1.5 一元二次不等式及其解法 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式及其解法”专题，依据高考评价体系梳理了解法（含参数）、三个二次关系、恒成立问题等核心考点，通过近五年真题分析明确“含参不等式解法”占35%、“恒成立问题”占30%的高频考点，归纳出6类常考题型。 课件亮点在于“知识梳理-考点突破-真题训练”的系统备考策略，如以2025全国二卷分式不等式为例，详解“移项通分-转化整式-数轴穿根”三步法，培养学生数学思维与模型观念。设“易错警示”专栏，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺。

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第五讲　一元二次不等式及其解法 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[5] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　一元二次不等式 只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a，b，c均为常数，a≠0)． 一 2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 知识点二　三个二次之间的关系 两相异 两相等 没有 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ______________ ________________ ______ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____________ _____ _____ {x|x>x2或 x<x1} {x|x∈R且x≠x1} R {x| x1<x<x2} ∅ ∅ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 归 纳 拓 展 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是： a>0且b2－4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是： a<0且b2－4ac<0(x∈R)． 3．一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从右至左，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正． 如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 4．简单分式不等式的解法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 题组二　走进教材 2．(必修1习题2.3 T3改编)设集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|x2－5x＋4>0}，则A∩B＝(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．(4，＋∞) [答案]　D [解析]　A＝{x|x>3}，B＝{x|x>4或x<1}，A∩B＝{x|x>4}，故选D． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　－14 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 4．(必修1复习参考题2 T6)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________. [答案]　[0，4) [解析]　当m＝0时，显然成立；当m≠0时， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 题组三　走向考场 A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 考点突破 · 互动探究 返回导航 一元二次不等式的解法——多维探究 角度1　不含参数的不等式 求下列不等式的解集． (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)9x2－6x＋1>0； (4)x2<6x－10. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [解析]　(1)∵Δ＝49>0， ∴方程2x2＋5x－3＝0有两个不等的实数根， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0. ∵Δ＝12>0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4< 0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为∅. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：解一元二次不等式的一般方法和步骤 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 角度2　含参数的不等式 解下列关于x的不等式： (1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)； (2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)． (2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [引申2]若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况． [解析]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：含参数的不等式的求解往往需要分类讨论 1．若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)． 2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式． 3．解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零． 4．解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【变式训练】 1．(角度1)不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) [答案]　A [解析]　由－x2＋3x＋10>0，得x2－3x－10<0，得(x－5)(x＋2)<0，解得－2<x<5.故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．(角度2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)． [解析]　原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 三个二次间的关系——师生共研 (多选题)(2026·安徽合肥模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　) A．a>0 B．a＋b＋c>0 C．