专题06 二次函数性质综合题5大题型（大题专练）（天津专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数性质综合题 。。。。。●。。●●。●●●e。。●●●。●。0。●e●●9●●●●●●●●●●●●●●●●●e●●●●●●ee●●。●●。。。。。0。●e●●●00。e999 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 2024年，二次函数综合题（含参函数+几何变换+最值问题）。 核心考点1.含参二次函数：抛物线 顶点坐标、对称轴2.几何条件转化：等腰直角三角形(MDN为等腰直角)、全等三角形3.线段最 值：利用全等转化+三点共线求最小值。2025年，二次函数综合题（含参函数+平行四边形+对称变换 +最值)。核心考点1.含参二次函数：顶点坐标、与坐标轴交点2.平行四边形存在性：利用对角线 互相平分（中点坐标公式）3.对称变换：点的对称、将军饮马最值4.勾股定理与距离公式 命题趋势：1.含参二次函数是核心载体：两年均以含参抛物线为背景，灵活度高2.几何条件越来越"综 合”，几何元素更丰富3.最值问题是“压轴灵魂”：均在第(3)问设置线段和最值，且2024年出现 了“无公共端点”的转化，难度更高4.全等/对称平移是三大转化工具：将分散线段转化为共线 2026年预测：·引入旋转背景的几何条件（如旋转90°、旋转相似）最值类型可能从”和最小”变为“差 最大”或与面积相关可能结合“胡不归”或“阿氏圆”等更复杂的最值模型。平行四边形可能升级为 矩形、菱形、正方形的存在性 PART 02 解题建模•通技法 >题型01特定条件求参数<《 析典侧建模型 1.(25-26九下.天津大港十中结课评估)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的顶点为点P ,且2a+b=0,与x轴交于点A和点B(A在B的左侧)，与y轴交于点C. 1/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当a=1,点A的坐标为(-1,0)时，求点P的坐标. (2)若a<0. ①当c-a=4时.若点D在射线CB上，∠P0D=90°，OD=0P,OB=0C,求a的值. ②当Sa-95Ac时.若am∠0AC= 40 4,求c的值. 【答案】(1)P(1,-4) (2①a=-1；②1 【来源】天津市滨海新区大港十中2025-2026学年下学期(2)九年级数学学科结课评估试卷 【分析】(1)根据已知得出b=-2,c=-3,再将解析式配方为顶点式，即可求解； (2)①根据已知得出P(1,4),过点P,D分别作y,x轴的垂线，垂足分别为2E,则PQ=1,证明 △POQ2aDOE(AAS)得出C(0,3),代入解析式，即可求解： ②过点p作0L:鞋于0，张摇已知指PLc-.Cd,是铝根据n∠01G- ,设 0C=站，则=，04=4，得出a=3头铝=沿<0，速面等批解折式=貂x-+ 40 40 40 1 代入A(-4,0)，得出k=3,即可求解。 【详解】(1)解：：a=1,点A的坐标为(-1,0) .1-b+c=0 又：2a+b=0,则b=-2 .3+c=0 解得：c=-3, :.抛物线解析式为：y=x2-2x-3 :y=x2-2x-3=(x-1)2-4 顶点P1,-4): (2)解：：c-a=4,即c=a+4, 又：2a+b=0, y=ax2+bx+c=ax2-2ax+4+a=a(x-12+4,则P(1,4): 如图，过点P,D分别作y,x轴的垂线，垂足分别为O,E,则PQ=1, 2/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE ∴.∠PQ0=∠DEO=90° :∠Q0E=∠POD=90°， ∠QOP=∠EOD=90°-∠POE 又：0D=0P, :.△POQ≌ADOE(AAS) :PO=DE=1,00=OE=4 :0B=0C ∴∠BC0=∠0BC=∠DBE=45 ∴DE=BE=1 ∴0C=0B=0E-BE=4-1=3 C0,3 代入y=a(x-1)2+4=a+4=3 ∴.a=-1 ②如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q, :2a+b=0,y=ax2+bx+c=ax2-2ax+c=a(x-1)'+c-a ∴P1,c-a,C(0,c :5w- 4 -SAABC 3/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PO 49 0C40 tan 20AC=3 8%-子设0C=北，则=，0A= P0=49 3k=147, k, 40 40 41k, .c-a= 40 ÷4=3-142k=-27k<0. 4040 .k>0 y= 2kx-2+14k, 40 40 代入A(-4k,0) 5-22k-4k-12+14k=0 40 40 解得：k=或k= 5 3 (负值舍去) 6 c=3k=1 考点通技法 一一-一一一一 1.将军饮马模型：求线段和最小值：作对称点，三点共线时取最小值·利用勾股定理列方程2.二次函 |数最值：顶点处取最值·表达式化为顶点式，最值在×=h处取得3.判别式法：求距离最值：将距离 平方表示为二次函数。利用判别式，求相切时的参数。 破类题提能力小 2.(2026·天津河北区·质量检测（一）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)，与y轴 交于点C,点D为拋物线顶点，2a-b=0. (1)若b=2,c=3,求抛物线顶点D的坐标； (2)若点P(3,3)在抛物线上，过点M(3,5)作x轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点H,连接PH,过点 N(2,3)作y轴的平行线交抛物线于点I,连接PN. ①当MP=2NI时，求点I的坐标与拋物线的解析式； 4/89 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②当15N1-7MH=7时，求a的值. 【答案】(1(-1,2 201(2,2),y=x2+2x+9,②19-2 1 26 7 77 15 【来源】天津市河北区2025-2026学年九年级总复习数学质量检测（一） 【详解】(1)解：：2a-b=0,b=2,c=3, .a=1, “抛物线为y=x2+2x+3=（x+1)2+2, “顶点D的坐标为(-1,2)： 2)解：①：2a-b=0, .b=2a, .y=ax2+2ax+c, 将点P(3,3代入y=ax2+2ax+c,得3=9a+6a+c, c=3-15a, ∴y=ax2+2ax+3-15a, :NI∥y轴，且点N的坐标为(2,3)， ∴.点1的坐标为(2,3-7a, .=3-(3-7aj=|7a, a>0, :NI=7a, P(3,3),M3,5, MP=2, MP=2NI, .N1=1, 1 7a=1,即a=7, 26 ©总I的坐标为2,2，抛物线的解析式为y+x+号分 7 5/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②由①可知，y=ax2+2ax+3-15a,N1=7a, 15N1-7MH=7, .MH=15a-1, :MH∥x轴，且点M的坐标为(3,5)， 点H的坐标为15a+2,5或(4-15a,5), 如图， y M H N-P D 0 :抛物线过点P(3,3),图象开口向上， ∴点M(3,5)在抛物线内部， 又：抛物线的对称轴为直线x=-b 2a :直线MH与抛物线在第一象限只有一个交点， 点H在点M的右侧，即点H的坐标为15a+2,5), 将点H(15a+2,5)代入y=ax2+2ax+3-15a,得： 5=a(15a+2+2a15a+2)+3-15a, 整理，得(15a+2)15a2+4a-1=0, :15a+2>0, 15a2+4a-1=0, 解得a=9-2或a-9-2(负值，舍去)， 15 15 :a= V19-2 15 3.(25-26九下.天津河西质量调查)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P,与 6/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），点A(-1,0),与y轴交于负半轴的C点. (1)当b=-2,c=-3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)当2a+b=0时， ①若存在点M(a,a-l),满足MP=MA,求此时a的值； 4 ②若有点N03 满足∠NAB=2∠ABC,求此时a的值. 【答案】(1)1，-4 1 1 (2①a=5；②a= 2 2 【来源】天津市河西区2025-2026学年下学期九年级质量调查数学试卷 【分析】(1)根据已知及函数图像上点的坐标特征可得a=1,继而得出抛物线的解析式为y=x2-2x-3, 再转化为顶点式，可得答案： (2)①根据已知及函数图像上点的坐标特征可得c=-3a,继而得出抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a, 对称轴为x=-20=l,确定P1,-4a),根据两点间距离公式得Mp=(a-12+5a-1, 2a M42=(a+1)+(a-1),得到关于a的一元二次方程，求解可得答案， ②如图，连接4N,确定4-101,83,0，C0-30,得4N=O+0N-}将点A沿x维向左移动 8个单位长度得到点E,得AN=B,推出LAEN=LA8C,作点C0,-3a)关于x轴的对称点CO3a, 接BC',得到BC'∥EN,证明△0BC△OEN得BO-OC 0可得答案 EOON,求得OC'=B0·OW3 【详解】(1)解：当b=-2,c=-3时，抛物线的解析式为y=ax2-2x-3, :抛物线经过点A(-1,0), ÷a×-1)2-2×(-1-3=0, 解得：a=1, :抛物线的解析式为y=x2-2x-3, :y=x2-2x-3=(x-12-4, :.抛物线的顶点P的坐标为1，-4)： (2)解：①：2a+b=0, 7/89 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b=-2a, :抛物线y=ax2+bx+c=ax2-2ax+c经过点A(-1,0), ax(-1)2-2a×(-1+c=0, c=-3a, :抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a, “该抛物线的对称轴为x=-20=1, 2a 当x=1时，得：y=a×12-2a×1-3a=-4a, :.抛物线的顶点P的坐标为(1，-4a, M(a,a-1), Mp2=(a-1+[a-1-(-4a]=(a-12+(5a-12, MA2=[a-(-1]+a-1-012=(a+12+a-1)2, MP=MA, MP2=MA2, (a-1)2+(5a-12=(a+1)2+a-12, 解得：a=】或a=0(不符合题意，舍去)， 2 此时a=2' ②如图，连接AN, 个 行1 C E 衣 .∠A0N=90°， 引 8/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 av- 由①知：抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a, 当y=0时，得：ax2-2ax-3a=0, 解得：x=-1或x=3, 当x=0时，y=-3a, A-1,0),B(3,0),C0,-3a, 0A=1,0B=3,0C=-3a=3a, AN =0A2+ON2 5 将点A沿x轴向左移动三个单位长度得到点E, 点E的坐标为小 AN AE, ∴∠AEN=∠ANE, ∴.∠NAB=∠AEN+LANE=2LAEN, :∠NAB=2∠ABC, LAEN=∠ABC, 作点C(0,-3a)关于x轴的对称点C'(0,3a,连接BC', .ZABC'=ZABC ZAEN,OC'=3a, .BC'∥EN, .∠OBC'=∠OEN,∠OC'B=LONE, ∴.△OBC'∽△0EN BO OC EO ON 34 0C= B0·ON 3-3 EO 82 3 .3 ∴3a= 1 .a= 9/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2024天津河北区.二模)已知抛物线y=ax2+bx+4(a,b为常数)· (1)若直线1：x=2是抛物线的对称轴，且a=1. ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②点P(2,4),点Q在抛物线上，∠OPQ=45°，求点Q坐标； (2)若b=-6a,抛物线过点B(-2,0),与y轴交于点C,将点B绕点N(0,n)(n<0)顺时针旋转（旋转角小 于180°)得到点B,当点B恰好落在抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时，求n的值. 【答案】(1)①(2,0)；②(3,1或 13-V14573-V145 6 18 (2)n=-16 【详解】(1)解：①：直线1：x=2是抛物线的对称轴，且a=1. .x=- b=2,解得b=-4, 2×1 .抛物线y=x2-4x+4, 令y=0,可得x2-4x+4=0, 即(x-2)2=0,解得x=2, ∴.抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)： ②记点A(0,4,点C(4,-2),点D(4,0), 连接OP,AP,OC,CD,PC,PC与抛物线的交点为点Q,如图， D :0A=0D=4,AP=CD=2,∠0AP=∠0DC=90°， 在△OAP与△ODC中， 「OA=OD ∠OAP=∠ODC, AP=CD 10/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △OAP≌△ODC(SAS), .0P=0C,∠A0P=∠D0C, :∠A0P+∠P0D=90°， .∠D0C+∠P0D=90°，即∠P0C=90°， ∴△P0C为等腰直角三角形，则∠OPQ=45°， :点P(2,4),点C4,-2), 设直线PC的方程为y=kx+b(k≠O), [4=2k+b k=-3 -2=4+6'解得 b=10 直线PC的方程为y=-3x+10, y=-3x+10 x=3 联立 y=x2-4x+4'解得 y=1' (x=-2舍掉)， 点0坐标为3,1： 记点A(0,4),点C(-4,2),点D(-4,0), 连接OP,AP,OC,CD,PC,PC与抛物线的交点为点Q,如图， yA A 0 同理可得，△OAP≌△ODC(SAS), 且aP0C为等腰直角三角形，则∠OPQ=45°， 设直线PC的方程为y=mx+t(m≠0)， (1 [4=2m+t m= 3 2=4m+4解得，10 t= -3 110 :直线PC的方程为y=x+ 33 11/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 110 y=一x+ 联立 3 3 ,则有3x2-13x+2=0, y=x2-4x+4 13-V145 X= 解得 6 ,(x=13+45舍掉)， 73-V145 6 y= P 13-V14573-V145 点Q坐标为 ’18 综上，点Q坐标为3,1或 13-V14573-V145 6 18 (2)解：将点B(-2,0)代入y=ax2+bx+4, .4a-2b+4=0,即2a-b+2=0, :b=-6a, 52a--6a+2=0,解得a=- -6 抛物线的解析式为y=-x+ 2+4, 点C(0,4), 过点N作NF⊥BC交于F点，过点N作NG⊥BC交CB的延长线于G点， ·∠G=LCFN=90°， ∴.∠FCG+∠GNF=180°， 设CB'与x轴的交点为K,由旋转的性质可得BN=B'N, :∠BNB'+∠BCB'=180°， ∠BNB'=∠GNF, .∠BNG=∠B'NF, 12/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠G=∠B'FN=90°， 在△NGB与△NFB'中， ∠BNG=∠B'NF ∠G=∠B'FN=90°， BN=B'N △NGB≌△NFB'AAS, .NG=NF, NC平分∠BCB', C010B, 0K=0B=2, K(2,0, C(0,4, 设直线CK的解析式为y=ex+fe≠0)， 0=2e+f e=-2 4=f ，解得廿=4 :直线CK的解析式为y=-2x+4, 3 当-2x+4=- x2+3x+4,即x2-14x=0 4 2 解得x=0或x=14, B'14,-24 设点N(0,n), BN B'N, 4+2=142+(24+n2, 解得n=-16. 