DB=∠0BD=45°， .∠B0D=90°， .△BOD为等腰直角三角形， BD=√2r, DE=4,DE DB, DB=4, √2r=4, r=2√2， ÷D的长-90xx25=V2x: 180 ②：∠ADB=60°，DE=DB, :BDE为等边三角形， DE=DB=BE=4,∠EBD=60°， 由(2)①可知L0BD=45°， ∴∠EB0=∠EBD-∠0BD=60°-45°=15°， .∠ABC=2∠EB0=30°， :LBAC=90°，BC=2r=4V2, 4C=28C=25, AB=VBC2-AC2=V42°-(22°=26， 设ABC的内切圆半径为x, 则Sc=AB+BC+AC)×x=7ABAC, 即2V6+4V2+2V)×x=2√6×2√2， 解得x=6-√2， 即点E到AC的距离为√6-√2. 15.【答案】(1)30°；(2)①证明见解析，②半径为5 【分析】(1)根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可求解： (2)①由四边形ABCE为圆内接四边形，得到LABC+LAEC=180°，进而可得∠ABC=∠CEF,再根据同 21/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 弧（或等弧）所对圆周角相等得出LABC=LACB=∠AEB,由对顶角相等可得∠AEB=∠GEF,进而证明结论； ②过点A作AH1BC于点H,连接OB,根据垂径定理可知点O在AH上，BH=HC=BC=3,由 2 S=)AH-BC=27求出AH=9,设0B=0A=,则0H=AH-0A=9-x.根据在RtBOH中， 2 OB2=BH2+OH,列方程即可求解. 【详解】(1)解：：AB=AC, .∠B=∠C=75°， :.∠A=180°-75°-75°=30°： (2)①证明：：点A,B,C,E均在⊙0上， :四边形ABCE为圆内接四边形， ,∠ABC+∠AEC=180° 又：∠CEF+∠AEC=180°. .∠ABC=∠CEF, AB=AC, ∠ABC=∠ACB=LAEB, 又：∠AEB=∠GEF, :ZGEF ZCEF ②解：如图，过点A作AH⊥BC于点H. A G F:AB=AC,AH L BC. H B :点O在AH上， m=c-c=3. c=27,即)AH,BC=2T 4Hx6=27,解得AH=9. 1 设OB=OA=x,则0H=AH-0A=9-x· 22/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△BOH中，由勾股定理得OB2=BH2+OH, 即x2=32+(9-x)2,解得x=5, 00的半径为5. 16.【答案】(I)AB=CD,证明见解析 (2)①证明见解析；②6√3 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股 定理是解题的关键。 (1)根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可： (2)根据勾股定理求出MW,再根据垂径定理即可求解. 【详解】(1)解：AB=CD 证明：：AD=BC, ..AD=BC. :AD+AC=BC+AC,E AB=CD. (2)解：①证明：：M是AC的中点， :AM CM. AB=CD, :AB=CD, :AB+AM=CM+CD, .BM DM, :BM DM. ②如图，过点O作ON⊥MD,N是垂足，连接OM. 在Rt△OMN中，ON=3,OM=6, :MN=V0M2-0N2=3V5, 23/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DM 2MN =63. 通关特训 1.【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②15 【分析】(1)连接OP,如图1，根据“HL”可证明Rt PEO≌RtPF0,所以∠POE=∠POF,从而得到 结论； (2)①先证明RtADBE≌RtADFC(HL),得到DB=DF,然后根据(I)的结论可判断AD平分∠BAC; ②利用三角形面积公式得到48-BD+4C-DF=54,由于DF=BD=4,AB=12,代入解方程再可. 【详解】(1)证明：连接OP,如图1， B 图1 :PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, .LPE0=∠PF0=90, 在Rt△PEO和Rt△PFO中， PO=PO PE=PF' :.RtAPEO≌RtAPFO(HL, ∴.∠POE=LPOF, .点P在∠AOB的平分线上： (2)①证明：：DF⊥AC, .∠DFC=90°， 在RtADBE和Rt△DFC中， DE=DC BE=FC’ 24/36 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.RtADBE≌RtADFC(HL, .DB=DF, 而DB⊥AB,DF⊥AC, ·AD平分∠BAC; ②解：：S△4BD+S△ACD=S△ABC, AB:BD+-AC:DF=54 2 :DF=BD=4,AB=12, 12x4+号AC×4=54, 1 2 解得AC=15. 即线段AC的长为15 2.【答案】(1)见解析；(2)5 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识 是解题的关键， (I)延长CD到E使得DE=CD,连接BE,AE,由矩形的判定方法得四边形ACBE为矩形，即可得证； (2)连接E、DE,由直角三角形的特征得8E=DE-4C=B,BF=号BD=2,由勾股定理得 EF=VBE2-BF2,即可求解： 【详解】(1)如图I,延长CD到E使得DE=CD,连接BE,AE, E D 图1 图1 :D为AB中点， :AD BD, 四边形ACBE为平行四边形， :∠ACB=90°， ·四边形ACBE为矩形， :AB=CE =2CD, 25/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 CD-4B: (2)解：如图2，连接BE、DE, D 图2 图2 :∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，AC=26, :.BE=DE=LAC=13, :点F是BD中点， .EF 1 BD,BF=BD=12, :EF=VBE2-BF2=V132-122=5. 