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [分析]　利用根与系数的关系求解． [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 一元二次不等式恒(能)成立问题——多维探究 角度1　恒成立问题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0； 所以m的取值范围为(－4，0]． (2)要使f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立， 只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1，3])， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (3)将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0. 令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1，1]． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：一元二次不等式恒成立问题 1．一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．在给定区间上恒成立问题的求解策略 3．转移变量 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．(如本例中(3)) 策略一 若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围 策略二 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 角度2　能成立或有解问题 若关于x的不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，8) B．(－∞，8] [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略 1．分离参数法：把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式，只需a>f(x)min或a<f(x)max. 2．最值转化法：若f(x)>0在集合A中有解，则函数y＝f(x)在集合A中的最大值大于0；若f(x)<0在集合A中有解，则函数y＝f(x)在集合A中的最小值小于0. 3．数形结合法：根据图象列出约束条件求解． 4．最后一定要注意检验区间的开闭． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【变式训练】 1．(角度1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为(　　) A．(－∞，3) B．(－1，3) C．[－1，3] D．(－1，3] [答案]　D [解析]　当a＝3时，－4<0恒成立； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．(角度1)(2025·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0，1]恒成立，则有(　　) A．m≤－3 B．m≥－3 C．－3≤m<0 D．m≥－4 [答案]　A [解析]　令f(x)＝x2－4x，x∈(0，1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0，1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 3．(角度2)(2025·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) [答案]　A [解析]　解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A． 解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 4．(角度1)(2026·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围为(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [答案]　D [解析]　不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 一元二次方程的根的分布情况 一元二次方程的根的分布情况多样，比较复杂，常结合二次函数的图象从判别式“Δ”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑．设二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，其根的分布情况如下： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 根的分布情况 x1<x2<m m<x1<x2 x1<m<x2 图象的大 致形状 a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 根的分布情况 m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p 只有一根在(m，n)之间 图象的 大致形状 a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内； (2)一根在(－1，1)，另一根不在(－1，1)内； (3)一根小于1，另一根大于2； (4)一根大于－1，另一根小于－1； (5)两根都在区间(－1，3)； (6)两根都大于0； (7)两根都小于1； (8)在(1，2)内有解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [解析]　设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4(2m2＋m＋1)>0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (4)一根大于－1，另一根小于－1， 应满足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【变式训练】 关于x的一元二次方程mx2＋(m＋1)x＋m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两不等实根； (2)两不等负根； (3)一根大于0小于1，另一根大于1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [解析]　(1)∵方程有两个不相等的实根， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (2)∵方程有两个不相等的负根， 故m的取值范围为(0，1)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 提能训练　练案[5] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．下列四个不等式中，解集不为∅的是(　　) A．－x2＋x＋1≤0 B．2x2－3x＋4<0 C．x2＋3x＋10≤0 D．x2－2x＋3<0 [答案]　A [解析]　根据函数的开口方向和根的判别式，即可得出正确的选项．A选项，开口向下，不可能为空集，故A选项符合题意；B选项，开口向上，Δ＝9－4×2×4＝－23<0，解集为空集，故B选项不符合题意；C选项，开口向上，Δ＝9－4×10＝－31<0，解集为空集，故C选项不符合题意；D选项，开口向上，Δ＝4－4×3＝－8<0，解集为空集，故D选项不符合题意．故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 3．