5.(25-26九下.天津红桥结课考试)已知抛物线y=- x+br+c(b,c为常数)与x轴相交于A(-l,0), 2 B两点，与y轴相交于点C(0,3).M为x轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接MB. (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标； (2)当∠MBC=45°时，求m的值： 13/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)过点M作x轴的平行线与抛物线相交于点P,过点M作y轴的平行线与直线BC相交于点Q,若 MP=MQ,求m的值， 【答案】但抛物线解新式为)=方+女+3。点B的坐标为60 2)m=-5 3 (3)m的值为1-√1或5+√5 【来源】天津市红桥区2025-2026学年下学期九年级数学结课考试卷 【分析】(1)用待定系数法，代入已知点A、C的坐标求出抛物线系数，再令y=0求出与x轴交点B的坐 标 (2)构造等腰直角三角形，利用全等三角形得到直线BM上一点的坐标，求出直线BM解析式后联立抛物 线方程，结合M在x轴下方的条件得到m的值。 (3)利用抛物线对称性得到MP的长度表达式，求出直线BC解析式后得到MQ的长度表达式，根据 MP=MQ列方程，结合M的位置分类讨论得到m的值 【详解】a)解：由y=+b:+c过点4-L0)和C0,3)可得： c=3 0=- -b+c 2 c=3 解得 5· b= 2 抛物线银折式为y=宁式++3。 令y=0,得-7x43 +2+3=0。解得x=-1,5=6 ·点B的坐标为(6,0) (2)解：如图1，过点C作CD⊥BC交直线BM于点D,过D作DH⊥y轴于点H. B 图1 14/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠MBC=45°， ∴.△BCD为等腰直角三角形，BC=CD. :∠DCH+∠BCO=90°，∠DCH+∠CDH=90°， ∠CDH=∠BCO. 又：∠DHC=∠C0B=90°， ∴.△CDH≌△BCO(AAS). .DH=C0=3,CH=B0=6. :C坐标为(0,3)，D点坐标为(-3，-3). 设直线BD的解析式为y=kx+n,代入B(6,O)和D(-3,-3)得 0=6k+n 解得 3 -3=-3k+n (n=-2 即直线BD解析式为y=。x-2. 3 联立直线BD与抛物线方程得： 3-2s-1 x2+x+3. 2 2 5 解得x1=6,x2= 3· m=-5 3 (3)解：如图2，抛物线y=- ++3=-+号的对称为直线x 5 8 B M 图2 :MP平行x轴，M,P都在抛物线上， M,P关于对称轴x=对称 2 :M横坐标为m,∴P横坐标为5-m· ∴MPm-(5-m)曰2m-5|. 设直线BC解析式为y=c+d,代入B(6,O),C(0,3)得 15/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0=6k+d d=3 解得 d=3 :直线BC解析式为)少= 2x+3. :MQ平行y轴，Q在BC上，M横坐标为n, 0级坐标为+3，M纵坐标为m+m+3。 0m+)-(r+m+3Hm-3m 2 :M在x轴下方， m<-1或m>6,此时5-3m=mg0>0,所以M0=m-3m. 2 MP=MO, .|2m-5卡。m2-3m. 2 分两种情况讨论： ①当m<-1时，2m-5<0,方程化为5-2m=)m2-3m,解得m=1±而，：m<-1,∴m=1-而 ②当m>6时，2m-5>0,方程化为2m-5=)m2-3m,解得m=5士5，：m>6,m=5+5. 综上，m的值为1-√或5+√15 > 题型02特定条件求坐标<《 析典侧：建模型 6.(2025·天津市河北二中.二模)己知抛物线y=-x2+bx+c(b,C为常数，c>1)的顶点为P,与x轴 相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,抛物线上的点M的横坐标为m,且 -c<m≤号过点M作N1AC,垂足为N. (1)若b=-4,c=5. ①求点P和点A的坐标： ②当MN=3√2时，求点M的坐标； (2)若点A的坐标为(-C,0),且MP∥AC,当AN+3MN=5√2时，求点M的坐标. 16/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)①P(-2,9),A-5,0)；②(-2,9)或(-3,8 (2(-2,3) 【详解】(1)解：①由题意可知函数解析式为y=-x2-4x+5=-(x+22+9, 故顶点P的坐标为-2,9， 令y=0,得-（x+2+9=0,解得x1=-5,x2=1, :点A在点B的左侧， ·点A坐标为-5,0)： ②如图，过点M作ME⊥x轴于点E,与直线AC相交于点F, p :抛物线y=-x2-4x+5上的点M的横坐标为m,且-5<m≤-2， E B :点M的坐标为m,-m2-4m+5), .AE=m--5)=m+5, 根据题意可知A-5,0),C(0,-5), 0A=0C, ∠0AC=45°， :ME⊥x轴， :AE EF m+5, 又∠AEF=∠FNM=90°， LMFN=∠AFE=90°-∠0AC=45°， .MF=V2MN=V2×3√2=6， :yy ME MF +EF,-m2-4m+5=m+5+6, 17/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得m1=-2,m2=-3, :点M坐标为(-2,9)或(-3,8). (2):点A(-c,0)在抛物线y=-x2+bx+c上，且c>1, :-c2-bc+c=0,得b=1-c, 抛物线的解析式为y=-x2+1-cx+c, “点M的坐标为m,-m2+(1-c)m+c),且-c<ms 2 x--e- :顶点P的坐标为 1-c(1+c 2,4 对称轴为直线x=1 2, 过点M作对称结的垂线，垂是为Q,则∠0P-60,点0行，m+1-4小+小月 M 由MP∥AC,得∠PMQ=45°， MO=OP 号=【m-gm*小 2 化简得(c+2m)=1,解得c=-2m-1,c2=-2m+1(舍去)， 如图，过点M作ME⊥x轴于点E,与直线AC相交于点F, 则E(m,0),F(m,-m-1,Mm,m2-1, :AN+3MN=AF+FN+3MN=V2EF+2V2MF=5√2， √2(-m-1)+2V2(m2-1+m+1=5V2, 化简得2m2+m-6=0,解得m1=-2，m=2 (舍去)· 18/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :点M的坐标为(-2,3) 研考点通技法 求出坐标后需注意： 11是否在定义域内。 2是否满足几何约束（如三角形内角合理）。 3是否与已知点重合。 4多个解时是否都符合题意。 破类题提能力小 7.(24-25九上天津一中滨海学校期末)如图，抛物线，y=-2x+bx+c与x轴交于A,B两点，与y 3 轴交于点C,点A坐标为-1,0)，点B坐标为3,0) (1)求此拋物线的函数解析式。 (2)点P是直线BC上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴的垂线， 垂足为点E,求2PD+PE的最大值，及此时P点的坐标 (3)点M为该拋物线上的点，当∠MCB=45°时，请直接写出满足条件的点M的坐标. 【答案】y=-名x+号x+2 3 3 75 1569 (②)2PD+PE的最大值为16，P点的坐标为832， 17117 1991 (3)点M的坐标为 1050或2,2 【来源】天津市第一中学滨海学校2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【详解】(1)解：：抛物线y= -2x+x+c与x轴交于4，B两点，与y轴交于点C,点A坐标为(-10)， 点B坐标为(3,0). 19/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .y=- x+0x-到=-子r+4+2, 4 3 3 (2)解：当x=0时，y= -2x2+4x+2=2, 4 31 3 C0,2, 设直线BC为y=kx+2, 3+2=0,解得：k=- 3 :直线BC为y= 2 x+2, 3 2 4. 设Px,-2x2+3x+2 3”3 2 Dx-3x+2 .2PD+PE 2-31 3 4x2+5x: 当、 5 15 4 75 2× 8时，有最大值 3 6 t时59)： (3)解：如图，以CB为对角线作正方形CTBK, LBCK=LBCT=45°， :.CK,CT与抛物线的另一个交点即为M， 如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q,过B作BG⊥TQ于G,则OB=GQ=3, .∠CTB=90°=∠CQT=∠QGB, :∠QCT+∠CTQ=90°=∠CTQ+∠BTG, .∠QCT=∠BTG, 20/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CT=BT, .△CQT≌ATGB, .OT=GB,CO=TG, 设TQ=GB=m,则CQ=TG=3-m, ∴.Q0=3-m-2=1-m, :T(m,m-1, 由TC=TB可得： m2+m-32=(m-3+(m-1)2, 1 解得：m=2 公》 设CT为：y=x+2, 1 2n+2=-2,解得：n=5, 2 :直线CT为：y=-5x+2, 2 4 y=-x+x+2 33 y=-5x+2 19 x=0 x= 解得： 2或 2 y=- 91 2 T}》c02,830,正方形c8k, 引 同理可得：直线CK为y=二x+2, 2x2+4x+2 4 y=- 3 3 y- 21/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17 r= 10 x=0 解得： 或 117 y=2' y= 50 :M17117 (10'50 综上：点M的坐标为 171171991 1050或2,2 【点晴】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，正方形的性质，作出合适 的辅助线是解本题的关键 8.(24-25九上·天津静海实验中学.第三次阶段评估)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于 A、B两点，交y轴于点D,点B的坐标为3,0)，顶点C的坐标为1,4). 备用图 (1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式： (2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M,交x轴于点N,当点P在第一象 限时，满足PM=2BN,求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在异于点B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2√2？若存在求出点Q的坐标； 若不存在请说明理由。 【答案】(1)y=-x2+2x+3,y=-x+3 (2)P2,1 (3)存在，Q(-1,0)或9(4，-5 【来源】天津市静海区实验中学2024-2025学年九年级上学期第三次阶段评估数学试卷 【分析】(1)设抛物线的顶点式为y=a(x-1)2+4,再将点B(3,0)代入关系式可得答案；然后根据待定系 数法求出直线的关系式即可； 22/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)先设P(m,-m+3),再表示点M,N,然后根据PM=2BN可得-m2+2m+3-(-m+3)=2(3-m), 求出解可得答案； (3)作QE⊥BD,作QF⊥x轴，可说明△EFQ是等腰直角三角形，即可得EF=EQ=2√2，再根据勾股定 理求出QF=4,接下来设Q(n,-n2+2n+3),则点F(n,-n+3),进而表示出QF=-n2+2n+3-(-n+3, 然后解一元二次方程求出解可得答案， 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为：y=a(x-1)+4, :点B3,0)在抛物线上， .4a+4=0, ∴.a=-1, .y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. 令x=0得y=3, D0,3, 设BD:y=kx+b,根据题意，得 b=3 3k+b=0 k=-1 解得 b=3 BD:y=-x+3: (2)解：设P(m,-m+3),则Mm,-m2+2m+3),N(m,0), PM =2BN, -m2+2m+3-(-m+3)=2(3-m, 解得m=2,m=3(舍)， .P(2,; (3)解：作QE⊥BD于点E, 23/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 作QF⊥x轴交BD于F, :点B(3,0),D(0,3), B0=D0=3 :∠B0D=90°， .∠BD0=∠DB0=45°. :QF∥0D, .∠EFQ=∠BDO=45°， ∴.∠EQF=90°-45°=45°， ∴.EF=EQ=22, 0F=V22+(2=4, 设Q(n,-n2+2n+3, F(n,-n+3), ∴0F=-n2+2n+3-(-n+3=-n2+3n=4, 即-n2+3n=4或-n2+3n=-4, 则n2-3n+4=0或n2-3n-4=0, △=9-16=-7<0或(n+1n-4)=0, :此方程无解，或n=-1或n=4, 0-1,0)或Q(4,-5). 9.（2026天津北辰一模)已知抛物线y=+x+e(6,c为常数，6>0)的顶点为D,与销交于 A(-2,O)、B两点，与y轴交于点C.点E为第一象限内的抛物线上的点，过点E作EF∥y轴，交BC于点 24/89 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F. (1)若b= ①求点D和点B的坐标. ②当EF取得最大值时，求点E的坐标. (2)过点E作EH∥x轴，交抛物线于点H,点H在点E的左侧，EH交线段BC于点P,若点E的坐标为 (b+2,),当BF+V2PE=5Y5时，求点E的坐标. 2 【答案】(1)①D坐标为 28 125 3,@g a 【详解】1)解：①将-20代入y=+加+c 得0=-2-2b+c 六c=2+2b b=1 2 c=3 5点D坐标为28” 125 当y=0时，0=- 解得x1=-2,x2=3 B3,0 ②令x=0,得y=3 C(0,3 设直线BC解析式为y=mx+n 将C(0,3),B(3,0)代入 0=3m+”,解得 m=-1 得 n=3 =3 “直线BC解析式为y=-x+3 25/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设点6++3 1 :EF∥y轴 F(e,-e+3 由题意知，E在F正上方 1 1 1 3 “EF=-二e2+=e+3+e-3=- e2+e 9 2 2 EF在对称轴时取得最大值 x03)2 1 4× .EF=4ac-b2 2 29 4a (1 4× 2 :、1 39 e2+e= 2 2 8 3 解得e= 点6321 2'8 (2)解：如图，延长EF交AB于点G,过点C作CN∥AB,交抛物线于点N. 由a)①得y=式++6= 5x2+br+2b+2 令-22+x+2b+2=0 解得x1=-2,x2=2b+2, B2b+2,0 令x=0,得y=2b+2, C0,2b+2), .点N的纵坐标为2b+2 26/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :b>0, .2b+2>0,0B=0C=2b+2, 点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上， ∠0BC=∠0CB=45° EF∥y轴， EG∥y轴， .∠BGF=90°，∠BFG=45°， ∠PFE=45°. :EG∥y轴，EH∥x轴， ∠PEF=90°. PE EF,PF =2PE. BF+VPE-52 ·BF+PP= 5V2 2 BP= 2 :点E(b+2,yE)在第一象限内，B(2b+2,0),C(0,2b+2), 点H在点E的左侧，EH交线段BC于点P, ∴.