3.【答案】(1)BC=23 (2)∠C=35° 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理. (I)根据线段垂直平分线性质知，AE=BE,根据三角形的周长公式即可求解： (2)根据线段垂直平分线性质知，AE=CE,由等边对等角求得∠C=∠EAC,由三角形的外角性质求得 ∠AEB=2∠C,证得∠AEB=∠B,由等角对等边求得AB=AE,据此即可证得AB=CE,，利用三角形内角 和定理即可求解。 【详解】(1)解：：DE垂直平分AB, ·AE=BE, :△BCE的周长等于50， .BC+BE CE=50,BC+AE +CE=50, .BC+AC=50, 又：AC=27, BC=23; (2)解：：EF垂直平分AC, 26/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE=CE, .∠C=LEAC, .∠AEB=LC+LEAC=2LC, :∠B=2∠C, .∠AEB=LB, :AB=AE, .AB=CE; :∠BAE=40°， ∠AEB=∠B=180-40P)=70. :∠C=∠B=35. 4.【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】(1)先证明∠MB0=∠MOB,∠NOC=∠NC0,可得MB=MO,NC=NO,再进一步求解即可； (2)先证明∠CBF=∠CFB,∠DAE=∠DEA,可得BC=CF,DA=DE,结合EF=2,可得 CE=DF=CD-EFP)=2,再过一步求解薄可。 【详解】(1)证明：：MN∥BC, ∴.∠MOB=∠OBC,∠N0C=∠BC0, :BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴LMB0=LCB0,∠NCO=∠BCO, .∠MB0=∠MOB,∠NOC=∠NC0, .MB=MO,NC=NO, .△AMN的周长为AM+MN+AN =AM +MO+NO+AN =AM +BM +AN +CN AB+AC. (2)解：在口ABCD中，AB=CD=6,AB∥CD,BC=AD, ∴.∠ABF=∠CFB,∠BAE=∠DEA, :∠BAD的平分线交CD于点E,∠ABC的平分线交CD于点F, ∠ABF=LCBF,∠BAE=∠DAE, 27/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠CBF=∠CFB,∠DAE=∠DEA, .BC=CF,DA=DE, :EF=2, CE=Dr=cD-B时=2. AD=BC=CF=2+2=4, .口ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(6+4)=20. 5.【答案】(1)见解析；(2)DE=3 AC 5 【分析】(I)过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,根据角平分线的性质可得DE=DF,结 合三角形的面积公式即可得证； (2)由(1)可知，S。MBD:S4cD=AB:AC=3:2,设AB=3x,AC=2x,由角平分线的定义可得 ∠BAD=∠CAD,根据DE∥AC,可得∠EDA=∠CAD,△BDEn△BCA,推出AE=DE, BC,得到 BE DE 3江E:5,则E=,即可求解， 3x 2x 【详解】(1)证明：过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, :AD是ABC的角平分线， ·DE=DF, S ABD= ABDE,Sm=4CDr, .. 即S.4BD:S.AcD=AB:AC; B D C 图1 (2)由(1)可知，S.BD:S4CD=AB:AC=3:2, :设AB=3x,AC=2x, :AD是ABC的角平分线， ∠BAD=∠CAD, 28/36 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE∥AC, ·LEDA=∠CAD,△BDE∽△BCA, :∠BAD=∠EDA, AE=DE, :△BDE∽△BCA, BE DE AB AC AB-AE AE AB AC 3x-AE AE 3x 2x 6 6 DE4E-53. ACAC 2x5 6.【答案】(1)见解析； (2)①√2π；②6-√2 【分析】(I)连接BE,由内心可得∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD,进而可得∠CBD=∠BAD,即可得 ∠EBD=∠BED,即可求证； (2)①设ABC外接圆的圆心为O,半径为r,连接0D,可得∠BAD=∠CAD=45°，进而根据(1)得 ∠CBD=45°，得到△B0D为等腰直角三角形，即得BD=√2r=4,得到r=22,再根据弧长公式计算即可； ②可得BDE为等边三角形，得到DE=DB=BE=4,∠EBD=60°，进而可得∠ABC=30°，得到 AC=BC=2反，AB:√BC?-AC2=26,再利用三角形面积求出设ABC的内切圆半径即可求解. 【详解】(1)证明：连接BE, E D 图1 :点E是ABC的内心， 29/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .LABE=LCBE,∠BAD=∠CAD, ∠CBD=∠CAD, ∴∠CBD=∠BAD, :∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD, ∴.∠EBD=∠BED, ∴DE=DB; (2)解：连接0D, B 图2 :O是BC的中点， .0B=0C=r, :点E是ABC的内心， .