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} [答案]　B [解析]　不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)·(x＋n)<0，因为m＋n> 0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n<x<m}，故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 6．(2025·陕西渭南二模)若关于x的不等式2ax2－4x<ax－2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2] B．[1，2) C．(0，2) D．(0，2] [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 7．已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} [答案]　A [解析]　因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 8．若不等式a(1＋x)≤x2＋3对于x∈[0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，3] B．[0，2] C．(－∞，2] D．(－∞，3] [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 二、多选题 9．下列四个解不等式，正确的有(　　) A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1} C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3 D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 10．解关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0，则下列说法中正确的是(　　) A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 11．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．a＋b＋c>0 C．关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0解集为(－3，1) D．关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞) [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 三、填空题 [答案]　(1，3) [解析]　原不等式转化为(x－1)·(x－3)<0，解得1<x<3，则其解集为(1，3)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 13．(2025·上海模拟)ax＋b<0的解集为(－∞，－1)，则(ax－b)(x＋2) <0的解集为________. [答案]　(－2，1) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 14．(2026·甘肃兰州模拟)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x∈R都成立，则实数m的取值范围是________. [答案]　(－2，2] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 15．(2026·辽宁模拟)已知集合I＝{x|x<1}，A＝{x|x3<x}，B＝{x|x2＋mx＋n≤0}，若A∩B＝∅，A∪B＝I，则m＋n＝________. [答案]　1 [解析]　由题意得集合A＝{x|x<－1或0<x<1}，因为A∩B＝∅，A∪B＝I，所以B＝{x|－1≤x≤0}，则－1＋0＝－m，－1×0＝n，解得m＝1，n＝0，所以m＋n＝1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 16．已知不等式－2x2＋bx＋c>0的解集是{x|－1<x<3}，若对于任意x∈{x|－1≤x≤0}，不等式－2x2＋bx＋c＋t≤4恒成立，则t的取值范围是_________． [答案]　{t|t≤－2} 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 A．－3 B．－6 C．13 D．1 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 A．[－6，＋∞) B．(－∞，6) C．(－∞，－6] D．(－6，＋∞) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 4．(2026·永州一中月考)若对任意的a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 5．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋3. (1)若关于x的不等式ax2＋4x＋3>0的解集为{x|b<x<1}，求a，b的值； (2)求关于x的不等式f(x)>－ax－1的解集． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [解析]　(1)因为ax2＋4x＋3>0的解集为{x|b<x<1}， 所以x＝1与x＝b是方程ax2＋4x＋3＝0的两根，且a<0， 将x＝1代入ax2＋4x＋3＝0，得a＋4＋3＝0，则a＝－7， 所以不等式ax2＋4x＋3>0为－7x2＋4x＋3>0，转化为(x－1)(7x＋3)<0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (2)因为f(x)＝ax2＋4x＋3，所以由f(x)>－ax－1得ax2＋4x＋3>－ax－1，整理得ax2＋(a＋4)x＋4>0，即(ax＋4)(x＋1)>0， 当a＝0时，不等式为4x＋4>0，故不等式的解集为{x|x>－1}； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 C组拓展应用(选作) 1．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法： 解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2，1)． [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．(2025·天津卷)若a，b∈R，对∀x∈[－2，2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为________. [答案]　－4 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 谢谢观看 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有__________实根x1，x2(x1<x2) 有__________实根x1＝x2＝－ _______实数根 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) 3．(必修1习题2.3 T4改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________. [解析] 依题意知解得∴a＋b＝－14. 由已知得解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是[0，4)． 5．