2.5 指数与指数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦指数与指数函数专题，覆盖指数运算、函数图象与性质等高考核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题考点权重，归纳求值化简、比较大小、解不等式等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题驱动+分类突破+素养落地”，如通过2023天津卷比较大小题，运用“同底化”“中间量法”培养数学思维，结合双基自测易错点分析和答题模板，帮助学生掌握指数函数单调性应用技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第二章 函数 第五讲　指数与指数函数 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[10] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 xn＝a 正数 负数 两个 相反数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (2)两个重要公式 a a －a a 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．分数指数幂 (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝_________(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝_______(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝_________(a＞0，b＞0，r∈Q)． ar＋s ars arbr 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 知识点二　指数函数的图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 归 纳 拓 展 2．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组二　走进教材 2．(必修1习题4.1 T1改编)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(必修1P117表4.2－3变式)设a∈R，若函数f(x)＝(a－1)x为指数函数，且f(2)>f(3)，则a的取值范围是(　　) A．1<a<2 B．2<a<3 C．a<2 D．a<2且a≠1 [答案]　A [解析]　由函数f(x)＝(a－1)x为指数函数，知a>1且a≠2.当a>2时，函数f(x)＝(a－1)x单调递增，有f(2)<f(3)，不符合题意，舍去；当1<a<2时，函数f(x)＝(a－1)x单调递减，有f(2)>f(3)，符合题意．故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组三　走向考场 5．(多选题)(2026·云南昆明模拟)已知10a＝2，102b＝5，则下列结论正确的是(　　) C．10a＋b>4 D．a>b [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．(2023·天津卷)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c [答案]　D [解析]　∵f(x)＝1.01x单调递增，∴f(0.5)<f(0.6)，即a<b.∵g(x)＝x0.5单调递增，∴g(1.01)>g(0.6)，即a>c，∴b>a>c，故选D． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点突破 · 互动探究 返回导航 指数与指数运算——自主练透 求值与化简 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：指数幂运算的一般原则 1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． 3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． 4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 5．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 指数函数的图象与性质 考向1　指数函数的图象及应用——师生共研 1．(多选题)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确；作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_____. [答案]　(0，2) [解析]　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0，2)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 (多选题)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为(　　) A．0<a<1，b<0 B．0<a<1，0<b≤1 C．a>1，b<0 D．a>1，0<b≤1 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A、B正确；若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向2　指数函数的性质及其应用——多维探究 角度1　比较指数幂的大小 A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　解简单的指数方程或不等式 1．已知函数f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)，若f(－3)<f(4)，则不等式f(x2－2x)≤f(3)的解集为(　　) A．(－1，3) B．[－1，3] C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．[－1，0)∪(0，2)∪(2，3] [答案]　B [解析]　因为函数f(x)＝a|x|的定义域为R，且f(－x)＝a|－x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)，因为f(－3)<f(4)，则f(|－3|)<f(4)，即f(3)<f(4)，所以a>1，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x2－2x)≤f(3)可以转化为f(|x2－2x|)≤f(3)，则|x2－2x|≤3，解得－1≤x≤3.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度3　指数函数性质的综合应用 (1)求a的值； (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． 2．求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　(－∞，4] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 指数函数中的分类与整合思想 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ②当0<a<1时，g(t)＝at＋b在[－1，0]上为减函数， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点： 1．