∠BAD=∠CAD=∠BAC, :BC是⊙0的直径， .∠BAC=90°， .∠BAD=∠CAD=45°， .∠CBD=∠CAD, .∠CBD=45°，即∠0BD=45°， :0B=0D, ∠0DB=∠0BD=45°， .∠B0D=90°， .△BOD为等腰直角三角形， BD=√2r, DE=4,DE=DB, DB=4, 30/36 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 V2r=4, ·r=22, :D的长-90x25-V2x; 180 ②：∠ADB=60°，DE=DB, ∴.BDE为等边三角形， .DE=DB=BE=4,LEBD=60°， 由(2)①可知∠0BD=45°， ∴.∠EB0=∠EBD-∠0BD=60°-45°=15°， .∠ABC=2∠EB0=30°， :LBAC=90°，BC=2r=4V2, 4c=5ac=25, AB=VBC2-AC2=V42-(22'=26, 设ABC的内切圆半径为x, 则Sc-B+BC+4Cxx=号48aC, 即(26+4v2+22)xx=2V6x2N2, 解得x=√6-√2， 即点E到AC的距离为√6-√2. 7.【答案】(1)100√3cm2 400元-100√5cm2 (23 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积公式以及圆周角定理，解题关键是熟练掌握圆周角定理】 (1)作垂线0C1AB,将AOB分两个直角三角形，利用直角三角形性质求OC、AB,再用面积公式计算. (2)由圆周角定理得∠AOB=120°，求扇形A0B面积，减去(1)中AOB面积的阴影面积. 【详解】(1)解：如图1，过点O作(0C1AB于点C, 31/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 AC=BC· :OA=OB,∠AOB=120°， .∠A=30°， 0c=20A=10cm, 由勾股定理得，AC=V0A2-0C2=10V3cm :AB 2AC =20v3cm, :A0B的面积=号AB.0C=100√5cm2. (2)如图2，点O为00的圆心，连接OA,OB, B 图2 :∠APB=60°， ∠A0B=2∠APB=120°， 120元×202400 ∴S扇形40B= cm2, 360 3 由(1)可得A0B的面积=100√3cm2, ·.S阴影=S南形40B-S。4OB三 /400-1003cm2. 3 8.【答案】(1)证明见解析；(2) 7N5 ； (3)2或3 10 【分析】(I)利用正方形性质，通过SAS证明△BCE≌△DCF,得到BE=DF;再通过角的等量代换，证 明BE与DF的夹角为90°，从而证得BE⊥DF. (2)先由折叠性质得BE垂直平分DG,再证明△BCE∽△DHE,利用相似比求出DH、DG的长度；接着 在RIADCF中，利用正切函数求出CF的长，最后用勾股定理算出DF,进而求得FG的长度， 32/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)分两种情况讨论： 当∠BGF=60°时，过E作EP⊥BC于P,延长BG交AD延长线于N,先求BE的长，证明BCE△DGE得 EG、DG的长，证明△BCE∽△NDE得EN,进而得BG、GN,再证明aBFG∽△NDG得GF,最后计算 DGDF;当∠BGD=60°时，证明aBGE∽△BCF,结合相似性质求出DG、DF,进而计算DGDF. 【详解】(1)证明：延长BE交DF于点H. D H 四边形ABCD是正方形， .BC=CD,LBCE=∠DCF=90°， .CE=CF, .△BCE≌△DCF(SAS), .∠CBE=∠CDF,BE=DF, :LBEC=LDEH,LBEC+∠BCE+LCBE=LDEH+LCDF+∠DHE=I8O°， .∠BCE=∠DHE=90°， BE⊥DF; (2)解：延长BE交DF于点H. D B :矩形ABCD中，AB=3,AD=4,CE=2DE, .CD=AB=3,AD =BC=4,DE=1,CE=2, 在RtA BCE中， BE=BC2+CE2=+22=25, :△BED沿BE折叠得△BEG, .BE垂直平分DG,即DH=HG,BH⊥DF, 33/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠DHE=90°=∠BCE, :∠BEC=LDEH, △BCEADHE, DH DE BC BE ∠CDF=LCBE, DH 1 425’ .DH 25 ∴DG=2DH= 45 5 tan/CDH =tan/CBE=CE=2_1 BC 42 在R1aDCF中，tan∠CDF=CF=L, CD2′CD=3, ..CF 2, :DF=CD2+CF2 哥 3V5 2 FG=DF-DG=35.4575 2510 (3)解：由(2)得DE=1,CE=2,BC=CD=3. 情况1：∠BGF=60°，则∠DGE=120°， 过点E作EP⊥BC交BC延长线于P,延长BG交AD延长线于N, A G F B C :四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°， .∠BCD=∠A=120°，AD∥BC,BC=AD=4, ∠ECP=60°， :EP⊥BC, ∠CEP=90°-60°=30°， ∴.在R1△CEP中， CP=CE=1,PE=CE.sin60=3 2 34/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BP=BC+CP=5,BE=VBP2+PE2=V5+(N3)2=2√7， :∠BCD=∠DGE=120°，∠BEC=∠DEG, .