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) [解析]由≥2，得≥0，即≤0，所以解得－2≤x<1，所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1}．故选C． 解得x1＝－3，x2＝， 画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. ∴方程3x2－6x＋2＝0有两个不等的实数根，解得x1＝，x2＝，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝.画出函数y＝9x2－6x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为. [分析]　(1)根据a<0，注意两根与1的大小； [解析]　(1)因为a＜0，则原不等式等价于(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.所以解集为∪(1，＋∞)． (2)对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8，所以当Δ＜0，即－＜a＜时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0，即a＝±时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根， 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}， 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当Δ＞0，即a＞或a＜－时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 综上，当a＞或a＜－时，解集为{x|a－≤x≤a＋}；当a＝时，解集为{x|x＝}；当a＝－时，解集为{x|x＝－}；当－＜a＜时，解集为∅. [解析]　因为a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0. ①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解； ②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0得＜x＜1； ③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0得1＜x＜. 所以当0<a<1时，解集为； 当a＝1时，解集为∅； 当a>1时，解集为. 综上所述：当a＜0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a＞1时，解集为. 解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，不等式的解集为∪； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为∪. D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ [解析]　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则∴a＋b＋c＝－6a<0，B选项错误；不等式bx＋c>0可化为－ax－6a>0，得x<－6，C选项正确；不等式cx2－bx＋a<0可化为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．故选ACD． 【变式训练】 (2025·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　) A．{x|2<x<3} B．{x|x≤2或x≥3} C． D． [解析]　∵不等式ax2－bx－1>0的解集是， ∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0， ∴解得 若m≠0，则⇒－4<m<0. 又因为x2－x＋1＝2＋>0， 所以m<. 令y＝＝. 因为t＝2＋在[1，3]上是增函数， 所以y＝在[1，3]上是减函数． 因此函数的最小值ymin＝. 所以m的取值范围是. 则即 解得<x<， 即x的取值范围为. C．(－∞，2) D． [解析]　解法一：(分离参数法)不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，等价于不等式a<x＋在(2，7)上有实数解，因为函数f(x)＝x＋在(2，)上单调递减，在(，7)上单调递增，又由f(2)＝2＋＝，f(7)＝7＋＝8，所以f(x)max<f(7)＝8，所以a<8，即实数a的取值范围是(－∞，8)． 解法二：(最值转化法)原不等式在(2，7)上有解，它的否定是不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上无解，则解得a≥8，因此不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有解时a<8. 当a≠3时，解得－1<a<3.所以－1<a≤ 3.故选D． ∴x<－1或x>3. 根的分布情况 x1<x2<m m<x1<x2 x1<m<x2 满足条件 af(m)<0 根的分布情况 m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p 只有一根在(m，n)之间 满足 条件 或f(m)·f(n)<0 或 或 (1)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内应满足即解得－<m<0，所以m的取值范围为. (2)一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内，应满足f(－1)f(1)≤0，即(2m＋1)(－2m－3)≤0，∴m≥－或m≤－，经检验当m＝－或m＝－时都符合题意．又∵m－1≠0，∴m≠1，∴m的取值范围为∪∪(1，＋∞)． (3)一根小于1，另一根大于2，应满足 即解得0<m<1，∴m的取值范围为{m|0<m<1}． 解得m<－或m>1， ∴m的取值范围为. (5)两根都在(－1，3)内，应满足 解得－<m<， ∴m的取值范围为. (6)两根都大于0，应满足解得0<m<1，∴m的取值范围为{m|0<m<1}． (7)两根都小于1，应满足：解得m>1或m<－，∴m的取值范围为. (8)在(1，2)内有解应满足 或f(1)f(2)≤0，解得－≤m≤0， 经检验m＝－及m＝0都不合题意舍去，解得－<m<0， ∴m的取值范围为. ∴即∴ ∴解得－<m<0或0<m<1. 故实数m的取值范围为∪(0，1)． ∴ (3)由于方程有两个不相等的实根，所以m≠0，令f(x)＝mx2＋(m＋1)x＋m，根据题意画出满足“一个根大于0且小于1，另一个根大于1”的二次函数的大致图象，如图所示．由图象可知，要使方程f(x)＝0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1，则即解得－<m<0. 故m的取值范围为.　 A． B． C． D． [解析]　不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，所以(2x＋9)(x－1)≤0，解得－≤x≤1.所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是.故选D． 4．(2026·陕西西安)不等式≥0的解集为(　　) A． B． C． D． [解析]　由≥0可得(4－x)(2x＋3)≥0(2x＋3≠0)，即(x－4)(2x　＋3)≤0(2x＋3≠0)，解得－<x≤4，即不等式的解集为.故选D． 5．(2026·黑龙江大庆模拟)若关于x的不等式ax2＋bx－2>0的解集是，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ [解析]　因为关于x的不等式ax2＋bx－2>0的解集是，所以a<0且<－2，解得－<a<0，所以a的取值范围是.