点E(b+2,yE)位于点N和点B之间的抛物线上. 令x=b+2,则yg=- b+23+bb+2]+2b+2-0+2b :Eb+2,b+2b) ÷EG=B+2b. 2 过点P作PM⊥AB,垂足为M, 则PM=EC= b+2b 2 :∠PBM=45°， 解得b,=-5,b2=1. 27/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :b>0, b=1 10.(25-26九上·天津河北区·期中)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点 B,且点B在x轴正半轴上，与y轴交于点C,且OC=2,点P是抛物线上一动点. (1)求该抛物线的解析式及点B的坐标： (2)若点P在第四象限时，求当△BCP面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)当点P在抛物线上时，且∠PBA=∠BAC时，求点P的坐标， 【答案】(1)y=x2-x-2,B(2,0 (2)P(1,-2),最大面积为1 3)P-3,10)或P(1,-2 【来源】天津市河北区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 (1)利用点A(-1,0)和0C=2得出c=-2,然后代入y=x2+bx-2得解析式，再求点B. (2)先求出直接BC的解析式，过点P作PF⊥x交BC于点E,则 S。号PE,刘20-0小水2-2如-=-口-+1，然后限素二次函数的性质即可得铝答案。 (3)分两种情况，分别求解即可. 【详解】(1)解：：0C=2,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,且点B在x轴正半轴上， C(0,-2),即c=-2, 将A-1,0)代入y=x2+bx-2, 得：1-b-2=0, 解得b=-1 抛物线解析式为y=x2-x-2, 令y=0,得x2-x-2=0, 解得x1=-1,x2=2 28/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .B2,0 (2)解：设BC的解析式为：y=c+b, [2k+b=0 「k=1 则 b=-2 ，解得6=2 则BC的解析式为：y=x-2, 如下图：过点P作PF⊥x交BC与点E, F/B 则E(a,a-2),Pa,a2-a-2, PE=(a-2)-a2-a-2=2a-a2, 5-3PEx。-x2a-ax2=2a-a=-a-1+l, 当a=1时，S取得最大值为1， P1,-2). (3)解：当点P在AB上方时，如下图， 设直线AC解析式为y=mx+n, :A-1,0)C(0,-2 29/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -m+n=0 则 n=-2 [m=-2 解得 n=-2 则直线AC解析式为y=-2x-2, :∠PBA=∠BAC, .AC∥BP, 设直线BP解析式为y=-2x+h, B2,0, .-2x2+h=0, h=4, 则直线BP解析式为y=-2x+4, y=-2x+4 联立解析式得 y=x2-x-2' x=-3 x=2 解得： (y=10'或 y=0 (舍去) 点P坐标为(-3,10)； 当点P在AB下方时，如图中点P,设BP、BP'与y轴分别交于点E、F,如图， F 则点E(0,4, :∠PBA=∠BAC=LP'BA 又：OB=OB,∠E0B=∠FOB, :.△BOE≌△BOF(ASA), 30/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴0E=0F=4, F(0,-4 设直线BF解析式为y=Cx+d, 「2c+d=0 则 c=2 d=-4 ， 解得d=4 直线BF解析式为y=2x-4 y=2x-4 联立解析式得 y=x2-x-2' x=1 解得 y=-2 或 x=2 (舍去) y=0 P'1,-2 综上所述：当点P坐标为(-3,10)或(1，-2) >题型03最值相关求参数<〈 析典侧建模型 11.(2025天津河东.一模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的顶点为P,且与x轴相交 于Ax,0),B(x2,0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,O为坐标原点. (1)若X,七2是方程x2-2x-3=0的两个根，c=3,求该抛物线顶点P的坐标： 2诺a=-Lb>0,c=4-,且当号-1≤x≤6+1时，该二次函数的最大值与最小管之差为9，求b的值： 4 3若x+,:-2,5,=-3,点D是△A0C内的一点，当D+CD+0D取得最小值3V6+35时，求的 值。 【答案】(11,4) (2)b=4: (3)a=±1. 【来源】2025年天津市河东区九年级中考一模数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键 (1)先根据一元二次方程根，再根据待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线一般式化成顶点式即可得 31/89 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 出点P的坐标 (2)先得出抛物线解析式，得出抛物线顶点坐标，再根据二次函数的最大值与最小值之差为9列出关于b 的方程求解即可。 (3)先求出A(-3,0,C(0,-3a,再分类当a>0和当a<0两种情况，分别画出图形，利用轴对称的性质 得出当C、D、A共线时，AD+OD+CD最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：解：：X,x2是x2-2x-3=0的两个根， ·X1=-1,x2=3, ·A-1,0,B(3,0 :抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点， a-b+3=0 9a+3b+3=0' 解得/a1 b=2’ :抛物线函数表达式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 则该抛物线顶点P的坐标为1,4)； 2解：a=-kc=4少=-r+r+4-公 4 -4 :抛物线的顶点是 :b>0, b 2 y最大值为4， b 当x=b+1时，y最小值为=- -b+3, 4 :该二次函数的最大值与最小值之差为9， b=-8(舍去)或b=4, 32/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b=4; (3)解：x+x2=-2,xx2=-3, 可得y=ax2+2ax-3a, .b=2a,c=-3a A(-3,0,C(0,-3a), 当a>0时，如图， 将△AOD绕点O顺时针旋转60至△A'OD',连接A'C, 作A'E⊥C0于E, :OD'=OD,AD'=AD, △DOD'是等边三角形， :DD'=OD, :AD+OD+CD=AD'+DD'+CD2 A'C, :当C、D、共线时，AD+OD+CD最小， 在RtaA'OE中， ∠AOE=30°，OA'=AO=3, oE=90=5. 2 2 A'C2=CE2+A'E2, -得 ∴a,=,a,=-(5+1(舍去)， .a=1. 当a<0时，如图， 33/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将△AOD绕点O逆时针旋转60至△A'OD', 连接A'C,作A'F⊥C0于F, :.OD'=OD,AD'=AD, ∴△DOD'是等边三角形， :DD'=OD, :AD+0D+CD=AD'+DD'+CD2 A'C, ·当C、D、共线时，AD+OD+CD最小， 在Rt△A'OF中， ∠AOF=30°，OA=A0=3, 2 2 .A'C2=CF2+AF2, -6 41=-1,a2=V3+1(舍去)， .a=-1. 研考点通技法 !1.作一个定点关于对称轴的对称点2.连接对称点与另一定点，与对称轴交点即为最值点3.利用最值（最！ ·小值长度)列方程求参数。 34/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 破类题提能力 12.(2026天津西青.一模)已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数，b>0)经过点A(-1,0),与x轴交 于点B,与y轴交于点C. (1)当b=4时，求抛物线的顶点坐标； (2)点D(b+2,yD)是抛物线上任意一点. ①当AD=2BC时，求b的值； ②若点M(m,0)是x轴正半轴上的动点，当2DM+AM的最小值为5+5√5时，求b的值. 【答案】(1(2,9列 (2①b=1;②b=2 【来源】2026年天津市西青区九年级一模数学试题 【分析】(1)待定系数法求函数解析式，然后利用顶点式求顶点坐标： (2)①表示出点D的坐标，过点D作DE⊥x轴，则E(b+2,0),得出相关线段的长度，然后列方程求解； ②在x轴上方构造Rt△AMN,使得∠ANM=90°，∠MAN=30°，则MN=AM,确定2DM+AM何时取 得最小值，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，然后列出方程求解. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c经过点A-1,0), -1-b+c=0,即c=b+1, 当b=4时，y=-x2+4x+5=-x-2)2+9. :抛物线的顶点坐标为2,9)； (2)解：①如图所示， 35/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知，抛物线的解析式为y=-x2+bx+b+1, :点D(b+2,yD)是拋物线y=-x2+bx+b+1上一点， yo=-(b+2)+b(b+2+b+1=-b-3, 由6>0，得6+2>b>2>0,-b-3<0, 2 ·点D(b+2,-力-3)在第四象限，且在抛物线对称轴x=的右侧。 过点D作DE⊥x轴，则E(b+2,0), :AE=b+2+1=b+3,DE=0--b-3)=b+3, .DE AE =b+3. .AD=V2DE=√2(b+3). 当y=0时，则-x2+bx+b+1=0,解得x=b+1或x=-1, 当x=0时，y=b+1, :抛物线y=-x2+bx+b+1与x轴交点B(b+1,0),与y轴交点C(0,b+1), 可得0B=0C=b+1. .BC=V2OB=√2(b+1). AD =2BC, √2(b+3)=2W2(b+1. 解得b=1: ②如图所示，在辅上方莉造RaWN,使符∠4M-90,∠MAN=30,则N=4M. A BE M D 36/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由2DM+AM=2 DM+AM=2(DM+MW)可知，点D,M,N在一条直线上且DN⊥AN时， 2 2DM+AM取得最小值，此时2DM+AM=2DN=5+5V3. 在Rt△AMN中，AM=m+1, M) 在Rt△DME中，∠DME=∠AMN=60°，DE=b+3, tan ZDME DM-DE2(6+3) .ME=_ DE b+3 sin∠DMEV3 由(1)知DE=AE=b+3,即DE=AM+ME=b+3, 可得b+3=(m+1)+ 智则a32-5 3 2DN=2(DM+MW)=5+5V3, 2x2b+3) +(m+1=5+5V3. √3 将m=3-56+2-5代入上式. 3 解得b=2 13.(2026天津滨海新区.一调)已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数，b>0)· (1)当b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点. ①当BC=AB时，求b的值； ②若点D(b-2,yn)为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物 线对称轴的垂线，垂足为F,连接BE,DF,当BE+DF的最小值为√2O5时，求b的值. 【答案】(1)P1,4) 202:②26 【来源】2026年天津市滨海新区九年级学业质量调查试卷（一）数学 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线顶点式，进而得到顶点坐标； (2)①利用待定系数法求出c=b+1,则抛物线解析式为y=-x2+bx+b+1,利用抛物线对称轴得到点B坐 标，令x=O得到点C坐标，利用两点间距离公式求出BC、AB,列出等式求解即可； ②将点Db-2,y代入揽物线解析式求出点D坐标，根据EF垂直于对称轴得到EF),作点B关于y轴 37/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的对称点B,则B'(-b-1,0),进而得到BE=BE',将点D向左平移个单位长度得到D,求出点D坐标， 证明四边形DD'EF是平行四边形，进而得到D'E=DF,当B、E、D三点共线时，BE+DF取得最小值， 最小值为B'D',据此列方程求解即可 【详解】(1)解：当b=2,c=3时，抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1)+4, 则抛物线顶点P的坐标为P(1,4): (2)解：①将点A(-1,0)代入抛物线y=-x2+bx+c得：-1-b+c=0, .c=b+1, :抛物线解析式为y=-x2+bx+b+1, bb 抛物线的对称轴为x=一2x-可2' :点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴两个交点， 9-1b 22 .xg=b+1, B(b+1,0), 令x=0得：y=b+1, C0,b+1, ∴BC2=(b+1)2+[0-(b+1]=2(b+12、AB2=[-1-(b+1]=(b+22, :BC=AB, 2(b+12=(b+22, 解得；b=√2或b=-√2， :b>0, .b的值为√2； ②将点D(b-2,y)代入抛物线y=-x2+bx+b+1得： yD=-(b-22+b(b-2+b+1=3b-3, D(b-2,3b-3, 38/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b 由①知，抛物线的对称轴为x= 2 :EF垂直于对称轴， :EF=2 b 作点B关于y轴的对称点B,连接BE,则B'(-b-1,0, 0B=b+1、0B'=-b-1=b+1, A B 0 ”x轴与y轴互相垂直， ∴y轴垂直平分BB', :BE BE', 将点D向左平移名个单位长度得到D,连接DD'、D'E,即DD= 21 :DD'垂直于对称轴、 D2-3小 b EF垂直于对称轴、EF= 2 ∴.DD'I‖EF、DD'=EF, 四边形DD'EF是平行四边形， :D'E DF, :BE DF =B'E D'E, 当B、E、D三点共线时，BE+DF取得最小值，最小值为B'D',即B'D'=√205， 2-- 2 B'D2= +(36-3)2=205, 整理得： 15b2-7b-65=0, 4 解得：b 26或b= 10 (舍去)， 3 :8的信为否 【点晴】本题考查二次函数的图象性质、两点间距离公式、利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握二次 39/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 函数的图象性质是解题的关键 14.(2025·天津和平.一模)已知二次函数y=-x2-2x+c(c为常数)· (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为1,0)，求一元二次方程-x2-2x+c=0的解： (3)在自变量x的值满足-3≤x≤2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为-5，求c值. 