指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a<1两种情况讨论． 2．解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求实数a的值． [解析]　设ax＝t，则a2x＝t2， 当t＝a时，取得最大值，a2＋2a－1， 所以a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 提能训练　练案[10] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a＝(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(2025·北京海淀一模)函数f(x)＝a2x－1＋1(a>0)的图象一定经过点(　　) C．(0，2) D．(0，1) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．c<b<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<a<b [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 8．(2025·安徽安庆二模)函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则(　　) A．函数f(x)不具有奇偶性 B．a＝2 C．函数f(x)的值域为(－∞，2) D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二、多选题 9．下列运算正确的是(　　) [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 10．(2026·湖南娄底模拟预测)下列函数，其图象平移后可得到函数y＝ex的图象的有(　　) A．y＝ex＋1 B．y＝ex－2 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 11．(2026·山东聊城模拟)已知函数f(x)＝2－x－2x，有下列四个结论，其中正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增 D．对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 三、填空题 12．(2025·重庆九龙坡三模)已知3x＝2，4y＝3，则xy＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 14．(2026·成都模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex，则不等式f(x)≥[f(x－1)]2的解集为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 四、解答题 15．(2026·吉林汪清第六中学月考)已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)． (1)求实数k，a的值； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 16．(2025·黑龙江齐齐哈尔高三阶段练习)已知函数f(x)＝a·2x－2－x是定义在R上的奇函数． (1)求a的值，并证明：f(x)在R上单调递增； (2)求不等式f(3x2－5x)＋f(x－4)>0的解集； (3)若g(x)＝4x＋4－x－2mf(x)在区间[－1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)∵f(x)是定义域为R上的奇函数， ∴f(0)＝0，∴a·20－2－0＝0，a－1＝0，∴a＝1， 此时f(x)＝2x－2－x，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)， 经检验，a＝1符合题意； 函数的定义域为R，在R上任取x1，x2，且x1－x2<0， ∴函数在R上单调递增． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (2)由(1)可知f(x)＝2x－2－x， 且在R上单调递增的奇函数， 由f(3x2－5x)＋f(x－4)>0可得f(3x2－5x)>f(4－x)， ∴3x2－5x>4－x， 即3x2－4x－4＝(3x＋2)(x－2)>0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (3)∵f(x)＝2x－2－x，g(x)＝4x＋4－x－2mf(x)， ∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2. 令t＝f(x)＝2x－2－x， g(t)min＝2－m2＝－2， 则m＝2(m＝－2舍去)； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 B组能力提升 1．(2026·甘肃白银二模)已知0<a<1<b，则(　　) A．ba<ab<aa<bb B．ab<aa<ba<bb C．bb<ab<aa<ba D．ab<ba<aa<bb [答案]　B [解析]　因为函数y＝ax(0<a<1)是减函数，所以0<ab<aa<1，同理，函数y＝bx(b>1)是增函数，所以1<ba<bb.综上，可得ab<aa<ba<bb.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．(－∞，4] B．[4，＋∞) C．[－4，＋∞) D．(－∞，－4] [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．f(x)的定义域为R B．f(x)是奇函数 C．f(x)在定义域上是减函数 D．f(x)无最小值，无最大值 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　当x>0时，f(x)＝1－ex，－x<0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝e－x－1，－x>0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)为R上的递减函数，则f(2x)＋f(x－3)>0⇔f(2x)>－f(x－3)＝f(3－x)⇒2x<3－x⇒x<1，所以原不等式的解集为(－∞，1)．故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)求a，b的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； (3)当x∈[1，3]时，f(kx2)＋f(2x－1)>0恒成立，求实数k的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)因为f(x)在定义域R上是奇函数， 则当a＝1，b＝1时原函数为奇函数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (3)因f(x)是奇函数，从而不等式f(kx2)＋f(2x－1)>0， 等价于f(kx2)>－f(2x－1)＝f(1－2x)， ∵f(x)为减函数，由上式推得kx2<1－2x. ∴g(x)min＝G(t)min＝G(1)＝－1， ∴k<－1，即k的取值范围为(－∞，－1)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 C组拓展应用(选作) (2026·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠ 0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_______. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 谢谢观看 根式的概念 符号表示 备注 如果________，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个_______，负数的n次方根是一个_______ 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有_______，它们互为_________ ±(a>0) 负数没有偶次方根 ①＝ ②()n＝______(注意a必须使有意义)． (1)正数的正分数指数幂是a＝______(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． 1．画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意三个关键点：(1，a)，(0，1)，. (1)＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)a＝－a(n，m∈N*)．(　　) [解析]　(1)由于＝＝4，故(1)错误；(2)2a·2b＝2a＋b，故(2)错误；(3)错误，a＝；(4)当a>1时，y＝ax是增函数，则m<n，当0<a<1时，y＝ax是减函数，则m>n，故(4)错误． A．－＝(－x) B．x＝(x>0) C．＝y D．[]＝x(x<0) [解析]　根据指数幂的运算法则化简判断即可．－＝－x，故A不成立；x＝(x>0)，故B成立；＝|y|，故C不成立；[]＝＝(－x)，x<0，故D不成立．故选B． 3．(必修1习题4.1 T4改编)化简(x<0，y<0)得(　　) [解析]　因为x<0，y<0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.故选D． A．a＋2b＝1 B．ab< [解析]　因为10a·102b＝10a＋2b＝10，所以a＋2b＝1，A正确；易知a>0，b>0，由基本不等式得a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号，又10a≠102b，即a≠2b，所以ab<，B正确；由102b＝5得10b＝，10a＋b＝2>4，C正确；10a＝2<＝10b，∴a<b，D错误． (1)×0＋8×－； (2)÷(a，b>0)； (3)已知a>0，a＋a＝3，求的值． [解析]　(1)原式＝×1＋2×2－＝2. (2)原式＝÷ ＝÷ ＝ab÷ ＝ab÷ab＝ab＝ab. (3)将a＋a＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9， 所以a＋a－1＝7. 将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49， 所以a2＋a－2＝47， 所以＝＝6. (2026·四川阶段检测)已知a－a＝0，b＝，c＝aa，则(　　) [解析]　令f(x)＝x－x，易知f(x)在R上单调递增，由f(1)>0，f<0，得∃x∈，使得f(x)＝0，故a∈.因为b＝，a＝a，且a<，所以由指数函数y＝x在R上单调递减，可得a>b，又由指数函数y＝ax在R上单调递减，可得aa>a1，所以c＝aa>a，故b<a<c.故选C． 2．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________. [答案]　 [解析]　①当a<1时,由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝. 已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数． [解析]　(1)f(x)＝·2x＋， 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即·＋2x＝－， 所以＝0，即＋1＝0， 解得a＝－1. (2)由(1)知a＝－1， 所以f(x)＝－2x，x∈[1，2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1，2]， 令t＝2x，t∈[2，4]， 设y＝＋2x，则y＝t＋，t∈[2，4]， 由于y＝t＋在[2，4]上单调递增， 所以m≥4＋＝. 所以实数m的取值范围是. 【变式训练】 1．(角度1)(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝－0.4，c＝0.3，则(　　) [解析]　a＝1.30.6>1.30＝1，b＝－0.4＝0.4，c＝0.3，因为指数函数y＝x是减函数，所以0.4<0.3<0＝1，所以b<c<1，所以b<c<a. 2．(角度2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________. [解析]　当x<1时，由2x－1≤2，得x<1；当x≥1时，由x≤2，得1≤x≤4.所以使得f(x)≤2成立的x的取值范围为(－∞，4]． 3．(角度3)(多选题)(2026·临沂模拟)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则下列结论正确的是(　　) [解析]　对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；因为2x>0，则2x－1>－1，当2x－1>0时，>0，所以＋a>a；当－1<2x－1<0时，<－2，所以＋a<－2＋a，综上可得f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；当a＝1时，f(x)＝＋1＝，则f(－x) ＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f(x)＝＋2＝＋1，则f(x)＋f(－x)＝＋1＋＋1＝2，故D正确. [解析]　设t＝x2＋2x，x∈， 由图象得t∈[－1，0]． ①当a>1时，g(t)＝at＋b在[－1，0]上为增函数，值域为， ∴解得 值域为， ∴解得 综上所述，a＝2，b＝2或a＝，b＝. ①当a>1时，t∈，y＝t2＋2t－1，在上为增函数， ②当0<a<1时，t∈，y＝t2＋2t－1，在上为增函数， 当t＝时，取得最大值，2＋－1， 所以2＋－1＝14，解得a＝或a＝－(舍)． 综上所述，a＝3或. 1．(2026·河南新乡二模)＝(　　) A．16 B．8 C．32 D．16 [解析]　由＝＝2＝24＝16.故选A． A． B．1 C． D．2 [解析]　由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，∴a＝2.故选D． 3．(2026·山东潍坊期中)函数f(x)＝·2x的图象大致形状是(　　) 　 [解析]　由函数f(x)＝·2x＝可得函数在(0，＋∞)上单调递增，且此时函数值大于1；在(－∞，0)上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，结合所给的选项，只有B项满足条件，故选B． A． B． [解析]　令2x－1＝0,则x＝,则f＝1＋1＝2，所以函数f(x)＝a2x－1＋1(a>0)的图象一定过点.故选A． 5．(2026·新疆喀什模拟)已知ln a2－ln a＝1，则函数f(x)＝ax2－2x的单调递增区间为(　　) [解析]　由ln a2－ln a＝1，得ln a＝1，解得a＝e，函数f(x)＝ex2－2x定义域为R，函数u＝x2－2x在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，而函数y＝eu在R上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)．故选D． 6．(2026·云南昆明模拟)函数f(x)＝的值域为(　　) A．[－1，＋∞) B． C．