故选C． [解析]　当a＝0时，解得x>，不满足条件；故a≠0，关于x的不等式2ax2－4x<ax－2可得2ax2－(4＋a)x＋2<0，所以(2x－1)(ax－2)<0，即a(2x－1)<0，方程(2x－1)＝0的两根为x1＝，x2＝，当a<0时，不等式可化为(2x－1)>0，x1＝，x2＝<0，解集为∪，不满足条件；当a>0时，不等式可化为(2x－1)<0，当x1>x2时，则>，即a>4，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整 数解，则－1≤<0，又因为a>0，不满足条件；当x1＝x2时，则＝，即a＝4，不等式的解集为空集，不满足条件，当x1<x2时，则<，即0<a<4，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则1<≤2，解得1≤a<2，故实数a的取值范围是[1，2)．故选B． [解析]　原不等式可化为a≤，设f(x)＝，则f(x)＝＝x＋1＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，函数f(x)有最小值为2.因为a≤f(x)恒成立，所以a≤2. B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是 [解析]　对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为，故A错误；对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－，故B正确；对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝，∴a＝3，故C正确；对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确． B．当a<0时，不等式的解集为 C．当a<0时，不等式的解集为 D．当a＝－时，不等式的解集为∅ [解析]　当a＝0时，不等式为2x－8>0，解得x>4，故选项A正确；由ax2＋(2－4a)x－8>0可得(ax＋2)·(x－4)>0，当即a<－时，不等式的解集为；当即－<a<0时，不等式的解集为；当a＝－时，－＝4，此时不等式的解集为∅，故选项B、C不正确，选项D正确．故选AD． [解析]　将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．ax2＋bx＋c>0的解集是(－1，2)，则a<0，A正确；由题意知令f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)＝ax2＋bx＋c>0的解集是(－1，2)，可得f(1)＝a＋b＋c>0，B正确；由题意知ax2＋bx＋c＝0的解是x＝－1，2，则由韦达定理得＝－1，＝－2，即bx2＋cx＋3a>0变为－ax2－2ax＋3a>0，即x2＋2x－3>0，即x<－3或x>1，关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，C错误，D正确．故选ABD． 12．(2025·上海卷)不等式<0的解集为________. [解析]　由题干知，不等式ax＋b<0的解集为(－∞，－1)，可得到代入一元二次不等式得(ax－a)(x＋2)<0⇒a(x－1)(x＋2)<0，由于a>0，所以(x－1)(x＋2)<0，即－2<x<1.故答案为(－2，1)． [解析]　原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，当m＝2时，对x∈R，不等式恒成立；当m≠2时，则有解得－2<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－2，2]． [解析]　∵不等式－2x2＋bx＋c>0的解集是{x|－1<x<3}，∴3和－1是方程－2x2＋bx＋c＝0的两根，∴3－1＝，－1×3＝－，解得b＝4，c＝6.对任意x∈{x|－1≤x≤0}时，－2x2＋bx＋c＋t≤4恒成立，即任意x∈{x|－1≤x≤0}，t≤(2x2－4x－2)min，因为2x2－4x－2＝2(x－1)2－4，在x∈[－1，0]内，当x＝0时取最小值－2，所以t的取值范围为{t|t≤－2}． B组能力提升 1．设a>1，则关于x的不等式(1－a)(x－a)<0的解集是(　　) A．(－∞，a)∪ B．(a，＋∞) C． D．∪(a，＋∞) [解析]　因为a>1，所以1－a<0，a>，原不等式可化为(x－a)>0，解集为∪(a，＋∞)． 2．(2026·四川广元)已知函数f(x)＝的部分图象如图所示，则a＋b＋c＝(　　) [解析]　令g(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x)＝，由图可得方程g(x)＝0的两根为2和4，则g(x)＝a(x－2)(x－4)，又由图象知f(3)＝1，即＝1，则g(3)＝1，所以a×(3－2)×(3－4)＝1，解得a＝－1，所以g(x)＝－(x－2)(x－4)＝－x2＋6x－8，所以b＝6，c＝－8，则a＋b＋c＝－1＋6－8＝－3.故选A． 3．(2025·山东高三上开学考试)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为(－4，1)，则的取值范围为(　　) [解析]　由于ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为(－4，1)，故－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，故即b＝3a，c＝－4a，a<0，因此＝＝4a＋，由于a<0，则－a>0，故　　　－4a＋≥2＝6，当且仅当a＝－取等号，故≤－6，故选C． [解析]　令f(a)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则当a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立可转化为f(a)>0在　　[－1，1]上恒成立．所以即整理得解得x<1或x>3，即x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C． 所以原不等式解集为，所以b＝－， 所以a＝－7，b＝－. 当a≠0时，令(ax＋4)(x＋1)＝0，解得x＝－或x＝－1， 当a<0时，－－(－1)＝>0，即－>－1， 故不等式的解集为； 当0<a<4时，－<－1，故不等式的解集为； 当a＝4时，－＝－1，不等式为(x＋1)2>0，故其解集为{x|x≠－1}； 当a>4时，－>－1，故不等式的解集为； 综上：①当a<0时，原不等式解集为； ②当a＝0时，原不等式解集为{x|x>－1}； ③当0<a<4时，原不等式解集为； ④当a＝4时，原不等式解集为{x|x≠－1}； ⑤当a>4时，原不等式解集为. 参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为(　　) A．(－2，－1)∪(1，3) B．(－3，－1)∪(1，2) C．(－3，－2)∪(－1，1) D．∪ [解析] 若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈∪，则x∈(－3，－1)∪(1，2)．故选B． [解析]　设t＝2a＋b，原题转化为求t的最小值，原不等式可化为对任意的－2≤x≤2，tx2＋(t－2a)x－a－1≤0，不妨代入x＝－，得t－(t－2a)－a－1≤0，得t≥－4，当t＝－4时，原不等式可化为－4x2＋(－4－2a)x－a－1≤0，即－2＋a2≤0，观察可知，当a＝0时，－(2x＋1)2≤0对－2≤x≤2一定成立，当且仅当x＝－取等号，此时，a＝0，b＝－4，说明t＝－4时，a，b均可取到，满足题意，故t＝2a＋b的最小值为－4. $