【答案】(1)c>-1 (2)x1=1,x2=-3 (3)c=3 【米源】2025年天津市和平区九年级中考一模数学试卷 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； (1)根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解； (2)把点1,0)代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可： (3)由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线x=-1,开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越 近，其对应的函数值也就越大可进行求解。 【详解】(1)解：由题意得： b2-4ac=4+4c>0, 解得：c>-1; (2)解：把点(1,0)代入二次函数y=-x2-2x+c得：-1-2+c=0, c=3, :一元二次方程-x2-2x+c=0为-x2-2x+3=0, 解得：x=1,x2=-3; (3)解：由y=-2-2x+c可知：开口向下，对称轴为直线x=-2=-1, 2a :-3≤x≤2，且-3+1=2,2-(-1川=3， :当x=-1时，函数取得最大值，当x=2时，函数有最小值， .-22-2×2+c=-5, c=3 15.(2025·天津滨海新区.一模)已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数，b>0)经过点A(-1,0),点M(m,0) 40/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是x轴正半轴上的动点. (1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标； (2)点D(b,yD在拋物线上，当AM=AD,m=5时，求b的值； 日点@o+行)在能物线上.当54M+20M的最小植为32时，求b的值。 4 【答案】(11，-4) (2)3√2-1 (3)4 【详解】(1)解：：抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0), .1+b+c=0, 即c=-b-1, 当b=2时，c=-b-1=-3, y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ·抛物线的顶点坐标为1，-4)： (2)解：：抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0), .1+b+c=0, 即c=-b-1, 解所式为y=P-bx-b-1,对称轴》 :点D(b,yn)在抛物线y=x2-bx-b-1上， yn=b2-bb-b-1=-b-1, b>0, b .b> >0,-b-1<-1<0, 2 ÷点D(6,-b-)在第四象限，且在抛物线对称轴x=名的右侧， 如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E,则点E(b,0), 41/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A 仿注 图1 .AE =b+1,DE=b+1,AE DE, 在RtAADE中，∠ADE=LDAE=45°， AD=√2AE, “点A(-1,0),点M(m,0),m=5, :AM AD=6, 6=V2(b+1, b=3V2-1: 3)解：点Q6+2 在抛物线y=x2-bx-b-1上， %6+-6+ -b-1=-b_3<0, 24 在第四象限，且在直线x=b的右侧， 取点N(0,1,如图2，过点M作直线AN的垂线，垂足为G,过点Q作OH⊥x轴于点H,则点 G 图2 .0A=0N=1, 42/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠GAM=∠GMA=45°， ÷GM= -AM 2AM +20M=2 互AM+OM =2GM+QM)≥2G0, :当G、M、Q三点共线时，√2AM+2QM=2GQ最小， 此时∠G1M=∠GM=∠QMh=45°，V2AM+20M=2G0=335 4 在Rt△MOH中，可知∠QMH=∠MQH=45°， QH=MH,QM=√2MH, :点M(m,0),Qb+ 1b3 (0+2-24 b 1 解得，m= 241 V2AM+20M=332 4 -小2+-传 ∴.b=4 >题型04最值相关求坐标<《 析典侧：.建模型 16.(2025天津.一模)己知抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴相交于A,B两点（点A在点B右侧）， 与y轴相交于点C,点B(-3,0). (1)若己知A1,0). ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段PF⊥x轴，交直线BC于点F,当线段PF取得最大 值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段BC的中点E,向右沿x轴水平方向平移线段BC,得到线段B'E',求CB+CE'的最小值，并求 43/89 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时点B的坐标 【答案】a0顶点坐标为-14：②点P的坐标为多) 2)CB'+CE'的最小值为3 ,点B的坐标为(-1,0) 2 【来源】2025年天津市中考数学一模模拟练习冲刺试卷01 【详解】(1)解：①由题意，抛物线过B(-3,0),A1,0), .y=ax+3)x-1), 即y=ax2+2ax-3a, ∴.-3a=3, .a=-1, .y=-x2-2x+3=-(x+1+4, :抛物线的顶点坐标为(-1,4)； ②如图所示， B 由y=ax2+bx+3与y轴相交于点C,可知C(0,3), 设经过B,C两点的直线的解析式为y=kx+n, -3k+n=0 将B-3,0),C(0,3)代入，得 n=3 k=1 解得 n=31 直线BC的解析式为y=x+3, 设点P的坐标为m,-m2-2m+3,则点F的坐标为(m,m+3), PF=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m, 44/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当m= 时， 2 F有最大值} 此时，点P的坐标为24)： 315) (2)解：如图所示， E /BO 由到0和C1Q,得中（引】 由题意BE与B'E'平行且相等，可知CE与B'E平行且相等， .四边形EB'E'C是平行四边形， :CE'=EB', .CB'+CE'=CB'+EB' 作点E关于：轴的对称点M,(》引： :.CB'+EB'取得最小值时，即为点C,B,M三点共线时， 此时CM 3v10 2 设经过，C两点的直线的解析式为y=太+m,将M(多》.C0,3引代入， 3 得 4+m 3 2, m=3 k=3 解得 m=3 :直线MC的解析式为y=3x+3, 当y=0时，x=-1, 此时点B的坐标为(-1,0). 45/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 研考点：通技法 1.识别最值类型，将军饮马/胡不归/阿氏圆/二次函数顶点。 2.转化最值问题，构造几何模型或化简表达式。 3.找最值点位置，三点共线/垂线段最短/顶点处。 4.表示最小值，用含参表达式表示最小值。 5.列方程，最小值表达式=给定值。6.解参数，注意检验合理性。 破类题提能力 17.(23-24九上天津益中.期末)已知拋物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0),经过A-1,0)和 B(3,0)两点，点C0,-3),连接BC,点Q为线段BC上的动点. (1)若抛物线经过点C: ①求抛物线的解析式和顶点坐标； ②点P为抛物线的第四象限部分上一点，过P作PH∥x轴交直线BC于点H,连接PC,PB,求PH的长 度最大值： (2)若抛物线与y轴交点为点M,线段AB上有一个动点G,AG=BQ,连接MG,AQ,当AQ+MG最小 值为32时，求G点坐标 【答案】a0)=-2x-,化-4到：②程 (2)G 9-4V2 ,0 7 【来源】天津市和平区益中学校2023-2024学年上学期九年级期末数学试卷 【详解】(1)解：①设拋物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入得：-3=-3， 解得：a=1, y=（x+1(x-3=x2-2x-3=(x-1)2-4, ·顶点坐标为1，-4)， 故该抛物线的解析式为y=x2-2x-3,顶点坐标为1，-4). ②如图，连接CP,过点P作PNy轴交BC于点N, 46/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 N 设直线BC的解析式为y=x+d, B3,0),C0,-3), [3k+d=0 d=-3 k=1 解得： d=-3 :直线BC的解析为y=x-3, 设Pt,t2-2t-3,,则N(,t-3),0<1<3 pN=1-3--2-列=-f+=--+8 :-1<0,开口向下， t三时，PN最大9 :∠B0C=90°，0B=0C=3, ∠0BC=∠0CB=45°， :PH∥x轴 ∠NHP=∠0BC=45°，∠HNP=90°-∠NHP=45° :PH=PN :P阳最大-号 (2)解：如图，把线段AB绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE,连接EM交x轴于点G, AE=AB=4,LEAB=45°， 47/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 拋物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0和B(3,0)两点， .y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 令x=0,可得y=-3a, .M(0,-3a, :∠B0C=90°，0B=0C=3, .∠0BC=L0CB=45°， .∠EAB=∠OBC=45°， .AG=BO, △AEG≌△BAQ(AAS), :.EG=AO, ∴.AQ+MG=EG+MG≥ME, 当点E,G,M共线时，AQ+MG最小，即ME=3√2， 过点E作EF⊥y轴，ET⊥x轴， 在RtAATE中，∠EAT=45°， AE2,cos∠EA7=AT=V2 sin∠EAT=E7=V2 AE 2 Er-94E=25.4r-9E=2, E(-1+22,22), 在Rt△EFM中， FM2+FE2=EM2, 可得，(-1+2√2)2+(22+3a)2=(3V2)2, 解得a成。=145（舍去） 3 .M(0,-1 48/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OG∥EF, :△MOG∽△MFE MO OG MF FE 1 OG 2W2+1-1+22 0G=9-4V2 7 9-4V2 G 0 7 18.(24-25九上·天津滨海新区·期末)己知抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)经过原点O,交x轴于点A(4,0), 顶点B的纵坐标为4. (1)求抛物线的解析式： (2)若点C在OB上，且C点的横坐标为；，E为线段0A上一动点（不与点O重合），在0C的右侧作平行 四边形OCDE. ①当点D落在抛物线上时，求点D的坐标： ②连接BD,BE,当BD+BE取最小值时，求点D的坐标. 【答案】(1)y=-x2+4x (2)①D2+V3,1；②点D 31 【来源】天津市滨海新区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【详解】(1)解：由题意得：顶点B的坐标(2,4)， y=ax-2)2+4. 将点A的坐标代入上式得：0=a(4-2)2+4, 解得：a=-1. “抛物线的解析式为y=-x2+4x: (2)解：①00,0)，B(2,4), 设直线OB的解析式为：y=c, 2k=4, 49/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：k=2, 直线OB的解析式为y=2x。 把x=代入y=2x中，得x=1. c :四边形0CDE为平行四边形，如图： B .CDOE 当y=1时，-x2+4x=1, 解得x=2+√5或x=2-√5. :点D落在OC右侧的抛物线上， D(2+5,: ②设点E(m,0), :c行由半移可得点Da+月 过点B作直线11y轴，则：y=4, :作点D关于直线1的对称点Dm+分 50/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D' B D A 连接ED',则BD+BE=BD'+BE≥D'E, 当D',B、E共线时，BE+BD=D'E为最小. 由Dm+7和E(,0, 设直线D'E的解析式y=px+q, 1） 7=pm+2 +9 2 0=mp+9 p=14 解得： 9=-14m 得直线D'E的解析式为：y=14x-m), 将点B的坐标代入上式得：4=142-m). 12 解得：m=7 则点D 得小 【点晴】本题是二次函数与平行四边形的综合问题，涉及待定系数法求一次函数与二次函数解析式，平行 四边形的性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键， 19.(2025天津.中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0,b>0). (1)当a=-l,b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标： (2)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点. ①当a=-2时，若点D在抛物线上，∠CAD=90°，AC=AD,求点D的坐标； 51/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若点B(m,0,∠CAB=2LABC,以AC为边的▣ACEF的顶点F在抛物线的对称轴1上，当CE+CF取得 最小值为2√时，求顶点E的坐标. 【答案】(1)1,4) (2①（√2，-1）：② 513V2 2’4 【来源】2025年天津市中考数学真题 【详解】(1)解：：a=-1,b=2,c=3, .该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .该抛物线顶点P的坐标为山，4)； (2)①：点A(-1,0)在抛物线y=ax2+bx+c上， 0=a-b+c,即c=b-a, 又a=-2,点C(0,c), 0C=c=b+2,A0=1, :.抛物线解析式为y=-2x2+bx+b+2, 如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H, ∠AHD=90°， H QBP衣 D ∠HAD+∠ADH=90°， :∠CAD=90°， ∠CA0+∠HAD=90°. ∠ADH=∠CAO, 又AD=AC,∠AHD=∠AOC=90°， :.△ADH≌ACAO(AAS), :DH=A0=1,AH=0C=b+2, 52/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OH=AH-A0, .0H=b+2-1=b+1, .点D的坐标为(b+1,-1), :点D在抛物线y=-2x2+bx+b+2上， .-1=-2(b+1)2+b(b+1)+b+2, 整理得，b2+2b-1=0, 解得b=-1+v2,b,=-1-√2 b>0, “b,=-1-V2不合，舍去， ∴b=-1+√2， 点D的坐标为(W2,-1): ②：c=b-a,a<0,b>0, c>0,m>1, 在x轴上点A的左侧取点G,使GA=AC,连接GC, .∠ACG=∠CGA,得∠CAB=2∠CGA. :∠CAB=2∠ABC, ∠ABC=∠CGA. CG=CB,则G0=0B. 在RtAAOC中，根据勾股定理，AC2=A0'+0C2, :AC=1+c2. GA=1+c2. G0=GA+A0=V+c2+1 又点B(m,O),得0B=m 1+c2+1=m.即c2=m2-2m 根据题意，点A和点B关于直线I对称，点F在直线I上，得AF=BF, 又oACEF中，AF=CE,得CE=BF. .CE+CF=BF+CF≥BC. 53/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值2√6，即BC=2√6. 