R D． [解析]　当x<－2时，f(x)＝2x－1，因为函数y＝2x在(－∞，－2)上单调递增，所以0<2x<2－2＝，此时f(x)＝2x－1∈；当x≥－2时，因为函数f(x)＝x2－1在[－2，0]上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)≥f(0)＝－1，即f(x)＝x2－1在[－2，＋∞)上的值域为[－1，＋∞)．综上所述，函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．故选A． 7．(2025·天津北辰三模)设a＝，b＝2，c＝3，则a，b，c的大小关系为(　　) [解析]　因为0<<0，则0<a<1，b＝2＝2＝>1，0<3<30，即0<c<1,c＝3＝，接下来比较3和的大小关系，因为2＝，而2＝>，则3<，根据幂函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增得>，即a>c.故c<a<b.故选D． [解析]　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，A错误；由函数f(x)的图象过原点，有f(0)＝0，即a＋b＝0，所以f(x)＝a(2－|x|－1)，由于－1<2－|x|－1≤0，f(x)的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，故a<0，且0≤a(2|x|－1)<－a，故a＝－2，B、C错误；由上面的分析得出函数f(x)＝－2·2－|x|＋2＝显然f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，D正确．故选D． A．＝π－3 B．e2x＝(ex)2 C．＝a－b D．＝· [解析]　对于A，＝|3－π|＝π－3，故A正确；对于B，e2x＝(ex)2成立，故B正确；对于C，＝a－b成立，故C正确；对于D，当a<0且b<0时，和无意义，故D错误． C．y＝e2x D．y＝ [解析]　函数y＝ex＋1的图象向右平移1个单位长度可得到函数y＝ex的图象，故A正确；函数y＝ex－2的图象向上平移2个单位长度可得到函数y＝ex的图象，故B正确；函数y＝e2x的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数y＝ex的图象，故C错误；函数y＝＝＝ex－ln 2，其图象向右平移ln 2个单位长度可得到函数y＝ex的图象，故D正确．故选ABD． [解析]　f(x)＝2－x－2x，则f(0)＝－20＝0，故A正确；f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故B正确；f(x)＝－2x在R上是减函数，故C错误；当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→　　　　＋∞时，f(x)→－∞，即f(x)的值域是(－∞，＋∞)，它又是R上的减函数，因此对任意实数a，f(x)＝a都有解，故D正确． [答案]　 [解析]　由题意3x＝(4y)x＝4xy＝2＝4，所以xy＝. 13．(2025·北京海淀二模)已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为_____，曲线y＝f(x)的对称中心为________. [答案]　(0，1)　 [解析]　因为f(x)＝＝＝，因为22－x>0，则1＋22－x>1，故f(x)＝∈(0，1)，即函数f(x)的值域为(0，1)．因为f(4－x)＝＝＝＝，所以f(x)＋f(4－x)＝＋＝1，因此，函数f(x)的对称中心为. [答案]　 [解析]　因为f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝e－x，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝e－x(x<0)，所以f(x)＝则f(x)＝e|x|，所以不等式f(x)≥[f(x－1)]2，即e|x|≥(e|x－1|)2，即|x|≥2|x－1|，解得≤x≤2，即不等式f(x)≥[f(x－1)]2的解集为. (2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． [解析]　(1)由已知得解得 (2)g(x)＝，定义域为R，因此 g(－x)＝＝＝＝－g(x)， 所以g(x)＝为奇函数． f(x2)－f(x1)＝2x2－2－x2－2x1＋2－x1＝(2x2－2x1)>0， ∴x>2或x<－， ∴不等式的解集为. ∵x≥－1，∴t≥f(－1)＝－， ∴g(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2， 当m≥－时，当t＝m时， 当m<－时，当t＝－时， g(t)min＝＋3m＝－2， 解得m＝－<－，符合要求， 综上可知m＝2或－. 2．(2026·广东广州模拟预测)若函数f(x)＝x(x＋a)在区间(0，2)上单调递增，则a的取值范围是(　　) [解析]　令t＝x(x＋a)，又y＝t在R上单调递减，所以要使f(x)＝　x(x＋a)在区间(0，2)上单调递增，则t＝x(x＋a)在区间(0，2)上单调递减，所以由t＝x(x＋a)＝2－的开口向上且对称轴为x＝－得－≥2，解得a≤－4.故选D． 3．(多选题)已知函数f(x)＝，则下列结论中正确的是(　　) [解析]　对于A，由ex－e－x≠0，解得x≠0，故f(x)的定义域为{x|x≠0}，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故B正确；对于C，f(x)＝＝＝1＋，故函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，当x∈(－∞，0)时，f(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错误；对于D，由选项C的分析可知，函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，无最小值，无最大值，故D正确． 4．(2026·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)>0的解集是(　　) 5．(2025·山东青岛期中)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． ∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝1， 又∵f(－1)＝－f(1)，即＝，∴a＝1. 则f(x)＝， 由f(－x)＝＝＝－＝－f(x)， (2)由(1)知f(x)＝＝－1＋， 任取x1，x2∈R，设x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝－＝， ∵函数y＝2x在R上是增函数， ∵x1<x2，∴2x1－2x2<0. 又(2x1＋1)(2x2＋1)>0， ∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． 即对一切x∈[1，3]有k<恒成立， 设g(x)＝＝2－2·， 令t＝，t∈， 则有G(t)＝t2－2t＝(t－1)2－1，t∈， [答案]　 [解析]　∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1，1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴3－x0＋m－1＝－3x0－m＋1，∴2m＝－3－x0－3x0＋2，构造函数y＝－3－x0－3x0＋2，x0∈[－1，1]，令t＝3x0，t∈，则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1，3]上单调递减，∴当t＝1时，函数取得最大值0.当t＝或3时，函数取得最小值－，∴m的取值范围为，又∵m≠0，∴m的取值范围为. $