△BCE∽aDGE, EG DG DE 1 ·CE BC BE27' EG DG 1 242√7 7DG=2 G= 7 BG BE+EG=157 7 :AD∥BC, △NDE∽aBCE, DN NE DE 1 BC BE CE2 NE=8E=7,DN=8C-2, NG NE-EG =67 AD BC, ∴△NDGABFG DG NG FG BG 2W76W万 7 7 FG15V万' 7 :FG=55 7 DF=DG+FG=V万 DG.DF= 2√7 √万=2， 7 情况2：当∠BGD=60°时，如图， D 35/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠BGD=60°，∠BCD=120°， .∠DGE=∠DCF=180°-120°=60°， :∠EDG=LFDC, .△DGE∽aDCF, DG DE DC-DF' .DG·DF=DC·DE=3x1=3 综上，DG·DF的值为2或3. 36/36函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03 几何图形中的课本再现问题 押题预测 一考点1三角形有关的课本再现问题 1.(2024江西.中考真题)追本溯源： 题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)· E B 图1 图2 (1)如图1，在ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线，交AB于点E,请判 断△BDE的形状，并说明理由。 方法应用： (2)如图2，在口ABCD中，BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F, 交BC于点G, ①图中一定是等腰三角形的有() A.3个B.4个C.5个D.6个 ②已知AB=3,BC=5,求CF的长. 2. (2026江西·模拟预测)课本再现 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等 于第三边的一半. 定理证明： (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 己知：D,E分别是ABC的边AB,AC的中点. 求证：DE∥8C,且DE=BC. 知识应用 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)①如图2，在ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.以这些点(A,B,C,D,E, F)为顶点，在图中能画出_个平行四边形 ②如图3，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，求证：四边形EFGH是 平行四边形 图1 图2 图3 3. (2026江西·模拟预测)教材改编题改编自人教版八上P14 追本溯源 (1)如图(1)，∠C=∠D,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 知识应用 (2)如图(2)，AD,BC相交于点E,AD=BC,点F在AB上且AF=CF,LAFC=LAEC=60°.求证： BDF是等边三角形. 拓展提升 (3)如图(3)，AD,BC相交于点E,AD=BC,∠ACD=67.5,∠AEC=45,BD=2AC,AB=3V5,求 CD的长. D E F B 图(1) 图(2) 图(3) 4.(24-25九年级上·江西南昌·月考)追本溯源 题(1)来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题(2)， 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O B B 图1 图2 (1)如图1，在ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是ABC的内心.求∠BOC的度数. 变式拓展 (2)如图2，在ABC中，∠BAC=90°，点0是ABC的内心. ①求∠BOC的度数； ②若BC=13,AC=5,求OB的长 ●考点2菱形有关的课本再现问题 5. (2023·江西中考真题)课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“己知”和“求证”，请你完成证明 过程. 己知：在ABCD中，对角线BD⊥AC,垂足为O. 求证：口ABCD是菱形 D 图1 (2)知识应用：如图2，在口ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6. 3/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 图2 ①求证：口ABCD是菱形； ②随长BC至点E,蛋接OE交CD于点F,若ZE-TZACD,求的值 6.(2025·江西九江·模拟预测)追本溯源 题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，并利用(1)中得到的结论解答题(2)· (1)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. C D B 图1 求证：CD2=AD·BD, 结论应用 (2)如图2，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,过点E作EF⊥AD,垂足为 F,且EF交BC于点G. D E 图2 ①若AB=5,BG+CG2=18,求EG的长； ②若AB=9,BG=1,求DF的长 考点3矩形有关的课本再现问题 7.(2026江西·模拟预测)教材改编题改编自人教版八上P79综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成(1)中证明，并提炼方法完成(2)(3)题， 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 4/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) 图(3) [结论证明】 (1)如图(1)，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C,BC'交AD于点E,求证： 重合部分△EBD是等腰三角形. 