在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2, .m2+c2=24. 将c2=m2-2m代入，得m2+m2-2m=24. 解得m1=4,m2=-3（舍). c=2W2. ·点B(4,0),C(0,2V2). 直线BC的解析式为)：- 2x+22. 3 设点F的横坐标为x,则4-x,=x,-(-1).得x= 2 35V2 :点F的坐标为 2 4 :线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， 513V2 :点E的坐标为 2’4 G A B 20.(2025·天津部分区二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P,与x轴交 于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,且A(-1,O),M(m,yM)(m>1)是抛物线上的动点， 且位于第四象限. (1)若a=1,c=-3. ①求抛物线解析式及顶点P的坐标： ②过点M分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线BC于点E,F,当EF=?BC时，求点M的坐标； (2)若c+3a=0,N是y轴负半轴上的动点，过点N作抛物线对称轴1的垂线，垂足为G,连接NB,GM, 54/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MP,且MP∥BC,当NB+GM的最小值为2√5时，求点M的坐标. 【答案】(1)①y=x2-2x-3,顶点P的坐标为1，-4)；②M(2,-3) (2)M2,-2 【来源】2025年天津市部分区九年级中考二模数学试题 【详解】(1)解：(1)①当a=1,c=-3时，抛物线解析式为y=x2+bx-3, 将A-1,0)代入抛物线，得1-b-3=0. b=-2. 抛物线解析式为y=x2-2x-3. y=x2-2x-3=(x-1)2-4, :抛物线顶点P的坐标为1，-4). ②如图所示，过点M分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线BC于点E,F, B 将y=0代入y=x2-2x-3,得x=-1或x=3. B3,0. 将x=0代入y=x2-2x-3,得y=-3. C(0,-3. 0B=0C. ∠0BC=45°. :EM∥x轴，MF∥y轴， .∠FEM=45° ∴△OBC,EMF都是等腰直角三角形 55/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.EF=V2FM,BC=V2OB=3√2： EF-28C. 3 :FM=2Bc=22. 3 ∴.FM=2 设直线BC的解析式为：y=x+n,把B(3,0),C(0,-3)代入上式， 「3k+n=0 得 n=-3 k=1 n=-3 y=x-3. :M(m,yw)(m>1,把x=m代入y=x2-2x-3,得yM=m2-2m-3, .M(m,m2-2m-3 F(m,m-3. .FM=(m-3)-m2-2m-3=-m2+3m. -m2+3m=2. .m=1或m=2. :m>1, M(2,-3). (2)解：把A-l,0)代入抛物线y=ar2+bx+c,得a-b+c=0. c+3a=0, b=-2a c=-3a :y=ax2-2ax-3a. 将y=0代入y=ax2-2ar-3a,得x=-1或x=3. B(3,0). 将x=0代入y=ax2-2ax-3a=-3a, C0,-3a. 56/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :抛物线的对称轴1：x=-2a=1. -2a :顶点P的坐标为1，-4a :NG⊥1， .∴NG=1. 作点B关于y轴的对称点B'(-3,0),将B向右平移1个单位(NG的长度)， 得到点B"(-2,0),连接NB',GB”. :B'B"∥NG且B'B"=NG, 四边形B'B"NG为平行四边形 :GB"=NB'=NB. :NB+GM=B"G+MG≥B"M. 当B,G,M三点共线时，NB+GM的值最小，最小值为B"M的长. :M(m,yw)(m>1,把r=m代入y=ax2-2ax-3a,得yM=am2-2am-3a, :M (m,am2-2am-3a. 过M作M但⊥1于点Q, .OB∥M. MP∥BC,OB∥QM .∠OBC=∠QMP ∴.tan∠OBC=tan∠QMP. OC OP OB OM QP=(am2-2am-3a）-(-4a=am2-2am+a,2M=m-1, 3a_am2-2am+a,(a>0) 3 m-1 m=1或m=2· :m>1, m=2. M(2,-3a. 过点M作MR⊥OB,垂足为R, 57/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B' B" A B Or- P 在RIA RB"M中，B"M2-B"R2+RM2=4+(3a2=(25, :a=与 2 a>0, 2 M(2,-2 >题型05求最值<了 析典侧建摸興 21.(25-26九下·天津河西实验中学.月考)已知抛物线y=x2+x-3(b是常数)经过点A(-1,0). (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)P(m,t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P. ①当点P落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P落在第二象限内，P'A取得最小值时，求m的值及这个最小值 【答案】(1)y=x2-2x-3,顶点坐标为(1，-4) 20m=5或m=5:②m=2+4,最小值为5 2 【详解】(1)解：将A-1,0)代入y=x2+bx-3,得(-1)2+b×(1)-3=0, 解得b=-2, :抛物线的解析式为y=x2-2x-3, y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 58/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :抛物线的顶点坐标为1，-4)： (2)解：①：P(m,)关于原点的对称点为P, P'(-m,-, 将点P和P的坐标分别代入y=x2-2x-3, m2+2m-3=-t 得 m2-2m-3=t’ m=V3 m=-5 解得 t=-25t=25 m=√5或m=√5； ②：P(m,t)为抛物线y=x2-2x-3上的一个动点， .t=m2-2m-3, .m2-2m=t+3, :点P落在第二象限内， .-m<0,-t>0, .m>0,t<0, :抛物线的顶点坐标为1，-4)， -4≤1<0， P'(-m,-,A-1,0, P-(m++4-0=m-2m+1r+31rr+14=0++当1=，P有 最小值5 此时m-2m-3=二)号 解得m-2=4或m=名 .2+V14 2 .m>0, 2+V14 .∴.m= 2 59/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 研考点：通技法 分类讨论对称轴与区间位置关系三种情况：1.对称轴在区间左侧：最值在区间端点2.对称轴在区间内 顶点是一个最值3.对称轴在区间右侧：最值在区间端点。 破类题提能力 22.(2025·天津河东·二模)已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点A-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C ,顶点为D (1)求a,b的值及顶点D的坐标； (2)点E为直线AC下方抛物线上的一点，当∠ECA=∠DAC时，求点E的坐标； 3)点M为y轴上的一动点，连接BM,当BM+5CM取得最小值时，求点M的坐标，并求出这个最小值. 2 【答案】(1)a=1,b=2,D(-1,-4 3)点M的坐标为(0，-1)，这个最小值为22 【详解】(1)解：将A-3,0,B(1,0)代入y=a2+bx-3(a≠0)得： 9a-3b-3=0 a+b-3=0’ a=1 解得： b=2' :抛物线的解析式为：y=x2+2x-3=(x+1)-4, .顶点坐标D(-1,-4); (2)解：连接AD,取AC的中点F,连接OF并延长，交AD于点G,连接CG并延长，交抛物线于点E, 如图所示： 60/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 把x=0代入y=x2+2x-3得：y=-3, C(0,-3, A-3,0, 0A=0C=3, :F为AC的中点， OF⊥AC, ·OF垂直平分AC, .GA=GC, .∠ECA=∠DAC, :此时点E符合题意， :F为AC的中点， r引 设直线0F的解折式为y=,把（引代入：= 解得：k=1, :直线0F的解析式为y=x, 设直线AD的解析式为y=kx+b,把A-3,0,D(-1,-4)代入得： -3k+b=0 -k+b=-4’ k=-2 解得： b=-61 :直线AD的解析式为y=-2x-6, 61/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=x 联立 y=-2x-6' x=-2 解得： y=-2’ G(-2,-2), 同理根据C0,-3引，G-2,-2)可得直线cG的解折式为y=-3。 y=x2+2x-3 联立 23 1 y= 2 解得： x3=0 y=- (=-3' 4 57 点E的坐标为 2-4月 (3)解：过点M作MN⊥AC于点N,过点B作BG⊥AC于点G,交y轴于点H,如图所示： B D 则∠MNC=∠BGA=90°， :0A=0C=3,∠A0C=90°， ∠AC0=∠C40=x90°=45°， 2 ∴aCNM和△ABG都是等腰直角三角形， ÷Mw=5cM, 2 BM+ 2 -CM BM +MN, :两点之间线段最短，且垂线段最短， ÷当点aM在点H处时，BM+5CM最小，且最小值为BG的长， A-3,0,B(1,0), 62/89 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=1--3=1+3=4, :△ABG为等腰直角三角形， ÷BG=5AB=22,∠ABH=45, 2 ∠B0H=90°， :△BOH为等腰直角三角形， .0H=0B=1, H(0,-1, :当N+号cu取得最小值时，点M的坐标为0，-，这个最小值为2反. 23.(2025·天津和平区三模)抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧)，与y 轴交于点C,点B(3,0),对称轴为直线x=1,对称轴与x轴交于点D. (1)求该抛物线的解析式： (2)作直线BC,点P是抛物线上一动点，作直线PC,当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标； (3)点E为线段0C上一动点，当点E坐标为何值时，DE+CE有最小值，并求出最小值. 【答案】(y=-4x2+8x+4 3 3 aw 或(2,4) 【详解】(1)解：由题意得： x=1=-b 2a, 9a+3b+4=0 4 a=- 解得： 3 8 b23 则抛物线的表达式为：y= -4x+8x+4, 3 3 (2)解：对于y= 4x2+8x+4,当x=0时，y=4, 8 3 3 C(0,4) ∴0C=4, 63/89 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当点P在BC下方时， B 设CP交x轴于点H, :∠PCB=LABC, 则CH=BH, 设H(x,0),则HB=3-x,CH=Vx2+16, 3-x=√x2+16 即(3-x2=x2+16, 解得：x=7 6 7 则点H6 由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：y=24 +4, 7 联立上式和抛物线的表达式得： x+4三-？x248 24. x+4, 3 解得：x=0(舍去)或-4 4100 则点P的坐标为： 749 当点P(P)在BC上方时， :∠P'CB=LABC, 则CP'∥x轴， 则点C、P'关于抛物线的对称轴对称， 则点P2,4) 4100 综上，点P的坐标为： 、7’49 或(2,4)； (3)过点C作直线CT交x轴于点T,设T(x,0), 64/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H B .8 y=- 4 x2+x+4==2x-1)+3 31 :抛物线的对称轴为直线x=1, D(1,0), 过点D作DH⊥CT交y轴于点E,垂足为点H,此时点D距离直线CT的距离最短， DE+HE最小， 若DE+CE有最小值，则HB=3CE, 5 即sin∠HCE=HE=3 CE 5 sin∠ocrT0=3 CT5' 又CT=√x2+16,T0=-x, -x 3 Vx2+165' 解得，x=-3或3（舍去）， .T0=3,CT=5, .DT=D0+OT=1+3=4, :∠CHE=∠DOE=90°，∠CEH=∠DEO, ∴.∠ODE=∠HCE cos∠ODE=cos∠HCE=, 又DH DT cos∠DA= 416 则HD=TD·cos∠TDH=4×= 55 16 即DE+CE的最小值为： 5 24.(24-25九上·天津大港第二中学期中)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0) 65/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,B(-1,0)两点，与y轴交于点C,连接AC,点D是第一象限的抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式及点C坐标； (2)过点D作DE1AC于点E.若DE=CE,求D点坐标： (3)过点D作DE⊥AC于点E,过点D作DH⊥x轴于点H,交AC于点F,当△DEF的周长取得最大值时， 请求出点D的坐标及△DEF周长的最大值， 【答案】(1)y=-x2+2x+3,C(0,3】 (2)D(2,3) DEF周长的最大值为N5±9，点D的坐标为3,15 4 24 【详解】(1)解：把A(3,0,B(-1,0)两点代入抛物线y=ax2+bx+3 [9a+3b+3=0 则 a-b+3=0' a=-1 解得 b=2· “抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 当x=0时，y=-x2+2x+3=3 C0,3); (2)解：连接CD, :C(0,3,A3,0 ∴.0C=0A=3,∠A0C=90°， .△AOC为等腰直角三角形，∠CA0=45° :DE⊥AC,DE=CE, ∴.aCDE为等腰直角三角形，∠DCE=45°， .∠DCE=∠0AC=45°，即CD∥OA. 66/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点C和D的纵坐标都等于3. 把y=3代入抛物线解析式y=-x2+2x+3得，-x2+2x+3=3, 解得x=0（舍去)，x2=2, D2,3): (3)解：如图所示， :DF⊥x轴， DH⊥OA, :∠CA0=45°， ∠AFH=45°， DE⊥AC,∠DFE=∠AFH=45°， ·aDEF为等腰直角三角形， DE=EF=YDE 则ADEF的周长等于DE+EF+DF=V2+IDF. :A3,0,C0,3), :设直线AC的解析式为y=kx+b 「3k+b=0 b=3 k=-1 b=3 ∴.直线AC的解析式为y=-x+3. 设点D的坐标为m,-m2+2m+3),F(m,-m+3, 67/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则DF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=- 39 m-2)+4 当m=号时，DF取得最大值}， ÷此时DEF的周长取得最大值为(2+1DF=2+小x?-92+9 4 4 将m=号代入mm+2m+到行，点D的坐标为4) 315 25.(2025·天津一中.