22.1 函数的概念 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十二章函数 人教版.八年级下册 22.1函数的概念 1. 了解常量、变量的概念，体会在一个变化过程 中常量和变量相对存在． 2. 能根据具体情境分清实例中的常量和变量． 3. 通过探索具体问题中的数量关系和变化规律， 体会变化与对应的思想． 一.核心素养目标 一.核心素养目标 4. 理解函数、自变量、函数值的概念． 5. 能从文字描述或图表信息中找出函数关系，发展 学生的逻辑思维能力与几何直观感知能力． 二.探索新知1 （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km，填写下表： t /h 1 2 3 4 5 s /km 60 120 180 240 300 ①在以上这个过程中，变化的量是______________，不变化的量是____________. ②试用含 t 的式子表示 s ，s=______. 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化的过程. 路程=速度×时间 时间t、路程s 速度60km/h 60t （2）电影票的售价为40元/张. 第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y？ ①在以上这个过程中，变化的量是_____________________，不变化的量是____________. ②试用含 x 的式子表示 y ，y=______. 票房张数x、票房收入y 售价40元/张 40x 这个问题反映了票房收入y随售票张数x的变化而变化的过程. （3）如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？怎样用半径r来表示面积S？ 圆的面积S与圆的半径r之间的关系式是_________； 其中变化的量是_______； 不变化的量是_______. S=πr2 S，r π 这个问题反映了圆的面积S随半径r的变化而变化的过程. （4）长方体的体积为1000cm3，长方体的底面积为S cm2，高为h cm，填写下表： S /cm2 50 100 125 500 1000 h /cm 20 10 8 2 1 长方体的底面积S与高h之间的关系式是____________； 其中变化的量是_______；不变化的量是_______. h=1000÷S S，h V 这个问题反映了长方体的高h随底面积S的变化而变化的过程. V=Sh 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变. s=60t y=40x S=πr2 h=1000÷S 请指出上面各个变化过程中的常量、变量. 二.探索新知2 下面每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km. t /h 1 2 3 4 5 … s /km 60 120 180 240 300 … s=60t （2）每张电影票的售价为40元，设某场电影售出x 张票，票房收入为y 元. （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r，面积为S. （4）长方体的体积为1000cm3，长方体的底面积为S cm2，高为h cm. y=40x S=πr2 h= s=60t y=40x S=πr2 h= 这些变化过程中，变量之间关系有什么共同特点？ 归纳结论：上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. 在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面这样的关系. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的函数值. 例 1 指出下列问题中的常量和变量： （1）某市居民生活用水的价格为 5 元/t. 记某户的用水量为 x t，月应缴水费为 y 元. 解：生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y是变量. 解：刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数n和公交卡中的余额w是变量. （2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费 1 元. 李明在公交卡中存入 30 元，记此后他乘坐公交车 n 次，公交卡中的余额为 w 元. （3）用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为 x m，矩形的面积为 S m2 . 解：绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量. 例 2 [教材第93页思考(2)] y是x的函数吗？ 某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如下表 所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y. 存款期限x/月 3 6 12 24 36 60 年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00 解：因为当x取某一值时，y都有唯一的值与其对应，故y是x的函数. 练 习 1. 指出下列问题中的常量和变量： （1）向一个水池注水，注水速度为 0.1 m3/min. 记注水时间为 x min，注水量为 y m3 . 常量：注水速度. 变量：注水时间 x 和注水量 y . （选自教材第91页 练习 第1题） 2. 举两个运动变化的例子，并分别指出其中的常量和变量. 解：①苹果 10 元/kg. 记购买质量为 x kg，花费钱数为 y 元. 其中每千克苹果的价格是常量，购买质量 x 和花费钱数 y 是变量. ②李明以 1.5 m/s 的速度走了 x s，所走的路程为 y m.其中李明行走的速度是常量，李明行走的时间 x 和所走路程 y 是变量. （选自教材第91页 练习 第2题） 练 习 1. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数. （1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随 x 的变化而变化； 是函数关系，边长 x 是自变量，面积 S 是 x 的函数. （选自教材第93页 练习 第1题） （2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度 h 随时间 t 的变化而变化； 是函数关系，时间 t 是自变量，离地面的高度 h 是 t 的函数. （3）某天不同时刻的气温如图所示，气温 T 随时间 t 的变化而变化； 是函数关系，时间 t 是自变量，气温 T 是 t 的函数. （4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量 y 随月份 x 的变化而变化. 是函数关系，月份 x 是自变量，降水量 y 是 x 的函数. 月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 降水量y/mm 20 23 43 95 146 193 186 138 106 86 48 24 2. 举出一个函数例子，说明其中的函数关系， 并指出其中的自变量与函数. 解：元元放学回家时行走的路程 s（km）是行走时间 t（min）的函数. 行走时间 t 是自变量，行走的路程 s 是 t 的函数. （选自教材第94页 练习 第2题） 师生活动-课堂检测 C ： 1. 张三上学时以5k m/h的速度匀速行走，他所走的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s=5t来表示，则下列说法正确的是( ） A.s，t和5都是变量 B. s是常量,5 和t是变量 C.5是常量，s和t是变量 D.t是常量，5和t是变量 C 2. 已知食用油的沸点一般都在200℃上，如表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 35 60 85 110 上表中的变量（ ） A.仅有一个，是时间 B.仅有一个，是油温. C.有两个，一个是时间，另一个是油温 D.一个也没有 C 3.某居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x(千瓦时)时，收取电费为 y(元).在这个问题中，常量是_____，变量是______. 0.6 x，y 4.指出下面式子中的常量与变量：运动员在400m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步速度 v(m/s)之间的关系可以表示为______. 解:常量是 400 m,变量是 v,t. 5.下列变量之间的关系中，是函数关系的是( ) A.人的体重与年龄 B.正方形的周长与边长 C.矩形的面积与该矩形的长 D.y=±中,y与x B 6.在圆的面积公式S=πr²中，π是常量，当半径r为自 变量时，____是_____的函数. S r 7.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度 每秒增加 2m /s.(1)这一变化过程反映了哪两个变量之间 的关系?(2)3.5s时小球的速度为多少?(3)哪个变量是自变 量?哪个变量是它的函数? 解：(1)这一变化过程反映了小球的速度随时间变化的关系. (2)2×3.5=7(m/s).(3)时间是自变量，速度是时间的函数. (1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑? 1.常量和变量的概念：常量：数值始终不变的量； 变量：数值发生变化的量 2.函数的概念：两个变量、单值对应.（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数） 3.函数值的概念：如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的函数值. 4.总结判断函数关系的方法：看是否满足“对于自变量的每一个确定的值， 函数都有唯一确定的值与其对应”. 课堂小结 分层作业 基础层：教材95-96页习题22.1第1，2，5，8题 拓展层：周长为20cm的矩形,若它的一边长是 xcm,面积 是Scm². (1)请用含x的式子表示s，并指出常量与变量： (2)当x=6时,求S的值. $