【类比迁移】 (2)如图(2)，将长方形纸片ABCD折叠，使B,D两点重合，点A的对应点为！，折痕分别交 AD,BC于点M,N,求证：AM=NC. 【拓展应用】 (3)如图(3)，将正方形纸片ABCD对折再展开，折痕为EF,将∠DAF对折再展开，折痕为AM,求 瑞的世 8.(24-25九年级下·江西南昌·月考)追本溯源 题(1)来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题(2)： (1)如图1，把一个长方形纸片ABCD按如图方式折一下，得到四边形ABEF是 （填“特殊的 四边形”的名称) 拓展应用 (2)如图2，将图(1)中的长方形纸片过点D的直线折叠，使得点C恰好落在EF上的H处，DG为折痕.若 AE∥HG,AB=4V2,求GC. F F H B E B 图1 图2 (2024江西吉安·三模)课本再现 矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩 5/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 形 定义应用 (I)如图1，已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°， 用矩形的定义求证：四边形ABCD是矩形 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠A=LB=90°，E是AB的中点，连接DE,CE,且DE=CE,求证：四 边形ABCD是矩形. 拓展延伸 (③如图3，将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若图中的四个三角形都相似，求侣的 B 值. A E B B F 图1 图2 图3 10.（25-26九年级上江西南昌·期末)【课本再现】 (1)如图1，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一 个圆上： 【类比迁移】 (2)如图2， ABC和△DBC是有公共斜边的直角三角形，判断A,B,C,D四个点是否在同一个圆上， 若在，指出圆心的位置，并结合图2①或②中的其中一个说明理由；若不在，请举出一个反例； 【拓展延伸】 (3)如图3，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形，分别是△ACB和△DCE. 求证：直线AD,BE,ABC的外接圆相交于一点. E 图1 图2 图3 ●考点4正方形有关的课本再现问题 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.(2026江西·模拟预测)追本溯源 题(1)来自于课本中的练习题，请你提炼方法、类比探究，完成后面的题目. D B B 图(1) 图(2) 图(3) (I)如图1，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF,要修建两条路BE和AF,这两 条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ (2)如图2，四边形ABCD是边长为3的正方形，当点E、F分别是AD与CD的中点时，连接AF交BC的延 长线于点H,连接BE交AF于点G,连接CG,则CG= (3)如图3，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E是AD延长线上一点，点F是CD上一点.且 DE=DF=I,连接CE交AF的延长线于点P,求PE的长. 12.(2025江西模拟预测)追本溯源 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于 点F,求证：AF-BF=EF. 方法应用 (2)如图2，在正方形ABCD中，AB=6,点E在正方形内部，∠EBC=∠ADE,DA=DE,求BE的长. D D B G 图1 图2 。考点5圆有关的课本再现问题 13.(2026江西·模拟预测)教材改编题改编自人教版九上P100 己知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 【课本再现】 (1)如图(1)，ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14, 7/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CA=I3.求AF,BD,CE的长.请你完成解题过程 【深入探究】 (2)如图(2)，在(1)的条件下，点P为DE上的一动点，过点P的切线分别交AC,BC于点M,N. ①判断aCMN的周长是否为一个定值，若是，请求出aCMN的周长；若不是，请说明理由. ②当MN∥AB时，求MN的长. E O. D D N 图(1) 图(2) 14.(24-25九年级上·江西宜春·月考)追本溯源：题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，并用(1) 中得到的结论完成题(2). E E B D D 图1 图2 (1)如图1，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D.求证：DE=DB. 结论应用 (2)如图2，ABC外接圆的圆心是BC的中点，DE=4. ①求BD的长； ②若LADB=60°，求点E到AC的距离. 15.(24-25九年级上·云南昭通期中)追本溯源 题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)· (1)如图1，在00中，AB=AC,∠C=75°，求∠A的度数， 8/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 图1 方法应用 (2)如图2，在O0中，AB=AC,E是AC上的点（不与点A,C重合），连接BE并延长至点G,连接 AE并延长至点F.