二模)已知二次函数y=ax2-4a+3a. (1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标； (2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤≤4时，y的最大值是2，且当1≤≤4时，函数图象的最高点为点P, 最低点为点Q,求△OPQ的面积； (3)若对于该抛物线上的两点P(x1,y),Q(2,y2),当xs什1，x225时，均满足y2y2,请直接写出t 的最大值 【答案】(1)对称轴x=2;交点坐标为(1,0)和(3,0) (2)10 (3)4 【详解】(1)解：：y=ax2-4a+3a=a(x-2)2-a, .对称轴x=2; 令y=0,则ar2-4am+3a=0, 解得x=1或3， :.抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)； (2)解：：该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2, 当x=2时，y取到在1≤≤4上的最大值为2，即P(2,2), ∴.4a-8a+3a=2, .a=-2, ∴.y=-2x2+8x-6, :当1≤≤2时，y随x的增大而增大， ·当x=1时，y取到在1≤≤2上的最小值0。 :当2≤≤4时，y随x的增大而减小， 当x=4时，y取到在2≤≤4上的最小值-6. 68/89 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “当1≤≤4时，y的最小值为-6，即Q(4,-6)· .△0PQ的面积为4×(2+6)-2×2÷2-4×6÷2-(4-2)×(2+6)÷2=10： (3)解：·当≤+1，x225时，均满足yy2, :当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件， .什1≤5且2-1， .-1≤4， t的最大值为4， ☑PART 03 实战刷题·冲高分 (建议用时：50分钟) ·刷模拟 1.(2026天津部分区一模)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)的顶点为P,且2a+b=0 ,与x轴交于点A,B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,对称轴交x轴于点N,O为坐标原点. (1)当a=-1,c=8时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)若点B(3,0),且PN=BC,求a的值； (3)若点M(m,n(0<n<-a+c在对称轴上，∠ABP=75°，当AM+MB+MP的最小值等于4V3+4时，求 点M的坐标和a的值. 【答案】(11,9列 2)a=-3v7 1 3)ML.人 a=2+6 2 【来源】2026年天津市部分区初中毕业年级第一次模拟考试数学试题 69/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】(1)先根据2α+b=0,a=-1求出b=2,再将抛物线解析式写成顶点式，即可得顶点P的坐标： (2)先由2a+b=0得- =1,则抛物线对称轴为直线x=1,再将B(3,0)代入抛物线解析式得出c=-3, 2a 则y=ax2-2ax-3a,再用a表示出C、P的坐标，再根据PN=BC列方程求解； (3)由(2)知y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1,则点M(1,n),如图，过点P作∠NPE=30°，过 点M作MG⊥PE,垂足为G,连接BM,则PM=2GM,再根据抛物线的对称性得AM=BM,则 AM+BM+MP=2(BM+GM),得点B,M,G共线，即BM+GM=BG时，AM+BM+MP有最小值， 即可求解 【详解】(1)解：：2a+b=0,a=-1, b=2, 又：c=8, y=-x2+2x+8=-(x-1)+9, :该抛物线顶点P的坐标为1,9)； (2)解：如图①，：2a+b=0, YA IP b=-2a,且-2=1， 2a B 图① .y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1, B3,0, .0=9a-6a+c, .c=-3a, 即y=ax2-2ax-3a, C(0,-3a,P1,-4a, 又：PN=BC, .PN2 =BC2 =OC2+0B2, 70/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即16a2=9a2+9, 又：a<0, 3√7 ∴.a=- 7； (3)解：如图②，：2a+b=0,由(2)知y=ar2-2ar+c,且对称轴为直线x-1, G P(1,-a+c, E 、M N B衣 图② 又：点M(m,n)(0<n<-a+c)在对称轴上， :点M(1,n, 如图，过点P作∠NPE=30°，过点M作MG⊥PE,垂足为G,连接BM, :PM =2GM, 又，AM=BM, .AM+BM+MP=2(BM+GM), :点B,M,G共线，即BM+GM=BG时，AM+BM+MP有最小值， 又：AM+MB+MP的最小值等于4V3+4, .BG=2+2V5, :PN⊥AB,∠ABP=75°， ∠BPM=15°， ∠BPG=∠BPM+∠MPG=45o, ·△BPG为等腰直角三角形， .PG=BG=2+25, 又，∠MPG=30°， .GM-PG-2+ 2V3 3 3 PM=2GM=4+4 3 71/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM BM PG-GM=4V3 3 又∠NBM=∠ABP-∠GBP=30°， :MN=BM=23.BN-5BM=2. 3 2 B(3,0, :PN PM +MN=4+23, :-a+c=4+2V3,即c=a+4+2V3, 又y=ax2-2ax+a+4+2V3过B(3,0), .0=9a-6a+a+4+2V3, a=- 2+V3 2 2.(2026天津东丽一模)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)的顶点为P,且2a+b=0, 与x轴交于点A,B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,对称轴交x轴于点N,O为坐标原点. (1)当a=-1,c=8时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)若点B(3,0),且PN=BC,求a的值； (3)点M(m,n)(0<n<-a+c)在对称轴上，∠ABP=75°，当AM+MB+MP的最小值等于4√5+4时，求 点M的坐标和a的值. 【答案】(1)(1,9) 2a=-3 7 3)M(1, 25),4=2+6 2 【来源】2026年天津市东丽区九年级一模数学试题 【分析】(1)根据a=-1和2a+b=0求出b的值，即可得到二次函数的解析式：把二次函数的解析式整理 成顶点坐标式，即可得到抛物线顶点P的坐标； (2)把b、c用含a的式子表示出来，可得二次函数的解析式为y=ax2-2ax-3a,可得点C的坐标为 0,-3a,点P的坐标为1，-4a),根据PN=BC列出关于a的方程，解方程即可求出a的值； (3)根据轴对称的性质可知：点B,M,G共线时，AM+BM+MP有最小值4V5+4,求出二次函数的 解析式为y=ax2-2ax+a+4+2V3,根据抛物线过B(3,0),可得：0=9a-6a+a+4+2V3,解方程即可求 72/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出a的值， 【详解】(1)解：：2a+b=0,a=-1, b=2, 又c=8, y=-x2+2x+8=-(x-1)+9, :该抛物线顶点P的坐标为1,9)； (2)解：如图①所示，：2a+b=0, .b=-2a,且- 2a 图① y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1, 又B(3,0, 可得：0=9a-6a+c, .c=-3a, 即y=ax2-2ar-3a, :点C的坐标为(0，-3a,点P的坐标为1，-4a, 又：PN=BC, .PN2 BC2 OC2+0B2, .16a2=9a2+9 又：a<0, 3√7 ∴.a=- 7 (3)解：如图②所示，·2a+b=0, 由(2)知y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1, :点P的坐标为(1，-a+c, 73/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又点M(m,n),(0<n<-a+c)在对称轴上， :点M的坐标为1，n), 如图，过点P作∠NPE=30°，过点M作MG⊥PE,垂足为G,连接BM, G :PM =2GM, M AO B 图② 又AM=BM, .AM+BM+MP=2(BM+GM), 点B,M，G共线，即BM+GM=BG时，AM+BM+MP有最小值， 又：AM+MB+MP的最小值等于45+4， :BG=2+2V5, :PN⊥AB,∠ABP=75°， .∠BPM=15°， :∠BPG=LBPM+∠MPG=45°， △BPG为等腰直角三角形， .PG=BG=2+2V5, 又∠MPG=30°， :GM=5pG=2+2 3 PM=2GM=4+45 .AM-BM PG-GM=4 3 又∠NBM=∠ABP-∠GBP=30°， :.MN-BM-25.BN-5 BM-2. 2 B(3,0) 74/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .PW=PM+MN=4+25, -a+c=4+2V3,即c=a+4+2W5, 又y=ax2-2ax+a+4+2V3过B(3,0), .0=9a-6a+a+4+2V5, a=-2+5 2 3.(2026天津红桥.一模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0,b>0)经过点A(-1,0). (1)当b=2,c=4时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点B是抛物线与x轴的另一个交点，点C是抛物线与y轴的交点. ①当c=时，若∠CMB=2∠ABC,求a的值： ②M为第三象限内抛物线上一点，若B0=4C0,LABM=LABC,当S△MBc=8b+6时，求点M的坐标. 【答案】(1)顶点P的坐标为 (20a=-1, 行：@点M的坐标为2引 【来源】2026年天津市红桥区九年级数学中考一模试卷 【分析】(1)先求解函数的解析式，化为顶点式即可求解； (2)①先表示出函数解析式，添加合适的辅助线，根据勾股定理求解A'C的长度，再根据点B的坐标求解 即可； ②先证明得到直线BC与直线BM关于x轴对称.再表示出点M的坐标，添加辅助线，根据三角形面积的关 系求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线经过点A-1,0), a-b+c=0. b=2,c=4, .a=b-c=-2. :该抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4. 12.9 y=-2x2+2 19 :该抛物线顶点P的坐标为 2'2 75/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)(2)①：a-b+c=0，c=3 4 0C= F3’b=a+c=a 4 3· a<0,b>0, 连能物线的解折式为ya心e叶r+a0 如图，在x轴上取点A'1,0),连接CA. 之0A=0A'=1, :.CA=CA', ∠CA'O=∠CAB. '∠CAB=2∠ABC,LCA'O=∠A'CB+∠ABC, ·∠A'CB=LA'BC, :A'B A'C. AC=04+0C= 3, ∴.OB=OA+AB= 8 3 :点B的坐标为 0 :点B在抛物线上， 8)2 n8a±4+2=0.解得a三-) 3a+3a+33 ②由y=ar2+a+cx+c,得点C的坐标为(0，c,c=b-a>0. :B0=4C0, :点B的坐标为(4C,0).可得BC的解析式为y=-二x+c. 4 :点B在抛物线上， ∴.(4c·a+(a+c×4c+c=0.得16ac+4a+4c+1=0. 76/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4a+(4c+)=0.又4e+1>0,得a=- 4 :∠ABM=∠ABC, :直线BC与直线BM关于x轴对称. 直线s的解折式为y--c.设点Mmr-e-》m+c 4 1 4m+e4m+c=4m-.可得(m+2m-4c)=0. 解得m1=-2,m2=4c（舍). 如图，过点M作MH⊥y轴，垂足为H. H 设直线MB与y轴相交于点N,可得ON=OC=c, MC+08-CN )×2x2c+×4c×2c=4c2+2C :S△MBc=8b+6=8c+4, .4c2+2c=8c+4.即2c2-3c-2=0. (2c+1(c-2)=0. 解得G=2,62=一2 (舍)· 在的李标为之一引 4.(25-26九下.天津和平.第一次质量调查)已知抛物线y=ax2+bx-3(a,b是常数，a>0)与x轴相交 于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C,将点C水平向右平移2个单位长度得到点D,连接BC. (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式： 77/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②抛物线上的点E的横坐标为m,且-1<m<0,若∠CBE+∠AC0=45°，求点E的坐标； (2)点M是线段BC上一动点，连接OM,点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM,连接BN.当 0M+BN的最小值为√34时，求a的值. 【答案】(1)①y=x2-2x-3②E 211 3’-9 aa-号 【来源】天津市和平区2025-2026学年度第二学期九年级第一次质量调查数学学科试卷 a=1 【分析】(1)①先根据平移得D(2,-3),再把D(2,-3),A(-1,0)分别代入y=ax2+bx-3,解得 b=-2 即y=x2-2x-3; ②算出B(3,0),则∠0BC=∠0CB=45°，证明aB0T≌△C0AASA),再求出直线BT的解析式为y=二x-1 3 y-x-1,解将5-70-3,5=7-” y=x2-2x-3 依题意得 1 6 6 子又因为抛物线上的点E的横坐标为m 3 日<m<0,故Em,m-2m-3,故把m=r三-代入m2-2m-3,得E 211 (399 (2)根据二次函数的图象性质，得B3,0,C0,-3),0C=3,过点C作射线CF1CB交抛物线于点F （a ,在射线CF上取一点G,使CG=CO,连接GN,BG,再证明aCOM≌aCGN(SAS),则 OM+BN=NG+BN≥BG,又因为OM+BN的最小值为V34,即BG=√34，再结合勾股定理列式 BG=BC2+CG计第，得16=子，解得a-子 9 3 【详解】(1)解：①依题意，抛物线y=ax2+bx-3与y轴相交于点C, C(0,-3, :将点C水平向右平移2个单位长度得到点D,点D落在该抛物线上， ∴D2,-3, 把D(2,-3),，A(-1,0分别代入y=ax2+bx-3, [-3=4a+2b-3 得 0=a-b-3' a=1 解得b=2 78/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=x2-2x-3, ②由①得y=x2-2x-3,C(0,-3),A-1,0), 0C=3,A0=1, 连接BE,与y轴相交于点T,如图所示： E D 当y=0时，则x2-2x-3=0, 即(x+1(x-3)=0, 解得x=-1,2=3, B(3,0), 0B=3 .0C=0B=3, :∠B0C=90°， .∠0BC=∠OCB=45 即∠CBE+∠ABE=459 ∠CBE+∠AC0=45 ∠ABE=∠ACO, :∠B0T=∠C0A=90°，B0=C0=3 .