陕西西安市蓝田县2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 立足八年级下册核心知识，融合围棋文化、露营等生活实践与科技情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形、平行线性质、点平移等|以围棋图案考中心对称，机械零件图考平行线性质，体现文化与生活关联| |填空题|6/18|不等式性质、正八边形角度、原点对称等|结合《红楼梦》纪念币图案考正八边形角度，联系文化素材| |解答题|12/78|三角形全等、旋转性质、一次函数应用等|26题以正方形空地花卉设计考最短路径，综合几何与代数，培养创新思维|

陕西省西安市蓝田县2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）围棋最早起源于中国，古代称为“弈”，是中国文化与文明的体现，深受国人青睐．以下由黑白棋子组成的图案中，是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC于点E，若∠EDC＝22°，则∠ABC的度数为（　　） A．22° B．35° C．60° D．68° 3．（3分）将点A（﹣3，2）向下平移4个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标为（　　） A．（1，2） B．（﹣3，6） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣7，2） 4．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE，则∠BAE的度数是（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 5．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的值可能为（　　） A．﹣5 B．0 C．3 D．9 6．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A，则关于x的不等式kx+b＜2x的解集为（　　） A．x＜1 B．x＞2 C．x＜2 D．x＞1 7．（3分）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源，某款稻草人小台灯进价20元，标价30元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不低于4元，则最多可打几折销售？设打x折销售，则下列不等式正确的是（　　） A．30x﹣20≤4 B． C．30x﹣20≥4 D． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AD的中点，EF⊥AD交AB于点F，若，则AF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9．（3分）若a＞b，则﹣2a　 　 ﹣2b．（用“＜”号或“＞”号填空） 10．（3分）《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图①所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图②，则∠1的度数是 　 　 ． 11．（3分）已知点M（4，m）和点N（n，﹣6）关于原点对称，则n﹣m的值为　 　 ． 12．（3分）若关于x的不等式kx+b＞0（k≠0）的解集为x＜﹣7，则直线y＝kx+b不经过第　 　 象限． 13．（3分）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥（小桥与长方形荷塘的长或宽平行），桥宽忽略不计，若荷塘的长为120m，宽为70m，则小桥的总长度为　 　 m． 14．（3分）如图，在四边形ABDC中，AC＝4，AB＝6，BD＝CD，∠BDC＝90°，则AD的最大值为 　 　 ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15．（5分）解不等式：． 16．（5分）如图，CE平分∠ACD，∠B＝50°，∠ACE＝48°，求∠A的度数． 17．（5分）如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，若∠B＝75°，∠F＝25°，求∠A的度数． 18．（5分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法，在边AB上求作一点M，使得点M到BC的距离等于AM的长．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（5分）如图，在△ABC和△DAE中，点E在AB边上，AB＝DA，∠C＝∠AED＝90°，AC＝DE，求证：∠B＝∠DAE． 20．（5分）露营日益成为人们亲近自然、享受惬意生活的新选择，很多人用帐篷搭建起自己的“诗和远方”，某单位打算组织员工去露营，根据需要，负责人准备租用A、B两种型号的帐篷共30顶，若租用A型号帐篷的数量不少于B型号帐篷数量的2倍，则至少租用多少顶A型号帐篷？ 21．（6分）如图所示的直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）． （1）请在网格中画出△ABC向左平移3个单位长度后所得的△A1B1C1； （2）请在网格中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后所得的△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 22．（7分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，且点D在线段BC的延长线上． （1）求证：∠ACD+∠E＝180°； （2）若∠BAD＝98°，求∠CDE的大小． 23．（7分）已知关于x，y的方程组的解满足x＜0，y＞0，求m的取值范围． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点G，且AD＝AB，E，F分别是边AB，AC上的点，且∠EDF＝60°． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）若AB＝AC＝10，AE＝7，求AF的长． 25．（8分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共50个，A型号、B型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买A型号机器人模型x个，购买这两种型号机器人模型共花费y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购买B型号机器人模型的数量不超过A型号机器人模型数量的，问购买A型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 26．