连接CE. B 图2 ①求证：LGEF=∠CEF. ②若BC=6,ABC的面积为27，求⊙0的半径. 16.(24-25九年级上江西九江·期中)追本溯源 图1 图2 题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题(2)· (I)如图1，AD=BC,比较AB与CD的长度，并证明你的结论， 方法应用 (2)如图2，MB,MD是OO的两条弦，点A,C分别在MB,MD上，连接AB,CD,且AB=CD,M是 AC的中点. ①求证：BM=DM. ②若圆心O到DM的距离为3，⊙0的半径是6，求DM的长. 9/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 通关特训 1.(24-25八年级上江西吉安期中)解答下列各题 (I)【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,且PE=PF,求证：点 P在∠AOB的平分线上： B 图1 (2)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，DE=DC,DF⊥AC于点F, BE FC E D 图2 ①求证：AD平分∠BAC; ②若AB=12,BD=4,ABC的面积是54，求线段AC的长. 2.(24-25九年级上·江西九江·期末)课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若点D是斜边AB的中点，则CD=)AB A D E D 图1 图2 10/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 定理证明 (1)请完成这个定理的证明. 拓展应用 (2)如图2，已知∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC=26,BD=24.求EF的 长 3.(2025山东德州一模)题（1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)· D B E 图1 图2 (I)如图1，在ABC中，AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50， 求BC的长； (2)如图2，在ABC中，∠B=2LC,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点E,F.若LBAE=40°，求∠C 的度数 4.(2025江西九江·三模)追本溯源 题(1)来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题(2)， 图1 图2 (I)如图1，在ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点M,N, 且MN∥BC.求证：△AMN的周长等于AB+AC· (②)如图2，在口ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E,∠ABC的平分线交CD于点F,若 AB=6,EF=2,求ABCD的周长 5.(2025江西景德镇.一模)追本溯源 题(1)来自课本中的练习，请你完成解答，并利用(1)中得到的结论解答题(2)· (1)如图1，在ABC中，AD是ABC的角平分线.求证：S。MBD:SACD=AB:AC. 11/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C 图1 结论应用 (2)如图2，在ABC中，AD是ABC的角平分线，过点D作DE∥AC且交AB于点E.若 Sw:5cm=3:2,求Dg 的值. AC E D 图2 6.(24-25九年级上江西新余·月考)追本溯源 题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，并用(1)中得到的结论完成题(2). 如图1，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D. E E B B D D 图1 图2 (I)求证：DE=DB. (2)结论应用： 如图2，ABC外接圆的圆心是BC的中点，DE=4, ①求BD的长； ②若∠ADB=60°，求点E到AC的距离。 7.(2025江西·模拟预测)追本溯源 题(1)来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用(1)中的结论完成题(2)· 12/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B o ⊙ 图1 图2 (1)如图1，AB是00的弦，半径OA=20cm,∠AOB=120°，求A0B的面积. 结论应用 (2)如图2，点A,B,P在半径为20cm的O0上，∠APB=60°，求图中阴影部分的面积. 8.(2026山东滨州一模)【教材再现】 (1)如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,求证： BE=DF,BE⊥DF. 【纵向探变】 (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到aBEG,延 长DG和BC相交于点F.若CE=2DE,求FG的长. 【横向拓展】 (3)保持(2)中AB,AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A=120°，如图③所示.E是CD边上一点且满 足CE=2DE,点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G,当线段DF与射线BE所夹的锐角为 60时，直接写出DG·DF的值. 图① 图② 图③ 13/13