△B0T≌△COA(ASA .0T=0A=1 T(0,-1 设直线BT的解析式为y=kx+n(k≠O 79/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把T(0,-1,B(3,0)代入y=kx+n, 存1=0+n 0=3k+n n=-1 解得 1， k= (-3 1 “y=5x-1, 3 y=x2-2x-3 依题意得 31· 1 y r2-2x-3= 31, 整理得3x2-7x-6=0, :△=b2-4ac=(-72-4×3×-6)=121, ·x=--7±i27 6 解得x=7+=3,5=7-1=-名 6 6=3 :抛物线上的点E的横坐标为m,且-1<m<0, Em,m2-2m-3, 故把m=号代入m-2m-3,符)-2x(号引3=号 即(： (2)解：：抛物线y=ax2+bx-3(a,b是常数，a>0)与x轴相交于点A(-1,0), 0=a-b-3, .b=a-3, 令y=0,则0=ax2+bx-3=(ax-3)(x+), 3 解得x=-1,x2=二； a :抛物线y=ar2+bx-3(a,b是常数，a>0)与x轴相交于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C, B30,c0,-3,0c=3 a 80/89 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :将点C水平向右平移2个单位长度得到点D, 射线CD的解析式为y=-3 过点C作射线CF⊥CB交抛物线于点F,在射线CF上取一点G,使CG=CO,连接GN,BG, G :CD∥x轴，CF⊥CB, ∠0CD=∠GCB=90°， ∠OCD-∠BCD=∠GCB-LBCD, 即∠OCM=LGCN, CG=CO=3,CN=CM, :aCOM≌aCGN(SAS), ..OM =NG, ∴.OM+BN=NG+BN≥BG. :OM+BN的最小值为√34 ∴BG=V34 C(0,-3, Bc2=oc2+0B=-3+3 =9+9 , :∠GCB=90°，BG=√34，CG=3 :BG2=BC2+CG2 9 34=9+3+9 a 16=9 a 4=3>0,4=-3<0(舍去) 4 4 81/89 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2026天津北辰一模)已知抛物线y=x+x-4(b为常数)的顶点为D,与x轴相交于点4-2,0)和 4 点B,与y轴相交于点C (1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点P为对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点Q恰好落在抛物线 上，求此时点P的坐标； (3)在线段BC上，是否存在一点H,使2AH+√2BH的值最小？若存在，求出点H的坐标，并求出最小值； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 能物线解新式为y=子4，顶点D坐标为得】 (2) 点P的坐标为(3,9)或(3，-5) (3) 存在，点H的坐标为(4，-2)，2AH+√2BH的最小值为610 【来源】天津市北辰区2025-2026学年度第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷 【分析】(1)将A点坐标代入抛物线解析式，解出b即可得到抛物线解析式，然后将抛物线解析式化成顶 点式，即可求出顶点坐标： (2)设对称轴与x轴交于点E,设P(3,P),E(3,0),分点P在x轴上方和点P在x轴下方两种情况进行讨 论求解即可； (3)过B点作射线BM,使∠HBM=45°，过H点作HK⊥BM垂足为K,先证得△BHK为直角等腰三角形， 进而可知当A,H,K三点共线时，2AH+√2BH取到最小值，先证明∠ACB=90°，然后求出BC解析式，设 风A,h-40<h<8,然后利用CH=4C解出A,进而可求出H点，进而可求出2AH+2BH的最小凰 【详解】(1)解：：y= +bx4h为靠数)的顶点为D,与x轴相交于点征 0=4-2-2b-4 解得：b=-3 123 424, 故抛物线解析式为：y=,x2 82/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 y=x2 x-4=x-3到2-25 4 ， :顶点D坐标为34) 25 2》解：令y=0,即x-3-5-=0, 4 解得x=-2或x=8, ·B点坐标为8,0， :线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上， ·△QPB为直角等腰三角形， 如图，设对称轴与x轴交于点E,设P(3,p),E(3,0), BE=8-3=5,EP=P 当点P在x轴下方时， :△QPB为直角等腰三角形， ∠EBP=45°， :BE EP, 5=pl, :点P在x轴下方时， p=-5, (3,-5): 当点B在x轴上方时，过Q点作Q,M⊥对称轴，垂足为M点， ∠MQ2P+∠MPQ2=-LMPQ2+∠BPE=90°， ∴∠MQ2P2=∠BP2E, 又：∠QMP=∠EBP,BP=MQ2, ∴△MQ2P≌EPB(AAS）, .EP,MO2 p,MP=BE=5, .ME=MP,+PE=5+p Q2p+3,5+p), 83/89 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点B的对应点Q恰好落在抛物线上， 5+p=p+3-p+3)-4, 4 解得：p=9或p=-5(舍)， 故P(3,9), 综上，点P的坐标为3,9)或(3，-5)· y E A(0) B (3)解：如图，过B点作射线BM,使∠HBM=45°，过H点作HK⊥BM垂足为K, :∠HBM=45°，HK⊥BM, △BHK为直角等腰三角形， BH=V2HK,LBHK=45°， .2BH =2HK, 2AH+2BH =2AH+2HK22AK, :当AH,K三点共线时，2AH+√2BH取到最小值， :抛物线解析式为y= 二x-4, .x=0时，y=4, 故C点坐标为0，-4， 点A(-2,0),点B(8,0), AB=10,AC=V22+42=2√5，BC=V82+42=45, .AB2 =AC2+BC2, ∠ACB=90°， 设BC解析式为y=x+m, 84/89 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 代入B(8,0),C(0,-4)得0=8k+m, (m=-4 1 解得k=2m=4 ∴BC解析式为y=二x-4, 2 又H在线段BC上， 设H么-4小0<h<8到， :∠BHK=45°， ∠AHC=45°， CH=AC=2√5， =25, 解得：h=±4， :0<h<8, .h=4, 此时H(4,-2,BH=V8-42+(-2)2=25,AH=[4-(-2]+-22=210, “此时2AH+√2BH的值最小为：2×210+√2×2√5=6V10. B 6.(25-26九下.天津河东质量检测（一）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0,b<0)· (1)当a=1,b=-2,c=-3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点. ①当a=2时，若点D在抛物线上，LCBD=90°，BC=BD,求点D的坐标； ②若点B(-c,O),点E在线段OC上，且∠ABE=2LCBE,线段BE与抛物线的对称轴I的交点为F,点G, H分别为线段BE,BA上的动点，当AG+GH+FH取得最小值为5√3时，求点E的坐标. 【答案】(1)抛物线顶点P的坐标为1，-4) 85/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2①点D的坐标为 55 4'4 ②点E的坐标为0，-135 6 【来源】天津市河东区2025-2026学年第二学期九年级数学质量检测试卷（一） 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性 质是解题的关键。 (1)将二次函数化为顶点式进行判断即可；点D在第二象限，过点D作DH⊥x轴于点H, (2)①求出抛物线解析式为y=2x2+bx+b-2,证明△BDH≌aCB0(AAS),得到点D的坐标为 2 根据点D在抛物线)=2x4饭+6-2上，得到1-宁2仔-小+合-小6-2，解得 B=2,6=2,即可得到答案； ②求出LABE=30°，根据题意，点A与点A关于直线BE对称，点F与点F关于x轴对称，则 4G+GH+FH之AF',即AF'=55,点F在直线1上，△ABA为等边三角形，AF'=251-c=55, 3 即可得到答案。 【详解】(1)解：：a=1,b=-2,c=-3, :该抛物线的解析式为y=x2-2x-3, :y=x2-2x-3=(x-102-4, :该抛物线顶点P的坐标为1，-4)： (2)解：①：点A-1,0)在抛物线y=ax2+bx+c上， .0=a-b+c,即c=b-a, 又：a=2,点C(0,c, 0C=-c=2-b,A0=1,B0=1-b :抛物线解析式为y=2x2+bx+b-2, 如图，点D在第二象限，过点D作DH⊥x轴于点H, ∠BHD=90°， :∠HBD+∠BDH=90°， :∠CBD=90°， 86/89 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CB0+∠HBD=90°， ∠BDH=∠CBO,又BC=BD, △BDH≌△CB0(AAS), Dh=80-1-3,8h=0C=2-b :OH =BH-BO, ..OH=1_b :点D坐标为[名1- :点D在抛物线y=2x2+bx+b-2上， 1小-2 整理得，2b2-3b-2=0, 解得6=-分6=2， b<0, ∴b2=2,不合题意，舍去， 1 ∴.b= :点D的坐标为（到 ②：点A(-1,0)和点B(-c,0)为抛物线与x轴的两个交点， 0=a-b+c,0=ac-b+1,解得，a=1, :点C为抛物线与y轴的交点， 0C=0B=-c, 87/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=45°， :点E在线段OC上，且∠ABE=2∠CBE, LABE=30°， 根据题意，点A与点A关于直线BE对称，点G与点G关于x轴对称， 则AG+GH+FH≥A'F, :AG+GH+FH取得最小值为5√3， 'F=5v3, :点F在直线I上，△ABA'为等边三角形， AB=A'B=1-C,∠BA'F=30°，∠A'BF=30°+60°=90°， ∴cos∠BA'F=cos30°= AB F 5Ap=251-c=55, 3 解得，c=一，， ÷08=13 ∠ABE=30°， tan∠ABE=tan30=OE OB ·0E=133 6 :点E的坐标为0， 13V5 6 88/89 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 89/89函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数性质综合题 “内容学航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题变式 【实战刷题冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 En1s1gg重重i重■■■原g1■■11重11■■11n1■■1■■1s1anan11■ah■n1n■a1I ☑ PART 01 命题解码•定方向 2024年，二次函数综合题（含参函数+几何变换+最值问题）。核心考点1.含参二次函数：抛物线 顶点坐标、对称轴2.几何条件转化：等腰直角三角形(MDN为等腰直角)、全等三角形3.线段最值： 利用全等转化+三点共线求最小值。2025年，二次函数综合题（含参函数+平行四边形+对称变换+最 值)。核心考点1.含参二次函数：顶点坐标、与坐标轴交点2.平行四边形存在性：利用对角线互相 平分（中点坐标公式）3.对称变换：点的对称、将军饮马最值4.勾股定理与距离公式 命题趋势：1.含参二次函数是核心载体：两年均以含参抛物线为背景，灵活度高2.几何条件越来越 “"综合”，几何元素更丰富3.最值问题是“压轴灵魂”：均在第(3)问设置线段和最值，且2024年 出现了"“无公共端点”的转化，难度更高4.全等/对称/平移是三大转化工具：将分散线段转化为共线 2026年预测：·引入旋转背景的几何条件（如旋转90°、旋转相似）最值类型可能从“和最小”变为 “差最大”或与面积相关可能结合“胡不归”或“阿氏圆”等更复杂的最值模型。平行四边形可能升 级为矩形、菱形、正方形的存在性 PART 02 解题建模•通技法 题型01特定条件求参数<了 折典例建模理 1/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 1.(2526九下天津大港十中结课评估)已知抛物线=+r+0a,6C为常数，a≠0)前顶点为点 P,且2a+b=0,与x轴交于点A和点B(A在B的左侧)，与'轴交于点C. 当a=1,点4的坐标为-1,0时，求点P的坐标。 (2)若a<0」 ①当c-a=4时.若点D在射线CB上，∠POD=90°，OD=OP,OB=OC.求a的值. ②当Sam=40Sac时.若an∠0AC= 49 4,求e的值. 研考点通技法 1.将军饮马模型：求线段和最小值：作对称点，三点共线时取最小值·利用勾股定理列方程2.二次函数 最值：顶点处取最值·表达式化为顶点式，最值在×=h处取得3.判别式法：求距离最值：将距离平方 表示为二次函数。利用判别式，求相切时的参数。 破类题提能力 2.(2026天津河北区质量检测（一）)已知抛物线》=ar+br+c(0,6,c为常数，a>0),与'轴 交于点C,点D为抛物线顶点，2a-b=0 (1)若b=2,c=3,求抛物线顶点D的坐标： 2喏点P3,3引在抛物线上，过点M3,5)作×轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点H,连接PH,过 点V2,3引作)轴的平行线交抛物线于点1，连接PV ①当MP=2I时，求点I的坐标与抛物线的解析式： ②当15NM-7MH=7时，求a的值， 3.(2526九下天津河西质量调查)已知抛物线=ar+r+C(4,b,C为常数，a>0)的顶点为P,与 x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），点-10，与轴交于负半轴的C点。 2/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (1)当b=-2,C=-3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)当2a+b=0时， O若存在点M(a,a-,满足MP=Mh,求此时“的值： ②若有点)， 满足∠N4B=2∠4BC,求此时a的值. 4. (2024天津河北区二模)已知抛物线'=+r+4 (a,b为常数)· (1)若直线1：x=2是抛物线的对称轴，且a=1. ①求抛物线与x轴的交点坐标： P(2,4).Q ∠OP9=45° ②点 ,点在抛物线上， 求点坐标： b=-60,抛物线过点 (-2,0) N(0,n)n<0、 (2) ,与轴交于点，将点”绕点 )顺时针旋转（旋转角小 于18O°)得到点B,当点B恰好落在抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时，求n的值. 5.(25-26九下·天津红桥结课考试)己知抛物线y= x2+br+C(b,c为常数)与x轴相交于A(-1,0), 21 B两点，与y轴相交于点C03).M为r轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接MB (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标： (2)当∠MBC=45°时，求m的值： M M BC (3)过点”作轴的平行线与抛物线相交于点，过点”作轴的平行线与直线相交于点，若 MP=MO ,求m的值. 7 题型02特定条件求坐标<了 折典例建模翠 6。(2025天津市河北三中二模3已知抛物线”=+伽+cb,C为常数，>1)的顶点为P,与轴 相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,抛物线上的点M的横坐标为m,且 3/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2,过点M作MN⊥AC,垂足为N (1)若b=-4,c=5. ①求点P和点A的坐标； ②当MN=5时，求点M的坐标 2)若点的坐标 为c0,且PAC,当4N+3MW=55时，求点M的坐标 研考点通技法 求出坐标后需注意： i1是否在定义域内。 ,2是否满足几何约束（如三角形内角合理）。 i3是否与已知点重合。 4多个解时是否都符合题意 破类题提能力 7.（2425九上天津-中院海学校期未)如图，抛物线，y=子+加+e与箱交于4，B两点，与) 3 轴交于点C点4坐标为-10，点8坐标为3,0 (1)求此抛物线的函数解析式. (2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴的垂线， 垂足为点E,求2PD+PE的最大值，及此时P点的坐标. (3)点M为该抛物线上的点，当∠MCB=45°时，请直接写出满足条件的点M的坐标. 4/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 8.（24-25九上·天津静海实验中学第三次阶段评估)如图，二次函数'=a心+br+c(a≠0) 的图象交x轴 于A、B两点，交'轴于点D,点B的坐标为3,0) 顶点C的坐标为1，)】 备用图 (1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式： (2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M,交x轴于点N,当点P在第一 象限时，满足PM=2BN,求点P的坐标： B在抛物线上是否存在异于点8、D的点”，使 △BD0中BD边上的高为22？若存在求出点的坐标： 2W2 若不存在请说明理由、 9.(2026天津北辰一模)已知抛物线y=- 2+bx+c(b,c为常数，h>0)的顶点为D,与x轴交于 2 A(-2,0 、B两点，与少轴交于点C点E为第一象限内的抛物线上的点，过点E作F销，交C于点 F. )诺6= 2· ①求点D和点B的坐标. ②当EF取得最大值时，求点E的坐标. (2)过点E作EH∥x轴，交抛物线于点H,点H在点E的左侧.EH交线段BC于点P,若点E的坐标为 (h+2,E,当BF+2PE=52 2时，求点E的坐标. 5/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 10.25-26九上天津河北区期中)在平面直角坐标系中，抛物线y=r++c与轴交于 A-1,0和 点B,且点B在x轴正半轴上，与'轴交于点C,且OC=2,点P是抛物线上一动点. (1)求该抛物线的解析式及点B的坐标： (2)若点P在第四象限时，求当△BCP面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)当点P在抛物线上时，且∠PBA=∠BAC时，求点P的坐标 题型03最值相关求参数<了 析典例建模犁 11。(2025:天律河东一模)已知抛物线y=ar+bc+c46c 为常数，a≠0)的顶点为P,且与”轴相 交于A,0,B(x,0 两点（点A在点B的左侧），与'轴交于点C,0为坐标原点. (1)岩X,是方程”-2x-3=0的两个根，c=3,求该抛物线顶点P的坐标： 包若a=-6>0c=4纤且当背-1≤≤6-1时，该=次雨数的限大值与最小值之笼为9，求的值： 36+3V2 (3)若x+x2=-2,x·x2=-3,点D是△AOC内的一点，当AD+CD+OD取得最小值2时，求a的 值 研考点通技法 】1.作一个定点关于对称轴的对称点2.连接对称点与另一定点，与对称轴交点即为最值点3.利用最值（最 小值长度)列方程求参数。 6/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 破类题提能力 12.(2026天津西青一模》已知抛物线y=-+r+C(b,c为常数，b>0)经过点1-1,0，与x轴交 于点B,与y轴交于点C. (1)当b=4时，求抛物线的顶点坐标； 2点D(b+2,是抛物线上任意一点 ①当AD=2BC时，求b的值： ②若点M(m,0是x轴正半轴上的动点，当2DM+AM的最小值为5+55时，求b的值。 13.（2026天津滨海新区.一调)已知抛物线=-+x+C(6,c为常数，b>0). (1)当b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标； A(-1,0) (2)点 和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧)，点C为抛物线与y轴的交点. ①当BC=AB时，求b的值： ②若点D6-2为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛 物线对称轴的垂线，垂足为E,连接BE,DF,，当BE+DF的最小值为205 时，求b的值. 14.(2025天津和平.一模)已知二次函数=-r-2x+ (c为常数). (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； 2若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为L0,求一元二次方程--2+c=0的解： (3)在自变量x的值满足-3≤x≤2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为-5，求c值. 15.（2025天津滨海新区.一模)已知抛物线=-br+6,c为常数，6>0)经过点4-1,0)，点 Mm,0 )是x轴正半轴上的动点. (1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标： 7/14 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 Db,o在抛物线上，当M=AD,m=5时，求D的值： (2) 1 b 33√2 (3)点 2'Yo 在抛物线上，当V2AM+2QM的最小值为4时，求b的值. 题型04最值相关求坐标<了 折典例建模犁 (2025天津一模)已知抛物线'=a++3a<0与拍相交于4，B两点（点4在点B右侧）， 16. B(-3,0) 与y轴相交于点C,点 A1,0) (1)若已知 ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段PF⊥x轴，交直线BC于点F,当线段PF取得最 大值时，求此时点P的坐标： (2)若取线段BC的中点E,向右沿x轴水平方向平移线段BC,得到线段B'E',求CB+CE的最小值，并 求此时点B的坐标 研考点通技法 1.识别最值类型，将军饮马/胡不利归/阿氏圆/二次函数顶点。 2.转化最值问题，构造几何模型或化简表达式。 3.找最值点位置，三点共线/垂线段最短/顶点处。 4.表示最小值，用含参表达式表示最小值。 5.列方程，最小值表达式=给定值。6.解参数，注意检验合理性。 破类题提能力 8/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 17.(23-24九上天津益中期末)已知抛物线’=+6r+c(“,6,c是常数，a>0),经过4-，0) 和(3,0)两点，点C(0,-3),连接BC,点2为线段BC上的动点 (1)若抛物线经过点C: ①求抛物线的解析式和顶点坐标： ②点P为抛物线的第四象限部分上一点，过P作PH∥x轴交直线BC于点H,连接PC,PB,求PH的 长度最大值： (2)若抛物线与'轴交点为点M,线段 G AG=BO MG AOAQ+MG ”上有一个动点， ，连接 ，当 最小 值为35时，求6点坐标 G 18.(24-25九上天津滨海新区期未)已知抛物线'=a(x-+(a≠0)经过原点0，交x轴于点44,0)， 顶点B的纵坐标为4. (1)求拋物线的解析式： (2)若点C在OB上，且C点的横坐标为2，E为线段OA上一动点（不与点O重合），在OC的右侧作平行 四边形OCDE, ①当点D落在抛物线上时，求点D的坐标； ②连接BD,BE,当BD+BE取最小值时，求点D的坐标. 19.(2025天津中考)已知抛物线"=ar+br+c(a,6, 为常数，a<0,b>0) (1)当a=-1,b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标： A(-1,0) B 2 (2)点 和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点. ①当a=-2时，若点D在抛物线上，∠CAD=90°，AC=AD,求点D的坐标： ②若点m0,∠C1B=2∠1BC,以4C为边的4CEF的顶点F在抛物线的对称轴'上，当CE+CF取 得最小值为26时，求顶点E的坐标 9/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 20.(2025天津部分区.二模)已知抛物线'=r+x+c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P,与x轴 交于4，B两点（点4在点B的左侧），与y轴交于点C,且4(-1,0)，M(mw(m> 是抛物线上的动 点，且位于第四象限， (1)若a=1,c=-3. ①求抛物线解析式及顶点P的坐标： ②过点M分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线BC于点E,R,当P-号8C时，求点M的坐标， 3 (2)若C+3a=0,N是y轴负半轴上的动点，过点N作抛物线对称轴1的垂线，垂足为G,连接NB,GM, MP ,且MP∥BC,当NB+GM 2√5 的最小值为时，求点M的坐标， 题型05求最值<了 析典例建模翠 21.(25-26九下-天津河西实验中学月考)已知抛物线'=X+加-3(6是常数)经过点4(-1,0) (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标； 2Pm,)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P. ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P落在第二象限内，PA取得最小值时，求m的值及这个最小值. ◆研考点通技法 10/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 分类讨论对称轴与区间位置关系三种情况：1.对称轴在区间左侧：最值在区间端点2.对称轴在区间内： 顶点是一个最值3.对称轴在区间右侧：最值在区间端点。 广破类题提能力 2.(2025天津河东二模)已知抛物线'=ar+r-3引a≠0经过点1-3,0，BL,0两点，与'轴交于点 C,顶点为D, (1)求a,b的值及顶点D的坐标： (2)点E为直线AC下方抛物线上的一点，当∠ECA=∠DAC时，求点E的坐标： B点M为y轴上的一动点，连接，当8w+cM取得最小省时，求点的坐标，并求出这个最小值。 2 (2025天津和平区.三模)抛物线'=r+br+4 23. x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y B(3,0 轴交于点C,点 ,对称轴为直线x=1,对称轴与x轴交于点D. (1)求该抛物线的解析式： (2)作直线BC,点P是抛物线上一动点，作直线PC,当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标： (3)点E为线段OC上一动点，当点E坐标为何值时，DE+CE有最小值，并求出最小值. 24。《2425九上：天津大港第二中学期中)在平面直角坐标系中，抛物线”=r+bx+ 与轴交于 A(3,0),B-1,0两点，与'轴交于点C,连接4C,点D是第一象限的抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式及点C坐标： (2)过点D作DE L AC于点E.若DE=CE,求D点坐标： (3)过点D作DE⊥AC于点E,过点D作DH⊥x轴于点H,交AC于点F,当aDEF的周长取得最大值时， 请求出点D的坐标及aDEF周长的最大值. 25.(2025·天津一中.二模)己知二次函数y=ax2·4ax+3a. (1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标： 11/14 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点 P,最低点为点Q,求△OPQ的面积： (3)若对于该抛物线上的两点P(x1,y),2(x2,y),当x≤t+1,x25时，均满足y2y2,请直接写出t 的最大值 PART 03 实战刷题•冲高分 (建议用时：50分钟) 刷模拟 1.(2026天津部分区一模)抛物线"=a+r+c(“,6,C为常数，a<0)的顶点为P,且 2a+b=0,与x轴交于点A,B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,对称轴交x轴于点N,O为坐标 原点. (1)当a=-1,c=8时，求该抛物线顶点P的坐标 (2)若 B(3,0),且PN=BC,求“的值： M(m,n(0<n<-a+c) (3)若点 在对称轴上，∠ABP=75°，当M+MB+MP的最小值等于4√5+4时，求 点M的坐标和a的值. 2.(2026天津东丽一模)抛物线'=ar+r+c(,b,c为常数，a<0)的顶点为P,且2a+b=0 与x轴交于点A,B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,对称轴交x轴于点N,O为坐标原点. (1)当a=-1,c=8时，求该抛物线顶点P的坐标： 2若点B3,0),且PN=BC,求“的值： B)点Mm,川(0<n<-a+C)在对称轴上，∠ABP=75°，当AM+MB+MP的最小值等于4N5+4时，求 12/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 点M的坐标和a的值. 3.(2026天津红桥一模)已知抛物线”=ar+br+c(a,b,c为常数，a<0,b>0)经过点 -1,0 (1)当b=2,c=4时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点B是抛物线与x轴的另一个交点，点C是抛物线与y轴的交点. 4 ①当c=3时，若∠CB=2∠ABC,求a的值： ②M为第三象限内抛物线上一点，若B0=4CO,∠ABM=∠ABC,当 S△MBc=8b+6 时，求点M的坐标. 4.(25-26九下天津和平第一次质量调查)已知抛物线"=ar+-3(a,b是常数，a>0)与x轴相 交于点(-10 和点B,与y轴相交于点C,将点C水平向右平移2个单位长度得到点D,连接BC, (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式： ②抛物线上的点E的横坐标为m,且-1<m<0,若∠CBE+∠ACO=45°，求点E的坐标： (2)点M是线段BC上一动点，连接OM,点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM,连接BN.当 OM+BN 的最小值为54。 时，求a的值. 5.(2026天津北辰一模)已知抛物线y=4+r-4(b为常数)的顶点为D,与x轴相交于点4-2,0) 和点B,与y轴相交于点C. (1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标： (2)点P为对称轴上一点，连接BP,将线段BP绕点P逆时针旋转9O°，使点B的对应点Q恰好落在抛物线 上，求此时点P的坐标： (3在线段8C上，是否存在一点1，使211+5BH 的值最小？若存在，求出点H的坐标，并求出最小值： 若不存在，请说明理由. 6.(25-26九下天津河东质量检测（一）)已知抛物线"=r+x+c(“,b,C为常数，a>0,6<0 )· (1)当a=1,b=-2,c=-3时，求该抛物线顶点P的坐标： 13/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2点1(-1,0和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与'轴的交点. ①当a=2时，若点D在抛物线上，∠CBD=90°，BC=BD,求点D的坐标： ②若点B-c,0,点E在线段OC上，且∠ABE=2∠CBE,线段BE与抛物线的对称轴'的交点为F,点 G,H分别为线段E,B1上的动点，当4G+GH+H取得最小值为55时，求点E的坐标. 14/14