（12分）问题提出 （1）如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2）和点B（5，5），则线段AB的长为　 　 ； 问题探究 （2）如图②，A、B是直线l同侧的两个点，且A，B两点间的水平距离为5，到直线l的距离分别为2、4，点P为直线l上一动点，求AP+BP的最小值； 问题解决 （3）西安市园林绿化部门准备在一块正方形空地OABC上用鲜花摆放一个四边形的图案，设计员糖糖将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点B（12，12），点A，C在坐标轴上，点N，P在边BC上，点M在边OC上，且OM＝NP＝4，绿化部门计划在四边形AMNP内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪，请问是否存在点P，N，使得四边形AMNP的周长最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 陕西省西安市蓝田县2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A D B D 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）围棋最早起源于中国，古代称为“弈”，是中国文化与文明的体现，深受国人青睐．以下由黑白棋子组成的图案中，是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此解答即可． 【解答】解：A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，所以此选项错误，不符合题意； B、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，所以此选项错误，不符合题意； C、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形，所以此选项正确，符合题意； D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，所以此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2．（3分）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC于点E，若∠EDC＝22°，则∠ABC的度数为（　　） A．22° B．35° C．60° D．68° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵DE⊥BC，∠EDC＝22°， ∴∠C＝180°﹣90°﹣22°＝68°． ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠C＝68°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 3．（3分）将点A（﹣3，2）向下平移4个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标为（　　） A．（1，2） B．（﹣3，6） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣7，2） 【答案】C 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 将点A（﹣3，2）向下平移4个单位长度后得到点A′的坐标为（﹣3，﹣2）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 4．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE，则∠BAE的度数是（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝60°﹣40°＝20°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE＝40°+20°+40°＝100°， 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的值可能为（　　） A．﹣5 B．0 C．3 D．9 【答案】A 【分析】先分别解两个不等式，再根据“大大小小无解”确定m的取值范围，最后结合选项判断即可． 【解答】解：解不等式x﹣2＞﹣5，得x＞﹣3， ∵关于x的不等式组无解， ∴m≤﹣3 故选：A． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． 6．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A，则关于x的不等式kx+b＜2x的解集为（　　） A．x＜1 B．x＞2 C．x＜2 D．x＞1 【答案】D 【分析】利用函数y＝2x求得A的坐标，然后根据图象，写出直线y＝2x在直线y＝kx+b的上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：设函数y＝2x的图象过点A（a，2）， ∴2a＝2， ∴a＝1， ∴A（1，2）， 当x＞1时，kx+b＜2x， 所以不等式kx+b＜2x的解集为x＞1． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 7．（3分）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源，某款稻草人小台灯进价20元，标价30元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不低于4元，则最多可打几折销售？设打x折销售，则下列不等式正确的是（　　） A．30x﹣20≤4 B． C．30x﹣20≥4 D． 【答案】B 【分析】利用利润＝售价×折扣率﹣进价，结合每台利润不低于4元，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：30×﹣20≥4． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AD的中点，EF⊥AD交AB于点F，若，则AF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过D作DH⊥AB于点H，连接DF，根据角平分线的性质和定义可得DH＝CD＝4，再根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，则∠ADF＝∠DAF＝15°，再求出∠DFH＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于点H，连接DF， ∵∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DH⊥AB， ∴DH＝CD＝4， ∵EF⊥AD，E为AD的中点， ∴EF是AD的垂直平分线， ∴AF＝DF， ∴∠ADF＝∠DAF＝15°， ∴∠DFH＝∠ADF+∠DAF＝30°， ∴DF＝2DH＝2×4＝8， ∴AF＝DF＝8， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9．（3分）若a＞b，则﹣2a　＜　 ﹣2b．（用“＜”号或“＞”号填空） 【答案】＜ 【分析】根据不等式的性质，将a＞b两边同时乘以﹣2，要改变不等号的方向． 【解答】解：a＞b两边同时乘以﹣2得， ﹣2a＜﹣2b． 故答案为：＜． 【点评】此题主要考查了不等式的基本性质不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 10．（3分）《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图①所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图②，则∠1的度数是 　90°　 ． 【答案】90°． 【分析】利用正多边形的外角性质以及外角和是360°即可求出答案． 【解答】解：∵正八边形的外角和是360°，共八个外角且每个外角都相等， ∴每个外角都是， ∴∠1＝正八边形的两个外角的和＝90°， 故答案为：90°． 【点评】此题考查了正多边形的外角性质，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角性质以及外角和是360°． 11．（3分）已知点M（4，m）和点N（n，﹣6）关于原点对称，则n﹣m的值为　﹣10　 ． 【答案】﹣10． 【分析】直接利用关于原点对称点的坐标性质得出m、n的值，进而求出即可． 【解答】解：∵点M（4，m）和点N（n，﹣6）关于原点对称， ∴n＝﹣4，m＝6， 故n﹣m＝﹣4﹣6＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆关于原点对称点的坐标性质是解题的关键．关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． 12．（3分）若关于x的不等式kx+b＞0（k≠0）的解集为x＜﹣7，则直线y＝kx+b不经过第　一　 象限． 【答案】一． 【分析】由已知不等式的解集确定出k与b的正负，利用一次函数性质判断即可． 【解答】解：∵关于x的不等式kx+b＞0（k≠0）的解集为x＜﹣7， ∴k＜0，b＜0， ∴直线y＝kx+b经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 【点评】此题考查了不等式的解集，以及一次函数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 13．（3分）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥（小桥与长方形荷塘的长或宽平行），桥宽忽略不计，若荷塘的长为120m，宽为70m，则小桥的总长度为　190　 m． 【答案】190． 【分析】根据平移的性质计算长方形的长与宽的和即可． 【解答】解：由平移的性质可知，所有“横桥”通过平移等于长方形的长，所有“竖桥”通过平移等于长方形的宽， 所以小桥的总长度为120+70＝190（m）， 故答案为：190． 【点评】本题考查生活中平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键． 14．（3分）如图，在四边形ABDC中，AC＝4，AB＝6，BD＝CD，∠BDC＝90°，则AD的最大值为 　　 ． 【答案】． 【分析】过点D作DE⊥DA，且ED＝AD，连接AE，CE，证明△EDC和△ADB全等得EC＝AB＝6，在等腰Rt△DAE中由勾股定理得AD＝AE，由此得当AE为最小时，AD为最小，再根据“两点之间线段最短”得AE≤AC+CE＝4+6＝10，则当点A，C，E共线时，AE为最大，最大值为10，据此可得AD的最大值． 【解答】解：过点D作DE⊥DA，且ED＝AD，连接AE，CE，如图所示： ∴∠EAD＝90°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠EAD∠BDC＝90°， ∴∠EAD﹣∠ADC＝∠BDC﹣∠ADC， ∴∠EDC＝∠ADB， 在△EDC和△ADB中， ， ∴△EDC≌△ADB（SAS）， ∴EC＝AB＝6 ∵ED＝AD，∠EAD＝90°， ∴△DAE是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AE＝＝AD， ∴AD＝AE， ∴当AE为最小时，AD为最小， 根据“两点之间线段最短”得：AE≤AC+CE＝4+6＝10，， ∴当点A，C，E共线时，AE为最大，最大值为10， 此时AD的最大值为：＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15．（5分）解不等式：． 【答案】x≥﹣2． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：， 2（1﹣x）﹣6≤3（2+x）， 2﹣2x﹣6≤6+3x， ﹣2x﹣3x≤6﹣2+6， ﹣5x≤10， x≥﹣2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 16．（5分）如图，CE平分∠ACD，∠B＝50°，∠ACE＝48°，求∠A的度数． 【答案】46°． 【分析】能根据三角形的外角性质得出∠ACD＝∠A+∠B是解此题的关键．根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质得出∠ACD＝∠A+∠B，即可求出答案． 【解答】解：∵∠ACE＝48°，CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠ACE＝2×48°＝96°， ∵∠ACD＝∠A+∠B，∠B＝50°， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝96°﹣50°＝46°． 则∠A的度数为46°． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是相关性质的熟练掌握． 17．（5分）如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，若∠B＝75°，∠F＝25°，求∠A的度数． 【答案】80°． 【分析】根据平移的性质得△ABC≌△DEF，继而得到∠ACB＝∠F＝25°，再根据三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：∵将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF，∠B＝75°，∠F＝25°， ∴△ABC≌△DEF（平移的性质）， ∴∠ACB＝∠F＝25°（全等三角形对应角相等）， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣25°＝80°（三角形内角和定理）， ∴∠A的度数为80°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平移的性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 18．（5分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法，在边AB上求作一点M，使得点M到BC的距离等于AM的长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点M即为所求． 【分析】作CM平分∠ACB，CM交AB于点M，点M即为所求． 【解答】解：如图，点M即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 19．（5分）如图，在△ABC和△DAE中，点E在AB边上，AB＝DA，∠C＝∠AED＝90°，AC＝DE，求证：∠B＝∠DAE． 【答案】∵∠C＝∠AED＝90°， ∴△ABC和△DAE是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DAE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL）， ∴∠B＝∠DAE． 【分析】斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可证明Rt△ABC≌Rt△DAE，根据全等三角形的性质即可得证． 【解答】证明：∵∠C＝∠AED＝90°， ∴△ABC和△DAE是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DAE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL）， ∴∠B＝∠DAE． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理． 20．（5分）露营日益成为人们亲近自然、享受惬意生活的新选择，很多人用帐篷搭建起自己的“诗和远方”，某单位打算组织员工去露营，根据需要，负责人准备租用A、B两种型号的帐篷共30顶，若租用A型号帐篷的数量不少于B型号帐篷数量的2倍，则至少租用多少顶A型号帐篷？ 【答案】至少租用20顶A型号帐篷． 【分析】设租A型号帐篷x顶，则B型号（30﹣x）顶，根据A数量不少于B的2倍列一元一次不等式，解不等式求出最小整数解，即为至少租用A型号帐篷数量． 【解答】解：设租用A型号帐篷x顶，则B型号帐篷（30﹣x）顶， 由题意得：x≥2（30﹣x）， x≥60﹣2x， 即x≥20， 答：至少租用20顶A型号帐篷． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意正确列不等式． 21．（6分）如图所示的直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）． （1）请在网格中画出△ABC向左平移3个单位长度后所得的△A1B1C1； （2）请在网格中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后所得的△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标（4，0）． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标（4，0）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． 22．（7分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，且点D在线段BC的延长线上． （1）求证：∠ACD+∠E＝180°； （2）若∠BAD＝98°，求∠CDE的大小． 【答案】（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴∠ACB＝∠E， ∵点B，C，D在同一直线上， ∴∠ACD+∠ACB＝180°， ∴∠ACD+∠E＝180°． （2）82°． 【分析】（1）根据旋转的性质推出∠ACB＝∠E，再根据平角的性质∠ACD+∠ACB＝180°，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出∠B＝∠ADE，再根据三角形的内角和求出∠B+∠ADB，最后通过等量代换即可求解． 【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴∠ACB＝∠E， ∵点B，C，D在同一直线上， ∴∠ACD+∠ACB＝180°， ∴∠ACD+∠E＝180°． （2）解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴∠B＝∠ADE， ∵△ABD的内角和为180°，∠BAD＝98°， ∴∠B+∠ADB＝180°﹣∠BAD＝82°， ∴∠CDE＝∠ADE+∠ADB＝∠B+∠ADB＝82°． 【点评】本题考查旋转的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 23．（7分）已知关于x，y的方程组的解满足x＜0，y＞0，求m的取值范围． 【答案】m＜． 【分析】先利用加减法求出方程组的解，再根据解满足x＜0，y＞0得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：， ①+②得：3x＝6m﹣3， 解得x＝2m﹣1， 把x＝2m﹣1代入①得：y＝﹣3m+3， 因为x＜0，y＞0， 所以， 解得m＜． 【点评】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式组，正确计算是关键． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点G，且AD＝AB，E，F分别是边AB，AC上的点，且∠EDF＝60°． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）若AB＝AC＝10，AE＝7，求AF的长． 【答案】（1）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点G， ∴∠BAD＝∠DAF＝∠BAC＝60°， 在△ABD中，AD＝AB，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， （2）AF＝3． 【分析】（1）先根据等腰三角形性质得∠BAD＝∠DAF＝∠BAC＝60°，进而根据AD＝AB即可得出△ABD是等边三角形； （2）根据AB＝AC＝10，AE＝7得BE＝3，由△ABD是等边三角形得BD＝AD，∠DBE＝∠BDA＝∠DAF＝60°，再根据∠BDA＝∠EDF＝60°得∠BDE＝∠ADF，由此依据“ASA”判定△BDE和△ADF全等得BE＝AF＝3． 【解答】（1）证明：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点G， ∴∠BAD＝∠DAF＝∠BAC＝60°， 在△ABD中，AD＝AB，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， （2）∵AB＝AC＝10，AE＝7， ∴BE＝AB﹣AE＝3， 由（1）可知：△ABD是等边三角形； ∴BD＝AD，∠DBE＝∠BDA＝60°， ∴∠DBE＝∠DAF＝60°， ∵∠EDF＝60°， ∴∠BDA＝∠EDF＝60°， ∴∠BDA﹣∠EDA＝∠EDF﹣∠EDA， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE和△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF＝3， 即AF的长为3． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 25．（8分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共50个，A型号、B型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买A型号机器人模型x个，购买这两种型号机器人模型共花费y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购买B型号机器人模型的数量不超过A型号机器人模型数量的，问购买A型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）函数关系式为y＝160x+12000（0≤x≤50，x为整数）； （2）购买A型机器人30个时花费最少，最少费用为16800元． 【分析】（1）根据“总费用＝A型费用+B型费用”，列含x的一次函数关系式； （2）先根据数量关系列不等式求x的范围，再利用一次函数的增减性求最小值． 【解答】解：（1）已知：购买A型机器人x个，则B型机器人（50﹣x）个， A型单价400元，B型单价240元，y＝400x+240（50﹣x）＝400x+12000﹣240x＝160x+12000， 其中0≤x≤50，且x为整数， 答：函数关系式为y＝160x+12000（0≤x≤50，x为整数）； （2）根据题意，B型数量不超过A型数量的， 50﹣x≤x， 解得x≥30， 又∵y＝160x+12000中，160＞0，y随x的增大而增大， ∴当x取最小值30时，y取得最小值：y最小＝160×30+12000＝16800， 答：购买A型机器人30个时花费最少，最少费用为16800元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一次函数解析式． 26．（12分）问题提出 （1）如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2）和点B（5，5），则线段AB的长为　5　 ； 问题探究 （2）如图②，A、B是直线l同侧的两个点，且A，B两点间的水平距离为5，到直线l的距离分别为2、4，点P为直线l上一动点，求AP+BP的最小值； 问题解决 （3）西安市园林绿化部门准备在一块正方形空地OABC上用鲜花摆放一个四边形的图案，设计员糖糖将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点B（12，12），点A，C在坐标轴上，点N，P在边BC上，点M在边OC上，且OM＝NP＝4，绿化部门计划在四边形AMNP内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪，请问是否存在点P，N，使得四边形AMNP的周长最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5； （2）AP+BP的最小值为； （3）四边形AMNP的周长为4+4+4． 【分析】（1）由两点间距离公式可求解； （2）根据轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理即可得到结论； （3）由平行四边形的性质可得MN＝PF，当FP+AP有最小值时，四边形AMNP的周长有最小值，由两点距离公式可求EF的长，即可求解． 【解答】解：（1）∵点A（1，2）和点B（5，5）， ∴AB＝＝5， 故答案为：5； （2）作点A′关于直线l的对称点A′，连接AA′交直线l于E， 则AE＝A′E＝2， 连接A′B交直线l于P， 则AP+BP的值最小，最小值为A′B的长度， 过A′作直线l的平行线，过B作AA′的平行线，两线交于H， 则四边形EA′HF是矩形， ∴EF＝A′H＝5，FH＝A′E＝2， ∴BH＝6， ∴A′B＝＝， ∴AP+BP的最小值为； （3）如图③，过点M作MF∥BC，MF＝PN＝4，连接FP，则点F（4，4）， ∴四边形MNPF是平行四边形， ∴MN＝PF， ∵点B（12，12）， ∴AB＝AO＝OC＝12， ∵OM＝4， ∴AM＝＝＝4， ∵四边形AMNP的周长＝AM+PN+MN+AP＝4+4+MN+AP＝FP+AP， ∴当FP+AP有最小值时，四边形AMNP的周长有最小值， 作点A关于CB的对称点E，连接EF，交BC于点P'，则AP+PF的最小值为EF的长， ∴点E（24，12）， 又∵点F（4，4）， ∴EF＝＝4， ∴四边形AMNP的周长为4+4+4． 【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，两点间距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $